2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上冊開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.2.下列四個命題中，是真命題為（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使3.水稻是世界上最重要的糧食作物之一，也是我國以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽為中國的“第五大發(fā)明”．育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻．在應(yīng)用該技術(shù)的兩塊面積相等的試驗田中，分別種植了甲、乙兩種水稻，觀測它們連續(xù)6年的產(chǎn)量（單位：）如表所示：甲、乙兩種水稻連續(xù)6年產(chǎn)量年品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲289029602950285028602890乙290029202900285029102920根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)小B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定4.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.5.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則， B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則6.已知，則（）A. B. C. D.7.由未來科學(xué)大獎聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點燃青春：未來科學(xué)大獎獲獎?wù)邔υ捛嗌倌昊顒佑?023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€不同的會場與學(xué)生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎?wù)撸棵@獎?wù)咧蝗ヒ粋€會場，則不同的派出方法有（）A.60種 B.120種 C.150種 D.240種8.已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)為減函數(shù)，且f（x+2）為偶函數(shù)，則f（﹣1），f（4），f（）的大小為（）A.f（4）＜f（﹣1）＜f（）B.f（﹣1）＜f（4）＜f（）C.f（）＜f（4）＜f（﹣1）D.f（﹣1）＜f（）＜f（4）二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象10.設(shè)拋物線，為其焦點，為拋物線上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程是B.焦點到準(zhǔn)線的距離為4C.若，則的最小值為3D.以線段為直徑的圓與軸相切11.已知函數(shù)，則（）A.時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.時，若有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是C.若直線與曲線有3個不同的交點，，，且，則D.若存在極值點，且，其中，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為________．13.已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為______．14.在中，在線段上，為的平分線且，，則的最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和.16.如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．17.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．18.在剛剛結(jié)束巴黎奧運會中，國球選手再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和．比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，樊振東發(fā)球時他自己得分的概率為0.6，張本智和發(fā)球時樊振東得分的概率為0.5，每次發(fā)球的結(jié)果相互獨立，令人遺?的是該局比賽結(jié)果，樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場比賽中，張本智和先以領(lǐng)先．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立．假設(shè)兩人又進行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望19.如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點，過原點不與軸垂直的動直線與交于，兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；（3）以點E0,2為圓心，為半徑圓與直線、分別交于異于點的點和點，求與面積之比的取值范圍．2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的意義即可得解.【詳解】依題意，，則，所以的虛部為.故選：A2.下列四個命題中，是真命題的為（）A.任意，有 B.任意，有C.存在，使 D.存在，使【正確答案】C分析】根據(jù)不等式性質(zhì)推證或舉例子說明.【詳解】由于對任意，都有，因而有，故A為假命題．由于，當(dāng)x=0時，不成立，故B為假命題．由于，當(dāng)x=?1時，，故C為真命題．由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．故選：C3.水稻是世界上最重要的糧食作物之一，也是我國以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽為中國的“第五大發(fā)明”．育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻．在應(yīng)用該技術(shù)的兩塊面積相等的試驗田中，分別種植了甲、乙兩種水稻，觀測它們連續(xù)6年的產(chǎn)量（單位：）如表所示：甲、乙兩種水稻連續(xù)6年產(chǎn)量年品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲289029602950285028602890乙290029202900285029102920根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)小B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定【正確答案】B【分析】分別計算兩種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差即可判斷四個選項的正誤.【詳解】對于A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A不正確；對于B：甲種水稻產(chǎn)量分別為，中位數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量分別為：，中位數(shù)為，所以甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小，故B正確；對于C：甲種水稻產(chǎn)量的極差為：，乙種水稻產(chǎn)量的極差為：，甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差不相等，故C不正確；對于D：甲種水稻的產(chǎn)量的方差為：，乙種水稻的產(chǎn)量的方差為：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，乙種水稻的產(chǎn)量的方差小于甲種水稻的產(chǎn)量的方差，所以乙種水稻的產(chǎn)量比甲種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定，故D不正確，故選：B.4.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用投影向量公式計算出投影向量.【詳解】在上的投影向量為．故選：C5.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，，則， B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【正確答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、垂直的判定性質(zhì)逐項討論即可得答案．【詳解】對于A，若，可以在或內(nèi)，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，若，則或相交，B錯誤；對于C，若，，則或異面，C錯誤；對于D，由，得，當(dāng)時，，D正確．故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】用二倍角公式、商數(shù)關(guān)系結(jié)合已知求得，再由兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以且，即，且，解得或（舍去），所以.故選：B.7.由未來科學(xué)大獎聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點燃青春：未來科學(xué)大獎獲獎?wù)邔υ捛嗌倌昊顒佑?023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€不同的會場與學(xué)生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€會場，則不同的派出方法有（）A.60種 B.120種 C.150種 D.240種【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，獲獎?wù)甙慈サ饺齻€不同會場分類，利用分組分配列式計算即得.【詳解】依題意，5名獲獎?wù)甙慈サ饺齻€不同會場，有種方法，5名獲獎?wù)甙慈サ饺齻€不同會場，有種方法，所以不同的派出方法有（種）.故選：C8.已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)為減函數(shù)，且f（x+2）為偶函數(shù)，則f（﹣1），f（4），f（）的大小為（）A.f（4）＜f（﹣1）＜f（）B.f（﹣1）＜f（4）＜f（）C.f（）＜f（4）＜f（﹣1）D.f（﹣1）＜f（）＜f（4）【正確答案】A【分析】為偶函數(shù)，可得，所以（4），，利用定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：為偶函數(shù)，，（4），，，定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，（4），故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點D.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象【正確答案】AD【分析】代入驗證可判斷A；根據(jù)周期定義判斷的關(guān)系可判斷B；直接計算可判斷C；根據(jù)平移變換可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，A正確；對于B，因為，所以是函數(shù)的周期，B錯誤；對于C，因為，所以在區(qū)間至少有兩個零點，C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得，即，D正確.故選：AD10.設(shè)拋物線，為其焦點，為拋物線上一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程是B.焦點到準(zhǔn)線的距離為4C.若，則的最小值為3D.以線段為直徑的圓與軸相切【正確答案】ACD【分析】選項A，選項B，由拋物線概念即可判斷，選項C：P為動點，根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)P、A、F三點共線時取最小值；選項D：求出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標(biāo)和半徑即可知是否與y軸相切﹒【詳解】A：拋物線的準(zhǔn)線為，故A正確；B：焦點到準(zhǔn)線距離為，故B錯誤；C：當(dāng)橫坐標(biāo)為2時拋物線上位于第一象限內(nèi)的點為，此點位于點的上面，故A在拋物線內(nèi)部，當(dāng)直線垂直準(zhǔn)線時取最小值，即為，故C正確；D：根據(jù)題意，可得拋物線的焦點為F1,0，設(shè)的中點為，可得，由拋物線的定義，得，則，即點到軸的距離等于以為直徑的圓的半徑，因此，以為直徑的圓與軸相切，故D正確﹒故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B.時，若有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是C.若直線與曲線有3個不同的交點，，，且，則D.若存在極值點，且，其中，則【正確答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)后公式及結(jié)合的取值情況可對A項判斷；，求出再結(jié)合函數(shù)極大小值即可對B項判斷；求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，從而求出對稱中心點即可對C項判斷；根據(jù)函數(shù)存在極值點再結(jié)合令，求出，即可對D項判斷.【詳解】對于A：求導(dǎo)，當(dāng)時，有2個不相等的實根，，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，故選項A錯誤.對于B：當(dāng)時，令，得，，若有3個零點，則極大值，極小值，實數(shù)的取值范圍是，故選項B正確.對于C：令二階導(dǎo)數(shù)，得，則三次函數(shù)的對稱中心是.當(dāng)直線與曲線有3個不同的交點，，，且時，點一定是對稱中心，所以，故選項C錯誤.對于D：若存在極值點，則，，.令，得，因為，于是，所以，化簡得：，因為，故，于是，即.故選項D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.過點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為________．【正確答案】【分析】由直線的點斜式方程可得直線的方程，由點到直線的距離可得圓心到直線的距離，,結(jié)合勾股定理，即可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)過點1,0且傾斜角為的直線為,其方程為,即，變形可得，圓的圓心為2,0，半徑,設(shè)直線與圓交于點,圓心到直線的距離,則.故答案為.13.已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為______．【正確答案】##0.5【分析】設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，求得，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題條件下，第2次抽到幾何題的概率為.故答案為.14.在中，在線段上，為的平分線且，，則的最小值為________．【正確答案】24【分析】首先根據(jù)面積公式，得到，并化簡為，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】則的面積為，則，所以，顯然，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故24四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由和的關(guān)系式消去得遞推式，由此構(gòu)造等比數(shù)列；（2）法一、由（1）求出數(shù)列通項，再分組求和；法二、由（1）求出數(shù)列通項，代入已知式，整理即得.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得因①，當(dāng)時，②①-②得，，即，則，即，，又所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】法一、由（1）可得，即，法二、由（1）可知，即，又由題知：代入可得16.如圖，在邊長為4正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點．（1）證明：平面；（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點Q，可得四邊形EFPQ為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）取EF中點O，BC中點G，可得平面EFCB，兩兩垂直，以O(shè)為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面BFP的法向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.【小問1詳解】取的中點Q，連接,則有，且，又，且，故，且，則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，又平面，平面，故平面．【小問2詳解】取EF中點O，BC中點G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時，兩兩垂直，以O(shè)為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，，，由P為中點，故，則，，，設(shè)平面BFP的法向量，則，即，故取，故所求角的正弦值為，所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．17.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)得到切線斜率，進而求出直線即可；（2）求導(dǎo)，再參變分離，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，且，又，所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為．小問2詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立．當(dāng)且僅當(dāng)在上恒成立，則在上恒成立，令，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，實數(shù)的取值范圍為18.在剛剛結(jié)束的巴黎奧運會中，國球選手再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和．比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，樊振東發(fā)球時他自己得分的概率為0.6，張本智和發(fā)球時樊振東得分的概率為0.5，每次發(fā)球的結(jié)果