2024年高考數(shù)學復習講義：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（解析版）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第20講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（精講）

題型目錄一覽

①正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

②余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

③正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一、知識點梳理

一'用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（下表中左eZ）

（1）在正弦函數(shù)〉=sinx,XE[0,2幻的圖象中，五個關鍵點是：

（0,0）玖1）,（萬,0）吟,一1）,（2萬,0）.

⑵在余弦函數(shù)y=cosx，％￡[0,2乃]的圖象中，五個關鍵點是：

（0,1）,（彳，0）,（萬，-1）,（y,0）,（2rr,1）.

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

_ir\7V\3》

2\2r

圖象q2-vTKi"

2；n；2

定義域RR{xX￡7?,Xw左"十]}

值域[-1-1][-1-1]R

周期性2TT2TTn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

遞增區(qū)間[2^-y,2^+^][-71+2左〃,2k7r](k兀-],左〃+()

r_771_T3TT

遞減區(qū)間\_2K71+—,H——J[2k7T，71+2k兀]無

71仔,。）

對稱中心(左〃,0)(k7l+~,0)

771

對稱軸方程X=K7T+—x=k兀無

2

二,正弦、余弦'正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.對稱與周期

⑴正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是;；

⑵正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是:；

⑶正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離工；

4

2.函數(shù)具有奇、偶性的充要條件

（1）函數(shù)>=然111伍加+夕）（%￡均是奇函數(shù)09=方1（左￡2）；

（2）函數(shù)y=Asin（cwx+（p）（x￡R）是偶函數(shù)Q9=feu+］（左￡Z）；

（3）函數(shù)y=，cos（Gx+e）（%￡R）是奇函數(shù)=9=歷i+；（左￡Z）；

（4）函數(shù)y=Acos（cox+夕）（％￡R）是偶函數(shù)Q9=左兀（左eZ）.

二、題型分類精講

題型一正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【典例1］方程卜inx|=g的根中，在［0,2］內(nèi)的有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】A

【分析】方程卜inx|=；的解等價于兩個函數(shù)％Hsinx|與/=；圖像交點的橫坐標，所以分

別畫出兩函數(shù)圖像，由圖即可得出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，在區(qū)間［0,句內(nèi)|卜inx|=：的兩個根為g和今，又因為2〈苧，所以在

26。6

區(qū)間［0,2］內(nèi)|曲司=；只有一個根

故選：A.

【典例2】函數(shù)/(x)=sinx-cos2x在區(qū)間［0,2兀］上的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦公式得=2sin2x+sinx-1,令其為0,解出SinX值，再根據(jù)尤的

范圍，即可得到零點.

【詳解】令洋x)=sinx-(l-2sin)=2sin2x+sinx-l=0,

解得sinx=-1或sinx=',

2

又xf［0,2封,

貝!|x=￥或x=￡或x=等,

266

則函數(shù)〃X)=sinx-cos2x在區(qū)間［0,2對上的零點個數(shù)為3個.

故選：B.

【題型訓練】

一、單選題

1.函數(shù)V=2+sinx,xe(0,4?r］的圖象與直線y=2的交點的個數(shù)是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【分析】畫出y=2+sinx,xe(O,4可以及尸2的圖象，由此確定正確答案.

［詳解］在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)＞=2+sinx,xe(0,4兀］和直線y=2的圖象(如圖

所示)，可得兩圖象的交點共有4個.

2.“a="”是“sina=sin4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既是充分條件，也是必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】先判斷充分性，再判斷非必要性，即得解.

【詳解】當&=〃時，sina=sin/?,所以“a=萬”是“sina=sin夕”的充分條件；

當sine=sin/7時，不一定成立，如sing=sing,但是(片與，所以"a=/”是

“sin?=sin/?”的不必要條件.

故選:A

【點睛】方法點睛：充分條件必要條件的判定，常用的方法有：(1)定義法；(2)集合法;

(3)轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

3.函數(shù)y=3sinx+21一|Wxvo]最大值為()

A.2B.5C.8D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接求解.

【詳解】xe--,0時，sinxe[-l,0],

所以3sinx+2￡[-1,2],

所以函數(shù)＞=3sinx+2(qWxWo]最大值為2.

故選:A.

4.函數(shù)〃力=$10%+1的零點是()

JT3冗

A.—+2kTt^keZ)B.—+2kn^kGZ)

C.^+祈(左cZ)D.kTi[keZ)

【答案】B

【分析】令/■(x)=sinx+l=O,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】令1(x)=s2+l=0,則sinx=-l,

47r

所以％=—+2kTl(kGZ),

所以函數(shù)〃x)=sinx+l的零點是三+2航便eZ).

故選：B.

5.設函數(shù)/(x)=sin|x|,則/(x)()

2477r

A.在區(qū)間—上是單調(diào)遞減的B.是周期為2萬的周期函數(shù)

30

C.在區(qū)間_三,0上是單調(diào)遞增的D.對稱中心為(版?,())，kwZ

【答案】A

【分析】先當x>0時，〃x)=sinx,又〃x)=sin|x|是偶函數(shù)，由此可判斷命題的真假.

【詳解】當x>0時，/W=sinx,在5,三上是單調(diào)遞減的，故A正確；

/(無)=sin忖是偶函數(shù)，無周期性，故B錯誤；

/(無)=sin忖是偶函數(shù)，在-],0單調(diào)遞減，故C錯誤；

/3=如國是偶函數(shù)，無對稱中心，故D錯誤；

故選:A

二、多選題

6.函數(shù)/(x)=sinx+2|sinx],xe[0,2?]的圖象與直線>的交點個數(shù)可能是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)sinx0和sinx<0對應的尤的范圍，去掉絕對值化簡函數(shù)解析式，再由解析式

畫出函數(shù)的圖象，對左分類討論即可判斷.

【詳解】解：由題意知，/(x)=sinx+21sinx|,xe[0,2^],

“、[3sinx,xG[0,7f\

f\x)=]/o1，

[—sinx,x￡

在坐標系中畫出函數(shù)/(X)的圖象如圖所示:

由其圖象知，當直線了=左，左e(l,3)時，/(x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2%]的圖象，與直線

>有且僅有兩個不同的交點.

當直線了=左，斤=0或左=1時，/(x)=sin.r+2|sinx|,x?0,2句的圖象，與直線>=左有

且僅有三個不同的交點.

當直線了=左，左=3時，/(x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2句的圖象，與直線了=左有且僅有一

個不同的交點.

當直線丁=左，后e(-8,0)U(3,+?)時，/(x)=sinx+2|sinx|,xe[0,2句的圖象,與直線>=匯

無交點.

故選：ABCD.

三、填空題

7.觀察正弦函數(shù)的圖像，可得不等sinxwg的解集為.

【答案】[x<x<2kK+—,A;eZ1

[66J

【分析】畫出.v=sinx的圖像，根據(jù)圖像確定正確答案.

【詳解】畫出了=sinx的圖像如下圖所示，

1fI7冗7T

由圖可知，不等sinxKg的解集為卜2E-■—<x<2kji+-,k^Z

故答案為：卜卜而一等<x<2kn+￡,keZ\

【答案】

【分析】利用整體代換和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為X』0,父，所以x+

所以;4sin(x+jwl,

即函數(shù)八加卜+1的值域為1,1.

故答案為：!,1.

71

9.如果方程sinx=a在xe＞兀上有兩個不同的解，則實數(shù)。的取值范圍是.

0

【答案】1,1]

【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖像判斷即可；

結(jié)合三角函數(shù)圖像可知，當1,1時，直線V=sinx,y=a有兩個交點,

故答案為U

題型二余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【典例1]函數(shù)/(x)=l+cosxxe去4兀的圖象與直線、=，(/為常數(shù))的交點最多有

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】作出函數(shù)/（彳）=1+。0口］4/4兀j與函數(shù)y=f的圖象，可得出結(jié)論.

【詳解】作出函數(shù)〃尤）=1+COSX卜G（g,4兀］與函數(shù)y=%的圖象，如下圖所示:

02L2兀4兀x

3

由圖可知，當0</<|■時，函數(shù)/'（x）=l+cofflc［eC，4兀力的圖象與直線…a為常數(shù)）

的交點最多有4個.

故選：D.

【典例2］不等式2cosx+百20在［-兀，兀］上的解集為（）

2兀1口「2兀］「2兀

A.一兀,——U7iB.5-

5兀1口「5兀］「5兀

C.一兀,---U——,7iD.---

_6」|_6」6

【答案】D

【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖象分析運算，即可得結(jié)果.

【詳解】V2cosx+V3>0,貝（1cosx2----，

2

注意到》<-兀,可，結(jié)合余弦函數(shù)圖象解得-y,y

故選：D.

y-

_5Ky=cosx_5兀

-兀6/_______6兀'

.....Xu.!

蚱二

【題型訓練】

一、單選題

1.函數(shù)y=|cosx|的一個單調(diào)增區(qū)間是（）

7171

A.一萬，萬B.[0,Tt\

「3"]「3^

C.肛二-D.

_2JL2

【答案】D

【分析】首先畫出了=|cosx|的圖像，根據(jù)圖像判斷各選項，從而得到答案.

【詳解】將y=cos尤的圖像位于X軸下方的圖像關于X軸對稱翻折到X軸上方,軸上方（或

X軸上）的圖像不變，即得y=|cosx|的圖像

故選：D.

【點睛】本題考查通過函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性的知識點，屬于基礎題型.

2.函數(shù)）=的定義域為

7171

A.—,—B.kji--.kjiH—，左EZ

3333

C.2k7i--,2k7i+—,keZD.R

【答案】C

【解析】由cosx>^,結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可求解.

【詳解】函數(shù)昨Jcosx」有意義,須COSXN；,

TTTT

解得2k1---<x<2k7iH——,keZ,

33

TTIT

所以函數(shù)的定義域為2kK--,?.k7t+-,keZ.

故選：C.

【點睛】本題考查函數(shù)的定義域，熟練掌握三角函數(shù)的圖象是解題的關鍵，屬于基礎題.

3.已知函數(shù)y=2cosx的定義域為1,y,值域為[凡0，則b-a的值是

A.2B.3C.V3+2D.273

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義域，求出值域，也即求得6的值，進而求得6-。的值.

【詳解】由于TmTl,故cosxe-1,1，2COSX6[-2,1],即a=-2,6=1,6-a=3,故選

【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎題.對于定義域范圍不同的三角函數(shù)，

其值域可借助圖像來求解出來.

4.函數(shù)/'（x）=2cosx+cos2x+2（xeR）的最大值是（）

A.yB.5C.6D.1

【答案】B

【分析】先由余弦的二倍角公式對函數(shù)化簡，統(tǒng)一成余弦，然后配方利用余弦函數(shù)的有界

性可求得其最大值.

【詳解】

2(2111

〃x)=2cosx+cos2x+2=2cosx+2cosx-1+2=2cosx+cosx+—+—=2(cosx

42

4I+；,當cosx=l,即x=2配(左eZ)時，/(x)ma*=5.

故選:B.

【點睛】此題考查了余弦的二倍角公式，配方法，屬于基礎題.

5.若函數(shù)y=cos尤+kosx],xe[0,2兀]的大致圖像是

【分析】先去絕對值，化為分段函數(shù)，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出答案.

n兀3兀

0,—x—

【詳解】y=cosx+^osx|=<22

c八》—p*3兀_

2cosx,0x<一或——<x271

22

???y=85》在[0,9為減函數(shù)，在（弓，2加為增函數(shù)，并且函數(shù)值都大于等于0,

只有。符合,

故答案為。

【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，以及余弦函數(shù)的圖象，關鍵是化為分段函數(shù),

去絕對值，屬于基礎題.

6.在（一肛乃）內(nèi)，使cosa〉sina成立的。的取值范圍為

3〃713萬3兀

一匹一丁一肛一彳

A.T'7B.吟C.吟uD.

u>

【答案】A

【分析】畫出>=sinx,y=cosx在（r,兀）內(nèi)的圖像，根據(jù)圖像求出使cosa>sina成立的a

的取值范圍.

【詳解】畫出>=sinx,y=cosx在（-兀，兀）內(nèi)的圖像如下圖所示，由圖可知，使cosa>sine成

【點睛】本小題主要考查y=sinx和>=cos龍的圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,

屬于基礎題.

二、多選題

7.下列不等式中成立的是（）

.71271

A.sinl<sin—B.cos——>cos2

33

15IT4兀

C.cos（-70°）>sin18°D.sin>sin—

【答案】AC

【分析】根據(jù)正弦'=$也》在（0胃］單調(diào)遞增可判斷A,根據(jù)>=cosx在j單調(diào)遞減可

判斷B,根據(jù)誘導公式以及正余弦的單調(diào)性可判斷C,D.

【詳解】對A,因為V=sinx在］o,|J單調(diào)遞增，所以sinlvsin］,故A正確;

對B,因為］<2<兀，y=cosx在（與j單調(diào)遞減，所以cosg<cos2,故B錯誤；

對于C,cos(-70°)=cos70°=sin20°>sin18°,故C正確；

對于D,sin，=sin］,sinT=sin］>si吟，故D錯誤；

故選：AC

三、填空題

8.若COSX=2ZM+1,且WCR,則根的取值范圍是.

【答案】［T,0］

【分析】由余弦函數(shù)的值域有TW2m+lVl,即可求m的范圍.

【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)知：-l<2m+l<l,可得-1W加40.

故答案為：

9.方程cos［。-2x)=0的解集為.

【答案］，》》=-^|+導妝€2)

【分析】本題可根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果.

【詳解】因為85(?-2'|=0,

所以工_2x=%+后%，Bpx=--,x^--+—(klZ)

32122122V'

故方程，1-2工1=0的解集為［卜=培+?吟)，

故答案為：Ix=-正■+2-1(左eZ).

10.在［0,2萬)內(nèi)不等式2cosx+1<0的解集為.

【答案】■，等

【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【詳解】V2cosx+l<0,

cosX<—f

2

根據(jù)余弦曲線可得,

題型三正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【典例1]設直線/的斜率為后，且-IV左<道，直線/的傾斜角a的取值范圍為（

【答案】D

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系得到TVtana〈若，結(jié)合正切函數(shù)的圖象及ae[0,兀）,

數(shù)形結(jié)合得到直線1的傾斜角?的取值范圍.

【詳解】由題意得：-1<tancr<V3,

因為?！闧0,兀），且tan+=-1,tany=V3,

畫出y=tanx的圖象如下:

故選：D

【典例2】函數(shù)尸JlTanx的定義域為().

7兀7],77兀

A.也一~1，析,keZB.左兀+一,左￡Z

4

7兀7兀,兀，兀）,

C.kit-----,kitH—，左wZD.kitH—,kit-\—,《wZ

2442；

【答案】C

【分析】利用正切函數(shù)圖像可以得到結(jié)果.

7T

【詳解】由題意可得：1-tanx>0,且xWg+E,左EZ,

即tanx<1,

（7兀7兀］,

,?%￡/C71-----,/C7l-l----J,左￡Z,

\24」

故選：C.

【題型訓練】

一、單選題

1.方程百sinx+cosx=0的解集是（）

A.|x|x=kji.kGZjB.|x|x=Ikn-^kGZ

C.］、卜=ATT一今，后￡Z,D.\^x\x=kjrZ

【答案】C

【分析】把方程化為ta結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.

【詳解】由題意，方程Gsinx+cosx=0,可化為tanx=-X^

3

JTIT

解得》=后乃-7，keZ,即方程的解集為{刈工=左乃-7,左eZ}.

66

故選：C.

2.，q1?<8&￥”是"1211^<1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)充要條件的定義進行判斷即可.

TT

【詳解】充分性：當％=-萬時，sinx=-l,cosx=0sinx<cosxw,但是tanx不存在，即

“sinx<cosx”不能推出“tanx<1"，故充分性不滿足；

必要性：當》=四時，taru=-l符合taiw<l,此時S1nx=<cosx=-^不滿足

422

“sinxvcosx",即"tanx<l"不能推出"sinxccosx”,故充分性不滿足；

所以“sinx<cosx"是"tanx<1"的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.在（0,下）內(nèi)，使tanx>-6成立的x的取值范圍為（）

【分析】畫出y=s〃x（o<x<7i）和直線了=一右的圖象，由圖象可得不等式的解集.

由圖象可得tanx＞-V3，在（0,萬）上解集為，

故選B.

【點睛】本題考查利用正切函數(shù)的圖象解不等式，關鍵是掌握正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利

用數(shù)形結(jié)合思想求解.

4.a=2far+〃（左eZ）是tana=tan￡的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.既非充分也非必要條件D.充要條件

【答案】C

【分析】利用特值法，結(jié)合充分必要條件的定義即可

【詳解】由于夕=:,￡=苧滿足tana=tan〃，但推不出a=2E+〃便eZ）,故必要性不滿

足；

由于a=g,P=5滿足a=2?+〃（左eZ）,但正切值不存在，所以充分性不滿足；

所以a=2析+￡優(yōu)eZ）是tana=tan￡的既非充分也非必要條件

故選：C

5.若直線兀（0＜。＜1）與函數(shù)V=tanx的圖象無公共點，則不等式tanx22a的解集為

()

A.1x左兀+囚《工〈左兀+巴次￡Z：B.Qx左兀+囚《工〈左兀+工4￡Z：

II62J[|42J

C.jx卜兀+Vx<左兀+5,左￡（D.jx卜兀+：Wx<左兀+"

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得。無=j5r,得。=；1,從而轉(zhuǎn)化為解不等式tanxNl,利用正切函數(shù)的

性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為直線X=。兀與函數(shù)〉=1211工的圖象無公共點，且0<”1,

所以麗=兀g,所以。=1彳，

22

故tanx>2a可化為tanx>1,

jrjr

所以解得——\-krc<x<——Fk兀,keZ

42

所以不等式tanx22a的解集為1x1+后"Wx<5+上萬,左ez],

故選：B.

6.對于四個函數(shù)>=卜加|,7=|cosx|,j=sin|x|,y=tan|x|,下列說法錯誤的是（）

A.y=binx|不是奇函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對稱中心

B.>=|cosx|是偶函數(shù)，最小正周期是萬，有無數(shù)多條對稱軸

C.>=sin國不是奇函數(shù)，沒有周期，只有一條對稱軸

D.y=tanN是偶函數(shù)，最小正周期是萬，沒有對稱中心

【答案】D

【分析】利用圖象逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選