2024-2025學(xué)年滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：點(diǎn)的坐標(biāo)與面積的五種考法（原卷版）

專題02點(diǎn)的坐標(biāo)與面積的五種考法

目錄

解題知識必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................2

類型一、三角形面積問題..........................................................2

類型二、多邊形面積問題..........................................................4

類型三、含參數(shù)面積問題..........................................................5

類型四、動點(diǎn)問題................................................................7

類型五、直線分面積比問題........................................................9

壓軸能力測評...................................................................10

??解題知識必備”

1.三角形面積公式

S=[x底x曷

2.梯形面積公式

S=1x（上底+下底）x高

3.坐標(biāo)平移

1.點(diǎn)的平移：

①將點(diǎn)（x,y）向右（或向左）平移a個單位可得對應(yīng)點(diǎn)（x+a,y）或（x-a,y）;

②將點(diǎn)（x,y）向上（或下）平移b個單位，可得對應(yīng)點(diǎn)（x,y+b）或（x,y-b）;

2.圖形平移：

①把一個圖形各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平

移a個單位；

②如果把圖形各個點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上（減去）一個正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a

個單位;

4.坐標(biāo)軸上線段的長度的表示

若A(a,0),B(b,0)，則線段AB=|a-b|;

若A(0,a),B(0,b)，則線段AB=|a-b|;

“壓軸題型講練??

類型一、三角形面積問題

在平面直角坐標(biāo)系中，解決三角形的面積問題，常常講面積問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，會用到點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距

離和點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離問題，通過直接求解和間接求解兩種方法。常見的類型主要有：三角形的一邊在坐

標(biāo)軸上、三角形的一邊平行于坐標(biāo)軸。三角形的三遍不與坐標(biāo)軸平行也不在坐標(biāo)軸上。

例.如圖所示：

⑴寫出三角形ABC頂點(diǎn)C與B的位置.

(2)求出三角形ABC的面積.

【變式訓(xùn)練11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三角形ABC,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(5,0),點(diǎn)2的坐標(biāo)為(3,2),

點(diǎn)C在無軸的負(fù)半軸，且AC=6

⑴求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得三角形尸03的面積等于三角形ABC的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若

不存在，請說明理由

【變式訓(xùn)練2].如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位，建立平面直角坐標(biāo)系，三角

形A與G是三角形ABC向右平移4個單位，向上平移1個單位后得到的，且三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

4(1,1),男(4,2)6(3,4).

⑴請畫出三角形ABC；

⑵寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

⑶求出三角形A4G的面積.

【變式訓(xùn)練3]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，三角形A3C的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(-3,0),C(-2,-5).將三角形ABC向上平移5個單位長度，再向右平移8個單位長度，得到

三角形ABC.

⑴寫出點(diǎn)A、BpG的坐標(biāo)；

⑵在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出三角形AUG；

⑶求三角形44G的面積.

類型二、多邊形面積問題

多邊形的面積計(jì)算，一般采用分割法或圍欄法。

例.如圖，四邊形AOCD所在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度.

⑴建立以。為原點(diǎn)，49邊所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求出四邊形AOCD的面積；

⑶請畫出將四邊形AOCD向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度后所得的四邊形AO'CD.

【變式訓(xùn)練1].已知VABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-2,3),3(-3,-2),C(0,3).

(1)在所給的直角坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出VABC；

(2)如果VABC內(nèi)任意一點(diǎn)MO,y),經(jīng)過平移后的對應(yīng)點(diǎn)為M'(x+l,y-2),將VABC作同樣的平移得到

^AB'C,求四邊形的面積.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，將VABC向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到

,y

B

⑴請畫出平移后的圖形AB'C；

（2）寫出一ABC'各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶連接AB'和AC',求出四邊形A'B'AC’的面積.

【變式訓(xùn)練31.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，AB,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,5）,（2,2）,（3,1）,然后依次連

接得到三角形ABC.

（1）將三角形A3C先向左平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到三角形A4G，在平面直角坐

標(biāo)系中畫出三角形AgG.

（2）在（1）中畫出的圖中，連接G。，點(diǎn)P在左軸的負(fù)半軸上，且三角形A4尸的面積與四邊形A4CQ的面

積相等，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

類型三、含參數(shù)面積問題

此類問題中，點(diǎn)的坐標(biāo)可能含有參數(shù)，或者坐標(biāo)未知，通過用參數(shù)（或設(shè)未知數(shù)）來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

表示出線段長，進(jìn)而表示出圖形面積，再結(jié)合題目給出的條件建立關(guān)系式來解決問題。

例.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B是x軸上兩點(diǎn)，3（3,0）,現(xiàn)同時將點(diǎn)A,B分別向上平移

2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A,8兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C,D,連接AC,即,CD.

⑴直接寫出點(diǎn)C,。的坐標(biāo).

⑵若平移后得到的四邊形ABDC為平行四邊形，求出四邊形ABDC的面積.

⑶在x軸上是否存在點(diǎn)?使的面積是的面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(3,0),(-3,0),現(xiàn)將線段先向上平移3個單

位，再向右平移1個單位，得到線段DC,連接AD,BC.

⑴如圖1,求點(diǎn)C,。的坐標(biāo)及四邊形ABCD的面積；

(2)如圖1,在y軸上是否存在點(diǎn)P,連接上4,使工戶鉆=S四邊衫？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在;

(3)如圖2,在直線C。上是否存在點(diǎn)。，連接QB,使S,℃B=gs四邊形ABCD，若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2].如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中A(a,o),8(0,6),其中a,6滿足(“-+病行=0,現(xiàn)將線

段先向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，得到線段OC.

⑴直接寫出點(diǎn)AB,C,。的坐標(biāo)：A,B,C,D；

3

(2)若點(diǎn)尸在無軸上，且使得三角形OCP的面積是三角形A3C面和的萬倍，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

⑶如圖2,點(diǎn)M(私〃)是三角形ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，連接AW,BM,CM,若三角形ABM與三角形ACM

面積之比為1:2,求相，〃之間滿足的關(guān)系式.

【變式訓(xùn)練3].如圖所示，VABC三個頂點(diǎn)均在平面直角坐標(biāo)系的格點(diǎn)上.

（1）若把VABC向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度得到一A‘3'C',在圖中畫出-A'3'C',并直接

寫出AB'C三個頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵求出VABC的面積；

⑶點(diǎn)尸為x軸上一點(diǎn)，且一AB尸的面積是VA3C面積的一半，求尸點(diǎn)坐標(biāo).

類型四、動點(diǎn)問題

動點(diǎn)類問題，題目沒有明確坐標(biāo)的情況下，先設(shè)好坐標(biāo)，結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)、，平行線的性質(zhì)、平移規(guī)律，分

類思想、三角形的面積問題、平面直角坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、線段長的求法，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定、三角形四邊

形面積的計(jì)算等知識點(diǎn)進(jìn)行求解。

例.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A?0）,B（&0）,且。，6滿足|a+3|+,F-2=0.現(xiàn)

同時將點(diǎn)A,3分別向上平移2個單位，再向左平移2個單位，分別得到點(diǎn)A,3的對應(yīng)點(diǎn)C,。，連接AC,

⑵如圖2,點(diǎn)P是線段AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)。是線段CD的中點(diǎn)，連接PQ,PO,當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上移

動時（不與A,C重合），請找出/尸?！?gt;,ZOPQ,NPO3的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)使的面積與ACD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若

不存在，試說明理由.

【變式訓(xùn)練1】.在平面直角坐標(biāo)系中，A（x,0）,B（O,y）,若x,y滿足|了+2|+57=0,

(1)寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo);

(2)過y軸上點(diǎn)C(0,3)作直線/交直線A3于點(diǎn)尸，若S,B°=gS"c，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶過y軸上點(diǎn)C(o,3)作直線力〃AB,點(diǎn)為直線/上一動點(diǎn)，己知點(diǎn)0(2,0),若S△的WS^CP，求出

m的取值范圍.

【變式訓(xùn)練21.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，VA3C三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(a,0),B(2,b),C(4,0),

其中。，6滿足J1_°_V+0_3|=0,AB與丫軸交于點(diǎn)。.

(1)求a,6的值及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,E是'軸上位于上方的一動點(diǎn)，

①連接AE,EB,OB,當(dāng)AEB和O班的面積相等時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②如圖3,過點(diǎn)E作￡F〃帥，EM平分NFEO,A"平分NA4O,求ZEM4的度數(shù).

【變式訓(xùn)練3】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在軸上，CB//OA,S.OA=12,OC=BC=4.

(1)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

(2)若動點(diǎn)P從原點(diǎn)。出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動，當(dāng)直線尸C把四邊形0RC分成面積

相等的兩部分時，求點(diǎn)尸的運(yùn)動時間；

⑶在(2)的條件下，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q,連接PQ,使二CPQ的面積與四邊形Q4BC的面積相等？若

存在，求點(diǎn)2的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

類型五、直線分面積比問題

例.在平面直角坐標(biāo)系中，4(a,0),c(b,2),滿足(a+iy+病與=0,過點(diǎn)C作CBLx軸于點(diǎn)反

(1)如圖1,連接AC,求三角形ABC的面積.

⑵如圖2,連接AC,若過點(diǎn)B作8￡)〃AC交y軸于點(diǎn)〃，且AE,DE分別平分/C4B,NODB,求NAED?

(3)如圖3,過C作C￡＞垂直于點(diǎn)。，連接AD,點(diǎn)P從。點(diǎn)出發(fā)，沿"DCfCB"移動,若點(diǎn)尸的速度為每

秒1個單位長度，運(yùn)動時間f秒，當(dāng)尸運(yùn)動到什么位置時，直線OP將四邊形ABCD面積分為3:11兩部分？

求出尸的坐標(biāo)?

【變式訓(xùn)練11如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為。,-2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C在'軸正

半軸上，平移線段到線段OC,使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為￡),點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為C,連接0。，SAODC=4.

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

(2)如圖2,連接3。，與V軸交于點(diǎn)E,連接BC,ZDCE=45°,求與-4BE的數(shù)量關(guān)系；

⑶在2的條件下，若ABCD的面積為7,在丫軸上是否存在一點(diǎn)P,使APBD與ABCD的面積之比為12:77

若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2】.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(2,0),磯0,4).將點(diǎn)A向下平移制相＞0)個單位，B點(diǎn)先

向右平移4個單位，再向下平移"(">0)個單位，分別得到點(diǎn)A,B,.

①若AF與坐標(biāo)軸平行，則機(jī)與力的數(shù)量關(guān)系是一；

⑵分別過4,3'作y軸的垂線，垂足分別為M,N,且相-力=1.

①求四邊形AMZVB'的面積；

②連接AB',OA!,OB',線段4的交x軸于點(diǎn)C,若OC將三角形A'08'的面積分成2:3的兩部分，求點(diǎn)C

的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練3］在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(2,4),3(6,4)，連接AB,將AB向下平移5個單位得線段CD,

其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)備用圖(1)備用圖(2)

(1)填空，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)。的坐標(biāo)為.線段A8平移到C。掃過的面積為.

(2)若點(diǎn)尸是y軸上的動點(diǎn)，連接PD.

①如圖(1),當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸時，線段尸D與線段AC相交于點(diǎn)E,用等式表示三角形PEC的面積與

三角形ECD的面積之間的關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)尸。將四邊形ACD3的面積分成2：3兩部分時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

x壓軸能力測評2

1.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOv中，點(diǎn)4(0,1),B(2,0),c(l,3).

⑴點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為；

(2)求VABC的面積；

⑶若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(九,0),

①直接寫出線段3P的長為;(用含機(jī)的式子表示)

②當(dāng)5皿=5樹時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.已知四邊形AB8在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將四邊形ABCD先向右平移5個單位長度，再

向下平移2個單位長度，得到四邊形AZ'C'D.

⑴畫出四邊形A'B'C'。'；

⑵求四邊形AB'C'。'的面積.

3.如圖1,40,2),3(4,0),我們能夠容易地計(jì)算出VAOB的面積，根據(jù)所給的平面直角坐標(biāo)系探究下列

(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2),點(diǎn)。的坐標(biāo)是(5,2),則

①△CO3的面積是，003的面積是:

②VAOB的面積與△COB的面積之間的數(shù)量關(guān)系是；

③A,C,。三點(diǎn)所在的直線與x軸的位置關(guān)系是.

請利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，嘗試解決以下問題.

【學(xué)以致用】

(2)E是x軸上方一點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2),若△CQ?的面積與EOB的面積相等，且2AC=EC,求點(diǎn)E

的坐標(biāo).

【發(fā)散思維】

(3)如圖2,若點(diǎn)”的坐標(biāo)是(2,0),連接AM,點(diǎn)P在V軸上，若_上45的面積與的面積相等，請

直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，

4.綜合探究

如1圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),C(6,2),且滿足(a+21+Jb-2=0,過點(diǎn)C作CBJLx軸于點(diǎn)8.

⑵求VA3C的面積；

⑶如2圖，若過點(diǎn)B作3D〃AC交'軸于點(diǎn)。，且AE,DE分別平分NCAB和ZODB,求/AED的度數(shù).

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，VABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(-2,4),8(-5,1),(正方形網(wǎng)格

中，每個小正方形的邊長是1個單位長度).

-5-3-2121456*

⑴將VABC沿x軸正方向平移3個單位長度，再沿y軸負(fù)方向平移4個單位長度得到△ABC一請畫出

△AAG；

⑵求出四邊形BCCJA的面積；

⑶在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△尸4G的面積為4?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.已知點(diǎn)A（a,38），點(diǎn)研3°力），且。，6滿足&+4-3+）+36-7|=0.

（2）如圖1,點(diǎn)C（4,