計(jì)算機(jī)仿真教案04-2-第四章-離散相似法的連續(xù)系統(tǒng)仿真知識課件

4.2連續(xù)系統(tǒng)的離散化模型離散狀態(tài)方程模型

脈沖傳遞函數(shù)模型

在數(shù)值積分法的計(jì)算中，只計(jì)算了采樣點(diǎn)的值，相當(dāng)于是對系統(tǒng)模型進(jìn)行了離散化處理，所以從本質(zhì)說，數(shù)值積分法也是離散化方法，只不過它是從數(shù)值積分的角度出發(fā)，沒有明確提出“離散”這個概念，而本章則是從連續(xù)系統(tǒng)離散化的角度來探討數(shù)字仿真的方法。

數(shù)值積分法:離線,非實(shí)時(shí)比較成熟，精度也比較高.計(jì)算公式比較復(fù)雜，因而計(jì)算量比較大離散化模型:速度很快因?yàn)?，?biāo)量，拉氏反變換同理令F(t)=eAt,稱F(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)暇矸e定理：若￡[f1(t)]=F1(s),￡[f2(t)]=F2(s)則有，￡對(3-2-2)式進(jìn)行拉氏反變換，并利用卷積定理得這就是連續(xù)方程的解.(3-2-3)現(xiàn)推導(dǎo)離散化后的解.對kT及(k+1)T兩個依次采樣時(shí)刻，有(3-2-4)(3-2-5)式(3-2-5)-eAT×式(3-2-4),得現(xiàn)作變量置換，τ=kT+t,dτ=dt所以，(3-2-6)變成(3-2-６)(3-2-７)離散狀態(tài)方程加零階保持器的離散化狀態(tài)方程如果采用零階保持器，那么，u(kT+t)=u(kT)這樣(3-2-7)可寫成kT記作第n點(diǎn)，(k+1)T記作第n+1點(diǎn)x(n+1)=Φ(T)x(n)+Φm(T)u(n)加零階保持器的離散化狀態(tài)方程(3-2-8)加一階保持器的離散化狀態(tài)方程如果采用一階保持器，那么，代入(3-2-7)，所以，x(n+1)=

Φ(T)x(n)+Φm(T)u(n)+Φp(T)u’(n)(3-2-9)離散化狀態(tài)方程-系數(shù)計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的數(shù)值解方法１：矩陣指數(shù)函數(shù)展成冪級數(shù)之和根據(jù)精度要求只?。↙+1）項(xiàng)，則方法２：矩陣指數(shù)函數(shù)展成兩項(xiàng)之差exp(AT)=[I+exp(AT)]/[I+exp(-AT)]若取4項(xiàng)（L=3）,得利用矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，可方便計(jì)算出其余的兩個系數(shù)，例如：令=T-t，則有，對于令=T-t，則有，(二)脈沖傳遞函數(shù)模型離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)差分方程微分方程Z變換拉氏變換脈沖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的定義在連續(xù)系統(tǒng)中、應(yīng)用拉氏變換可將描述系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)。同樣，在采樣系統(tǒng)中，利用Z變換可將描述采樣系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)化為類似于傳遞函數(shù)的另一種數(shù)學(xué)模型一脈沖傳遞函數(shù)，或稱Z傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)的定義如下：在零初始條件下，線性定常采樣系統(tǒng)的輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比稱為采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。脈沖傳遞函數(shù)又可表示為：G(Z)=Z[Gh(s)Ga(s)]保持器傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)選擇不同的保持器，將得不同的G(Z),例如選零階保持器，則由(3-2-10)得，(3-2-10)通過脈沖傳遞函數(shù)導(dǎo)出系統(tǒng)差分方程脈沖傳遞函數(shù)在大多情況下是z的有理分式，即可表示為已知，由前面計(jì)算得上式改寫為，Y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2+....+bmz-m)U(z)-(a1z-1+a2z-2+....+apz-p)Y(z)(3-2-11)對(3-2-11)進(jìn)行z-返變換并由延遲定理，y(kT)=b0u(kT)+b1u[(k-1)T]+b2u[(k-2)T]+....+bmu[(k-m)T]-a1y[(k-1)T]-a2y[(k-2)T]-....-apy[(k-p)T]令kT對應(yīng)n點(diǎn)，有，y(n)=b0u(n)+b1u(n-1)+b2u(n-2)+...+bmu(n-m)-a1y(n-1)-a2y(n-2)-....-any(n-p)4.3Z變換Z變換的定義Z變換的方法Z變換的性質(zhì)Z反變換Z變換的定義對其進(jìn)行拉氏變換：此式稱為采樣函數(shù)的Z變換。Z變換的方法級數(shù)求和法部分分式法級數(shù)求和法例4-3-1求1*（t）的Z變換。例4-3-2求的F(Z)。部分分式法例4-3-3求解的Z變換。例4-3-4求Z變換的性質(zhì)線性性質(zhì)延遲定理超前定理復(fù)位移定理初值定理終值定理卷積和定理線性性質(zhì)延遲定理設(shè)t<0，f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，則延遲定理為

超前定理令Z[f(t)]=F(z)，則

復(fù)位移定理設(shè)Z{f(t)}=F(z)，則

初值定理設(shè)Z{f(t)}=F(z)，如果Z→∞時(shí)F（z）的極限存在，則函數(shù)的初值為

終值定理設(shè)Z{f(t)}=F(z)，則函數(shù)的終值為

卷積和定理若，其中，k=0，1，2，…且當(dāng)k=-1，-2，-3，…時(shí)，xc(kT)=g(kT)=xr(kT)=0，則

式中，Z反變換冪級數(shù)展開法部分分式法反演積分法（留數(shù)法）4.4線性常系數(shù)差分方程差分方程的定義差分方程的解法差分方程的定義對于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值

xc(k)不僅與這一時(shí)刻的輸入值xr(k)有關(guān)，而且與過去時(shí)刻的輸入值xr(k-1)，

xr(k-2)…有關(guān)，還與過去的輸出值xc(k-1)，

xc(k-2)…有關(guān)?？梢园堰@種關(guān)系描述如下：xc(k)+a1xc(k-1)+a2xc(k-2)+…=b0xr(k)+b1xr(k-1)+b2xr(k-2)+……或表示為xc(k)=T[xr(k)]

當(dāng)系數(shù)均為常數(shù)時(shí)，上式為線性定常差分方程。差分方程的解法迭代法Z變換法迭代法例4-4-1：已知采樣系統(tǒng)的差分方程是初始條件：

解：令k=1，有

令k=2，有

同理，求出

輸入輸出關(guān)系如下圖所示。Z變換法例4-4-2：求解初始條件：xc(0T)=0,xc(1)=1

解：由超前定理，令

于是

代入原式得

整理后得

4.5脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)由單位脈沖響應(yīng)推出由拉氏變換求出由差分方程求出開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器的情況結(jié)論：中間具有采樣器的環(huán)節(jié)，總的脈沖傳函等于各脈沖環(huán)節(jié)傳函之積，而串聯(lián)環(huán)節(jié)中間沒有采樣器時(shí)，其總的傳函等于各環(huán)節(jié)相乘積后再取Z變換。閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)注意在閉環(huán)的各個通道以及環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)，因?yàn)橛小o采樣開關(guān)所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。例4-5-1例4-5-2例4-5-34.6采樣控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

用Z變換法求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差用Z變換法求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)例4-6-1已知系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：例4-6-2在上例中加入保持器后再求輸出量。解：

由此結(jié)果看出，由于增加了保持器，使得系統(tǒng)輸出量的超調(diào)量增加了。(三)置換法s域和z域的基本關(guān)系是z=esT,或?qū)懗蓅=T-1ln(z);(T是采樣周期，也是計(jì)算步長)①TUSTIN法將ln(z)展開成只取第一項(xiàng)②將ln(z)展開成因此:③將ln(z)展開成因此:例:解:假定G(s)以零點(diǎn)和極點(diǎn)形式表示，有,(四)根匹配法基本思想：G(s)G(z)極點(diǎn)零點(diǎn)(3-2-1)根匹配法的步驟:1)首先要求出該系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，即將系統(tǒng)的傳遞數(shù)數(shù)變?yōu)槿缦碌牧銟O點(diǎn)形式:2)在Z平面上一一對應(yīng)地確定零極點(diǎn)的位置:3)在G