2024年高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)考點(diǎn)《集合及其運(yùn)算》含答案解析

高中

專題01集合及其運(yùn)算（考點(diǎn)清單）

目錄

一、思維導(dǎo)圖...................................................................2

二、知識(shí)回歸...................................................................2

三、典型例題講與練.............................................................4

考點(diǎn)清單01：元素與集合的關(guān)系...............................................4

【期末熱考題型11判斷元素與集合的關(guān)系...................................4

【期末熱考題型2】分類討論法解決元素與集合的關(guān)系問題.....................5

【期末熱考題型3】分類討論法解決集合中元素的個(gè)數(shù)問題.....................5

考點(diǎn)清單02：集合中元素的特性...............................................6

【期末熱考題型1】集合中元素的特性.......................................6

考點(diǎn)清單03：集合的表示方法.................................................7

【期末熱考題型1】強(qiáng)化描述法中一般元素代表...............................7

考點(diǎn)清單04：集合之間的基本關(guān)系..............................................7

【期末熱考題型1】子集（真子集）個(gè)數(shù).....................................7

【期末熱考題型2】根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍.........................8

考點(diǎn)清單05：集合的基本運(yùn)算.................................................9

【期末熱考題型11集合的綜合運(yùn)算.........................................9

【期末熱考題型2］分類討論法解決集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍...........9

考點(diǎn)清單06：集合的實(shí)際應(yīng)用.................................................11

【期末熱考題型1】ve〃〃圖解決集合運(yùn)算問題................................11

高中1

高中

一、思維導(dǎo)圖

二、知識(shí)回歸

知識(shí)回顧1:元素與集合

（1）集合元素的三大特性：確定性、互異性（解題注意回代檢驗(yàn)集合元素互異性）、無序

性.

（2）元素與集合的關(guān)系：屬于（aeN）或不屬于（bO

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、venn（韋恩圖法）；注意描述法書寫格式，一般

元素代表，共同特征；

高中2

高中

知識(shí)回顧2：集合間的基本關(guān)系

（1）子集：若對(duì)任意xeN,都有xeB,則/口5或8二Z.

venn圖表示：

（2）真子集：若止B,且集合8中至少有一個(gè)元素不屬于集合N,則NOB

venn圖表示:

（3）相等：若4小,且8口2,則N=3.

A（B）

（4）空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

知識(shí)回顧3：集合的基本運(yùn)算

（1）并集一般地，由所有屬于集合4或?qū)儆诩?的元素組成的集合稱為集合/與集合

8的并集，記作AUB（讀作：/并8）.記作：^U5={x|xeJ^xe5}.

并集的性質(zhì)：A\JB=B\JA,A^A\JB,B^AHB,A\JA=A,A{J0=A.

高頻性質(zhì)：若=

（2）交集一般地，由既屬于集合/又屬于集合8的所有元素組成的集合即由集合/和集

合8的相同元素組成的集合，稱為集合N與集合6的交集，記作幺口8（讀作：4交

8）.記作：n5=-[x|xeA^Lxe.

交集的性質(zhì)：A[\B=B^A,A[}B^A,A[}B^B,A^A=A,A^0=0.

高中3

高中

高頻性質(zhì)：若ACB=B=B匚A.

圖形語言

(3)全集與補(bǔ)集：全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)

給定的集合叫做全集，常用。表示，全集包含所有要研究的這些集合.

補(bǔ)集：設(shè)。是全集，/是。的一個(gè)子集(即/三。)，則由。中所有不屬于集合/的元素

組成的集合，叫做U中子集Z的補(bǔ)集，記作CVA,即。/二卜卜6。且xwN}.

補(bǔ)集的性質(zhì)：AUCuA=U,AHCuA=0,Cu(CuA)=A.

知識(shí)回顧4：容斥原理

一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集8card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AC\B)

三、典型例題講與練

考點(diǎn)清單01：元素與集合的關(guān)系

【期末熱考題型11判斷元素與集合的關(guān)系

【解題方法】緊抓屬于(e)和不屬于(W)兩個(gè)關(guān)系

【典例1】(2023上?廣東廣州?高三華南師大附中?？茧A段練習(xí))己知集合

M=|X6N|-^<O!,則()

A.leMB.2eMC.3wMD.41M

【典例2】(2023上?上海浦東新?高一上海南匯中學(xué)?？计谥?非空集合A具有下列性質(zhì):

①歹￡/，則一￡/;例X,歹￡/,則、+歹￡力，下列判斷一定成立的序號(hào)是.

y

2023

(1)-l^A(2)------eA(3)若％,貝"x—ye/(4)若x,'￡4、貝！J

2024

xyeA

【專訓(xùn)LD(2023上?廣東惠州?高一校聯(lián)考階段練習(xí))下列說法正確的有()

高中4

高中

i4

@-eQ；②百eN*;③-leN；④2+0eQ;⑤/Z.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【專訓(xùn)1-21（多選）（2023上?貴州遵義?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知由實(shí)數(shù)組成的非空集合/

1-LV

滿足：若xe/,則與€/.下列結(jié)論正確的是（）.

L-X

A.若2e4則—二e/

2

B.O^A

C./可能僅含有2個(gè)元素

D./所含的元素的個(gè)數(shù)一定是4〃（"eN+）

【期末熱考題型2】分類討論法解決元素與集合的關(guān)系問題

【解題方法】緊抓屬于（e）和不屬于（色）兩個(gè)關(guān)系，同時(shí)注意檢查集合元素的互異性

【典例1】（多選）（2023上?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合

/={a—2,2a~+5a,l+2a},—3EA,則°的值為（）.

3

A.-1B.—C.1D.-2

2

【典例2】（2023上?山東青島?高一山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合

,若3e/且-2e/,貝段的取值范圍為

【專訓(xùn)1-1162023上?上海松江?高一?？计谥校┮阎?=,若2代/,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【期末熱考題型3】分類討論法解決集合中元素的個(gè)數(shù)問題

【解題方法】分類討論+A判別法

【典例1】（2023上?上海嘉定?高一?？计谥校┮阎?={x|a？-3x+2=0,aeR,xeR）

（1）若N中只有一個(gè)元素，求。的值

⑵若/中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍

（3）若Na（0,+8）,求a的取值范圍

高中5

高中

【典例2】（2023上?湖北武漢?高一武漢市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合

A=1x|（7x2+te+l=0,aeR,Z>eRy,求：

（1）當(dāng)b=2時(shí)，A中至多只有2個(gè)子集，求。的取值范圍;

（2）當(dāng)“、6滿足什么條件時(shí)，集合A為空集.

【專訓(xùn)1-1]（2023上?遼寧沈陽?高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）已知集合

/邛辰2-4x+2=0},若/中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)加的取值集合為.

【專訓(xùn)1-2】（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知集合A中的元素x滿足ax2-3x+l=0,

q￡R.

（1）若leN,求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若A為單元素集合，求實(shí)數(shù)。的值；

（3）若A為雙元素集合，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

考點(diǎn)清單02：集合中元素的特性

【期末熱考題型1】集合中元素的特性

【解題方法】集合的互異性，確定性，無序性，特別注意互異性

【典例1】（2022上?湖南邵陽?高一邵陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知alR,b\R,若

集合”,■!，,={/,0+d0},則"。22+,23的值為（）

A.-2B.1C.-1D.2

【典例2】（2023下?湖南岳陽?高一?？茧A段練習(xí)）若集合{0,-1,2°}={"1,-同,°+1},實(shí)

高中6

高中

數(shù)。的值為

【專訓(xùn)1-1］（2023上?福建泉州?高一福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若

［1,。,一；=+%},貝［Ja+6=.

【專訓(xùn)1-2］（2021上?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期中）已知集合/=一5a+6},若2e4

則實(shí)數(shù)。的值構(gòu)成的集合為

考點(diǎn)清單03：集合的表示方法

【期末熱考題型D強(qiáng)化描述法中一般元素代表

【解題方法】抓住集合表示方法的定義

【典例1】（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）集合N=［xeZ,三eN，用列舉法表示為（）

A.{-2}B.{-2,2}

C.{-2,2,4}D.{-2,2,4,5}

【典例2】（2023上?上海徐匯?高一上海中學(xué)?？计谥校┘锨乙唬踖N］可用列

舉法表示為.

【專訓(xùn)1-1］（2023上?河南商丘?高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）集合

［y^y=^3，XeZ,yeZ］中的元素個(gè)數(shù)為.

【專訓(xùn)1-2］（2023上?江西南昌?高一校考階段練習(xí)）設(shè)集合N=則

集合/=.

考點(diǎn)清單04：集合之間的基本關(guān)系

【期末熱考題型11子集（真子集）個(gè)數(shù)

【解題方法】可以用公式計(jì)算或者直接列舉

【典例1】（2023上?重慶渝北?高一重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合

高中7

高中

^={X|X2-8X+15=0},集合5={x|辦-1=0},若8=/,則實(shí)數(shù)。取值集合的真子集的個(gè)

數(shù)為（）

A.2B.3C.7D.8

【典例2】（2023上?廣東湛江?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）己知集合

N={xeN|-24工41},8={》€(wěn)2]國42},則/c8的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【專訓(xùn)1-1]（2023上?廣東廣州?高一?？计谥校┰O(shè)/,2是全集/={1,2,3,4,5,6}的子集,

/={1,2},則滿足/U2的3的個(gè)數(shù)是（）

A.14B.15C.16D.17

【專訓(xùn)1-2】（2023上?天津河?xùn)|?高一天津市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合

U={1,2,3,4,5},/={1,3,5},3={2,3,5},則圖中陰影部分表示的集合的真子集個(gè)數(shù)

【期末熱考題型2】根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍

【解題方法】數(shù)軸法，列舉法，注意不要忽視空集

【典例1】（2023上?江西贛州?高一贛州市第三中學(xué)校聯(lián)考期中）若集合/={小-1<0},

8=且4=8,則〃的取值范圍是（）

A.（0,11]B.[0,11]

C.[11,+00）D.（-co,H]

【典例2】（2023上?北京?高一?？计谥校┰O(shè)全集U=R,集合幺=（"+6）,/eR,集合

（I答>4

⑴若f=-3求NcB和（QN）U8；

（2）若4g8,求f的取值范圍.

高中8

高中

【專訓(xùn)1-1]（多選）（2023上?湖北省直轄縣級(jí)單位?高一?？计谥校┘褐?/p>

A=[X\X2-3X+2=0],B={x|（x-2）（ax-2）=0},若8=則實(shí)數(shù)0的值可以為（）

A.2B.1C.0D.-1

【專訓(xùn)1-2]（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知集合/={x|-2<x<5},

B={x\m+1<x<2m-1},若8口4,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

考點(diǎn)清單05：集合的基本運(yùn)算

【期末熱考題型11集合的綜合運(yùn)算

【解題方法】并交補(bǔ)定義

【典例1】（2023上?江蘇蘇州?高一江蘇省蘇州第十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合U=R,

集合A/={x|x<l},N={x\-\<x<i],則{x|x>-l}=（）

A.Q,（MUN）B.NU0MC.陽McN）D.Mu0N

【典例2】（2022上?山東聊城?高一?？茧A段練習(xí)）己知集合。=向％<4},集合

/={x|-2<x<3},8={引-34x42}.求：

⑴/C3；

⑵（qM）U3.

【專訓(xùn)1-1】（2023上?江西撫州?高一統(tǒng)考期中）已知集合N={x|xN2},S={x|x<l},則

4（/口8）=（）

A.0B.（1,2]

C.[1,2）D.S）U[2,”）

【專訓(xùn)1-2]（2023上?江蘇南京?高一南京市第十三中學(xué)?？计谥校┰O(shè)全集。={01,2,4,6},

集合M={0,4,6},N={0,l,6},則MU（%V）=（）

A.{0,2,4,6}B.{0,1,4,6}

高中9

高中

C.{1,2,4,6)D.U

【期末熱考題型2】分類討論法解決集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍

【解題方法】根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果，推出包含關(guān)系，借助數(shù)軸或通過列舉求參數(shù)

【典例1】(2023上?河南南陽?高一?？茧A段練習(xí))已知集合

/={4一2<x<3},2=2Vxe機(jī)+9}.

(1)若機(jī)=-3,求/uB,及。(/cB)

(2)若(Q8)c/=0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【典例2】(2023上?北京西城?高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?已知集合/=,卜-1|<2},

B={x,2-6ax+5a2<o}.

⑴若。=1,求Nu3；

(2)請(qǐng)?jiān)跅l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)a

滿足該條件，并求出。的范圍.

@A^\B=B②ADB=B；③

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【專訓(xùn)1-1](2023上?江蘇無錫?高一江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知集合

x-5

xm+1<x<2m-1}.

x+2

(1)當(dāng)m=3時(shí)，求集合/n(Q8)；

(2)若/門8=8,求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

高中10

高中

【專訓(xùn)1-2］（2023上?廣東湛江?高一統(tǒng)考期中）已知集合

/={耳-34xW7},8={x,+lWx42/-2}.

（1）在①②4uB=4,③/AB=2三個(gè)條件中任選一個(gè)，作為下面問題的條件,

并解答.

問題：當(dāng)集合48滿足時(shí)，求f的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第

一個(gè)解答計(jì)分.

（2）若/c8=0,求f的取值范圍.

考點(diǎn)清單06：集合的實(shí)際應(yīng)用

【期末熱考題型1】ve〃〃圖解決集合運(yùn)算問題

【解題方法】利用venn圖解

【典例1］（2023上?遼寧?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日

至10月8日舉行，經(jīng)調(diào)查，亞運(yùn)會(huì)中球類、田徑類、游泳類比賽深受學(xué)生喜愛.小明統(tǒng)計(jì)

了其所在班級(jí)50名同學(xué)觀看球類、田徑類、游泳類比賽情況，每人至少觀看過其中一類比

賽，有15人觀看過這3類比賽，18人沒觀看過球類比賽，20人沒觀看過田徑類比賽，16

人沒觀看過游泳類比賽，因不慎將觀看過其中兩類比賽的人的數(shù)據(jù)丟失，記為小,則由上

述可推斷出加=（）

A.16B.17C.18D.19

【典例2】（2021上?江蘇徐州?高一徐州市第七中學(xué)?？计谥校W(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一

（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參

加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3

人,沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，同時(shí)參加由徑和球類比賽的有人?只參加游泳一項(xiàng)

比賽的有人？

【專訓(xùn)1-1］（多選）（2022上?全國?高一階段練習(xí)）對(duì)于集合A,3,我們把集合

且了任團(tuán)，叫作集合A和3的差集，記作例如：/={1,2,3,4,5},8={4,5,6,7,8},

則有/-2={1,2,3},B-A={6,7,8},下列解答正確的是（）

A.已知/={4,5,6,7,9},3={3,5,6,8,9},則2-4={3,7,8}

高中11

高中

B.已知/={x|x<-l或x>3},B-{x\-2<x<A],貝!!/-3={x|x<-2或xN4}

C.如果4-8=0,那么/=2

D.已知全集。、集合A、集合8關(guān)系如上圖中所示，則/-8=及

【專訓(xùn)1-2]（2023上?北京?高一北京市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）1881年英國數(shù)學(xué)家約翰?

維恩發(fā)明了Venn圖，用來直觀表示集合之間的關(guān)系.全集U=R,集合

M={x|/-2辦+4<0},N={x|14x42}的關(guān)系如圖所示，其中區(qū)域I,II構(gòu)成"，區(qū)域

II,III構(gòu)成N.若區(qū)域I,II,III表示的集合均不是空集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

高中12

高中

專題01集合及其運(yùn)算（考點(diǎn)清單）

目錄

一、思維導(dǎo)圖...................................................................2

二、知識(shí)回歸...................................................................2

三、典型例題講與練.............................................................4

考點(diǎn)清單01：元素與集合的關(guān)系...............................................4

【期末熱考題型11判斷元素與集合的關(guān)系...................................4

【期末熱考題型2】分類討論法解決元素與集合的關(guān)系問題.....................6

【期末熱考題型3】分類討論法解決集合中元素的個(gè)數(shù)問題.....................7

考點(diǎn)清單02：集合中元素的特性...............................................10

【期末熱考題型1】集合中元素的特性......................................10

考點(diǎn)清單03：集合的表示方法.................................................12

【期末熱考題型1】強(qiáng)化描述法中一般元素代表..............................12

考點(diǎn)清單04：集合之間的基本關(guān)系.............................................13

【期末熱考題型1】子集（真子集）個(gè)數(shù)....................................13

【期末熱考題型2】根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍........................14

考點(diǎn)清單05：集合的基本運(yùn)算.................................................16

【期末熱考題型1】集合的綜合運(yùn)算........................................16

【期末熱考題型2］分類討論法解決集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍..........17

考點(diǎn)清單06：集合的實(shí)際應(yīng)用................................................20

【期末熱考題型1】ve〃〃圖解決集合運(yùn)算問題...............................20

高中13

高中

一、思維導(dǎo)圖

二、知識(shí)回歸

知識(shí)回顧1:元素與集合

（1）集合元素的三大特性：確定性、互異性（解題注意回代檢驗(yàn)集合元素互異性）、無序

性.

（2）元素與集合的關(guān)系：屬于（aeN）或不屬于（bO

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、venn（韋恩圖法）；注意描述法書寫格式，一般

元素代表，共同特征；

高中14

高中

知識(shí)回顧2：集合間的基本關(guān)系

（1）子集：若對(duì)任意xeN,都有xeB,則/口5或8二Z.

venn圖表示：

（2）真子集：若止B,且集合8中至少有一個(gè)元素不屬于集合N,則NOB

venn圖表示:

（3）相等：若4小,且8口2,則N=3.

A（B）

（4）空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

知識(shí)回顧3：集合的基本運(yùn)算

（1）并集一般地，由所有屬于集合4或?qū)儆诩?的元素組成的集合稱為集合/與集合

8的并集，記作AUB（讀作：/并8）.記作：^U5={x|xeJ^xe5}.

并集的性質(zhì)：A\JB=B\JA,A^A\JB,B^AHB,A\JA=A,A{J0=A.

高頻性質(zhì)：若=

（2）交集一般地，由既屬于集合/又屬于集合8的所有元素組成的集合即由集合/和集

合8的相同元素組成的集合，稱為集合N與集合6的交集，記作幺口8（讀作：4交

8）.記作：n5=-[x|xeA^Lxe.

交集的性質(zhì)：A[\B=B^A,A[}B^A,A[}B^B,A^A=A,A^0=0.

高中15

高中

高頻性質(zhì)：若ACB=B=B匚A.

圖形語言

(3)全集與補(bǔ)集：全集：在研究某些集合的時(shí)候，它們往往是某個(gè)給定集合的子集，這個(gè)

給定的集合叫做全集，常用。表示，全集包含所有要研究的這些集合.

補(bǔ)集：設(shè)。是全集，/是。的一個(gè)子集(即/三。)，則由。中所有不屬于集合/的元素

組成的集合，叫做U中子集Z的補(bǔ)集，記作CVA,即。/二卜卜6。且xwN}.

補(bǔ)集的性質(zhì)：AUCuA=U,AHCuA=0,Cu(CuA)=A.

知識(shí)回顧4：容斥原理

一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集8card{AU5)=card(A)+card(B)-card(AAB)

三、典型例題講與練

考點(diǎn)清單01：元素與集合的關(guān)系

【期末熱考題型11判斷元素與集合的關(guān)系

【解題方法】緊抓屬于(e)和不屬于(w)兩個(gè)關(guān)系

【典例1】(2023上?廣東廣州?高三華南師大附中校考階段練習(xí))己知集合

M=Jx6N|-^<ol,則（）

A.leMB.2cMC.3eMD.41M

【答案】A

1

【詳解】由題意可得:<0={xGN|x-2<0}={xGN|x<2}={0,1},

x—2

所以IE",2^M,3史M,4e

故選：A.

【典例2】(2023上?上海浦東新?高一上海南匯中學(xué)?？计谥?非空集合A具有下列性質(zhì):

Y

.X,歹￡/，則一￡/；的工,歹￡/，則入+歹￡力，下列判斷一定成立的序號(hào)是.

y

高中16

高中

(1)-\iA(2)------eA(3)若x,yeA,貝(4)若x,yeA則

2024y

xyeA

【答案】(1)(2)(4)

【詳解】假設(shè)-1",貝廢x=N=-l,

X

貝jj——1G,x+j/——2GA,

y

令x=-l,y=l,

x

貝|一=一1￡%，x+y=0eA,

y

令x=-l,》=o,

X

不存在一，即ywO,矛盾，

y

所以—ie”，(i)對(duì)；

由題知，1￡/，

則1+1=2-,2+1=3〃，

…2023￡42024”,

因?yàn)?￡4,2￡4,

若x=2/=l,

貝ljx-y=l￡4,(3)錯(cuò)；

因?yàn)?^4,xeA,

所以L3,

X

=

pTA■?-We4,

又ylA,￡,(4)對(duì).

x

故答案為：(1)(2)(4)

【專訓(xùn)1-1](2023上?廣東惠州?高一校聯(lián)考階段練習(xí))下列說法正確的有()

@-eQ；②百eN*；③TeN；④2+0eQ；⑤/Z.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【詳解】*是有理數(shù)，故①正確；g不是正整數(shù)，故②錯(cuò)誤;

4

-1不是自然數(shù)，故③錯(cuò)誤；2+/不是有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；］=2是整數(shù)，故⑤錯(cuò)誤.

高中17

高中

故正確的有1個(gè).

故選：A.

【專訓(xùn)1-2]（多選）（2023上?貴州遵義?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知由實(shí)數(shù)組成的非空集合/

滿足：若xe/,則—e/.下列結(jié)論正確的是（）.

1-X

A.若2e4則一1e/

2

B.QiA

C./可能僅含有2個(gè)元素

D./所含的元素的個(gè)數(shù)一定是4"（〃eN+）

【答案】ABD

【詳解】若2eA,則-3e/,――GA,A正確.

]+Y

若OeZ,貝心$4,而;一￡力中分母不能為0,即xwl,所以0e力，B正確.

l-x

1l+x

]----------------1

若xe/,則產(chǎn)土e/,所以一4^=——e/,

1-x|1+xx

l-x

1]1%一]

1——1+------

所以一f=——^-=XEA.

1+1x+11上

XX+1

若產(chǎn)=X,即x2+l=0,此方程無實(shí)數(shù)解，所以罟WX,

171-X

若-工=x,即/=一1,此方程無實(shí)數(shù)解，所以-

XX

若二=X,即工2=-1,此方程無實(shí)數(shù)解，所以二■wx,

x+1X+1

LLr、t-PR/ntl1+X,1.X—1E1+X1X—\7-_Lt-tf

所以右則:;---A,—EA,---------GA,且x,------,—，---互不相等.

l-xxx+1l-xxx+1

所以/所含的元素的個(gè)數(shù)一定是4〃（〃eN+）,非空集合/所含的元素最少有4個(gè)，C錯(cuò)誤,

D正確.

故選：ABD.

【期末熱考題型2】分類討論法解決元素與集合的關(guān)系問題

【解題方法】緊抓屬于（e）和不屬于（W）兩個(gè)關(guān)系，同時(shí)注意檢查集合元素的互異性

【典例1】（多選）（2023上?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合

高中18

高中

力={。-2,2/+5Q,1+2Q},-3eA,則。的值為().

A.-1D.-2

【答案】BD

2

【詳解】-3GAfA=^a-2,2a+5a,\+2tz|,

得-3=。-2或—3=2a2+5。或1+2。=—3,

3

解得〃=-1或或〃=-2,

?.當(dāng)Q=-1時(shí)，〃-2=-3,2Q2+5Q=-3,不符合集合中元素的互異性，故Q=-1舍去;

37

當(dāng)Q=—/時(shí)，a—2=――,2/+5Q=—3,1+2。=—2,滿足題意；

當(dāng)〃=—2時(shí)，a-2=-4,2/+5a=—2,1+2a=—3,滿足題意.

故選：BD.

【典例2】（2023上?山東青島?高一山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合

/=1」產(chǎn)三40]，若3e/且一2e/,貝壯的取值范圍為.

【答案】同34.44}

【詳解】根據(jù)題意，3eA,則泮40,即（"3乂〃+6）20且"一6,

解得Q<-6或Q23;

一2e/,或2x(_2)+a=0

即（a+2）（a-4）<0,或a=4,故一2<aW4；

綜上所述，ae{a|3<a<4}.

故答案為：{a|3<a<4}.

【專訓(xùn)1-1】62023上?上海松江?高一?？计谥校┮阎?=[紀(jì)工若2任

[|x-a

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】0,2]

【詳解】集合/=若2任故^^>0或2-a=0,解得l<aV2.

1|x-aJ2-a

故答案為：（1,2].

高中19

高中

【典例2】（2023下?湖南岳陽?高一?？茧A段練習(xí)）若集合{0,T2a}={"l,-同,a+1},實(shí)

數(shù)。的值為

【答案】±1

【詳解】令/={。,-1,2a},B={a—19-\a\9a-^-l}9

{0?-1?2a}={a—1,—|tz|,a+。,

若?！?=0,則。=1,則”3={0,一1,2},滿足要求；

若一同=0,則4=0,而A中元素2QW0,矛盾；

若a+1=0,則〃=-1,則“={。,-1,—2},8={0,一1,-2},滿足要求；

故實(shí)數(shù)。的值為±1.

故答案為：±1

【專訓(xùn)1-1]（2023上?福建泉州?高一福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若

[1,。,一}二{o,/,。+b},則Q+6=.

【答案】-1

【詳解】解：由題意，?..集合[1,。,2]中有元素2,

LaJa

二.aw0,

=0,則b=0,

a

??a+b=a,

6Z2=1,解得：4=1或。=一1,

當(dāng)a=l時(shí)，=不滿足集合中元素的互異性，故舍去a=l；

當(dāng)a=-l時(shí)，|l,a,|j={l,-l,0},{0,a2,a+b}={0,l,-l},

滿足}。，一}={。,。2,°+6},

a=-l,則a+b=Q=-l.

故答案為：T.

【專訓(xùn)1-2]（2021上?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考期中）已知集合/={a,l,/-5a+6},若2e4

則實(shí)數(shù)。的值構(gòu)成的集合為.

【答案】{2,4}/{4,2}

高中23

高中

【詳解】因?yàn)榧?={。,1,。2-54+6},且2eZ

所以2=?；?=/-5。+6

（1）當(dāng)。=2時(shí)，止匕時(shí)/-5a+6=0,/={2,1,0}符合題意.

（2）當(dāng)2=/-5。+6時(shí)，解得。=1或。=4

當(dāng)。=1時(shí)，與集合元素的互相性矛盾，舍去；

當(dāng)a=4時(shí)，/={2,1,4}符合題意.

綜上可知實(shí)數(shù)。的值構(gòu)成的集合為{2,4}

故答案為：{2,4}

考點(diǎn)清單03：集合的表示方法

【期末熱考題型D強(qiáng)化描述法中一般元素代表

【解題方法】抓住集合表示方法的定義

【典例1】（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）集合/=，xxeZ,三eN：用列舉法表示為（）

A.{-2}B.{-2,2}

C.{-2,2,4}D.{-2,2,4,5}

【答案】D

O

【詳解】因?yàn)閤eZ,—eN,

所以6-x=l或2或4或8,

即x=5或4或2或-2,

即/=卜2,2,4,5}.

故選：D.

【典例2】（2023上?上海徐匯?高一上海中學(xué)?？计谥校┘锨摇阤N1可用列

舉法表示為.

【答案】{0,1,4}

【詳解】由且一可知，:eN

[1x+2Jx+2

所以x+2只能取1,2,3,6,又xeN,所以x=0,l,4,

即集合中的元素為01,4,故列舉法表示為{0,1.4}.

高中24

高中

故答案為：{0,1,4}

【專訓(xùn)1-1］（2023上?河南商丘?高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）集合

:J'xeZ/中的元素個(gè)數(shù)為.

【答案】6

4

【詳解】因?yàn)閥eZ,即--eZ,

x+3

所以x+3的可能取值為±1,±2,±4,分別代入可得y=-4,-2,-1,1,2,4,

所以集合中共有6個(gè)元素.

故答案為：6

【專訓(xùn)1-2］（2023上?江西南昌?高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合/=］xeN|y=WeN1,則

集合4=?

【答案】{0,1,3,9}

12

【詳解】因?yàn)椤?―-eN,所以X+3=1,2,3,4,6,12,

x+3

解得工二一2,-1,0,1,3,9,XXGN,

則x=0,1,39.即4={0,1,39}

故答案為：{0,1,3,9）.

考點(diǎn)清04：集合之間的基本關(guān)系

【期末熱考題型1】子集（真子集）個(gè)數(shù)

【解題方法】可以用公式計(jì)算或者直接列舉

【典例1】（2023上?重慶渝北?高一重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合

4=卜卜2-8》+15=0},集合八門版-1=0},若8=/,則實(shí)數(shù).取值集合的真子集的個(gè)

數(shù)為（）

A.2B.3C.7D.8

【答案】C

【詳解】由--8x+15=0,得（x-3）（x—5）=0,解得x=3或x=5,

所以/={3,5},

當(dāng)a=0時(shí)，3=0,滿足80

高中25

高中

當(dāng)awO時(shí)，B=,因?yàn)?。/,所以，=3或工=5,得a=:或〃=:，

〔。Jaa35

綜上，實(shí)數(shù).取值的集合為k,g,g1,

所以實(shí)數(shù)。取值集合的真子集的個(gè)數(shù)為23-1=7,

故選：C

【典例2】（2023上?廣東湛江?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知集合

^={xe