【教無(wú)憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第08講 5.5 數(shù)學(xué)歸納法（2知識(shí)點(diǎn) 6題型 強(qiáng)化訓(xùn)練）【KS5U 高考】

.5數(shù)學(xué)歸納法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的數(shù)學(xué)命題；（2）借助具體實(shí)例，進(jìn)行大膽猜測(cè)和證明，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟；（3）感受類(lèi)比、從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；（2）掌握數(shù)學(xué)歸納法證明一些問(wèn)題的一般方法與步驟；（3）能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些數(shù)學(xué)命題。知識(shí)點(diǎn)01數(shù)學(xué)歸納法1、數(shù)學(xué)歸納法的定義：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某個(gè)正整數(shù)的所有正整數(shù)都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立.在完成這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法。2、數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）驗(yàn)證是基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0，就是我們要證明的命題對(duì)象對(duì)應(yīng)的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．（2）遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．（3）利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書(shū)寫(xiě)f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫(xiě)出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心．不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．【即學(xué)即練1】（2023·新疆伊犁·高二?？计谀├脭?shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)證明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，即從起連續(xù)項(xiàng)正整數(shù)之和.則為從起連續(xù)3個(gè)正整數(shù)之和，故第一步應(yīng)證明.故選：B.知識(shí)點(diǎn)02“歸納——猜想——證明”的一般環(huán)節(jié)（1）計(jì)算：根據(jù)條件，準(zhǔn)確計(jì)算出前若干項(xiàng)，這是歸納、猜想的前題；（2）歸納、猜想：通過(guò)觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想，猜想出一般的結(jié)論；（3）證明：對(duì)一般結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【即學(xué)即練2】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┤粽?xiàng)數(shù)列中，，，則的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,在正項(xiàng)數(shù)列中,當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,解得,猜想,證明:當(dāng)時(shí),顯然成立;假設(shè)時(shí),，則當(dāng)時(shí),.故時(shí),結(jié)論也成立.故,故選:C.【題型一：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解】例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A．當(dāng)時(shí)，不等式成立B．當(dāng)時(shí)，不等式成立C．當(dāng)時(shí)，不等式成立D．當(dāng)時(shí)，不等式成立【答案】C【解析】由題意知的最小值為，所以第一步應(yīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，不等式成立，故選：C.變式1-1．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時(shí)不等式成立B．時(shí)不等式成立C．時(shí)不等式成立D．時(shí)不等式成立【答案】B【解析】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．變式1-2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）如果命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立.設(shè)對(duì)成立，則下列結(jié)論正確的是（）A．對(duì)所有的正整數(shù)成立；B．對(duì)所有的正奇數(shù)成立；C．對(duì)所有的正偶數(shù)成立；D．對(duì)所有大于1的正整數(shù)成立.【答案】C【解析】由于若命題對(duì)成立，則它對(duì)也成立．又已知命題成立，可推出均成立，即對(duì)所有正偶數(shù)都成立，故選：C．變式1-3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”，那么下列命題不成立的是（）A．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若成立，由題意只可得出當(dāng)時(shí)，均有成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若成立，則當(dāng)時(shí)均有成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椴粷M足題設(shè)條件，故不能得出相應(yīng)結(jié)論，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立，故D正確；故選：ABC.【方法技巧與總結(jié)】1、驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定為1；2、遞推是關(guān)鍵：正確分析由到時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障?！绢}型二：數(shù)學(xué)歸納法處理增項(xiàng)問(wèn)題】例2．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┯脭?shù)學(xué)歸納法證明：（）的過(guò)程中，從到時(shí)，比共增加了（）A．1項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，共?xiàng)，則共項(xiàng)，所以比共增加了項(xiàng)，故選：D變式2-1．（2022·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，從到，等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】從到，等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是.故選：D.變式2-2．（2023·上?！じ叨谀┯脭?shù)學(xué)歸納法證“（）”的過(guò)程中，當(dāng)?shù)綍r(shí)，左邊所增加的項(xiàng)為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，等式為，當(dāng)時(shí)，等式為，因此，從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是.變式2-3．（2023·陜西渭南·高二?？计谥校┰O(shè)，那么等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得,所以，故選：D【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法研究添項(xiàng)問(wèn)題關(guān)鍵在于弄清表達(dá)式的構(gòu)成規(guī)律，從而確定到增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)?！绢}型三：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】例3．（2024·上?！じ叨虾Ｖ袑W(xué)?？计谀┯脭?shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正整數(shù)都有：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)①當(dāng)時(shí)，，②則當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；綜合由①②知，對(duì)于任意正整數(shù)都有：.變式3-1．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，右邊；假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即有，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)等式也成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可知等式對(duì)于任意都成立.變式3-2．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，等式左邊，等式中間，等式右邊，即等式左邊=等式中間=等式右邊，等式成立；假設(shè)時(shí)等式成立，即有成立，我們分兩步來(lái)證明當(dāng)時(shí)，等式成立，即分別證明此時(shí)等式左邊=等式中間，等式中間=等式右邊即可，第一步：由假設(shè)可知，當(dāng)時(shí)，有成立，即當(dāng)時(shí)，等式左邊=等式中間成立；第二步：由假設(shè)，所以此時(shí)有成立，從而可知，當(dāng)時(shí)，有成立，即當(dāng)時(shí)，等式中間=等式右邊成立；結(jié)合以上兩步有：若當(dāng)時(shí)等式成立，則當(dāng)時(shí)等式成立；綜上所述：由數(shù)學(xué)歸納法可得.變式3-3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則，即成立，故當(dāng)時(shí)也成立.綜上有（2）當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則，故當(dāng)時(shí)也成立.故【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：（1）弄清取第一個(gè)值時(shí)等式兩段項(xiàng)的情況；（2）弄清從到等式兩端增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)；（3）證明時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝證明目標(biāo)的表達(dá)形式變形?！绢}型四：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】例4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)，，且，用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)椋?，故左邊右邊，原不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，，在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．綜上，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立．變式4-1．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】當(dāng)，則成立，若且時(shí)，成立，令，則，所以時(shí)不等式也成立，綜上，恒成立.變式4-2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）證明∶不等式成立.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】①當(dāng)時(shí)，左邊右邊，∴不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即.③當(dāng)時(shí)，左邊，∴當(dāng)時(shí)，不等式也成立.綜上可得，原不等式恒成立.變式4-3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿足：，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】先用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)n，有，1°當(dāng)時(shí)，顯然成立．2°假設(shè)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，一方面，由基本不等式，有．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，因?yàn)?，所以．另一方面，，?dāng)時(shí)，也成立，因此，．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵：（1）驗(yàn)證第一個(gè)的值時(shí)，要注意不一定為1，若（為正整數(shù)），則；（2）證明不等式的第二步中，從到的推到過(guò)程中，一定要用到歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明與有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一時(shí)直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類(lèi)形式往往要先對(duì)取前個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)值開(kāi)始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明；（4）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由時(shí)成立得時(shí)成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等?！绢}型五：用數(shù)學(xué)歸納法解決整除問(wèn)題】例5．（2023·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”的第二步是：設(shè)，則假設(shè)＝時(shí)正確，再推＝時(shí)正確．【答案】【解析】因?yàn)橛脭?shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除，第一步，當(dāng)時(shí)，能被整除；第二步，假設(shè)，時(shí)，命題正確，再證明，時(shí)，命題正確．故答案為：，變式5-1．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除（）【答案】答案見(jiàn)解析【解析】當(dāng)時(shí)，，故能被整除，假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即能被整除，則當(dāng)時(shí)，，由于和均能被整除，故能被整除，綜上：能被整除（）.變式5-2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求證：對(duì)任何正整數(shù)n，數(shù)都能被8整除【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明:1°當(dāng)n=1時(shí)，，命題成立．2°假設(shè)n=k時(shí)，能被8整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，,因?yàn)槭?的倍數(shù)，而也是8的倍數(shù)，所以Ak+1也是8的倍數(shù)，即n=k+1時(shí)，命題也成立由以上1°、2°可知，對(duì)一切正整數(shù)n，能被8整除．變式5-3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：可以被7整除.【答案】證明見(jiàn)解析．【解析】證明：（1）時(shí)，，能被7整除，（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即能被7整除，設(shè)（是正整數(shù)），則時(shí)，，是正整數(shù)，所以能被7整除，所以時(shí)，命題成立，綜上，原命題成立，（是正整數(shù)）可以被7整除．【方法技巧與總結(jié)】利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”與“因式分解”等變形技巧，湊出時(shí)的情形，從而利用歸納法假設(shè)使問(wèn)題得證?！绢}型六：與數(shù)列有關(guān)的歸納-猜想-證明問(wèn)題】例6．（2022·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足（1）求出項(xiàng)，并由此猜想的通項(xiàng)公式（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明的通項(xiàng)公式【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，所以，由此猜想.（2）當(dāng)時(shí)，，成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即成立.則當(dāng)時(shí)，，成立.綜上所述，對(duì)任意正整數(shù)都成立.變式6-1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，且任意的，有.（1）求的值；（2）試猜想的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析【解析】（1）由，任意的，有，得，，，所以.（2）由（1）猜想：.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，，猜想正確；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想正確，即，則當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，猜想正確，由①②知，對(duì)任意的，都有.變式6-2．（2023·上?！じ叨邔氈袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，是其前n項(xiàng)和.（1）計(jì)算，，并猜想的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）記，求.【答案】（1），，猜想，證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1），，猜想當(dāng)時(shí)，，滿足猜想，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)猜想也成立，綜上，猜想成立，即.（2），，，.變式6-3．（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）計(jì)算，，，的值；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并進(jìn)行證明．【答案】（1），，，；（2），證明見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)?，所以，，?（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，，猜想正確，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也正確，則有，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，猜想也正確，綜上所述，.【方法技巧與總結(jié)】歸納-猜想-證明的一般環(huán)節(jié)：計(jì)算：根據(jù)條件愛(ài)你，準(zhǔn)確計(jì)算出前若干項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)；歸納-猜想：通過(guò)觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想，猜想出一般的結(jié)論；證明：對(duì)一般結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。一、單選題1．（2023·陜西西安·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第二步應(yīng)假設(shè)（）A．當(dāng)時(shí)，成立B．當(dāng)時(shí)，成立C．當(dāng)時(shí)，成立D．當(dāng)時(shí)，成立【答案】C【解析】根據(jù)題意，證明的結(jié)論為“”，所以第二步的假設(shè)應(yīng)寫(xiě)出：假設(shè)時(shí)命題成立，即成立.故選：C.2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（），在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，左邊，故C正確.故選：C.3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明，“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成（）A．假設(shè)時(shí)正確，再推證正確B．假設(shè)時(shí)正確，再推證正確C．假設(shè)時(shí)正確，再推證正確D．假設(shè)時(shí)正確，再推證正確【答案】B【解析】因?yàn)槊}為“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)時(shí)正確，再推證正確.故選：B.4．（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為，故選：B.5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，所以比多的?xiàng)數(shù)是.故選：B.6．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)不等式左邊（）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．增加了，但減少了【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故增加了，但減少了.故選：.7．（2023·北京·高二北京八中?？计谥校┰谟脭?shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，則.故選：D.8．（2023·廣東佛山·高二石門(mén)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，等式左端為，當(dāng)時(shí)，等式左端為，兩式比較可知，增加的項(xiàng)為．故選：B．二、多選題9．（2022·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)B．使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)C．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；即使不等式成立的第一個(gè)自然數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；兩式相減得：，所以推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC.10．（2024·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A．存在，使得B．可能是常數(shù)列C．可能是遞增數(shù)列D．可能是遞減數(shù)列【答案】ABD【解析】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)和，且，對(duì)于A選項(xiàng)，取，則，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則，，，以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，可能是常數(shù)列，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列為遞增數(shù)列，則對(duì)任意的，，即，所以，對(duì)任意的恒成立，但當(dāng)時(shí)，，矛盾，故數(shù)列不可能是遞增數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，則，，，猜想，，當(dāng)時(shí)，猜想成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，猜想也成立，故對(duì)任意的，，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，D對(duì).故選：ABD.三、填空題11．（2024·上海寶山·高二?？计谀┯脭?shù)學(xué)歸納法推斷時(shí)，正整數(shù)n的第一個(gè)取值應(yīng)為．【答案】【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；結(jié)合本題現(xiàn)將看成函數(shù)上的點(diǎn)，將看成上的點(diǎn)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即，解得或，根據(jù)兩函數(shù)圖像分析，時(shí)，恒成立，所以正整數(shù)n的第一個(gè)取值應(yīng)為.12．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┯脭?shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為．【答案】【解析】由不等式，當(dāng)時(shí)，可得，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為.13．（2023·安徽淮北·高二淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“已知n為正奇數(shù)，求證：能被整除”時(shí)，第二步假設(shè)當(dāng)時(shí)命題為真后，需證時(shí)命題也為真．【答案】【解析】為正奇數(shù)，第二步假設(shè)第項(xiàng)成立，第三步證明相鄰正奇數(shù)第項(xiàng)成立.14．（2023·上海寶山·高二?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是【答案】【解析】把和代入等式左邊分別可得：①②兩式作差得.四、解答題15．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：①當(dāng)時(shí)，，四邊形有兩條對(duì)角線，命題成立；②假設(shè)當(dāng)，時(shí)，命題成立