2024-2025學年高一數學同步試題（人教A版2019）3.4 函數的應用（一）（五大題型）

3.4函數的應用（一）目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：一次函數模型 2題型二：二次函數模型 4題型三：分段函數模型 7題型四：冪函數模型 10題型五：耐克函數模型 13【重難點集訓】 16【高考真題、模擬題】 28【題型歸納】題型一：一次函數模型1．（2024·全國·高一課堂例題）某地為了鼓勵節(jié)約用電，采用分段計費的方法計算用戶的電費：每月用電量不超過100kW·h，按0.57元/（kW·h）計費；每月用電量超過100kW·h，其中100kW·h仍按原標準收費，超過部分按1.5元/（kW·h）計費．(1)設月用電，應交電費元，寫出關于的函數解析式；(2)小趙家第一季度繳納的電費情況如下表：月份123合計計費金額/元1147545.6234.6問：小趙家第一季度共用電多少？【解析】（1）當時，月電費=月用電量×標準電價，可得；當時，月電費=100kW·h的電費+超過100kW·h部分的電費，可得．所以（2）由（1）可知，當電費不超過57元時，說明月用電量不超過100kW·h；當電費超過57元時，說明月用電量超過100kW·h．因此用電量應使用函數的不同關系式來計算．因為1月份、2月份電費超過57元，所以按第二個函數關系式計算，即，，分別算出1月份用電138kW·h，2月份用電112kW·h；而3月份電費不超過57元，按第一個函數關系式計算，有，算出3月份用電80kW·h．因此，小趙家第一季度共用電330kW·h．2．（2024·高一·云南曲靖·期末）某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產品的年收益與投資額成正比，其關系如圖1；投資股票等風險型產品的年收益與投資額的算術平方根成正比，其關系如圖2．(1)分別寫出兩種產品的年收益和的函數關系式；(2)該家庭現有10萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【解析】（1）由題意可設，，由圖知，函數和的圖象分別過點和，代入解析式可得，，所以，.（2）設用于投資穩(wěn)健型產品的資金為萬元，用于投資風險型產品的資金為萬元，年收益為萬元，則，，有，則當，即萬元時，的最大值為，所以當投資穩(wěn)健型產品的資金為6萬元，風險型產品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為萬元．3．（2024·高一·湖北咸寧·自主招生）某企業(yè)為了增收節(jié)支，設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，得到如下數據：銷售單價（元/件）…30405060…明天銷售量（件）…500400300200…(1)把上表中的各組對應值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應的點，根據所描出的點猜想是的什么函數，并求出函數關系式；(2)當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）(3)為了支持希望工程，在實際的銷售過程中該公司決定每銷售一件工藝品就捐元給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現，當銷售單元價不超過51元/件時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價的增大而增大，求的取值范圍．【解析】（1）如下圖，由圖猜想與是一次函數，設這個函數為，又這個函數圖象過兩點，，所以，解得，所以函數關系式為.（2）由（1）知總銷售額為，設利潤為，所以總利潤為，當時，有最大值元.（3）由題意可得設扣除捐贈后的利潤為，因為，所以拋物線開口向下，在對稱軸的左側隨的增大而增大。所以時，有最大值，又因為當銷售單元價不超過51元/件時，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨銷售單價的增大而增大，所以，解得，又因為，所以的取值范圍為.題型二：二次函數模型4．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某網店銷售一批新款削筆器，進價為10元/個.經統(tǒng)計，該削筆器的日銷售量（單位：個）與售價（單位：元）滿足如圖所示的函數關系.(1)為了使這批削筆器的日利潤最大，應怎樣定制這批削筆器的銷售價格？(2)為了使這批削筆器的日利潤不低于售價為15元時的日利潤，求售價的取值范圍.【解析】（1）根據圖象可設，將和代入解得，故，設日利潤為元，則，所以當時，日利潤最大.為了使這批削筆器的日利潤最大，這批削筆器的銷售價格應定為20元.（2）由（1）可知，當時，，要使這批削筆器的日利潤不低于售價為15元時的日利潤，則，即，對于方程，方程的兩個實數根為，為了使這批削筆器的日利潤不低于售價為15元時的日利潤，則售價的取值范圍是.5．（2024·高一·河北石家莊·開學考試）某商店購進一批成本為每件30元的商品，經調查發(fā)現，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．

(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數關系式；(2)若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應為多少件？【解析】（1）設，由圖可知，函數圖象過點，所以，解得，所以，由解得.所以每天的銷售量與銷售單價之間的函數關系式是.（2）若，則利潤，其開口向下，對稱軸為，所以當時，利潤取得最大值為，所以當單價為元時，取得最大利潤為元.（3）由（2）得利潤，由整理得，即，解得，銷售量是減函數，所以當時，銷售量最小，且最小值為件.6．（2024·高一·貴州·階段練習）某工廠生產某種產品，其生產的總成本（萬元）年產量（噸）之間的函數關系可近似的表示為已知此工廠的年產量最小為噸，最大為噸．(1)年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產品的平均出廠價為萬元，且產品全部售出，則年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【解析】（1）由題意可得，，因為，當且僅當時，即時等號成立，符合題意.所以當年產量為噸時，平均成本最低為萬元．（2）設利潤為，則，又，當時，．所以當年產量為噸時，最大利潤為萬元．7．（2024·高一·全國·單元測試）某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價降低x成（1成），售出商品的數量就增加成，要求售價不能低于成本價．(1)設該商品一天的營業(yè)額為y，試求出y與x之間的函數關系式；(2)若要求該商品一天的營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍．【解析】（1）依題意售價降低x成則商品售價為元/件，售出商品數量為件，所以該商品一天的營業(yè)額為，又售價不能低于成本價，所以，解得，所以.（2）由（1）商品一天的營業(yè)額為，令，化簡得，解得，又，所以x的取值范圍為．題型三：分段函數模型8．（2024·高一·上?！ふn堂例題）郵局規(guī)定：當郵件質量不超過100g時，每20g郵費0.8元，且不足20g時按20g計算；超過100g時，超過100g的部分按每100g郵費2元計算，且不足100g按100g計算；同時規(guī)定郵件總質量不得超過2000g.請寫出郵費關于郵件質量的函數表達式，并計算50g和500g的郵件分別收多少郵費.【解析】設郵件重量為g，郵費為元，則，當時，，（其中表示取大于或等于的最小整數）；當時，；所以，則當時，（元），當時，（元），則50g和500g的郵件分別收取2.4元和12元.9．（2024·高一·上海·課堂例題）為分流短途乘客，減緩軌道交通高峰壓力，某地地鐵實行新的計費標準，其分段計費規(guī)則如下：0至6km（含6km）票價3元；6至16km（含16km）票價4元；16km以上每6km（不足6km時按6km計）票價遞增1元，但總票價不超過8元．(1)試作出票價y（單位：元）關于路程x（單位：km）的函數的大致圖象；(2)某人買了5元的車票，他乘車的路程不能超過多少？【解析】（1）由題知，作出圖象，如圖所示，（2）由（1）得該乘客乘車的路程不能超過.10．（2024·高一·上?！ふn堂例題）某地區(qū)住宅電話費收取標準為：接通后分鐘內（含分鐘）收費元，以后每分鐘（不足分鐘按分鐘計）收費元．如果一次通話時間為（單位：min），寫出通話費（單位：元）關于通話時間的函數關系．【解析】當時，話費為元；當時，話費為元，其中表示不小于的最小整數，所以通話費（單位：元）關于通話時間的函數關系為，其中表示不小于的最小整數.11．（2024·高一·全國·單元測試）某市醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產某產品．已知生產該產品的年固定成本為400萬元，最大產能為100臺．每生產x臺，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，該產品每臺的售價為200萬元，且全年內生產的該產品當年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關于年產量x臺的函數解析式（利潤＝銷售收入－成本）；(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解析】（1）由題意可得當，時，；當，時，；所以（）．（2）當時，，，當時，取最大值，（萬元）；當時，，，當且僅當，即時等號成立，因為，故當該產品的年產量為35臺時所獲利潤最大，最大利潤為2050萬元12．（2024·高三·江蘇南通·階段練習）某企業(yè)投資生產一批新型機器，其中年固定成本為1000萬元，每生產x臺，需另投入生產成本萬元.當年產量不足25臺時，；當年產量不小于25臺時，且當年產量為10臺時需另投入成本1100萬元；若每臺設備售價200萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產的這批機器能全部銷售完.(1)求k的值；(2)求該企業(yè)投資生產這批新型機器的年利潤所（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式（利潤＝銷售額－成本）；(3)這批新型機器年產量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【解析】（1）當，代入，得；（2）由題意可得：當時，，當時，所以年利潤（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式為：；（3）由（1）得時，，此時（臺）時，（萬元）當時，，當且僅當，即時等號成立，（萬元）而，故（臺）時，利潤最大，最大利潤是200萬元，綜上所述：年產量為20臺時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是200萬元.題型四：冪函數模型13．（2024·高一·廣東珠海·期末）果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬元）與果樹數量（百棵）之間的關系如下表所示.149161(1)根據以上表格中的數據判斷：與哪一個更適合作為與的函數模型；(2)已知該果園的年利潤（萬元）與的關系為，則果樹數量為多少時年利潤最大？【解析】（1）①若選擇作為與的函數模型，將的坐標分別帶入，得解得此時，當時，，當時，，與表格中的和相差較大，所以不適合作為與的函數模型.②若選擇作為與的函數模型，將的坐標分別帶入，得解得此時，當時，，當時，，剛好與表格中的和相符合，所以更適合作為與的函數模型.（2）由題可知，該果園最多120000棵該呂種果樹，所以確定的取值范圍為，令，則經計算，當時，取最大值（萬元），即，時（每畝約38棵），利潤最大.14．（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）某企業(yè)生產，兩種產品，根據市場調查和預測，產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關系如圖（1）所示；產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產品的利潤表示為投資額的函數；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？【解析】（1）設投資額為萬元，產品的利潤為萬元，產品的利潤為萬元，由題設，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）設產品投入萬元，則產品投入萬元，設企業(yè)的利潤為萬元，，，令，則，，所以當時，，此時，所以當產品投入3.75萬元，產品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，約為4萬元．15．（2024·高一·云南昭通·期末）美國對中國芯片的技術封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經耗費資金2千萬元，現在準備投入資金進行生產.經市場調查與預測，生產芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數關系為，其圖像如圖所示.（1）試分別求出生產，兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數關系式；（2）如果公司只生產一種芯片，生產哪種芯片毛收入更大?（3）現在公司準備投入4億元資金同時生產，兩種芯片.設投入千萬元生產芯片，用表示公司所獲利潤，當為多少時，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤芯片毛收入芯片毛收入-發(fā)耗費資金)【解析】（1）設投入資金(千萬元)，則生產芯片的毛收入.將，代入，得，∴，生產芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得.∴當投入資金大于16千萬元時，生產芯片的毛收入大；當投入資金等于16千萬元時，生產、芯片的毛收入相等；當投入資金小于16千萬元時，生產芯片的毛收入大（3）公司投入4億元資金同時生產、兩種芯片，設投入千萬元生產芯片，投入千萬元資金生產芯片，∴公司所獲利潤，故當，即千萬元時，公司所獲利潤最大，最大利潤9千萬元.題型五：耐克函數模型16．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知某氣墊船的最大船速是海里/時，船每小時使用的燃料費用和船速的平方成正比．當船速為海里/時時，船每小時的燃料費用為元，而其余費用（不論船速為多少）都是每小時元．船從甲地行駛到乙地，甲乙兩地相距海里．(1)試把船每小時使用的燃料費用（單位：元）表示成船速（單位：海里/時）的函數；(2)試把船從甲地到乙地所需的總費用（單位：元）表示成船速（單位：海里/時）的函數；(3)當船速為多少時，船從甲地到乙地所需的總費用最少？【解析】（1）由題設燃料費用（單位：元）表示成船速（單位：海里/時）的函數為，又當船速為海里/時時，船每小時的燃料費用為元，所以，解得，所以.（2）設船從甲地到乙地所需的時間為小時，所以，又，得到.（3）由（2）知，，當且僅當，即時取等號，所以當船速為海里/時時，船從甲地到乙地所需的總費用最少，最少為元.17．（2024·高一·上?！ふn堂例題）建造一個容積為、深為的長方體的游泳池（無蓋），池壁造價為元，池底造價為元，把總造價（元）表示成池底的一邊長的函數.【解析】由題意，設池底的一邊長為，因為游泳池的容積為、深為的長方體，可得其鄰邊長為，可得游泳池的底面面積為，側面積為，又因為池壁造價為元，池底造價為元，所以總造價關于邊長的函數關系式為.18．（2024·高二·全國·期中）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位；）滿足關系：，設為隔熱層建造費用與32年的能源消耗費用之和．(1)求的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．【解析】（1）每年能源消耗費用為，建造費用為，∴.（2）因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最小值，∴當隔熱層修建6cm厚時，總費用最小，最小值為112萬元.19．（2024·高一·遼寧·階段練習）某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產值（單位：萬元）的增加而增加，且要求獎金不低于7萬元，不超過年產值的.(1)若該地方政府采用函數作為獎勵模型，當本地某新增小微企業(yè)年產值為92萬元時，該企業(yè)可獲得多少獎金？(2)若該地方政府采用函數作為獎勵模型，試確定滿足題目所述原則的最小正整數.【解析】（1）當時，，因為，所以，符合要求，故該企業(yè)可獲得10.5萬元獎金.（2），因為為正整數，所以在上單調遞增，由題意知對時恒成立，故，解得.又，即在時恒成立，即所以正整數.綜上，故最小正整數的值為158.20．（2024·高一·江蘇無錫·階段練習）某廠家擬在2023年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（其中為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2023年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．(1)求常數的值，并將2023年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；(2)該廠家的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤為多少萬元？【解析】（1）依題意，當時，，則，解得，即，又每件產品的銷售價格為元，因此，所以，.（2）由（1）知，，由，得，當且僅當，即時取等號，因此當時，，所以該廠家2023年的促銷費用投入為3萬元時獲得利潤最大，且最大值為21萬元.21．（2024·高一·安徽馬鞍山·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農產業(yè)，提升特色農產品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設計一個寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.(1)求關于的函數解析式，并求出的取值范圍；(2)如何設計展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.【解析】（1）由寬為米、長為米的長方形展牌,得,整理得，由，得，即，解得，所以關于的函數解析式是，.（2）展牌的周長，當且僅當，即時取等號，此時，所以設計展牌的長為9米和寬為3米，才能使展牌的周長最小，最小值為24米.【重難點集訓】1．（2024·高一·廣東深圳·期末）生物學家認為，睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位：心跳次數）與體重（單位：）的次方成反比.若、為兩個睡眠中的恒溫動物，的體重為、脈搏率為210次，的脈搏率是70次，則的體重為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據題意設，當，,則，當，則，所以故選：D2．（2024·高一·廣東佛山·階段練習）已知函數，，設函數，則下列說法錯誤的是（

）A．是偶函數 B．函數有兩個零點C．在區(qū)間上單調遞減 D．有最大值，沒有最小值【答案】B【解析】在同一直角坐標系中，畫出函數，的圖象，從而得函數圖象，如圖實線部分：對于A，因為函數圖象關于y軸對稱，所以是偶函數，正確；對于B，根據零點的定義結合函數的圖象知，函數有三個零點，分別為，錯誤；對于C，從函數圖象觀察得在區(qū)間上單調遞減，正確；對于D，從函數圖象觀察得有最大值，沒有最小值，正確；故選：B3．（2024·高一·江蘇南京·期中）學校宿舍與辦公室相距.某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數，則速度函數和路程函數的示意圖分別是下面四個圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】設行進的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數及路程函數的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A4．（2024·高一·湖南邵陽·期末）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，當點P沿運動時，點P經過的路程x與的面積y的函數的圖象的形狀大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】點P在AB上時,；點P在BC上時，；點P在CD上時，；所以畫出分段函數的大致圖象，如圖所示．故選：A．5．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設這批臺燈的銷售單價為x元，由題意得，，即，解得，又因為，所以，這批臺燈的銷售單價的取值范圍是.故選：C6．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）數學建模，就是根據實際問題建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題．小明和他的數學建模小隊現有這樣一個問題：提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個關系，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明，當[20,200]時，車流速度v是車流密度x的一次函數．問：當車流密度多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【解析】當時，設，則，解得于是設車流量為q，則當時，,此時，函數在區(qū)間上是增函數，恒有；當時，，此時函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間是減函數，因此恒有，等號成立當且僅當；綜上所述，當時，函數取得最大值，即車流量最大，最大值約為3333輛．故選：B．7．（2024·高一·浙江·期中）某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過400元部分超過400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【解析】當顧客的購物總金額超過400元不超過800元時，享受折扣優(yōu)惠的金額做多為元，故該顧客購物總金額一定超過了800元，設為x元，則，解得（元），則此顧客實際所付金額為元，故選：C.8．（2024·安徽淮南·一模）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現碳達峰，爭取在2060年前實現碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數關系可近似表示為，當處理量x等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（

）A．120 B．200 C．240 D．400【答案】D【解析】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為，當時，，當時，取得最小值240，當時，，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值200，綜上，當每月得理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D9．（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在一條筆直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地．在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車各自與C地的距離y（km）與甲車行駛時間t（h）之間的函數關系如圖所示．下列結論正確的是（

）

A．甲車出發(fā)2h時，兩車相遇B．乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170kmC．乙車出發(fā)2h時，兩車相遇D．甲車到達C地時，兩車相距40km【答案】BCD【解析】觀察函數圖象可知，當t＝2時，兩函數圖象相交，∵C地位于A、B兩地之間，∴交點代表了兩車離C地的距離相等，并不是兩車相遇，結論A錯誤；甲車的速度為240÷4＝60（km/h），乙車的速度為200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙車出發(fā)1.5h時，兩車相距170km，結論B正確；∵，∴乙車出發(fā)時，兩車相遇，結論C正確；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲車到達C地時，兩車相距40km，結論D正確；故選：BCD10．（多選題）（2024·高一·福建福州·期末）邊際函數是經濟學中一個基本概念，在國防、醫(yī)學、環(huán)保和經濟管理等許多領域都有十分廣泛的應用，函數的邊際函數定義為．某公司每月最多生產75臺報警系統(tǒng)裝置，生產臺的收入函數（單位：元），其成本的數（單位：元），利潤是收入與成本之差，設利潤函數為，則以下說法正確的是（

）A．取得最大值時每月產量為臺B．邊際利潤函數的表達式為C．利潤函數與邊際利潤函數不具有相同的最大值D．邊際利潤函數說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少【答案】BCD【解析】對于A選項，，二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，所以，取得最大值時每月產量為臺或臺，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，因為函數為減函數，則，C對；對于D選項，因為函數為減函數，說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少，D對.故選：BCD.11．（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某工廠八年來產品累積產量C(即前t年年產量之和)與時間t(年)的函數如圖，下列四種說法中正確的是（

）A．前三年中，產量增長的速度越來越快 B．前三年中，產量增長的速度越來越慢C．第三年后，這種產品停止生產 D．第三年后，年產量保持不變【答案】BC【解析】利用函數的圖象，結合問題的實際意義，即可求解.由函數圖象可知,在區(qū)間[0，3]上，圖象凸起上升的，表明年產量增長速度越來越慢；在區(qū)間(3，8]上，如果圖象是水平直線，表明總產量保持不變，即年產量為0.B、C正確故選：BC12．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）一天，小明從家出發(fā)勻速步行去學校上學．幾分鐘后，在家休假的爸爸發(fā)現小明忘帶數學書，于是爸爸立即勻速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到書后以原速的快步趕往學校，并在從家出發(fā)后23分鐘到校（小明被爸爸追上時交流時間忽略不計）．兩人之間相距的路程y（米）與小明從家出發(fā)到學校的步行時間x（分鐘）之間的函數關系如圖所示，則小明家到學校的路程為米．

【答案】2080【解析】設小明原速度為x（米/分鐘），則拿到書后的速度為1.25x（米/分鐘），則家校距離為，設爸爸行進速度為y（米/分鐘），由題意及圖形得：，解得：∴小明家到學校的路程為：（米）.故答案為：2080．13．（2024·高一·江蘇連云港·階段練習）某小型服裝廠生產一種風衣，日銷貨量x件（單位：件）（x∈N*）與貨價p（單位：元/件）之間的關系為p＝160－2x，生產x件所需成本C＝100＋30x（單位：元），當工廠日獲利不少于1000元時，該廠日產量最少生產風衣的件數是【答案】10【解析】由題意，設該廠月獲利為元，則：，當工廠日獲利不少于1000元時，即，即，解得：.故該廠日產量最少生產風衣的件數是10.故答案為：1014．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業(yè)一個月生產某種商品萬件時的生產成本為(萬元)．一萬件售價為萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產該商品數量為萬件．【答案】【解析】根據題意，可得利潤=售價-成本，將利潤表示出來，得到關于的二次函數，再根據二次函數性質求解最大值即可.設利潤為，則，當時，有最大值，故答案為：18.15．（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習）某保健廠研制了一種足浴氣血生機的足療盆，具體原理是：在足浴盆右側離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產生的臭氧對雙腳起保健作用.根據檢測發(fā)現，該臭氧發(fā)生孔工作時會對泡腳的舒適程度起到干擾作用，已知臭氧發(fā)生孔工作時，對左腳的干擾度與成反比，比例系數為2；對右腳的干擾度與成反比，比例系數為k，且當時，對左腳和右腳的干擾度之和為0.06.(1)求臭氧發(fā)生孔工作時對左腳和右腳的干擾度之和y關于x的表達式；(2)求臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小值，并求此時x的值.【解析】（1）由題意，，因為時，，所以，所以，.（2）因為，所以，所以，當且僅當，即時取“”，所以當時，臭氧發(fā)生孔對左腳和右腳的干擾度之和的最小，為.16．（2024·高一·湖北·階段練習）學習機是一種電子教學類產品，也統(tǒng)指對學習有輔助作用的所有電子教育器材．學習機較其他移動終端更注重學習資源和教學策略的應用，課堂同步輔導?全科輔學功能?多國語言學習?標準專業(yè)詞典以及內存自由擴充等功能成為學習機的主流競爭手段，越來越多的學習機產品全面兼容網絡學習?情境學習?隨身學習機外教?單詞聯(lián)想記憶?同步教材講解?互動全真題庫?權威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內存和SD/MMC卡內存自由擴充功能根據市場調查．某學習機公司生產學習機的年固定成本為20萬元，每生產1萬部還需另投入16萬元．設該公司一年內共生產該款學習機萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當該公司一年內共生產該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元；當該公司一年內共生產該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元．(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬部）的函數解析式；(2)當年產量為多少萬部時，公司在該款學習機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．【解析】（1）因為當生產該款學習機8萬部并全部銷售完時，年利潤為1196萬元，所以，解得，當該公司一年內共生產該款學習機20萬部并全部銷售完時，年利潤為2960萬元，所以，解得，當時，，當時，，綜上．（2）①當時，單調遞增，所以；②當時，，由于，當且僅當，即時取等號，所以此時的最大值為，綜合①②知，當時，取得最大值為3680萬元．17．（2024·高一·遼寧·開學考試）如圖，在矩形中，，.動點P，Q從A同時出發(fā)，且速度均為，點P，Q分別沿折線，向終點C運動．設點P的運動時間為，的面積為.(1)當點P與點B重合時，x的值為______.(2)求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍.(3)當PQ長度不變時，直接寫出x的取值范圍及PQ的長度.【解析】（1）當點P與點B重合時，，且點P速度為，所以點P的運動時間.（