2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)的奇偶性與周期性理

函數(shù)的奇偶性與周期性1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個x，都有f

(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，假如對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)隨意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱2.周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，假如存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：假如在周期函數(shù)f(x)的全部周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思索1．假如函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．2．已知函數(shù)f(x)滿意下列條件，你能否得到函數(shù)f(x)的周期？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝eq\f(1,f

x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f

(x)對于定義域中隨意x，均有f

(x)＝f

(2a－x)，或f

(a＋x)＝f

(a－x)，則函數(shù)f

(x)關(guān)于直線x＝a對稱．1．（2024·山東卷）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿意的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由可得：或或解得或，所以滿意的的取值范圍是，2.（2024·天津卷）已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中全部正確結(jié)論的序號是A.① B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】因?yàn)?，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.3.（2024·江蘇卷）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是____.【答案】-4【解析】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以4．（2024·全國Ⅲ卷）設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，．，又在(0，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即.故選C．5．（2024·全國Ⅱ卷）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿意，且當(dāng)時，．若對隨意，都有，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，．∵時，；∴時，，；∴時，，，如圖：當(dāng)時，由解得，，若對隨意，都有，則.則m的取值范圍是.故選B.6．（2024·全國Ⅱ卷）已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若，則__________．【答案】-3【解析】由題意知是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，又因?yàn)?，，所以，兩邊取以為底?shù)的對數(shù)，得，所以，即．7．（2024·北京卷）設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于a的恒等式，據(jù)此可得a的值，然后利用可得a的取值范圍.，若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對隨意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（2024·江蘇卷）設(shè)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是▲.【答案】【解析】作出函數(shù)，的圖象，如圖：由圖可知，函數(shù)的圖象與的圖象僅有2個交點(diǎn)，即在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有2個不同的實(shí)數(shù)根，要使關(guān)于的方程有8個不同的實(shí)數(shù)根，則與的圖象有2個不同的交點(diǎn)，由到直線的距離為1，可得，解得，∵兩點(diǎn)連線的斜率，∴，綜上可知，滿意在(0,9]上有8個不同的實(shí)數(shù)根的k的取值范圍為.9．（2024·浙江卷）函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】令，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，解除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r，，所以解除選項(xiàng)C，故選D．10．（2024·全國Ⅱ卷）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意．若，則A． B．0C．2 D．50【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，從?故選C．11．（2024·江蘇卷）函數(shù)滿意，且在區(qū)間上，則的值為________．【答案】【解析】由得函數(shù)的周期為4，所以因此強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?深圳模擬）設(shè)是定義在上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)，時，，則，時，的解析式為A． B． C． D．【答案】B【解析】①當(dāng)，時，則，，因?yàn)楫?dāng)，時，，所以．又因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，所以．所以當(dāng)，時，．②當(dāng)，時，則，，因?yàn)楫?dāng)，時，，所以．又因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，所以．因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)，所以．所以由①②可得當(dāng)，時，．故選．2．（2024?東湖區(qū)校級一模）已知是定義在，上的偶函數(shù)，那么的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得：，，又，，．故選．3．（2024秋?上高縣校級月考）已知一個奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，則A． B．1 C．0 D．2【答案】A【解析】因?yàn)橐粋€奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，依據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以與有一個等于1，一個等于，所以．故選．4．（2024?廣東學(xué)業(yè)考試）設(shè)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，等于A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，代入函數(shù)在上的解析式，得，是奇函數(shù)，，故選．5．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式是A． B． C． D．【答案】A【解析】任取則，時，，，①又函數(shù)在上為奇函數(shù)②由①②得時，故選．6．（2024秋?正定縣校級期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，表達(dá)式是A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，．故選．7．（2024?西湖區(qū)校級模擬）若函數(shù)為奇函數(shù)，則必有A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)為奇函數(shù)故選．8．（2024?射洪市校級一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，解可得，則，變形可得，則有，解可得，即函數(shù)的值域?yàn)?；故選．9．（2024?瀘州四模）已知函數(shù)，則下列關(guān)系不正確的是A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)在上單調(diào)遞減 C．是函數(shù)的唯一零點(diǎn) D．函數(shù)是周期函數(shù)【答案】D【解析】因?yàn)?，則，故正確；，故在上單調(diào)遞減，正確；由在上單調(diào)遞減且可得為函數(shù)的唯一的零點(diǎn)，正確；由于為周期函數(shù)，但不是周期函數(shù)，故不是周期函數(shù)，故錯誤．故選．10．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知奇函數(shù)滿意：對一切，且，時，，則A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，對隨意都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有，故，即函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，則，又由，時，，則，故選．11．（2024?南充模擬）已知定義在上的函數(shù)滿意：，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)，時，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且函?shù)是偶函數(shù)，所以且，可得，，即，所以，，兩式相減可得，即函數(shù)的周期，因?yàn)楫?dāng)，時，，則故選．12．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若，則A．2 B．0 C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，，則，則有，又由，則；故選．13．（2024?興慶區(qū)校級模擬）設(shè)是奇函數(shù)且滿意，當(dāng)時，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】是奇函數(shù)且滿意，可得，函數(shù)的周期為2．．故選．14．（2024春?紅崗區(qū)校級期末）定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若（1），則A． B．0 C．2 D．3【答案】B【解析】為偶函數(shù)，，即關(guān)于對稱，是奇函數(shù)，，且，即，得，則函數(shù)的周期是8，則（3）（1），（4），（5）（1），則，故選．15．（2024春?荊門期末）已知一個奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，則A． B．3 C．0 D．1【答案】A【解析】依據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可知，．故選．16．（2024春?河南期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是增函數(shù) B．函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是減函數(shù) C．函數(shù)在上既是偶函數(shù)，也是增函數(shù) D．函數(shù)在上既是偶函數(shù)，也是減函數(shù)【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù)，因?yàn)?，且與均為增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)．故選．17．（2024春?常德期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】是定義在上的奇函數(shù)，且時，，．故選．18．（2024春?濟(jì)寧期末）定義在上的偶函數(shù)，記，，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，則，即，則當(dāng)時，為增函數(shù)，，，，則，則，即，即，故選．19．（2024春?泉州期末）已知奇函數(shù)滿意，當(dāng)時，，則A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，，即的周期為4，且是奇函數(shù)，時，，（1）．故選．20．（2024春?寧波期末）若函數(shù)，的定義域均為，且都不恒為零，則A．若為偶函數(shù)，則為偶函數(shù) B．若為周期函數(shù)，則為周期函數(shù) C．若，均為單調(diào)遞減函數(shù)，則為單調(diào)遞減函數(shù) D．若，均為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)【答案】D【解析】依據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，若為偶函數(shù)，則可能為奇函數(shù)，而為偶函數(shù)，如，，錯誤；對于，若為周期函數(shù)，可能為周期函數(shù)，如．，錯誤；對于，當(dāng)，，均為單調(diào)遞減函數(shù)，而，不是減函數(shù)，錯誤；對于，若，均為奇函數(shù)，對于，有，為奇函數(shù)，正確；故選．21．（2024?包頭二模）已知函數(shù)，則A．在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減 C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】C【解析】依據(jù)題意，函數(shù)，有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?；，設(shè)，則，在區(qū)間上，為增函數(shù)，為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，在區(qū)間上，為減函數(shù)，為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，故錯誤；函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，故函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，正確，錯誤；故選．22．（2024?4月份模擬）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則常數(shù)A． B．1 C．1或 D．0【答案】A【解析】可知函數(shù)為偶函數(shù)，則（1），即，解得，將代入解析式驗(yàn)證，符合題意．故選．23．（2024?白山模擬）已知函數(shù)，且滿意，則（6）A．29 B．11 C．3 D．5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，所以時，，，（6），故選．24．（2024?桃城區(qū)校級模擬）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的是A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)為所求函數(shù)圖象上的隨意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對稱的點(diǎn)是．由題意知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則．即．故選．25．（2024?西湖區(qū)校級模擬）的圖象下列敘述正確的是A．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于軸對稱 C．關(guān)于軸對稱 D．沒有對稱性【答案】C【解析】，，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱故選．26．（2024?馬鞍山三模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，則不等式（1）的解集是A．，， B． C．，， D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱，又由在上單調(diào)遞減，則在，上單調(diào)遞增，若（1），則有，即或，即或，即不等式的解集為，，；故選．27．（2024?龍鳳區(qū)校級模擬）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．【答案】A【解析】，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故正確；為奇函數(shù)，不符合題意；為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；為非奇非偶函數(shù)，不符合題意．故選．28．（2024?讓胡路區(qū)校級三模）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，由可得，故選．29．（2024?運(yùn)城模擬）偶函數(shù)對于隨意實(shí)數(shù)，都有成立，并且當(dāng)時，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】對隨意實(shí)數(shù)都有，由于為偶函數(shù)，所以．所以．所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)．所以．故選．30．（2024?鄭州三模）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支紀(jì)年法是按依次以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，其次年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，，以此類推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新起先，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新起先，即“丙子”，以此類推已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國成立70年時為A．丙酉年 B．戊申年 C．己申年 D．己亥年【答案】D【解析】天干是以10為構(gòu)成的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1949年到2029年經(jīng)過70年，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項(xiàng)，則，則2024的天干為己，余10，則2024的地支為亥，故選．31．（2024?遼陽二模）“干支紀(jì)年法”是我國歷法的一種傳統(tǒng)紀(jì)年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又與十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”依次對應(yīng)，“天干”以“甲”字起先，“地支”以“子”字起先，兩者按干支依次相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配依次為甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡年是“干支紀(jì)年法”中的庚子年，那么2086年誕生的孩子屬相為A．猴 B．馬 C．羊 D．雞【答案】B【解析】六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡，即周期是60，2086年與2026年一樣，2024年是庚子年，2024年是辛丑年，2024年是壬寅年，2024年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，則2086年誕生的孩子屬相為馬．故選．32．（2024?泰安一模）已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)，時，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4，當(dāng)，時，，；；；故選．33．（2024?湖北模擬）中國歷法推想遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷g(shù)uǐ影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實(shí)測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是依據(jù)等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的．下表為《周髀算經(jīng)》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中寸表示115寸分寸分）．節(jié)氣冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）驚蟄（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（處暑）立夏（立秋）小滿（大暑）芒種（小暑）夏至晷影長（寸）13575.516.0已知《易經(jīng)》中記錄某年的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，依據(jù)上述規(guī)律那么《易經(jīng)》中所記錄的春分的晷影長應(yīng)為A．91.6寸 B．82.0寸 C．81.4寸 D．72.4寸【答案】D【解析】由題意，晷影長則是依據(jù)等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的，冬至晷影長為130.0寸，設(shè)為，夏至晷影長為14.8寸，則為，春分的晷影長為；；即春分的晷影長為72.4．故選．34．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知符號函數(shù)，偶函數(shù)滿意，當(dāng)，時，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，由，可知函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)．當(dāng)，時，，是偶函數(shù)，當(dāng)，時，．函數(shù)圖象如下：依據(jù)圖可得，，故，選項(xiàng)不正確；很明顯，當(dāng)，時，，，選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)不正確；當(dāng)時，（2），，故選項(xiàng)不正確故選．35．（2024?渭南二模）已知函數(shù)滿意和，且當(dāng)，時，，則關(guān)于的方程在，上解的個數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由題意可得，函數(shù)為偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)．方程在，上解的個數(shù)，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在，上的交點(diǎn)個數(shù)，再依據(jù)當(dāng)，時，，畫出函數(shù)在，上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在，內(nèi)存在兩個交點(diǎn)，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在，上的交點(diǎn)個數(shù)為5，故選．36．（2024秋?大理市校級期末）函數(shù)，若（5），則__________．【答案】【解析】令則為一個奇函數(shù)又（5），（5），，故答案為：．37．（2024?西湖區(qū)校級模擬）為奇函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時，__________．【答案】【解析】為奇函數(shù)，時，，當(dāng)時，，，即時，，故答案為：．38．（2024?綿陽模擬）偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，（4），則（2）__________．【答案】【解析】偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，由（4），即有（4），即有（4）（2），則（2），故答案為：．39．（2024秋?馬山縣期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，并滿意，當(dāng)時，則等于__________．【答案】【解析】，即函數(shù)的周期為4是定義在上的偶函數(shù)，則有故答案為：．40．（2024秋?太湖縣校級期中）定義在上的偶函數(shù)滿意：對隨意的，，，有．則（3），，（1）的大小依次是__________．【答案】（1）（3）【解析】是偶函數(shù)（2）又隨意的，，，有，在，上是減函數(shù)，又，（1）（2）（3），故答案為：（1）（3）．41．（2024?一模擬）函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】依據(jù)偶函數(shù)的定義可得，對定義域得隨意都成立，即對定義域內(nèi)得隨意的都成立，整理可得，，，故答案為：．42．（2024?惠州模擬）已知定義在上的函數(shù)滿意條件，且函數(shù)是奇函數(shù)，給出以下四個命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱；③函數(shù)是偶函數(shù)；④函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)．在上述四個命題中，正確命題的序號是__________（寫出全部正確命題的序號）【答案】①②③【解析】對于①：函數(shù)是周期函數(shù)且其周期為3．①對對于②：是奇函數(shù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱又函數(shù)的圖象是