2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（含答案）

2024高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

變化率問(wèn)題。I

1.（2023下?遼寧阜新?高二校考期末）若函數(shù)/（切=x2+x,則函數(shù)〃%）從“=-1到x=3的平均變化率為

（）

A.6B.3C.2D.1

2.（2023上?福建南平?高二統(tǒng)考期末）如果質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的位移S（單位：米）與時(shí)間f（單位：秒）之間的

函數(shù)關(guān)系為s（t）=：,那么該質(zhì)點(diǎn)在1=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為：（）（單位：米/秒）

2222

A.-B,--C,-D,--

3.（2023下?高二課時(shí)練習(xí)）某賽車比賽中，一賽車的位移s（單位：m）與比賽時(shí)間f（單位：s）存在函

數(shù)關(guān)系s=10t+5t2.

⑴當(dāng)t=20,At=0.1時(shí)，求As與非的值；

（2）求當(dāng)t=20時(shí)的瞬時(shí)速度.

4.（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）=-2x+l.

（1）當(dāng)尤從1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？

（2）當(dāng)x從-1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？

（3）該函數(shù)變化的快慢有何特點(diǎn)？求該函數(shù)在久=1,x=3處的瞬時(shí)變化率.

題型2R利用導(dǎo)數(shù)的定義解題

1.（2023下?天津?高二統(tǒng)考期中）己知函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)是尸㈤，若尸（無(wú)。）=2,則螞弋?—

()

A.-B.1C.2D.4

2

2.（2023下?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末）定義在R上的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［2,2+2\%］。%>0）內(nèi)的平均變

化率為警=3）2+2A%+1,其中Ay=/（2+△%）-/⑵，則函數(shù)/（久）在x=2處的導(dǎo)數(shù)尸⑵=（）

A.-1B.1C.3D.9

3.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/■（久）=6［久2一:口久+人，（（1）=1,/（I）=2,求實(shí)數(shù)a,6的值.

—J-y>Q

4.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)4i)={G'求尸(4)?((一1)的值.

1+%12,3%<0

題型3p求曲線切線的斜率（傾斜角）

1.（2022.江西上饒.統(tǒng)考一模）設(shè)/⑺為可導(dǎo)函數(shù)，且螞"吃：2"）=—1,則曲線y=/（%）在點(diǎn)（"⑴）

處的切線斜率為（）

1

A.2B.-1C.1D.--

2

2.（2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)您坊包*2=一2,則曲線y=/O）在點(diǎn)（2/（2））處的切線

的傾斜角是（）

A.-B.-C.—D.—

4343

3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=/（久）在x=&處的導(dǎo)數(shù)尸（比），試根據(jù)各問(wèn)中的值，求該函數(shù)的圖

象在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的傾斜角.

(1)/(久0)=0；

(2)f'0o)=1；

⑶/(久o)=-1.

4.（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）（1）運(yùn)用割線逼近切線的方法，分別求曲線y=/在％=0,%=一2,尤=3

處的切線斜率.

（2）用割線逼近切線的方法，求曲線y=（在x=1處切線的斜率.

題型4卜求(復(fù)合)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法

1.(2023下?福建泉州?高二?？计谀?下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

x

A.(3*)'=3log3eB.(1g%)'=焉

C.(cosx)/=sin%D.(x2cosxy=—2xsinx

2.(2023下?上海普陀?高二?？计谀?下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.+*B?(,x2exy=2xex

C.(excos2x)z=ex(cos2x—2sin2x)D.(in：+In%)，=2+;

3.(2023上?新疆昌吉?高二校考期末)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=ln(2x+1)；

sinx

⑵y=Q

(3)y=xln(l+%2)；

(4)y=(%+1)(%+2)(%+3).

4.(2023下?山東臨沂?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)滿足/(%)=fQ)sinx-cosx.

⑴求f(%)在％=g處的導(dǎo)數(shù)；

(2)求/⑺的圖象在點(diǎn)/，屋))處的切線方程.

已知切線(斜率)求參數(shù)。|

1.(2023上?江蘇南京?高二校考期末)若曲線y=/+a*+b在點(diǎn)p(o,6)處的切線方程為久―y+i=0,

則a,b的值分別為()

A.1,1B.-1,1C.1,-1D.-1,-1

2.(2023下?湖北?高二統(tǒng)考期末)已知曲線、=砂+3在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x-y+3=0平行，則

實(shí)數(shù)。等于()

31一

A.—B.—C.1D.2

22

3.(2023上?陜西寶雞?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=x2(x-a).

(1)當(dāng)久e(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像上任意一點(diǎn)處的切線斜率為鼠若kN-3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=-2,求曲線y=/(%)過(guò)點(diǎn)M(—1J(—1))的切線方程.

4.(2023?全國(guó)?高三校聯(lián)考期末)己知ab大0,曲線/(%)=含在工=1處的切線方程為6x+力一3=0.

(1)求a,6的值；

(2)證明：當(dāng)%E(0,1］時(shí),/(%)<tanx.

■卜導(dǎo)數(shù)中函數(shù)圖象的應(yīng)用

1.(2023下?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)如圖，函數(shù)y=f(>)的圖象在點(diǎn)P(l,y0)處的切線是2,則f(l)+f'(l)=

A.1B.2C.0D.-1

2.(2023下?廣東東莞?高二統(tǒng)考期末)函數(shù)y=/(%)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是()

A.P(2)<r(3)</(3)-/(2)B.f(2)</(3)-/(2)<r(3)

C./(3)-f(2)</(3)<尸(2)D.廣⑶<7(3)-/(2)</(2)

3.(2022.高二課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=/(%)的圖象如圖所示，在圖中作線段，分別表示/(2),/(2+九)，/(2+

僅一/(2),h.

4.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，A,B,C,D,E,F,G為函數(shù)y=f（久）圖象上的點(diǎn).在哪些點(diǎn)處，曲線

的切線斜率為0?在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為正？在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為負(fù)？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率

最大？在哪一點(diǎn)處,切線的斜率最小？

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

2

1.（2023下?吉林長(zhǎng)春?高二校考期末）函數(shù)f（x）=|%—Inx的減區(qū)間為（）

A.(-1,1)B.(一8,1)C.(0,1)D.(0,+oo)

2.（2023下?江西萍鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）己知函數(shù)/（久）=Inx-（x-a）2（a6R）在區(qū)間［1,+8）上存在單調(diào)遞

增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.+8B.6+8)

C.[1,+oo)D.(l,+oo)

3.（2023下?四川自貢?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/'(x)=|x3+|ax2—(a+l)x+1.

（1）若/（?的單調(diào)遞減區(qū)間為［-1,1］,求實(shí)數(shù)a的值;

（2）若函數(shù)y=/（久）在［2,3］單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2023下?天津?yàn)I海新?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=/—/一%+c,(其中?為常數(shù))

(1)當(dāng)c=3時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)〃久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)函數(shù)g(久)=［f(x)-x3］-ex,若函數(shù)g(x)在區(qū)間［一3,2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。|

1.(2023下?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=ax+；(a€R),且滿足尸(一1)=0,貝U()

A.函數(shù)f(x)在久=1處有極大值

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù)

C.函數(shù)廣(久)有兩個(gè)極值點(diǎn)

D.函數(shù)/(久)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)

2.(2023下?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=alnx+1-1(%>0),則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)f(%)一定有極值

B.當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(%)在(0,+8)上為增函數(shù)

C.當(dāng)?！?時(shí)，函數(shù)/(%)的極小值為。(1一Ina)-1

D.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(%)的極小值的最大值大于0

3.(2023下?四川雅安?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=-ax-21nx(aeR).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

⑵若函數(shù)/(%)在區(qū)間［L+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.(2023下?山東濱州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=］久3+/+3(aeR),曲線y=/(久)在點(diǎn)(l,f(1))

處的切線平行于直線y=0.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。I

1.(2023下?江西贛州?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(%)=2尸(l)lnx-%則/(好的最大值為()

A.21n2-2B.21n2+2C.-1D.2

2.(2023下?陜西榆林?高二統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(乃=?+Inx-a存在最小值，且其最小值記為g(a),則g(a)

的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

3.(2023下?遼寧阜新?高二校考期末)設(shè)函數(shù)/(久)=1%2+1-In%.

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)g(%)=/(%)-2%在區(qū)間住,3］上的最大值和最小值.

4.(2023下?安徽亳州?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=xlnx—(a+l)x+b{a,beR).

⑴若Q=0,b=lf求函數(shù)斜率為1的切線方程；

(2)若：=e，討論/(%)在［e,e2］的最大值.

題型10卜導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

1.（2023下?云南迪慶?高一統(tǒng)考期末）如圖，某單位在精準(zhǔn)扶貧活動(dòng)中，給結(jié)對(duì)幫扶的貧困家庭贈(zèng)送兩種

經(jīng)濟(jì)作物M、N種子，并在三角形地塊048劃出一部分來(lái)種植M種子，一部分種植N種子，記02長(zhǎng)為70米,

記0B長(zhǎng)為50米，三角形地塊OAB邊04上的高為40米，記△OAB位于直線x=〉0）左側(cè)的圖形的面積

為/（t）,△。4B位于直線x=>0）左側(cè)的地塊用來(lái)種植M種子，每個(gè)平方米盈利并元，剩下的地塊用來(lái)

種植N種子，每個(gè)平方米盈利30元.

（1）求函數(shù)解析式；

（2）設(shè)該農(nóng)場(chǎng)種植兩種經(jīng)濟(jì)作物M、N的盈利總和為S元，求S的最大值.

2.（2023下?山東日照?高二統(tǒng)考期末）某公園有一個(gè)矩形地塊4BCD（如圖所示），邊48長(zhǎng)四千米，力。長(zhǎng)

4千米.地塊的一角是水塘（陰影部分），已知邊緣曲線4c是以4為頂點(diǎn)，以4D所在直線為對(duì)稱軸的拋物

線的一部分，現(xiàn)要經(jīng)過(guò)曲線4C上某一點(diǎn)P（異于4C兩點(diǎn)）鋪設(shè)一條直線隔離帶MN,點(diǎn)MN分別在邊4B,

BC上，隔離帶占地面積忽略不計(jì)且不能穿過(guò)水塘.設(shè)點(diǎn)P到邊4。的距離為t（單位：千米）,ABMN的面積

為S（單位：平方千米）.

（1）請(qǐng)以力為原點(diǎn)，力B所在的直線為無(wú)軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出S關(guān)于t的函數(shù)解析式;

（2）是否存在點(diǎn)P,使隔離出來(lái)的的面積S超過(guò)2平方千米？并說(shuō)明理由.

3.（2023下?北京西城?高二統(tǒng)考期末）某種型號(hào)輪船每小時(shí)的運(yùn)輸成本Q（單位：元）由可變部分和固定

部分組成.其中，可變部分成本與航行速度的立方成正比，且當(dāng)速度為10km/h時(shí)，其可變部分成本為每小

時(shí)8元；固定部分成本為每小時(shí)128元.

（1）設(shè)該輪船航行速度為xkm/h,試將其每小時(shí)的運(yùn)輸成本Q表示為x的函數(shù)；

（2）當(dāng)該輪船的航行速度為多少時(shí)，其每千米的運(yùn)輸成本y（單位：元）最低？

4.（2023上?安徽?高三校聯(lián)考期中）南京玄武湖號(hào)稱“金陵明珠”，是我國(guó)僅存的皇家園林湖泊.在玄武湖

的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉.夏天的一個(gè)傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀

賞荷花只能在岸邊，無(wú)法深入其中，影響觀賞荷花的樂(lè)趣，于是他便有了一個(gè)愿景：若在玄武湖一個(gè)盛開(kāi)

荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設(shè)計(jì)一些棧道和一個(gè)觀景臺(tái)，觀景臺(tái)P在半圓形的中軸線。C

上（圖中。C與直徑4B垂直，P與O,C不重合），通過(guò)棧道把P4PB,PC,4B連接起來(lái)，使人行在其中，猶如

置身花海之感.已知力B=200m,NPAB=8,棧道總長(zhǎng)度為函數(shù)f（。）.

⑴求/⑻；

（2）若棧道的造價(jià)為每米5萬(wàn)元，試確定觀景臺(tái)P的位置，使實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用最?。ㄓ^景臺(tái)的建造費(fèi)用

忽略不計(jì)），并求出實(shí)現(xiàn)該愿景的建造費(fèi)用的最小值.

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十大題型歸納(基礎(chǔ)篇)

【人教A版(2019)]

變化率問(wèn)題

1.(2023下?遼寧阜新?高二?？计谀?若函數(shù)/(切=x2+x,則函數(shù)/(%)從%=-1到久=3的平均變化率為

A.6B.3C.2D.1

【解題思路】根據(jù)條件，直接求出/(-1)=0,"3)=12,再利用平均變化率的定義即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=/+%,所以f(一1)=(-1)2-1=0,f(3)=32+3=12,

故函數(shù)〃乃從乂=-1到x=3的平均變化率為崇=與圣旨2=晉=3，

故選：B.

2.(2023上?福建南平?高二統(tǒng)考期末)如果質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的位移S(單位：米)與時(shí)間，(單位：秒)之間的

函數(shù)關(guān)系為s(t)=?,那么該質(zhì)點(diǎn)在t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為：()(單位：米/秒)

22

A.B.C.D.

99

【解題思路】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可.

22

△

【解答過(guò)程】ss(3+At)—s(3)3+At3________2

△t—AtAt-3(3+At)

所以杷點(diǎn)=媽)kWd=—|-

故選：D.

3.(2023下?高二課時(shí)練習(xí))某賽車比賽中，一賽車的位移s(單位：m)與比賽時(shí)間f(單位：s)存在函

數(shù)關(guān)系s=10t+5t2.

⑴當(dāng)t=20,At=0.1時(shí)，求As與)的值;

(2)求當(dāng)t=20時(shí)的瞬時(shí)速度.

【解題思路】⑴代入計(jì)算出As=21.05,進(jìn)而計(jì)算出手=210.5；

△t

(2)在(1)的基礎(chǔ)上得到手=210+5A3進(jìn)而得到賽車在t=20時(shí)的瞬時(shí)速度.

At

【解答過(guò)程】(1)As=s(20+At)-s(20)=10X(20+At)+5(20+At)2-10X20-5x202

=lOAt+200At+5At2=1+20+0.05=21.05

數(shù)鬻=2105

⑵由⑴可矢嗤=3^—=21。+5At,

當(dāng)At趨于°時(shí)，籌趨于21。,

所以賽車在t=20時(shí)的瞬時(shí)速度為210m/s.

4.(2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)=—2x+l.

(1)當(dāng)尤從1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？

(2)當(dāng)尤從-1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？

(3)該函數(shù)變化的快慢有何特點(diǎn)？求該函數(shù)在x=L久=3處的瞬時(shí)變化率.

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的平均變化率計(jì)算即可解決(1)(2),由瞬時(shí)變化率的定義求(3).

【解答過(guò)程】⑴3=/(2)-/⑴=一2,冬=言=一2,

故函數(shù)值y改變了-2,此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是-2.

(2)Ay=/(1)-/(-1)=-4,0=法=—2,

函數(shù)值y改變了-4,此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是-2.

(3)這個(gè)函數(shù)的變化是均勻，變化率為定值.

Vlim-+Ax)-f(x)=lim衛(wèi)=—2,

△XTOAX△%

故函數(shù)的瞬時(shí)變化率為定值-2,

該函數(shù)在x=l,x=3處的瞬時(shí)變化率都為一2.

題型2卜利用導(dǎo)數(shù)的定義解題

1(%0+聲)―/(40)

1.(2023下?天津?高二統(tǒng)考期中)已知函數(shù)之下的導(dǎo)函數(shù)是尸(x),若尸(久0)=2,則lim

△%

)

A-1B.1C.2D.4

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成即可得到.

【解答過(guò)程】因?yàn)閺V(%。)=2

/(%o+如

所以lim=-lim=#'(久0)=1

△%T0△%2△%7()

故選：B.

2.(2023下?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末)定義在R上的函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[2,2+△制(△%>())內(nèi)的平均變

化率為竽=(AX)2+2AX+1,其中Ay="2+Ax)—/⑵，則函數(shù)/(%)在久=2處的導(dǎo)數(shù)廣⑵=()

A.-1B.1C.3D.9

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得尸(2)的值.

【解答過(guò)程】由導(dǎo)數(shù)的定義可得/'⑵=朋1J2+柴―⑵=jim[(Ax)12+2Ax+1]=1,

故選：B.

3.(2022?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/■(久)=a/-(a久+。，=1,/(I)=2,求實(shí)數(shù)a,6的值.

【解題思路】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出尸(1),再由尸(1)=1可求出a,然后由〃1)=2求出b,

【解答過(guò)程】解:lim"1+油-/⑴

Ax->0

Ia(l+Ax)2-^a(l+Ax)+d-(a-|a+D)a(Ax)24-7dAx/2\2

=勵(lì)。^=如。(―+”)=”=1,

△%~0△汽

?3

??CL——.

2

又f(1)=a-(a+b=2,=|-

故a=|，b=l，

-----%>0

4.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)40=｛五’’求尸(4)?尸(—1)的值.

1+%2,%<0

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義廣(而)=則送，分別求出尸(4)=》尸(-1)=一2,即可得到答案.

1+J__工_1_V4+21X-2

【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，=

x=4y/4+AxV42y/4+Zx2yj4+Ax

Ax

2A/4+ZX?4+4%+2)

Ay_1

Ax2y/4+Ax(A/4+ZX+2)

1_1

lim—=lim/-----:r^=——

4%T0AXAX->02y/4+Ax(y/4+Ax+2)2xV4x(V4+2)-16

1

16

當(dāng)x=-l時(shí)，"="T+'X)-"T)=1+(-1+4X)2-1-(-1)2=4久—2

AxAxAx

由導(dǎo)數(shù)的定義,得尸(T)=lim(/x-2)=—2,

r(4)-r(-i)=^x(-2)=-i.

曲線切線的斜率(傾斜角)

1.(2022?江西上饒?統(tǒng)考一模)設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且為為巫等3=-1,則曲線y=”久)在點(diǎn)

處的切線斜率為()

A.2B,-1C.1D.-I

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義進(jìn)行求解.

【解答過(guò)程】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)(1)(1))處的切線斜率為尸(1),

因?yàn)椤鱔-0時(shí)，

△X

1

所以廣⑴=lim/⑴①-:)=iljm"IM-AX)

△%T02AX2AX^O△%2’

所以在點(diǎn)(1"(D)處的切線斜率為—5

故選：D.

2.(2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)&2T")=-2,則曲線y=/(久)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線

的傾斜角是()

A.-B.-C.—D.—

4343

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得尸(2)=-1,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閘imf(2+?(2vx)=2/(2)=-2,

4x->0Ax

所以尸(2)=-1,則曲線y=/Q)在點(diǎn)(2/(2))處的切線斜率為—1,

故所求切線的傾斜角為手.

4

故選：C.

3.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)廠(%)，試根據(jù)各問(wèn)中的值，求該函數(shù)的圖

象在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的傾斜角.

(l)/'0o)=0；

/

(2)/(x0)=1；

(3)f'0o)=-1.

【解題思路】分別設(shè)切線斜率為后,上2，電，傾斜角為的32，。3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由各問(wèn)中的導(dǎo)函數(shù)值可

求得切線的斜率，即可求出傾斜角.

【解答過(guò)程】（1）設(shè)該函數(shù)的圖象在（久0，”“0））處的切線斜率為心，傾斜角為由.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由f'（%0）=。知，七=0.

又/q=tana1，貝！Jtana1=0,

因?yàn)橛蒭[0,n）,所以a】=0.

（2）設(shè)該函數(shù)的圖象在（Xo，f0o））處的切線斜率為七，傾斜角為。2.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由尸（沏）=1知，k2=1.

又6=tancr2，則tana2=1,

因?yàn)閍?e[0,it）,所以a2=7-

（3）設(shè)該函數(shù)的圖象在（而/（沏））處的切線斜率為心，傾斜角為戊3.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由/''（而）=。知，fc3=-1.

—

又俏=tana3,貝！Jtano^—1>

因?yàn)椤闧0,ir）,所以=4.

4.（2023?全國(guó)?高二隨堂練習(xí)）（1）運(yùn)用割線逼近切線的方法，分別求曲線y=/在久=o,x=-2,%=3

處的切線斜率.

（2）用割線逼近切線的方法，求曲線y=1在久=1處切線的斜率.

【解題思路】（1）（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】（1）由題意，各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率.

1.------(0+A%)2—02,.4r\

lim-----------------=lim△%=().

△x-?0AxAx->0

2

lim-4Ax+(Ax)=lim(—4+△%)=—4.

△%一0△%△%T0Ax—

lim(3+A*)2-32=LIM6Ax+(Ax)2=lim(6+Ax)=6.

△%一0AxAx^O△%Ax^O

故y=%2在汽=o,—2,3處的切線斜率分別為0,—4,6.

-------1_i

(2)lim-=lim--=—1.

△第T0AxA%->0l+Ax

故曲線y=:在尤=1處切線的斜率為一1.

題型4求（復(fù)合）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法

1.（2023下?福建泉州?高二?？计谀┫铝星髮?dǎo)運(yùn)算正確的是（）

1

A.(3xy=3xlogeB.

3(lg%)'xlnlO

C.(cos%)，=sinxD.(x2cosx)/=—2xsinx

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，（3，，=3-1113,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，（Igx）'=-7--,所以B選項(xiàng)正確.

v°zxlnlO

C選項(xiàng)，（cos%）'=-sinx,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，（/cos久）'=2xcosx—x2sinx,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

2.(2023下?上海普陀?高二?？计谀?下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.+=：+爰B.(x2exy=2xex

C.(excos2%)/=ex(cos2x—2sin2x)D.(in：+In%)，=2+：

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)后判斷.

【解答過(guò)程】(in%+4'=工一卷，A錯(cuò)；

\X/Xxz

(x2exy=(%2),ex+x2(exy=2xex+x2ex,B錯(cuò)；

(excos2x)z=(ex),cos2x+ex(cos2x)z=excos2x—2-exsin2x=ex(cos2x—2sin2x),C正確;

(in^+ln久)=/D錯(cuò).

故選：C.

3.(2023上?新疆昌吉?高二校考期末)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=ln(2x+1)；

sinx

⑵丫=力

(3)y=%ln(l+%2)；

(4)y=(%+l)(x+2)(%+3).

【解題思路】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解作答.

【解答過(guò)程】（1）函數(shù)y=ln（2x+l）,所以/=3?（2x+l），=仁.

(sinx),cosx-sinx(cosx),cos2x+sin2x_1

（2）函數(shù)y=吧，所以/

cos2xcos2xcos2x

(3)函數(shù)y=xln(l+%2),所以y'=ln(l+%2)+x-?(1+%2y=ln(l+%2)+

(4)依題意，y=(%+1)(%4-2)(%+3)=爐+6%2+11%+6,所以y'=3x2+12%+11.

4.(2023下?山東臨沂?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)滿足/(%)=fQ)sinx-cosx.

(1)求/(%)在％=g處的導(dǎo)數(shù)；

(2)求/(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，再令x即可得出答案；

(2)由(1)求得f(§，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【解答過(guò)程】(1)由/(x)=尸0sinx-cosx,

得/(%)=f0cosx+sinx,

財(cái)’6)=，(?嗎+s嗚=)《)+苧,

所以尸(§=百；

(2)由(1)得/(%)=V5sinx—cos%,

w?=1-1=1.

即8工—y—+1=。.

題型5?、已知切線(斜率)求參數(shù)

1.(2023上?江蘇南京?高二?？计谀?若曲線y=/+ax+b在點(diǎn)P(0,b)處的切線方程為x—y+l=0,

則a,b的值分別為()

A.1,1B.-1,1C.1,—1D.—1,—1

【解題思路】利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，結(jié)合切點(diǎn)在切線上可得.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)閥'=2%+a,所以y'|xo=a

???曲線y=/+。％+》在點(diǎn)(0,b)處的切線％-y+1=0的斜率為1,

a=1,

又切點(diǎn)(0,b)在切線％-y+1=0上，

???0—b+1=0

???b=1.

故選：A.

2.(2023下?湖北?高二統(tǒng)考期末)已知曲線、=e，+ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x-y+3=0平行，則

實(shí)數(shù)a等于()

31

A.--B.--C.1D.2

22

【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閥=ex+ax,所以y，=e*+a,

則曲線y=e*+ax在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為y'|x=0-1+a,

又因?yàn)橹本€2%-y+3=0斜率為2,

所以l+a=2,即a=l.

故選：C.

3.(2023上?陜西寶雞?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(久)=x2(x-a).

(1)當(dāng)xe(0,1)時(shí)，函數(shù)/(X)的圖像上任意一點(diǎn)處的切線斜率為k,若kN-3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=-2,求曲線y=/(%)過(guò)點(diǎn)M(—1,/(—1))的切線方程.

【解題思路】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，尸(%)=3%2-2ax>-3恒成立，分類參數(shù)，結(jié)合

對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將M(-1,1)代入切線方程計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】(1)函數(shù)/1(x)=『(％-口)的導(dǎo)數(shù)為廣(%)=2x(%-a)+〃=-2ax,

由題意可得當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，3/—2ax>-3恒成立，

即有2aS3：),由勾函數(shù)的性質(zhì)知，

函數(shù)y=3(%+在(一8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，

所以3(x+>>3(1+；=)6,即有2aW6,則aW3,

所以a的取值范圍是(-8,3].

(2)函數(shù)/(%)=x2(x+2)的導(dǎo)數(shù)為尸(%)=3x2+4%,

設(shè)切點(diǎn)為(小,幾)，則幾=m3+27n2,/(%)在久=m處的斜率為k=3m2+4m,

即有切線方程為y—n=(3m2+4m)(x—m),

將M(—1,1)代入可得1—m3—2m2=(3m2+4m)(—1—m),

整理可得(m+l)2(2m+1)=0,解得zn=-1或zn=—

即有所求切線的方程為y—1=—(%+1)或y-1=—)(%+1),

4

即y=-x或y=-|x—

4.(2023?全國(guó)?高三校聯(lián)考期末)已知ab40,曲線f(x)=含在久=1處的切線方程為6x+by-3=0.

⑴求。，6的值;

⑵證明:當(dāng)*6(0,1］時(shí)，/(x)<tanx.

【解題思路】(1)根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得見(jiàn)尻

(2)化簡(jiǎn)/(乃＜tanx,利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.

【解答過(guò)程】(1)由題可知/(1)=六=三，即b=l—a.

又/'(%)=匿券日=器券，所以尸(D=音=一?

解得｛/=二，即a=3,b=—2.

⑵/(%)=言，xG(0,l］,

而、-r“、,3xsinx

要證"x)<tan無(wú)，^i<—>

只需證3sinx—3xcosx—x2sinx>0,

令9(%)=3sinx—3xcosx—x2sinx,

貝的'(%)=3cosx—3cosx+3xsinx—2xsinx—x2cosx=x(sinx—xcosx),

令九(X)=sinx—xcosx,xG(0,1］,貝=cosx—cosx+xsinx=xsinx>0,

所以/i(%)在(0,1］上單調(diào)遞增,所以九(%)>h(0)=0,即g'(%)>0,

所以g(%)在(0國(guó)上單調(diào)遞增,則9(%)>g(0)=0,即當(dāng)％6(0,1］時(shí),/(%)<tanx.

導(dǎo)數(shù)中函數(shù)圖象的應(yīng)用。?

1.(2023下?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)如圖，函數(shù)y=/(%)的圖象在點(diǎn)P(l,y0)處的切線是1,則f(l)+/'(1)=

()

A.1B.2C.0D.-1

【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線/的方程，從而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則可得f(l),求出直線

的斜率可得廣(1)的值，從而可得答案.

【解答過(guò)程】由圖象可得切線過(guò)點(diǎn)(2,0),(0,2),所以切線2的方程為:+3=1,即y=2-x,

所以切線的斜率為—1,所以尸(1)=-1

因?yàn)辄c(diǎn)P(l,yo)在切線上，所以yo=2-%o=2-l=l,所以f(1)=1,

所以f(l)+f'(l)=l-l=0,

故選：C.

2.(2023下?廣東東莞?高二統(tǒng)考期末)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是()

A.((2)<一(3)</(3)-/(2)B.r(2)</(3)-/(2)<尸(3)

C./(3)-f(2)</(3)<((2)D./(3)<f(3)-/(2)<r(2)

【解題思路】由題意可知尸(2)為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)力處的切線的斜率，/(3)為函數(shù)y=f(x)的圖象在

點(diǎn)B處的切線的斜率，/(3)-/(2)=/華表示直線48的斜率，然后結(jié)合圖形求解.

3—2

【解答過(guò)程】尸(2)為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)力處的切線的斜率，

f'(3)為函數(shù)y=/(X)的圖象在點(diǎn)8處的切線的斜率，

/(3)—/(2)=駕衿表示直線48的斜率，

由圖可知0</(3)</(3)-〃2)<廣(2),

故選：D.

3.(2022.高二課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=/(?的圖象如圖所示，在圖中作線段，分別表示/(2),f(2+h),/(2+

【解題思路】根據(jù)題意在圖中作出線段即可.

【解答過(guò)程】如圖所示：

線段4C表示((2),線段BE表示f(2+h),線段0E表示/(2+/i)—f(2),

線段力B表示h.

4.(2022?高二課時(shí)練習(xí))如圖，A,B,C,D,E,F,G為函數(shù)y=f(久)圖象上的點(diǎn).在哪些點(diǎn)處，曲線

的切線斜率為0?在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為正？在哪些點(diǎn)處，切線的斜率為負(fù)？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率

最大？在哪一點(diǎn)處，切線的斜率最??？

【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)的圖象判斷即可.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合圖象可知，

在E,尸處曲線的切線的斜率是0,

在4,B,C處曲線的切線的斜率是正，

在D,G處的曲線的切線的斜率是負(fù)，

在B處的切線的斜率最大，在。處的切線的斜率最小.

題型利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.(2023下?吉林長(zhǎng)春.高二校考期末)函數(shù)f(x)=|/—inx的減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(-00,1)C.(0,1)D.(0,+oo)

【解題思路】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后通分，進(jìn)而令導(dǎo)函數(shù)小于0,最后求得單調(diào)遞減區(qū)間.

【解答過(guò)程】函數(shù)f⑺=12一inx的定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)得尸(x)=x—}=亍，

令尸(%)=?<0,

%>0,?0-0<%<1,

因此函數(shù)/O)=—inx的減區(qū)間為(0,1).

故選：C.

2.(2023下?江西萍鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)”久)=1!1乂一(久一(1)2((1€/?)在區(qū)間［1,+8)上存在單調(diào)遞

增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.B.6+8)

C.［1,+oo)D.(1,+8)

【解題思路】分析可知，存在xe［1,+8),使得尸(x)>0,由參變量分離法可得。>久-/，求出函數(shù)g(x)=

x-?在［1,+8)上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過(guò)程】因?yàn)?'(x)=Inx-(x—a)2(aeR),則尸(x)=(—2K+2a,

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間［L+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在xe［l,+8),使得尸(x)>0,

即—?2x+2a>0,可得a>久---，設(shè)g(x)=x---，

x2x2x

因?yàn)楹瘮?shù)丫=%、y=—2在［1,+8)上均為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，

當(dāng)X21時(shí)，g(x)min=9(1)=1-1=|，故a>［.

故選：B.

3.(2023下?四川自貢?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=［爐+)/_.缶+］)尤+］.

⑴若/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［-1，1］,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)y=/(%)在［2,3］單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間為卜I，1］，可得—1,1是(x-l)(x+a+l)=0

的兩根，即可求得答案；

(2)由函數(shù)y=f(x)在［2,3］單調(diào)遞減，可得尸(x)W0在［2,3］上恒成立，即可推出aW-x-1在［2,3］上

恒成立，從而求得答案.

【解答過(guò)程】(1)由題意得廣(%)=/+Q%一(q+1)=(%一1)(%+Q+1),

因?yàn)椤癤)的單調(diào)遞減區(qū)間為卜|,1］,即尸⑺=(x-l)(x+a+l)<0的解集為卜|,斗

故一|,1是(x—1)(*+a+1)=0的兩根，即一(a+1)=—a=—|,

當(dāng)a=一1時(shí)，f(x)=(%-1)(%+|),由尸(x)W0,解得一jwxWl,

等號(hào)僅在x=-|,l時(shí)取得，即/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［-1,1］,符合題意，

故a=一：.

(2)函數(shù)y=f(x)在［2,3］單調(diào)遞減，即廣(x)W0在［2,3］上恒成立，

即(x-1)(%+a+1)W0在［2,3］上恒成立，此時(shí)

即a<—x—1在［2,3］上恒成立，而(―x—l)min=-4,故a<—4,

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=-4時(shí)，f'(x)<。即(x-l)(x-3)<0,.1.1<x<3,

等號(hào)僅在x=3,1時(shí)取得，此時(shí)函數(shù)y=/(%)在［2,3］單調(diào)遞減，符合題意，

故a<—4.

4.(2023下?天津?yàn)I海新?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(幻=/一/一久+的(其中?為常數(shù))

(1)當(dāng)c=3時(shí)，求函數(shù)/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)函數(shù)。(久)=［/(%)-%3］-ex,若函數(shù)g(x)在區(qū)間［-3,2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

【解題思路】(1)將c=3代入函數(shù)中求導(dǎo)，求斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，列表分析即可；

(3)先寫出函數(shù)g(x)的表達(dá)式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出即可.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)c=3時(shí)，貝=/一/一%+3,

此時(shí)尸(x)=3x2—2x—1,

所以尸(1)=0,又f(l)=13-12-1+3=2,

所以切點(diǎn)為：(1,2)

所以此時(shí)切線方程為y—2=0x(%—l)=>y=2.

(2)因?yàn)?(%)=x3—x2—x+c.

從而/'(%)=3x2—2x—1=(3%4-1)(%—1),列表如下:

1

X41(1,+°°)

S")-3M)

f'M+0—0+

f(x)遞增有極大值遞減有極小值遞增

所以〃%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,和(L+8);f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是1)

(3)函數(shù)g(%)=(/(%)—%3