2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．其中第1～6題每題滿分4分，第7～12題每題滿分5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．1．已知集合，，若，則．2．已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是.3．雙曲線的漸近線方程是.4．若圓錐的側(cè)面積為，高為4，則圓錐的體積為5．在的展開式中，的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）6．x為實(shí)數(shù)，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.7．若命題“對(duì)任意的，都有”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.8．已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為.9．用1～9這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)10．已知不等式的解集為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.11．已知函數(shù)的表達(dá)式為，若對(duì)于任意，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．已知數(shù)列都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為，且，是正整數(shù)，設(shè)則數(shù)列的前項(xiàng)和=.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．對(duì)任意的，都有15．在區(qū)間上，若，則下列四個(gè)圖中，能表示函數(shù)的圖像的是（

）A．

B．

C．

D．

16．群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中.有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“.”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)任意的，有；②對(duì)任意的，有；③存在，使得對(duì)任意的，有稱為單位元；④對(duì)任意的，存在，使，稱與互為逆元.則稱關(guān)于“.”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn)，，直線與平面所成的角為.(1)求四棱錐的體積；(2)求異面直線與所成的角的大小.18．已知在中，所對(duì)的邊分別為，若且．(Ⅰ)求角A、B、C的大小；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并指出它相鄰兩對(duì)稱軸間的距離．19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線.

(1)若到直線的距離為，求；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的面積為，求；20．給定正整數(shù)，設(shè)集合．若對(duì)任意，，，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱集合具有性質(zhì)．(1)分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；(2)若集合具有性質(zhì)，求的值；(3)若具有性質(zhì)的集合中包含6個(gè)元素，且，求集合．21．已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若滿足，求證.1．【分析】由交集定義可得答案.【詳解】因，，，則，故.故2．##【分析】設(shè)公差為d，由基本量代換列方程組，解出，即可得到通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}解得：，所以.故答案為.3．【分析】直接由雙曲線的方程求解即可【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故4．【分析】圓錐的半徑為r，母線長為l，高為h，則側(cè)面積為，再結(jié)合，可得的值.然后根據(jù)錐體體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，母線長為，高為，有，解得.故.5．40【分析】根據(jù)所給的二項(xiàng)式寫出通項(xiàng)，要求自變量的二次方的系數(shù)，只要使得指數(shù)等于2，得出式子中的系數(shù)的表示式，得到結(jié)果．【詳解】∵（2x+1）5的通項(xiàng)式式是C5r（2x）5﹣r＝?5r25﹣rx5﹣r當(dāng)5﹣r＝2時(shí)，即r＝3時(shí)，得到含有x2的項(xiàng)，∴它的系數(shù)是C5322＝40故答案為40．本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng).6．【分析】求出的最小值，只需m大于最小值即可滿足題意.【詳解】利用三角不等式，有，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因?yàn)橛薪?，只需即?所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故7．【分析】根據(jù)“存在，”為真命題，討論，，求解.【詳解】命題“對(duì)任意的，都有”為假命題，則“存在，”為真命題，當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，需，解得；綜上.故8．【分析】因?yàn)?，展開利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為.故答案為:.9．840【分析】根據(jù)題意先分類然后分步，進(jìn)而結(jié)合排列、組合即可求解.【詳解】1～9這九個(gè)數(shù)字中由5個(gè)奇數(shù)和4個(gè)偶數(shù)，要使四位數(shù)滿足各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)字必須為奇數(shù)，前三位數(shù)字由1個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)或3個(gè)奇數(shù)組成，所以，.故答案為.10．【分析】根據(jù)不等式的解集可知一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理可求出，的值，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，得出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和為方程的兩根且，所以，解得，則，令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為，在定義域上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為（開閉均正確）.故答案為.11．【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到，確定，解得答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故答案為.12．【分析】求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式，得到為首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列，，所以，則，，且，所以為首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，所以.故13．C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以由推得出，故充分性成立；由推得出，故必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C14．D【分析】根據(jù)幾何含義可知A錯(cuò)誤；通過求解兩直線交點(diǎn)可知B錯(cuò)誤；分別討論和的情況，得到C錯(cuò)誤；通過計(jì)算兩直線重合的情況可知D正確.【詳解】對(duì)于A，表示過定點(diǎn)，且斜率不為的直線，集合表示直線上所有的點(diǎn)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，由得：，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)，即時(shí)，直線與平行，，解得：；綜上所述：當(dāng)時(shí)，或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則且直線與重合，，方程組無解，，D正確.故選：D.15．A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)切線斜率的關(guān)系即可判斷.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值與切線斜率的關(guān)系可知，在區(qū)間上時(shí)，函數(shù)圖象在任意一點(diǎn)處的切線斜率恒大于1，則顯然BCD不合題意，對(duì)A選項(xiàng)，函數(shù)在處的切線斜率等于1，且在上，切線斜率不斷增大，則恒成立，故A正確.故選：A.16．D【分析】反例判斷A，B，C是否滿足④，對(duì)于D，對(duì)所有的，設(shè)，求出，依次看是否滿足要求.【詳解】A：由且，使，但，不存在，使，不正確；B：由且，都有，但，不存在，使，不正確；C：由且，使，但，不存在，使，不正確；D：對(duì)所有的，可設(shè)，則，①滿足加法結(jié)合律，即，有；②，使得，有；③，設(shè)，使，正確.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D，對(duì)所有的，可設(shè)，求出.17．(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)直線與平面所成的角可求出，從而得出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可解出；（2）取中點(diǎn)，連接，（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角，解三角形即可求出．【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，所以直線與平面所成的角為，在中，，，所以，而，所以，因此四棱錐的體積．（2）如圖所示：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角．在中，，，所以，，所以，即異面直線與所成的角為．18．(Ⅰ),;(Ⅱ)單調(diào)遞增區(qū)間為.它的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.【詳解】(Ⅰ)由題設(shè)及正弦定理知:,得，∴或,即或．當(dāng)時(shí),有,即,得,;當(dāng)時(shí),有,即，不符題設(shè)，∴,．(Ⅱ)由(Ⅰ)及題設(shè)知:；當(dāng)時(shí),為增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.它的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.19．(1)8(2)2【分析】（1）根據(jù)到的距離為求解；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，求得，及O到直線的距離，根據(jù)面積為求得值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以右焦點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以到直線的距離，解得；（2）設(shè)，由得，所以，即，且，所以，又因?yàn)镺到直線的距離為，所以的面積為，解得滿足，所以；20．(1)集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)(2)(3)，，或【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個(gè)集合是否滿足；（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，再討論是否屬于集合，即可確定的取值，即可求解；（3）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）集合中的，，所以集合不具有性質(zhì)，集合中的任何兩個(gè)相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于集合，所以集合具有性質(zhì)；（2）若集合具有性質(zhì)，記，則，令，則，從而必有，不妨設(shè)，則，且，令，，則，且，且，以下分類討論：1）當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，滿足性質(zhì)；若，舍；若，無解；2）當(dāng)時(shí)，則，注意且，可知無解；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上；（3）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，其中，，根據(jù)題意，且，從而或，1）當(dāng)時(shí)，，并且，，由上可得，并且，綜上可知；2）當(dāng)時(shí)，同理可得，據(jù)此，當(dāng)中有包含6個(gè)元素，且時(shí)，符合條件的集合有5個(gè)，分別是，，或.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定滿足性質(zhì)的集合里面有0，再對(duì)其他元素進(jìn)行討論.21．(1)極小值為0，無極大值.(2)(3)證明見解析【分析】（1）把代入函數(shù)中，并求出f′x，根據(jù)f′x的正負(fù)得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出的極值.（2）等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到函數(shù)y=gx的單調(diào)性和極值，畫出y=gx的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.（3）求出f′x，并得函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對(duì)?x求導(dǎo)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋髮?dǎo)可得，令，得，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在區(qū)間0,+所以y=fx在處取到極小值為0，無極大值.（2）方程，當(dāng)時(shí)，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，在區(qū)間和