2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，，則________.2.不等式的解集為______．3.雙曲線的離心率為______．4.某校學(xué)生志愿者協(xié)會(huì)共有200名成員，其中高一學(xué)生100名，高二學(xué)生60名，高三學(xué)生40名.為了解志愿者的服務(wù)意愿，需要用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三學(xué)生應(yīng)抽取_________名.5.拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為______．6.已知向量，，且滿足，則________.7.已知扇形圓心角為，半徑為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于________.8.設(shè)實(shí)數(shù)?滿足，則的最大值是___________．9.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為________.10.已知和的圖像的連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)，，構(gòu)成，則的面積為________.11.在矩形中，邊，的長分別為，，若，分別是邊，上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿，則的取值范圍是________.12.設(shè)集合A是由所有滿足下面兩個(gè)條件有序數(shù)組構(gòu)成：①；②；則集合A中的元素共有________個(gè).二、選擇題（本大題共有4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）13.設(shè)，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件14.如果兩個(gè)三角形不在同一平面上，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形（）A.全等 B.相似C.相似但不全等 D.不相似15.若實(shí)數(shù)a使得，則（）A. B.C.且 D.a可以是任意實(shí)數(shù)16.已知函數(shù)是定義在上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若其前項(xiàng)和小于零，則的值（）A.恒正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù) C.恒為0 D.可正可負(fù)三、解答題（本大題共有5題，滿分76分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）17.如圖，在四面體中，，，從頂點(diǎn)作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上，（1）若的面積為3，求四面體的體積；（2）若，且與重合，求二面角的大小.18.設(shè)函數(shù)，.（1）求方程的實(shí)數(shù)解；（2）若不等式對(duì)于一切都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.19.甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個(gè)面分別標(biāo)記有1，2，3，4，5，6點(diǎn)），每人每次投擲兩顆，（1）甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；（2）甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的概率；（3）若第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.20.如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，（1）若軸，求的面積；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值.21.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積.是否存在點(diǎn)使得成立?若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?（參考數(shù)據(jù)：，，）2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，，則________.【正確答案】【分析】通過列舉表示集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為.2.不等式的解集為______．【正確答案】【分析】由不等式，可得，即可解得不等式的解集．【詳解】由不等式可得，

，

故不等式的解集為，

故答案為．本題考查絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式來解．3.雙曲線的離心率為______．【正確答案】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，則，所以雙曲線的離心率為.故4.某校學(xué)生志愿者協(xié)會(huì)共有200名成員，其中高一學(xué)生100名，高二學(xué)生60名，高三學(xué)生40名.為了解志愿者的服務(wù)意愿，需要用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則高三學(xué)生應(yīng)抽取_________名.【正確答案】10分析】根據(jù)分層抽樣定義及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)分層抽樣定義及性質(zhì),設(shè)高三學(xué)生應(yīng)抽取名，.故10.5.拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為______．【正確答案】【分析】將已知點(diǎn)代入拋物線方程求得，結(jié)合拋物線定義求解即可.【詳解】由題意，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線為，故所求為.故答案為.6.已知向量，，且滿足，則________.【正確答案】【分析】將平方轉(zhuǎn)化，再由即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，又因?yàn)?，，所以，所?故答案為.7.已知扇形的圓心角為，半徑為，則由它圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值等于________.【正確答案】【分析】首先得到圓錐的母線，再求出圓錐的底面半徑，即可得解.【詳解】依題意可得圓錐的母線，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，所以扇形圍成的圓錐的母線與底面所成角的余弦值為.故8.設(shè)實(shí)數(shù)?滿足，則的最大值是___________．【正確答案】【分析】根據(jù)基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.故9.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則該展開式中的系數(shù)為________.【正確答案】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和為求出，再寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得.【詳解】依題意可得，所以，則展開式的通項(xiàng)為，，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故10.已知和的圖像的連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)，，構(gòu)成，則的面積為________.【正確答案】.【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象，可知為等腰三角形，即可求的面積.【詳解】作出函數(shù)和的圖象，可知為等腰三角形，且的底邊長為π，高為，則的面積為.故答案為.11.在矩形中，邊，的長分別為，，若，分別是邊，上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿，則的取值范圍是________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件，求得、的關(guān)系，代入數(shù)量積公式，即可求得答案.詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，，其中，，因?yàn)?，所以，即，又，，所以，即的取值范圍?,4.故1,4.12.設(shè)集合A是由所有滿足下面兩個(gè)條件的有序數(shù)組構(gòu)成：①；②；則集合A中的元素共有________個(gè).【正確答案】232【分析】從條件②入手分類討論，應(yīng)用排列組合知識(shí)即可得到有序數(shù)組的個(gè)數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有五個(gè)數(shù)是0，另一個(gè)數(shù)為1或，這樣有個(gè)；當(dāng)時(shí)，中有四個(gè)數(shù)是0，另兩個(gè)數(shù)為兩個(gè)1或兩個(gè)或一個(gè)1和一個(gè)，這樣有個(gè)；當(dāng)時(shí)，中有三個(gè)數(shù)是0，另三個(gè)數(shù)為三個(gè)1或三個(gè)或一個(gè)1和兩個(gè)或兩個(gè)1和一個(gè)，這樣有個(gè)；綜上集合A中的元素共有232個(gè).故232二、選擇題（本大題共有4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由可得或，即可判斷.【詳解】由可得或，又或所以“”是“”的充分不必要條件.故選:14.如果兩個(gè)三角形不在同一平面上，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形（）A.全等 B.相似C.相似但不全等 D.不相似【正確答案】B【分析】根據(jù)等角定理進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).兩個(gè)三角形的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)三角形的三個(gè)角可能出現(xiàn)以下情況：（1）三組角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（2）三組角中有一組對(duì)應(yīng)角互補(bǔ)，如，，，又，則，所以，此時(shí)兩個(gè)三角形相似；（3）三組角中有兩組對(duì)應(yīng)角互補(bǔ)，如，，，由，則，這與矛盾，故這種情況不會(huì)出現(xiàn).（4）三組對(duì)應(yīng)角都互補(bǔ)，即，，，這與，矛盾，所以該情況也不會(huì)出現(xiàn).綜上可知，兩個(gè)三角形相似.故選：B15.若實(shí)數(shù)a使得，則（）A. B.C.且 D.a可以是任意實(shí)數(shù)【正確答案】D【分析】先求時(shí)范圍，再求其補(bǔ)集即可.【詳解】設(shè)，則，所以，此方程組無解，所以使的實(shí)數(shù)不存在，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總有，故選：D.16.已知函數(shù)是定義在上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，若其前項(xiàng)和小于零，則的值（）A.恒為正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù) C.恒為0 D.可正可負(fù)【正確答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，由題可知，則，再根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)得到，，即可得到，，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性得到，，從而得解.【詳解】函數(shù)是定義在上的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)且為奇函數(shù)，，且當(dāng)，；當(dāng)，．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，由題可知，則，即，則，．所以，，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)遞減和奇函數(shù)性質(zhì)，可得，所以，，∴；綜上，的值恒為正數(shù)．故選：A．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）17.如圖，在四面體中，，，從頂點(diǎn)作平面的垂線，垂足恰好落在的中線上，（1）若的面積為3，求四面體的體積；（2）若，且與重合，求二面角的大小.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由圖可得平面，從而，求出及，再由的面積求出，最后由錐體的體積公式計(jì)算可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】依題意可得平面，平面，所以，又，，所以，，又為的中線，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】依題意可得平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，A2,0,0，，，所以，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，顯然二面角為銳二面角，設(shè)為，則，所以，即二面角的大小為.18.設(shè)函數(shù)，.（1）求方程的實(shí)數(shù)解；（2）若不等式對(duì)于一切都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程進(jìn)行求解.（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到的最小值即可求解.【小問1詳解】由，代入方程得：，即，解得，即.【小問2詳解】不等式即，原不等式可化為對(duì)都成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得：19.甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個(gè)面分別標(biāo)記有1，2，3，4，5，6點(diǎn)），每人每次投擲兩顆，（1）甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；（2）甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的概率；（3）若第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）記投擲一次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)為，則的可能取值為，，，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，再由相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（3）由（2）可知同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，分析可得先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為，再由無窮等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得，【小問1詳解】記兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同為事件，則；【小問2詳解】記投擲一次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)為，則的可能取值為，，，，，所以，，，，，，記甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)為事件，則；【小問3詳解】由（2）可知同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，若先投擲的人第一輪獲勝，其概率為；若先投擲的人第二輪獲勝，即第一輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；若先投擲的人第三輪獲勝，即前兩輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；若先投擲的人第四輪獲勝，即前三輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；，分析可得，若先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為；所以、、、組成以為首項(xiàng)，為公比的無窮等比數(shù)列，所以，從而，先投擲人的獲勝概率為.20.如圖，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，、的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，（1）若軸，求的面積；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求的最小值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由橢圓方程求出，從而可得坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出的值，進(jìn)而可求出的面積;（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，代入橢圓方程中求出得，因?yàn)椋傻?，?jì)算即可得出坐標(biāo)；（3）由（2）同理可求得，從而可得化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式可得答案【小問1詳解】設(shè)橢圓半長軸長為，短半軸長為，半焦距為，由橢圓，得，則，所以，當(dāng)時(shí)，，得，所以所以的面積為;【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，整理得，所以，得，所以，因?yàn)?，所以，可得，化?jiǎn)得，解得，代入得出所以點(diǎn)的坐標(biāo)為【小問3詳解】由（2）得同理可求得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：的最大值得關(guān)鍵是結(jié)合韋達(dá)定理得出,再轉(zhuǎn)換未知量,最后應(yīng)用基本不等式求解即可.21.設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.（2）求證：不經(jīng)過點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積.是否存在點(diǎn)使得成立?若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?（參考數(shù)據(jù)：，，）【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明見解析（3）2【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可；（3）分別寫出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點(diǎn)即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即的單調(diào)遞減區(qū)間為