2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2第1課時(shí)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE1-2．2等差數(shù)列第1課時(shí)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式[目標(biāo)]1.會(huì)用等差數(shù)列的定義推斷數(shù)列是等差數(shù)列；2.記住等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算；3.記住等差中項(xiàng)的概念，并能進(jìn)行簡(jiǎn)潔的應(yīng)用．[重點(diǎn)]等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)及應(yīng)用．[難點(diǎn)]等差數(shù)列概念的理解，歸納法推導(dǎo)通項(xiàng)公式．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等差數(shù)列的定義[填一填]一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示．[答一答]1．怎樣推斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列？提示：推斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列，只需判定an＋1－an(n∈N*)是一個(gè)常數(shù)即可．2．下列數(shù)列是等差數(shù)列的是①②.①an＝－3n②an＝－1③an＝n2④an＝3n－1解析：依據(jù)等差數(shù)列的定義來(lái)推斷．對(duì)于①，an＋1－an＝－3(n＋1)－(－3n)＝－3，是常數(shù)，故為等差數(shù)列；對(duì)于②，an＋1－an＝0，是常數(shù)，故為等差數(shù)列；對(duì)于③，an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1,2n＋1是依靠于n的變量，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，另外，我們也可以寫(xiě)出此數(shù)列的前幾項(xiàng)：1,4,9,16，…，視察并依據(jù)定義易知其不是等差數(shù)列；對(duì)于④，an＋1－an＝(3n＋1－1)－(3n－1)＝2×3n,2×3n是依靠于n的變量，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列．我們也可以寫(xiě)出此數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)推斷．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等差中項(xiàng)[填一填]在由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列中，A叫做a與b的等差中項(xiàng)．這三個(gè)數(shù)滿意關(guān)系式2A＝a＋b[答一答]3．能否由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)來(lái)證明{an}是等差數(shù)列？提示：能．由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．反之，若數(shù)列{an}中隨意相鄰三項(xiàng)an－1，an，an＋1(n≥2)滿意an＝eq\f(an－1＋an＋1,2)，則該數(shù)列是等差數(shù)列．學(xué)問(wèn)點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式[填一填]假如等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d遞推公式an＋1－an＝d(或an－an－1＝d(n≥2))[答一答]4．在等差數(shù)列{an}中，公差為d.若m，n∈N*，且m≤n，則am與an的關(guān)系是怎樣的？提示：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，以上兩式左、右兩邊分別相減得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d(m≤n)．5．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn＋q，n∈N*，那么該數(shù)列{an}肯定為等差數(shù)列嗎？為什么？提示：該數(shù)列肯定為等差數(shù)列．因?yàn)閍n＋1－an＝p(n＋1)＋q－(pn＋q)＝p(p為常數(shù))，滿意等差數(shù)列的定義．類(lèi)型一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用[例1](1)在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝－1，公差d＝3，則當(dāng)an＝2018時(shí)，n等于()A．671 B．672C．673 D．674(2)在等差數(shù)列40,37,34，…中，第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是()A．第13項(xiàng) B．第14項(xiàng)C．第15項(xiàng) D．第16項(xiàng)(3)在等差數(shù)列{an}中，若a3＝12，a6＝27，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．[分析](1)與(2)均可先求通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式解決相應(yīng)問(wèn)題；(3)可依據(jù)已知條件建立關(guān)于a1和d的方程組，求得a1和d即可得到通項(xiàng)公式．[解析](1)因?yàn)閍n＝a1＋(n－1)d，所以－1＋3(n－1)＝2018，解得n＝674，故選D.(2)首項(xiàng)a1＝40，公差d＝－3，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n<0，解得n>eq\f(43,3).因?yàn)閚∈N*，所以n≥15，即第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第15項(xiàng)．(3)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝12，,a1＋5d＝27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝5，))故an＝2＋5(n－1)＝5n－3.[答案](1)D(2)C(3)an＝5n－3在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素；有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題，假如條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1，d的關(guān)系列方程組求解，但是，要留意公式的變形及整體計(jì)算，以削減計(jì)算量.[變式訓(xùn)練1](1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n＝(C)A．48 B．49C．50 D．51解析：設(shè)公差為d，則a1＋d＋a1＋4d＝4，又a1＝eq\f(1,3)，∴d＝eq\f(2,3)，∴an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，由an＝33得eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)＝33，∴n＝50.(2)a1＝eq\f(1,25)，公差d>0，且從第10項(xiàng)起先每項(xiàng)都大于1，則此等差數(shù)列公差d的取值范圍是eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).解析：依題意應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a9≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1，))解得eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).類(lèi)型二等差數(shù)列的判定[例2](1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4－2n，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－eq\f(1,4an)，bn＝eq\f(2,2an－1)，其中n∈N*.求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．[分析]依據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明．[證明](1)∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n.∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2.∴{an}是等差數(shù)列．(2)∵bn＋1－bn＝eq\f(2,2an＋1－1)－eq\f(2,2an－1)＝eq\f(2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4an)))－1)－eq\f(2,2an－1)＝eq\f(4an,2an－1)－eq\f(2,2an－1)＝2(n∈N*)，且b1＝eq\f(2,2×1－1)＝2，∴數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．推斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，主要是利用等差數(shù)列的定義，即驗(yàn)證其通項(xiàng)是否滿意an＋1－an＝d(n∈N*)．詳細(xì)步驟為(1)確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)由an表示an＋1，即將an中的n替換為n＋1得an＋1；(3)作差：an＋1－an，并推斷其結(jié)果是否為常數(shù)；(4)總結(jié)：若an＋1－an是常數(shù)(即一個(gè)與n無(wú)關(guān)的數(shù))，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，否則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．

[變式訓(xùn)練2]已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列．證明：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差為d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列．類(lèi)型三等差中項(xiàng)[例3](1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為21，它們的平方和為155，求這三個(gè)數(shù)；(2)已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個(gè)數(shù)．[分析]若干脆設(shè)所求的三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)列方程，未知數(shù)個(gè)數(shù)較多，且方程組難解．可采納對(duì)稱設(shè)法，既削減了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，又降低了計(jì)算量．[解](1)設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－d2＋a2＋a＋d2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－2，))∴這三個(gè)數(shù)分別為5,7,9或9,7,5.(2)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝28，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－3.))∴這四個(gè)數(shù)依次為－2,4,10,16或16,10,4，－2.[名師點(diǎn)評(píng)](1)設(shè)未知數(shù)時(shí)，盡量削減未知數(shù)的個(gè)數(shù)．(2)結(jié)果應(yīng)給出由大到小和由小到大兩種狀況．若三個(gè)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即b為a、c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中常常用到．[變式訓(xùn)練3]已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，積為－21，求這三個(gè)數(shù)．解析：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d.由題意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d·a·a＋d＝－21，))解得a＝3，d＝±4，當(dāng)d＝4時(shí)，三個(gè)數(shù)分別為－1,3,7；當(dāng)d＝－4時(shí)，三個(gè)數(shù)分別為7,3，－1.1．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，公差d＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(A)A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝2n＋1C．a(chǎn)n＝2n＋3 D．a(chǎn)n＝3n＋2解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.2．等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x－1，x＋1,2x＋3，則其通項(xiàng)公式為(B)A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1解析：∵x－1，x＋1,2x＋3是等差數(shù)列的前3項(xiàng)，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.3．等差數(shù)列的第3項(xiàng)是7，第11項(xiàng)是－1，則它的第7項(xiàng)是3.解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，則a7＝3.4．已知：1，x，y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為4,7.解析：由已知，x是1和y的等差中項(xiàng)，即2x＝1＋y①，y是x和10的等差中項(xiàng)，即2y＝x＋10②，由①②可解得x＝4，y＝7.5．在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5－1d＝－1，,a1＋8－1d＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋6－1d＝12，,a1＋4－1d＝7.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴a9＝2×9－1＝17.——本課須駕馭的兩大問(wèn)題1．在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的定義時(shí)，應(yīng)留意如下問(wèn)題學(xué)習(xí)等差數(shù)列定義時(shí)需留意以下三點(diǎn)：(1)留意定義中“從第2項(xiàng)起”這一前提條件．這一條件有兩層意義，其一，第一項(xiàng)前面沒(méi)有項(xiàng)，無(wú)法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合；其二，必需從第2項(xiàng)起保證使數(shù)列中各項(xiàng)均與其前面一項(xiàng)作差．如若不然，從第3項(xiàng)(或第4項(xiàng)，…)起作差，則勢(shì)必遺漏前若干項(xiàng)．(2)留意定義中“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求，它的含