數(shù)學(xué)分析試題及答案

一填空(共15分，每題5分):1設(shè)E={x-[x]|x∈R,則supE=1,infE=0; 3設(shè)在x=0 二計(jì)算下列極限：(共20分，每題5分)1解：由于解：由stolz定理，34三計(jì)算導(dǎo)數(shù)(共15分，每題5分):=210(3x2-2)sin2x-600·29xcos2x-29700×2?8sin2x四(12分)設(shè)a>0,{x,}滿足： 兩邊同時(shí)取極限得處的切線方程。故,從而,所以橢圓在點(diǎn)(x?,yo)處的切線方程為六(10分)利用Cauchy收斂原理證明：單調(diào)有界數(shù)列必收斂。證明：設(shè){xn}單調(diào)有界，不妨設(shè){xn}單調(diào)增加。xm,xn,xm,xn?,…,xm,xn,…xn≥xn+εo≥xn?+Eo+Eo≥…≥xn,+(k-1)E?！?0,Vx,y∈[a,+],If(x)-f(y)≤K|x-y|1在[a,+0]上有界；在[a,+]上一致連續(xù)。證明：1.由條件知，Vx∈[a,+o],If(x)-f(a)≤K|x-a|,2.Vx?,x?∈(a,+o),八(10分)設(shè)a?,a?,…an為實(shí)常數(shù)，證明：f(x)=a?cosx+a?cos2x+在(0,π)內(nèi)必有零點(diǎn)。證明：令F(x)=a?sinx+÷a?sin2x+…+六a,sinnx,則F(x)在[0,π]上可導(dǎo)，F(xiàn)'(x)=f(x),3ξ∈(O,π),使F'(ξ)=0,即f((十五)數(shù)學(xué)分析2考試題共20分)A收斂也收斂 和同斂散B發(fā)散也發(fā)散4、級(jí)收斂是()對(duì)pF1,2…,A充分條件B必要條件C充分必要條件D無關(guān)條件5、若級(jí)收斂，則必有()Aa≤0Ba≥0Ca<0Da>06、在[a,b]一致收斂，且a(x)可導(dǎo)(rF1,2…),那么()Af(x)在[a,b]可導(dǎo)，且Bf(x)在[a,b]可導(dǎo)，但f'(x)不一定等于點(diǎn)點(diǎn)收斂，但不一定一致收斂L不一定點(diǎn)點(diǎn)收斂7、下列命題正確的是()在[a,b]絕對(duì)收斂必一致收斂F在[a,b]一致收斂必絕對(duì)收斂C在[a,b]條件收斂必收斂在[a,b]必絕對(duì)收斂的收斂域?yàn)?)A(-1,1)B(-1,1)C[-1,1]D[-1,1)9、下列命題正確的是()A重極限存在，累次極限也存在并相等B累次極限存在，重極限也存在但不一定相等C重極限不存在，累次極限也不存在10、函數(shù)f(x,y)在(xo,,yo)可偏導(dǎo)，則()Cf(x,y)在(xo,,yo)在任何方向的方向?qū)?shù)均存在D以上全不對(duì)二、計(jì)算題：(每小題6分，共30分)2、計(jì)算由曲線y=x2和x=y2圍成的面積5、計(jì)算的收斂半徑和收斂域三、討論判斷題(每小題10分，共30分)1、討四、證明題(每小題10分，共20分)1、設(shè)f(x)是以T為周期的函數(shù)，且在[0,T]上可積，證明2、設(shè)級(jí)收斂，則當(dāng)α>α?時(shí)，級(jí)也收斂二、1、由于xP在[0,1]可積，由定積分的定義知(2分)2、、兩曲線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1)(2分)所求的面積為：3、解：由于有界，由于x=-2,x=2時(shí)，級(jí)數(shù)均不收斂，所以收斂域?yàn)?-2,2)(3分)三、1、解、因?yàn)楸环e函數(shù)可能在x=0和x=1處無界，所以將其分為考慮奇點(diǎn)x=0應(yīng)要求p-1<1;奇點(diǎn)x=1應(yīng)要求p+q<1;(4分)當(dāng)x→+0時(shí)，由于,知2p+q-1>1時(shí)積分收斂(2分)所以反常積分滿足p<2且2(1-p)<q<1-p收斂，其余發(fā)散(2分)2、解：由于發(fā)散(2