【教無(wú)憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第41講 專題2-6 雙曲線離心率取值專題十九大題型

專題2-6雙曲線離心率取值專題十九大題型匯總題型1直接法 3題型2通徑法 8題型3運(yùn)用漸近線求離心率 13題型4坐標(biāo)法 18題型5焦點(diǎn)弦已知底角 24題型6焦點(diǎn)弦定比點(diǎn)差 28題型7焦點(diǎn)三角形定義法 34題型8焦點(diǎn)三角形已知頂角 40題型9焦點(diǎn)雙曲線雙余弦定理 44題型10焦點(diǎn)三角形面積相關(guān) 49題型11點(diǎn)差法 52題型12由題目條件求離心率 59題型13利用圖形求離心率 64題型14雙曲線的對(duì)稱性 69題型15角平分線相關(guān) 77題型16向量相關(guān) 83題型17雙曲線與圓相關(guān) 86題型18內(nèi)切圓相關(guān) 93題型19雙曲線與和差最值 97知識(shí)點(diǎn).雙曲線公式1e=公式2e=證明：證明：e=c公式3已知雙曲線方程為x2a2?y2b2證明：由正弦定理得：由等比定理得：即，∴。公式4以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、及雙曲線上任意一點(diǎn)（除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的，=，=β，則離心率（）證明：由正弦定理，有，即又，公式5點(diǎn)F是雙曲線焦點(diǎn)，過(guò)F弦AB與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB斜率，且，則e當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=注：λ=AFBF或者λ=BFAF,題型1直接法【方法總結(jié)】e=【例題1】（2023秋·江西吉安·高二寧岡中學(xué)校考期中）雙曲線y2【答案】62/【分析】直接利用雙曲線方程求出a,c，然后求解離心率．【詳解】由雙曲線y2?2x所以c=a所以雙曲線y2?2x故答案為：62【變式1-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已雙曲線C：x2【答案】3【分析】整理得到y(tǒng)2【詳解】由曲線C:x22離心率e=c故答案為：3.【變式1-1】2.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率和漸近線方程，并畫出雙曲線的草圖：(1)x2(2)y2【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)分別求解即可.【詳解】（1）由雙曲線方程x2知雙曲線焦點(diǎn)在x軸，且a=2,b=3,c=13則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4，虛軸長(zhǎng)2b=6，頂點(diǎn)的坐標(biāo)(?2,0),(2,0)，離心率e=c由ba=3畫出雙曲線草圖（如圖）.

（2）由雙曲線方程y2知雙曲線焦點(diǎn)在y軸，且a=3,b=2,c=13則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=6，虛軸長(zhǎng)2b=4，頂點(diǎn)的坐標(biāo)(0,?3),(0,3)，離心率e=c由ab=3畫出雙曲線草圖（如圖）.

【變式1-1】3.（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．(1)x2(2)y2(3)8x(4)9y【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析；【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)所在位置，求出a,b,c，即可求出實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．【詳解】（1）雙曲線x2則焦點(diǎn)在x軸上，且a2即a=4,b=25所以實(shí)軸長(zhǎng)為2a=8，虛軸長(zhǎng)為2b=45焦點(diǎn)坐標(biāo)為±6,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為±4,0，漸近線方程為y=±5離心率為ca（2）雙曲線y2則焦點(diǎn)在y軸上，且a2即a=4,b=25所以實(shí)軸長(zhǎng)為2a=8，虛軸長(zhǎng)為2b=45焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,±4，漸近線方程為y=±2離心率為ca（3）雙曲線8x2?8則焦點(diǎn)在x軸上，且a2即a=2,b=2,c=22所以實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，虛軸長(zhǎng)為2b=4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為±22頂點(diǎn)坐標(biāo)為±2,0，漸近線方程為y=±x，離心率為ca（4）雙曲線9y2?則焦點(diǎn)在y軸上，且a2即a=3,b=9,c=310所以實(shí)軸長(zhǎng)為2a=6，虛軸長(zhǎng)為2b=18，焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,±310頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,±3，漸近線方程為y=±1離心率為ca【變式1-1】4.（多選）（2022秋·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）關(guān)于雙曲線x2A．實(shí)軸長(zhǎng)為4 B．焦點(diǎn)為±2C．右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為4 D．離心率為3【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的方程求得a=2,b=4,c=25【詳解】由雙曲線x24?y2所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，所以A正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±25又由雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(25,0)，其中一條漸近線的方程為所以F2到漸近線的距離為4由雙曲線的離心率的定義，可得雙曲線的離心率為e=c故選：AC.題型2通徑法【方法總結(jié)】雙曲線的通徑為2【例題2】（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)F1、F2分別是雙曲線C:x2?y2b=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作x軸的垂線與A．2 B．63 C．22 【答案】D【分析】求出∠AF1F2=30°，利用雙曲線的定義求出A【詳解】設(shè)AF2=t，因?yàn)锳B⊥x軸，則點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，則F

因?yàn)椤鰽BF1為等邊三角形，則∠AF所以，AF1?所以，2c=F1F因此，該雙曲線C的離心率為e=c故選：D.【變式2-1】1.（2023春·云南曲靖·高二會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，l為雙曲線的一條漸近線，F(xiàn)到直線l的距離為5，過(guò)F且垂直于A．2 B．6 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得a,c，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為bx?ay=0，所以焦點(diǎn)Fc,0到漸近線bx?ay=0的距離為由x2a2?y所以y=±5a，所以所以c=所以離心率e=故選：B【變式2-1】2.（2021春·云南昭通·高二?？计谥校┮阎p曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)A．2 B．32 C．3 D．【答案】D【分析】首先判斷B在左支上，求得BF，由AF=32BF，可得a+c=3b22a，再由【詳解】如圖，由動(dòng)點(diǎn)B在C上，當(dāng)BF⊥AF時(shí)，AF=可得B在左支上，令x=?c，可得c2解得y=±bc2a2?1即2aa+c可得2a=3c?a，即3c=5a,e=故選：D.

【變式2-1】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．5 B．859 C．62 【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性結(jié)合已知可得AF1=5AF2，設(shè)AF【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F2所以AB=2因?yàn)锳F1AB=5設(shè)AF2=m，則AF1所以AF2=因?yàn)椤螦F2F所以254所以6a2=4所以離心率e=c故選：C

【變式2-1】4.（2023秋·寧夏吳忠·高三吳忠中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知A，B分別是雙曲線C:x2aA．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】由已知可得A,B,P的坐標(biāo)，求得PA,PB所在直線的斜率，再由直線PB與直線PA的斜率之比為3列式求雙曲線C的離心率．【詳解】由題意可得，A(?a,0)，B(a,0)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，代入c2a2?ykPA=b則kPBkPA即雙曲線的離心率為2．故選：C．

【變式2-1】5.（2023秋·高二單元測(cè)試）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為Fc,0，直線l:x=c與雙曲線C【答案】233【分析】利用雙曲線通徑長(zhǎng)和與漸近線交點(diǎn)情況可得AB,DE,由DE=2AB和a,b,c關(guān)系可求得c=2b，【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：y=±b∵直線l:x=c∴AB為雙曲線的通徑，則由x=cx2a2?由x=cy=±bax由DE=2AB得：2bc即c=2b所以a=c所以離心率e=故答案為：2【變式2-1】6.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,B為虛軸上端點(diǎn)，M是BF中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A．2 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】作出圖象，根據(jù)幾何性質(zhì)可得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，結(jié)合OM∥ON可得a=b，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，在雙曲線C:x2a2?y

由題意可知：Fc,0因?yàn)镸是BF中點(diǎn)，則Mc2,且O,M,N三點(diǎn)共線，則OM∥ON，可得c2×b所以e=c故選：A.題型3運(yùn)用漸近線求離心率【方法總結(jié)】e=【例題3-1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中開學(xué)考試）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為?2,0和2,0，一條漸近線的方程為y=3x，則C離心率為，則C【答案】2x【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程可解得a=1,b=3【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為x2由焦點(diǎn)為?2,0和2,0可得a2一條漸近線的方程為y=3x可得ba所以離心率e=ca=2故答案為：2；x2【變式3-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2A．2sin40° B．2cos40° C．【答案】C【分析】雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為40°，所以ba=tan40°，再由b2【詳解】因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=±b所以ba記雙曲線C的離心率為e，則b2所以e2所以e=1故選：C．【變式3-1】2.（2023秋·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線C:x2m?y【答案】3或6【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線方程與離心率公式分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)該雙曲線焦點(diǎn)位于橫軸時(shí)，則有m>0,n>0，因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線為y=2所以有nm即此時(shí)雙曲線的離心率為3；當(dāng)該雙曲線焦點(diǎn)位于縱軸時(shí)，則有m<0,n<0，因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線為y=2所以有?n?m即此時(shí)雙曲線的離心率為62故答案為：3或6【變式3-1】3.（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由離心率與漸近線斜率關(guān)系即可得.【詳解】由題可知ba則C的離心率e=c故選：A.【變式3-1】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【分析】由題意可得ba=2，結(jié)合離心率定義推得【詳解】由題意雙曲線C:x2a得?ba=?2，即b故選：B.【例題3-2】（2023春·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線C:x2a2?y2b2【答案】3【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得直線與雙曲線漸近線平行，結(jié)合雙曲線離心率的定義求解即可．【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±b又已知F(?c,0)是雙曲線C:x2a直線PF與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線PF與雙曲線C的漸近線平行，則kPF=ba，即6a即c4即c2=3a則雙曲線C的離心率為3．故答案為：3．【變式3-2】1.（2021秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2?y2b2=1b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．3 B．23 C．2 【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線得OM//NF1，又M是線段F2N的中點(diǎn)，又可得OM⊥NF2，則可得漸近線【詳解】雙曲線C：x2?y

因?yàn)镺是線段F1F2的中點(diǎn)，M是線段又NF1⊥NF2所以∠NO所以漸近線y=bx的傾斜角為60°，則b=tan60°=3所以c=a2+故選：C.【變式3-2】2.（2022秋·河南漯河·高二校考期末）設(shè)F是雙曲線x2a2?y2b2=1的右焦點(diǎn)，雙曲線兩條漸近線分別為l1，l2，過(guò)F作直線l1的垂線，分別交A．52 B．113 C．62【答案】A【分析】由題意直線l1的傾斜角為α∈(0,π4)，根據(jù)OA⊥AB，得到OA2+AB2=OB2，再由OA,AB,OB【詳解】解：如圖所示，因?yàn)橄蛄緽F與FA同向，可得直線l1的傾斜角為α∈(0,即k=ba<1，所以b又由OA⊥AB，所以O(shè)A2又因?yàn)镺A,AB,OB成等差數(shù)列，所以2AB聯(lián)立方程組，可得OA=34AB，在直角△OAB中，可得tan∠AOB=又由雙曲線x2a2?y即tan∠AOB=tan2α=2tan可得b2a2=c故選：A.題型4坐標(biāo)法【方法總結(jié)】方法：求出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入雙曲線方程建立等式【例題4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線C:x2a設(shè)點(diǎn)F2關(guān)于一條漸近線y=?ba由題意知，?ba×又知bmam?c=所以c2=a所以雙曲線C的離心率是e=故選：C.【變式4-1】1.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F分別作C的兩條漸近線的平行線與C【答案】3+2/【分析】設(shè)直線方程為y=bax?c與雙曲線方程x【詳解】解：如圖所示：

設(shè)直線方程為y=bax?c解得x=a因?yàn)閨AB|=23所以2×b即b2=23解得e=c故答案為：3【變式4-1】2.（2023春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為D，直線x=3a與C交于【答案】91【分析】結(jié)合圖形，利用垂心的定義，以及兩直線垂直與斜率的關(guān)系可得b2【詳解】如圖，設(shè)△ABD的垂心為H，則有DH⊥AB,不妨設(shè)D(0,b),則H(x,b)，因?yàn)镠在漸近線y=bax直線x=3a與C交于A，B兩點(diǎn)，所以9a2a所以A(3a,2又因?yàn)锳D⊥BH,所以kAD整理得，b2a2

故答案為:917【變式4-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)F2為雙曲線C:x2a2?y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為MF2A．2 B．3 C．5 D．5【答案】C【分析】設(shè)M(m,n)，根據(jù)題意可知OD垂直平分MF2，利用兩直線垂直斜率之積為?1和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得nm?c=?a且12?n=1a?m+c2【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±1ax

不妨設(shè)點(diǎn)M(m,n)在第二象限，則kM由D為MF2的中點(diǎn)，O、I、D三點(diǎn)共線知直線OD垂直平分則OD:y=1ax，有n解得m=a2?1c，將M(a2?1得(2a2?c2當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得e=5故選：C.【變式4-1】4.（2023秋·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)，過(guò)其上焦點(diǎn)F的直線與圓【答案】303/【分析】設(shè)出過(guò)上焦點(diǎn)F的直線方程為y?c=kx，由圓心到直線距離等于半徑得到k=±ba，再分別聯(lián)立直線與圓，直線與漸近線，求出xA=ab【詳解】由題意得F0,c，漸近線方程y=±設(shè)過(guò)其上焦點(diǎn)F的直線方程為y?c=kx，則圓心O到直線y?c=kx的距離為c1+k2如圖所示，故過(guò)其上焦點(diǎn)F的直線方程為y?c=?b聯(lián)立y?c=?bax與x解得xA聯(lián)立y?c=?bax與y=ab聯(lián)立y?c=?bax與y=?ab因?yàn)?FB=5FA，所以2化簡(jiǎn)得2c又b2=c2?解得ca=303，雙曲線故答案為：30【變式4-1】5.（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線l:3x?3y+m=0與圓C1:(x?λ)2+y2=λ2(λ>0)相切于點(diǎn)E【答案】2【分析】聯(lián)立直線l與雙曲線C2的漸近線求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用m、a、b表示出中點(diǎn)E的坐標(biāo)，由直線l與圓C1相切可得m=3λ，再聯(lián)立直線l與圓C1，即可用λ表示出E的坐標(biāo)，再消λ【詳解】雙曲線C2:x由3x?3y+m=0y=?bax解得A(線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為E(?3ma2又xE>0，則yE>0，即點(diǎn)E在第一象限，直線又直線l與圓C1相切，則有3λ+m3+9=λ，解得由x?3y+λ=0(x?λ)2+y2=λ所以雙曲線C2的離心率e=

故答案為：2題型5焦點(diǎn)弦已知底角【方法總結(jié)】e=【例題5】（2023秋·江西吉安·高三吉安一中?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線C1：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）和圓C2：x2+【答案】3+1/【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】

由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則∠F∴∠PF1F2=e=2c故答案為：3【變式5-1】1.（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知F1、F2為雙曲線E的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E的右支上，△FA．3+1 B．5?1 C．5+1【答案】D【分析】由題意求得M點(diǎn)坐標(biāo)，再將之代入雙曲線方程，求得a與b的關(guān)系，最后利用雙曲線的離心率公式即可求得E的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線方程為x2a2如下圖所示：過(guò)M做MD⊥F1F2交

由△F1F2則∠MF2D=60°∴|MD|=3c，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(2c,3又M在雙曲線上，則(2c)2即4e2?解得e2=1+3解得e=3故選：D.【變式5-1】2.（2008·全國(guó)·高考真題）設(shè)△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（

）A．1+22 B．1+32 C．【答案】B【解析】根據(jù)題設(shè)條件可知2c=AB=BC，由正弦定理可得AC【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為A，B，則AB=2c∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，∴BC=2c，∠ACB=30°由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin雙曲線過(guò)點(diǎn)C，由雙曲線的定義可得|AC|?|BC|=23解得離心率e=c故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問(wèn)題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個(gè)方面著手：（1）根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求ca（2）已知條件構(gòu)造出a，b，c的等式或不等式，結(jié)合c2=a2+b2化出關(guān)于a，c【變式5-1】3.（2020秋·天津紅橋·高二統(tǒng)考期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2A．3＋1 B．4＋23C．3?12 D．【答案】A【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而可求得三角形的高，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可得，進(jìn)而求得邊MF1的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得a，b和c的關(guān)系式化簡(jiǎn)整理求得關(guān)于e的方程求得【詳解】解：依題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(?c,0)，F(xiàn)2∴三角形高是3c，M(0,∴邊MF1的中點(diǎn)N(?c2，整理得：b2∵b2=c2整理得e4?8e∵e>1，∴e=3故選：A.【變式5-1】4.（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中校考階段練習(xí)）已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)【答案】3【分析】作出輔助線，得到PM=3c,【詳解】由題知F1F2=PF2=2c，過(guò)∴PMPMAM=3∴e=故答案為：3題型6焦點(diǎn)弦定比點(diǎn)差【方法總結(jié)】點(diǎn)F是雙曲線焦點(diǎn)，過(guò)F弦AB與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為θ,θ?(0,π2)，k為直線AB斜率，且，則e當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=【例題6】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為3A．58 B．65 C．75【答案】B【分析】設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1的右準(zhǔn)線為l，過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，根據(jù)直線AB的斜率為【詳解】設(shè)雙曲線C:x2a過(guò)A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如圖所示：因?yàn)橹本€AB的斜率為3，所以直線AB的傾斜角為60°，∴∠BAD=60°，AD=由雙曲線的第二定義得：AM?又∵AF=4∴3e∴e=故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.【變式6-1】1.（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C:x2a2?y2b2=1的左?右焦點(diǎn)分別的F1?F2，過(guò)點(diǎn)F2且傾斜角為60°的直線l【答案】2t?2【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx【詳解】設(shè)Ax1,由點(diǎn)Ax1,y1在雙曲線C:則A=c同理，BF2=cax2

∴x∵A設(shè)cax1∴a∴m∴e=2t?2故答案為：2t?2t+1【變式6-1】2.(多選)（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┤鐖D，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)右焦點(diǎn)FA．雙曲線C的離心率為7B．△AF1F2C．△AF1F2D．△AF1F2【答案】BD【分析】設(shè)設(shè)F2B=m，則AF2=7m，則AF1=7m+2a，F(xiàn)1B=m+2a，在△AF1F2和△BF1F【詳解】設(shè)F2B=m由雙曲線的定義可得：AF1=在△AF1F即2a2+14am?2在△BF1F即2a2+2am?2所以，7cm?14am=?cm?2am，整理可得ca所以該雙曲線的離心率為e=3對(duì)于B選項(xiàng)，S△A對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閏=32a，代入2所以，AF2=7m=5a△AF1FBF2=m=所以，△BF1F所以，△AF1F2和對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)△AF1F2和△BF則S△AF1故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.【變式6-1】3.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為3【答案】6【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y【詳解】因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(c,0)，且斜率為3所以直線AB的方程為：y=與雙曲線x2a2(設(shè)A(所以y因?yàn)锳F=4FB代入上式得?3消去y2并化簡(jiǎn)整理得：將b2=解之得c=因此，該雙曲線的離心率e=故答案為：6【點(diǎn)睛】1.直線與雙曲線相交的問(wèn)題，常將兩個(gè)的方程聯(lián)立消元，用韋達(dá)定理表示出橫（縱）坐標(biāo)之和、積，然后再結(jié)合條件求解2.求離心率即是求a與c的關(guān)系.【變式6-1】4.（2022秋·湖北荊州·高二荊州中學(xué)校考期末）設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為3的直線交C【答案】6【分析】設(shè)直線AB的方程，與雙曲線方程消去x并化簡(jiǎn)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)1+y2，y1y2【詳解】∵直線AB過(guò)點(diǎn)F(c,0)，且斜率為3，∴直線AB的方程為y=與雙曲線C:x消去x，得(13設(shè)A(x1，y1)，∴y1∵AB=5FB∴代入上式得?3y2=消去y2并化簡(jiǎn)整理，得4將b2=c2?因此，該雙曲線的離心率e=6故答案為：65題型7焦點(diǎn)三角形定義法【例題7】（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)A．12 B．233 【答案】C【分析】設(shè)PF1交y軸與A，可推出AO∥PF2，從而PF【詳解】如圖，設(shè)PF1交y軸與A，A為

因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，故AO則AO∥PF2，而因?yàn)橹本€PF1的斜率為34，故Rt故設(shè)|PF2|=3t結(jié)合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有4t=2c,|PF則2a=c,∴e=c故選：C【變式7-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線E:x2a2?y2

A．173 B．375 C．102【答案】B【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出BF1,【詳解】由題意知延長(zhǎng)CA,DB則必過(guò)點(diǎn)F1

由雙曲線的定義知AF又因?yàn)閏os∠BAC=?513因?yàn)锳B?BD=0設(shè)AF1=13m,m>0，則AB從而由AF2+BF則BF1=125又因?yàn)锽F12即37a2=25故選：B.【變式7-1】2.（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1【答案】355【分析】利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到AF2,BF2,【詳解】依題意，設(shè)AF2=2m在Rt△ABF1中，9故a=m或a=?3m（舍去），所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c故答案為：35【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過(guò)焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得解.【變式7-1】3.（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y22=1的左右焦點(diǎn)分別為F1【答案】7【分析】通過(guò)雙曲線的定義，用參數(shù)a表示BF1，BF2，過(guò)O,F2作直線【詳解】∵點(diǎn)A為雙曲線C右支上一點(diǎn)，∴AF又AB=AF2，∵點(diǎn)B為雙曲線C左支上一點(diǎn)，∴BF2?過(guò)O,F2作直線AF

則OM//F2N,又O為F在直角三角形BNF2中在直角三角形F1NF24441?2a2=a∴c2=a2+2=∴C的離心率為7.故答案為：7.【變式7-1】4.（2023秋·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2【答案】6+3【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合條件求解即可.【詳解】

因?yàn)锳F2=?2AB根據(jù)雙曲線的定義，A因?yàn)镕1A在直角三角形AF2F又因?yàn)閏os由此解得c=所以e=c故答案為：6+【變式7-1】5.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)F1,F2為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F【答案】2【分析】設(shè)直線的傾斜角為α，可得cosα=78，由P在第一象限內(nèi)，且F1P【詳解】設(shè)直線的傾斜角為α，則cosα=由P在第一象限內(nèi)，且F1P=∴F2P=2c?2a整理得3c2+4a2?8ac=0，則

故答案為：2題型8焦點(diǎn)三角形已知頂角【例題8】（2023秋·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠FA．213 B．215 C．7 【答案】A【分析】根據(jù)PF1=4PF2，∠F【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可設(shè)PF2=m,由余弦定理可知cos∠F1即c=21由雙曲線定義可知可知PF1?所以離心率e=c故選：A【變式8-1】1.（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知F1和F2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．3 B．2 C．62 D．【答案】C【分析】由已知結(jié)合雙曲線的定義及性質(zhì)，利用余弦定理，總綜合可得4c【詳解】不妨設(shè)|PF在△PF1F因?yàn)閨OP|=5則|PF兩式聯(lián)立得|PF因?yàn)?c2=|P整理得4c2=6所以離心率e=c故選：C．

【變式8-1】2.（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F1【答案】3【分析】構(gòu)建焦點(diǎn)三角形，判斷出其為直角三角形，進(jìn)而可求.【詳解】如圖，因?yàn)镻O=c=|F1所以∠OPF則|PF2ce2解得e=3故答案為：3

【變式8-1】3.（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2【答案】102/【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及直角三角形的性質(zhì)求解即可；【詳解】

依題意有OF所以F1設(shè)PF2所以|PF在Rt△F所以△F故有：|OF1解得：t=a,即PF2在Rt△F即10a所以10故答案為：102【變式8-1】4.（2023春·河南漯河·高二統(tǒng)考期末）已知F1,F2為雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)【答案】5【分析】由給定條件可得MF1⊥M【詳解】由MF1?MF2=0，得M則|MF1|=得(2abb?a)2+解得b=2a，所以雙曲線E的離心率e=c故答案為：5

題型9焦點(diǎn)雙曲線雙余弦定理【例題9】（2023秋·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA．7 B．6 C．5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義、余弦定理求解作答.【詳解】令|AF1|=t

在△ABF2中，∠BAF即(3t?2a)2=4t2+在△AF1F2中，令雙曲線半焦距為c，由余弦定理得：所以雙曲線離心率e=c故選：A【變式9-1】1.（2023秋·河北滄州·高二泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．2 B．2 C．6 D．2【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、余弦定理，雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】雙曲線C的左焦點(diǎn)F1?c,0，漸近線l1由點(diǎn)到直線的距離公式可得MF由勾股定理得OM=在Rt△MOF1中，∠OM在△MOF2中，OM=a，Mcos∠MO由余弦定理得cos∠MO化簡(jiǎn)得c2=6a2，即故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用互補(bǔ)兩角的余弦值為零，進(jìn)而運(yùn)用余弦定理.【變式9-1】2.（2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知F1,F2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．173 B．C．5 D．1+【答案】B【分析】設(shè)BF1=m，利用雙曲線定義表示出BF2,AF2的長(zhǎng)，再利用勾股定理可得m2【詳解】如下圖所示，連接BF2,AF2，易知以O(shè)即F1F2為圓O

不妨設(shè)|BF1|=m,由雙曲線定義可得|B所以|BF1|2在△BF1F在△AF1F又易知cos∠BF聯(lián)立①②可得，3a則雙曲線的離心率為e=故選：B【變式9-1】3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)【答案】3【分析】利用向量的中點(diǎn)性質(zhì)與雙曲線的定義求得PO，PF1，再利用余弦定理得到關(guān)于【詳解】依題意，設(shè)雙曲線C的半焦距為c，則F1F2

因?yàn)镺是F1F2故由PF1+因?yàn)镻F2?PF在△PF1F在△PF1O所以c2?2a2ac=a故答案為：3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則與雙曲線的定義，從而得到所需線段的長(zhǎng)度，再構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次方程即可得解.【變式9-1】4.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，Q是雙曲線A．295 B．293 C．43【答案】B【分析】設(shè)F1P=m，|PQ|=3m，QQF2，PF2，依題意可得【詳解】設(shè)F1P=m，因?yàn)镻Q=3F連接PF2，因?yàn)镼F1?QF又QF1?在Rt△F1QF2在Rt△PQF2中，有|PQ|由②可得m=56a，將其代入①即e=c故選：B．題型10焦點(diǎn)三角形面積相關(guān)【例題10】（2021秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1?c,0,A．22 B．2 C．2 D．【答案】C【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離公式求出F2A=b，再可求得OA=a，則S△AOF2=1【詳解】雙曲線的漸近線為y=±bax，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取y=F2所以O(shè)A=所以S△AO因?yàn)椤鰽F1F2的面積為所以12bc=2×1所以離心率e=c故選：C

【變式10-1】1.（2023春·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x216?A．53 B．2 C．54 【答案】C【分析】由已知條件，結(jié)合雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求出b2【詳解】因?yàn)镕1，F(xiàn)2是雙曲線C:x216?所以||PF1|?|PF||=8所以c2=a故雙曲線的離心率為e=c故選：C.【變式10-1】2.（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知A是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P(2,3)在C上，【答案】2【分析】由題設(shè)可得a+c=3，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上及參數(shù)關(guān)系求出雙曲線參數(shù)a,c，即可得離心率.【詳解】由題設(shè)知：|AF|=a+c，則S△APF

所以a+c=3且c>a，易知：0<a<3又4a2?9b所以4(c2?化簡(jiǎn)得a3?3a2?4a+6=(a?1)(綜上，a=1，故c=2，則離心率為ca故答案為：2題型11點(diǎn)差法【方法總結(jié)】運(yùn)用結(jié)論kOM【例題11】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．32 B．355 C．6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得b2【詳解】依題意A?a,0，設(shè)Mm,t，則N且m2而kAM4t2=5所以e=c故選：A【變式11-1】1.（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線與雙曲線C的另外一個(gè)交點(diǎn)為M，點(diǎn)N在【答案】7【分析】由題意可得直線的斜率存在且不等于0，不妨設(shè)直線l的方程為y=kx，設(shè)線段BM的中點(diǎn)為Q，連接OQ，設(shè)Bx1,y1x1<0,y1<0，根據(jù)點(diǎn)差法得到k【詳解】根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示．

由題意可得直線的斜率存在且不等于0，不妨設(shè)直線l的方程為y=kx，因?yàn)锽N//設(shè)線段BM的中點(diǎn)為Q，連接OQ，根據(jù)題意，顯然可得點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)Q//設(shè)Bx1,y1x1因?yàn)辄c(diǎn)B，M都在雙曲線C上，則x12a即y1而y1+y所以kBM?k又因?yàn)锳B⊥AM，則OB⊥OQ，即kOB所以y1x1所以kBM又ON2=7OA即|ON|=?7|OA所以kBN而kBM=kBN，故則雙曲線C的離心率e=c故答案為：7.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及AM=λ【變式11-1】2.（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線y=kx相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率分別為【答案】5【分析】設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(?x1,?y1【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(?x兩式相減，得x12?因?yàn)閗PA?kPB=所以雙曲線的漸近線方程為y=±12x因?yàn)榻裹c(diǎn)F2c,0到漸近線x?2y=0的距離為所以c5=1，可得c=5，又因?yàn)閏所以雙曲線的離心率e=5故答案為：5【變式11-1】3.（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)NxN,0xN≠0，雙曲線C:x2aA．52 B．2 C．2 D．【答案】C【分析】由點(diǎn)差法得kOMkAB=e2?1【詳解】設(shè)Ax則x12a即x1即y1?y因?yàn)閘是AB垂直平分線，有klkAB即yMxM=1?故選：C.【變式11-1】4.（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B兩點(diǎn)，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A．52 B．152 C．153【答案】C【分析】取PB的中點(diǎn)M，連接OM，利用兩角和的正切公式求出tan∠xOM，即直線OM的斜率為?29，再設(shè)Bx1【詳解】如圖，取PB的中點(diǎn)M，連接OM，則OM//AP，所以設(shè)直線PB的傾斜角為α，則tanα=?3所以tan∠xOM=?所以直線OM的斜率為?2設(shè)Bx1,y1由x12a所以b2a2=?3×?故選：C【變式11-1】5.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l:4x?2y?7=0與雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．233 B．5?12 C．【答案】D【分析】首先求出AB的垂直平分線的方程，即可求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)Ax1,y1【詳解】因?yàn)橹本€l:4x?2y?7=0，所以kl由題可知AB的垂直平分線的方程為y=?1將y=?12x?3與4x?2y?7=0聯(lián)立可得x=2y=1設(shè)Ax1,y1，Bx2兩式作差可得x1即y1+y則雙曲線C的離心率為1+b故選：D【變式11-1】6.（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為?2的直線l1與雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，l2//l1，直線l2與E【答案】7【分析】設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)及中點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線作差得yM=?b22【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2AB的中點(diǎn)MxM,yM則x12a2?所以b2a2?x因?yàn)锳B//CD，所以P，M，N三點(diǎn)共線，所以將①②代入得?b22因?yàn)閤M≠xN，所以又點(diǎn)P恒在直線l:y=?3x上，所以?b22所以雙曲線E的離心率為e=c故答案為：7

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，采用設(shè)而不求點(diǎn)差法求解，本題通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系建立a，b關(guān)系，從而求出雙曲線的離心率.【變式11-1】7.（2019·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)F1且斜率為13的直線l交雙曲線C的左右兩支于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的垂平分線過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F2【答案】5【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,AB中點(diǎn)為Mx【詳解】設(shè)Ax1,根據(jù)題意作圖如下:由圖知,∠所以在RtΔMF1F2中,由OM=OF1因?yàn)閗ABkOM由x12a兩式作差整理得：b2a2因?yàn)閗OM所以b2a2解得a2=4b所以雙曲線C的離心率為e=c故答案為:5【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系和點(diǎn)差法的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想;圓錐曲線與平面幾何的知識(shí)相結(jié)合是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.題型12由題目條件求離心率【例題12】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知雙曲線C的頂點(diǎn)為A1,A2【答案】2【分析】利用題給條件得到關(guān)于a,c的關(guān)系式，即可求得雙曲線C的離心率.【詳解】OA由△BA1A2是等邊三角形可知又因?yàn)閏2所以c=2a，從而e=c【變式12-1】1.（2023秋·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線C：x2a2?y25A．62 B．355 C．3【答案】C【分析】根據(jù)已知可得出a?43=23，a=2【詳解】由已知可得，Aa,0且a?43=又b2=5，所以c2所以，e=c故選：C.【變式12-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2bA．3 B．2 C．5 D．3【答案】B【分析】設(shè)漸近線的傾斜角為α，可得tanα=ba，結(jié)合sin2α+【詳解】由題意知點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C：x2設(shè)漸近線的傾斜角為α，則tanα=ba

結(jié)合sin2α+cos結(jié)合題意可知α∈0,π又OP=c，PF在△PFO中利用余弦定理得PF2即4a即cosα=?4a故e2?e?2=0，解得e=2或故選：B【變式12-1】3.（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2A．3 B．33 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求得焦點(diǎn)F1到漸近線的距離為b，在直角△MOF1中，求得cos∠OF1M=【詳解】由雙曲線C:x2a2?如圖所示，則焦點(diǎn)F1到漸近線y=?ba在直角△MOF1中，可得在△MF1F即3b2=4又由b2=c2?所以雙曲線的離心率為e=c故選：A.

【變式12-1】4.（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，過(guò)點(diǎn)M(2,0)作E的一條漸近線l的垂線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交l于點(diǎn)A．62 B．233 C．2【答案】C【分析】作出圖形，分析出∠MOQ=45°，則【詳解】∵△MPQ與△MPO的面積相等，∴P為OQ的中點(diǎn)，故△OMQ為等腰直角三角形，∴∠MOQ=45°，∴b即a2=c2?故選：C．

【變式12-1】5.（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知雙曲線C的兩條漸近線為l1，l2，過(guò)右焦點(diǎn)作直線FB∥l1且交l2于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥lA．3 B．233 C．62【答案】B【分析】延長(zhǎng)AF交l2于點(diǎn)A1，由題意可得△OAA1為等邊三角形，從而得OA與x軸的夾角為30°，【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AF交l2于點(diǎn)A則△OAF?△OA1F

在△OAA1中，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，而所以B為OA又AB⊥OA1，于是△OAA從而△OAA所以ba所以b=3所以c2所以e2所以e=2故選：B.題型13利用圖形求離心率【例題13】（2022秋·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）已知F是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為P【答案】6【分析】依題意畫出圖象，設(shè)|OP|=x，則OQ=3x，即可求出|PQ|，從而求出【詳解】設(shè)|OP|=x（x>0），則OQ∵FQ⊥OP，∴|PQ|=2∴tan∠QOP=|PQ||OP|=2所以sin∠FOP=sinπ∴tan∠POF=∴ba∴離心率e=c故答案為：62【變式13-1】1.（2022·安徽安慶·安慶一中?？既＃┻^(guò)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)FA．62 B．3或62 C．36【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得AF2=【詳解】

如圖①，當(dāng)AF2=13F2B時(shí)，設(shè)∠F2OA=α，則∠AOB=2αAF2=bt，OA=at，t>0，因?yàn)橛謈2=a2+b2，所以t=1，所以O(shè)A則AB=4b，則tan2α=即4b=2b1?b2如圖②，當(dāng)F2A=13F2B時(shí)，設(shè)∠F2OA=α，∠AOB=β設(shè)AF2=bt，OA=at，t>0，因?yàn)橛謈2=a2+b2，所以t=1，所以O(shè)A則AB=2b，tanα=ba=?tanα+β=b+2b1?b?2b=?b，即3=2b2?1故選：B【變式13-1】2.（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)雙曲線C上一點(diǎn)【答案】3【分析】由題意知四邊形PQF1F【詳解】設(shè)雙曲線x2a2?y由題意知PQ∥F1F2，由PQ=F1F2且PF1

故∠F1QO=則PF故PF即離心率e=1故答案為:3+1【變式13-1】3.（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線C:x2a2?y2【答案】10【分析】作出輔助線，得到F1D⊥FD，設(shè)出DF1=2m【詳解】由題意得F?c,0，取AB中點(diǎn)M，連接OM，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F1，連接因?yàn)镺A=OB=又A，B為線段FD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以FM=DM，即M為FD的中點(diǎn)，又O為FF1的中點(diǎn)，所以DF設(shè)DF1=2m，則OM由勾股定理得AM=BM=12a由雙曲線定義得DF?DF在Rt△DFF1中，由勾股定理得即61由①得312a解得m=a2或?qū)=a2代入②得5a

故答案為：10【變式13-1】4.（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左焦點(diǎn)為F，兩條漸近線分別為【答案】2【分析】結(jié)合圖像與三角函數(shù)關(guān)系，解得AF=2b=2FP，點(diǎn)F，A關(guān)于直線l2對(duì)稱，∠FOP=∠AOP，由此解得l【詳解】

依題意，l1的方程為y=ba設(shè)垂足為P，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，sin∠POF=FPOF因?yàn)镕c,0，l1的方程為y=?b則PF=bc+a×0a因?yàn)辄c(diǎn)F，A關(guān)于直線l2對(duì)稱，∠FOP=∠AOP又l1，l2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以l1故bc=sin60°=3所以離心率e=故答案為：2.題型14雙曲線的對(duì)稱性【例題14】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2bA．3+12 B．3+1 C．2【答案】B【分析】先由雙曲線與直線對(duì)稱性，得四邊形PFQF【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)F，右焦點(diǎn)為F'連接PF，PF'，QF，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和直線l的對(duì)稱性知，四邊形PFQF因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以PF⊥QF，即四邊形PFQF由直線l的斜率為?3，得∠POF=又PO=FO=c，則△POF在Rt△PFQ中，PQ=2c，則FQ=3c又由雙曲線定義知PF'?|PF|=2a則e=c故選：B.【變式14-1】1.（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)A．3 B．2 C．5 D．1【答案】A【分析】根據(jù)已知條件以及雙曲線的定義求得AF【詳解】結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性可知，∠F1A所以△ACF1為等邊三角形，則AF由雙曲線的定義，得AF1?AF則F1故選：A【點(diǎn)睛】求解雙曲線的離心率，方向有三種，一個(gè)是求得a和c，從而求得雙曲線的離心率；一種是求得a,c的等量關(guān)系式，化簡(jiǎn)可求得雙曲線的離心率；還有一種是求得a,b的等量關(guān)系式，先求得ba【變式14-1】2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,OA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得四邊形AF【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由題意可得：AO=BO,因?yàn)镕1F2=2|AO|，即AO=設(shè)AF1=m,因?yàn)閙?n2=m2+故選：A.

【變式14-1】3.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線E的右支交于B，C兩點(diǎn)，且CF=3A．3 B．233 C．103【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形AF1BF為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及Rt△CBF1的勾股定理可得【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，連接AF，AF1

又因?yàn)锳F?BF=0所以四邊形AF設(shè)|BF|=t，則|CF|=3t，由雙曲線的定義可得：|BF1|=2a+t又因?yàn)椤鰿BF所以|BC|2+|BF1所以|BF1|=3a又因?yàn)椤鰾FF1為直角三角形，所以|BF|2+|B所以c2a2故選：D.【變式14-1】4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，已知F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2b

A．105 B．52 C．153【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得t=a，進(jìn)而可得∠F【詳解】延長(zhǎng)QF2與雙曲線交于點(diǎn)因?yàn)镕1P∥F設(shè)F2P'可得F2P?所以P'Q=4t=4a，則Q即P'Q2在△P'F即a2+3a故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e=c2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．【變式14-1】5.（2023秋·河南鄭州·高二鄭州四中?？计谥校┕畔ＥD數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，即任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于等于兩組對(duì)邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)圓上時(shí)等號(hào)成立.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，【答案】3+1/【分析】由題意可得四邊形AF1BF2【詳解】由雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)則OA=OB，OF

又AB?F1設(shè)|AF1|=m在Rt△AF1則m?n=2a，n=m?tan∴n=c，m=3c，∴3c=c+2a，解得c∴雙曲線的離心率為3+1故答案為：3+1【變式14-1】6.（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線l過(guò)雙曲線C:x2?y2【答案】17【分析】設(shè)F'c,0，延長(zhǎng)DF'，連接AF',EF，，由OA=OF=OD=OF'=c，得到∠AFD=90°，在直角△BDF中，設(shè)BF=m【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，由題意可知點(diǎn)D也在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F'c,0，連接DF'并延長(zhǎng)，交雙曲線C于點(diǎn)E，連接由OA=OF=OD=在直角△BDF中，設(shè)BF=m，則由tan∠BDF=1由對(duì)稱性可得EF'=由雙曲線的定義可得2=DF?D在直角△DEF中，由DE=m+4c2?4可得(2+m)2=(2m)由①式和②式可得m=43，將m=4化簡(jiǎn)可得c2=17故答案為：173

題型15角平分線相關(guān)【方法總結(jié)】1.角平分線“拆”面積：S△ABC2.角平分線定理性質(zhì)：ABBD【例題15】（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為【答案】2【分析】由F2PF【詳解】依題意，由F2得F2PF如圖，設(shè)∠PF2Q則∠PF2D=∠QF2所以△PDF2≌△QDF2由題得F1?c,0，F(xiàn)2c,0，設(shè)DF在Rt△DF1F2中，∠F1由雙曲線的性質(zhì)可得QF1?則PD=QD=2a，所以在Rt又t=DF1?PD即c2+2a2=故答案為：2【變式15-1】1.（2023秋·河北·高三校聯(lián)考期末）雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)A且垂直于x軸的直線交C【答案】2【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理與角平分線的性質(zhì)定理，建立方程，化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】設(shè)F?c,0

根據(jù)題意易知PA=b，且PA⊥FA，又FA所以由勾股定理可得：PF=又PO恰為△PFA的角平分線，所以根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得：PFPA∴c+a2+∴c+a∴2e2∴2e?1=e又e>1，所以解得：e=2.故答案為：2.【變式15-1】2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2bA．113 B．C．333 D．【答案】C【分析】由題意，結(jié)合雙曲線的定義以及角平分線定理可得，AF2=3a，AF1=a，BF1=4a，AB【詳解】

4F2A=設(shè)AF2=k，則BM因?yàn)锽F2平分∠F1BM又AF即有AF2=3a，AF1=a，在△AF1Fcos∠F1由cos∠BA可得e=33故選：C.【變式15-1】3.（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A．2 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】延長(zhǎng)F2M交PF【詳解】設(shè)半焦距為c，延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)

由于PM是∠F1P所以△NPF2是等腰三角形，所以PN=PF根據(jù)雙曲線的定義可知PF1?由于O是F1F2的中點(diǎn)，所以MO所以MO=又雙曲線的離心率為62，故ca=所以b=c故選：C.【變式15-1】4.（2023·河南鄭州·三模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1A．263 B．233 C．【答案】A【分析】因?yàn)镃B=5F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，設(shè)F1F2=2c，則【詳解】因?yàn)镃B=5F2A，則CB//設(shè)F1F2=2c，則F2C=8c因?yàn)锽F2平分∠F所以BC=4BF由雙曲線定義知AF2?AF又由BF1?在△ABF2中，由余弦定理知在△F1B即14=25把①代入上式得c2=24故選：A．題型16向量相關(guān)【例題16】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0），直線l的斜率為?12，且過(guò)點(diǎn)M(a,b)，直線l與A．5 B．2C．3 D．5【答案】D【分析】首先寫出直線l點(diǎn)斜式方程并求出點(diǎn)C(a+2b,0)，由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以求出Da+【詳解】由題意知直線l的方程為y?b=?12(x?a)，令y=0，得x=a+2b又因?yàn)镸D=13DC，不妨設(shè)解得x1=a+b2,化簡(jiǎn)得4ba2+16?b所以E的離心率e=故選：D.【變式16-1】1.（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P,Q分別在C

A．3 B．3C．2 D．2【答案】D【分析】由OF=QP可構(gòu)造方程，利用a,b,c表示出P,Q坐標(biāo)，由QF⊥OP可構(gòu)造齊次方程求得【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為y=±b∵OF=QP，∴OF設(shè)Pt,batt>0，則Q∴Pc2,bc2a，Q?c∵QF⊥OP，∴∴雙曲線的離心率e=1+故選：D.【變式16-1】2.（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知F是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A為C的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，A．2+1 B．5+12 C．17【答案】A【分析】不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)，A為C的虛軸的端點(diǎn)且在y軸的正半徑軸上，則F(c,0),A(0,b)，再由2OB=OA可得B0,12b【詳解】不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)，A為C的虛軸的端點(diǎn)且在y軸的正半徑軸上，則F(c,0),A(0,b)，則OA=(0,b)因?yàn)?OB=OA，所以O(shè)B所以直線FB的斜率為12因?yàn)殡p曲線C:x2a因?yàn)橹本€FB垂直于C的一條漸近線，所以?b所以b2=2ac，所以所以e2?2e?1=0，解得因?yàn)閑>1，所以e=1+2故選：A【變式16-1】3.（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1A．6+32 B．6+3 【答案】B【分析】先求得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)F1M⊥【詳解】由于F1F2則?c32由于F1M⊥整理得c4兩邊除以a4得e由于e>1，e2故選：B

題型17雙曲線與圓相關(guān)【例題17】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)FA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】作出圖形，分析可知，四邊形OAFB為正方形，可得出∠AOF=π4，求出【詳解】如下圖所示：連接AF、BF，設(shè)AB∩OF=M，由對(duì)稱性可知，M為AB的中點(diǎn)，AB⊥OF，因?yàn)锳B=OF，則線段AB是以O(shè)F為直徑的圓的一條直徑，則故M為OF的中點(diǎn)，又因?yàn)锳B⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，所以，四邊形OAFB為正方形，則∠AOF=π4，所以，所以，該雙曲線的離心率為e=c故選：A.【變式17-1】1.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1b>a>0的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，一條漸近線與圓A:x?a2A．3 B．2C．1+2 D．【答案】C【分析】連接AM，聯(lián)立方程組求得M(a,b)，結(jié)合ON//AM，得到ONAM=OFAF，化簡(jiǎn)得到【詳解】如圖所示，連接AM，由雙曲線C:x2a根據(jù)題意，點(diǎn)M在第一象限，將y=bax可得(a可得△=由求根公式，可得x=2因?yàn)閤>0，且b>a>0，所以x=a，所以點(diǎn)M(a,b)由∠FNA=90°，可得ON2=OF因?yàn)镺N//AM，所以O(shè)NAM=OFAF，即兩邊同除以a2，得e2?2e?1=0，解得e=1+故選：C.

【變式17-1】2.（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，以坐標(biāo)原點(diǎn)A．3 B．2 C．5 D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意求得sin∠AOF的值，表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，整理可得關(guān)于a,c【詳解】由題意可知cos∠AOF=137

故sin∠AOF=而|OA|=|OF|=c，故A(13將A(137c,得13c249a2即13e4?98e2由于雙曲線離心率e>1，故舍去e2故e=7故選：D【變式17-1】3.（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線E:x2a2?A．3 B．5 C．132 D．【答案】C【分析】取線段AT中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.【詳解】令雙曲線E的右焦點(diǎn)為F'，半焦距為c，取線段AT中點(diǎn)M，連接OT,A

因?yàn)镕A切圓x2+y2=a2因?yàn)镕A=3FT，則有|AM|=|MT|=|FT|=b，而O為FF'的中點(diǎn)，于是F'M//OT，即在Rt△AF'M中，所以雙曲線E的離心率e=c故選：C【變式17-1】4.（2023春·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）已知雙曲線C:x2a2?y2A．3 B．52 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合切線的性質(zhì)及直角三角形邊角關(guān)系，列式計(jì)算作答.【詳解】顯然圓x?c2+y2=c?a2