高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第02講912余弦定理

9.1.2余弦定理TOC\o"13"\h\u題型1余弦定理解三角形 2◆類型1已知兩邊一角解三角形 2◆類型2已知三邊解三角形 4題型2利用余弦定理判斷三角形形狀 5題型3余弦定理的應(yīng)用 8◆類型1取值問題 8◆類型2求角問題 11◆類型3求范圍問題 12題型4正余弦定理邊角互化問題 14◆類型1取值問題 15◆類型2求角 16◆類型3面積問題 17◆類型4最值取值范圍問題 19◆類型5多選題 23◆類型6解答題 28知識點一.余弦定理及其推論文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【注意】余弦定理的特點（1）適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立.（2）揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個不同的量，知道其中的三個量，就可求得第四個量.知識點二.余弦定理的證明：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c如圖，因為AC=AB+BC，即AC2=(AB)2+同理，根據(jù)AC=AC+CB,BC=BA+AC，可以得到c2=a2+b22abcosC，a+2|AB|·BC|(cos180°B)題型1余弦定理解三角形◆類型1已知兩邊一角解三角形【方法總結(jié)】已知兩邊及一角，解三角形方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：一是利用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定理（已知兩邊和一邊的對角）求解；【例題11】在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，則a＝________cm；【答案】60【解析】由余弦定理得：a＝eq\r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cos\f(π,6))＝60(cm)．【變式11】1.在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，則a等于()A．5B．4C．3D．10【答案】A【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝52＋(5eq\r(3))2－2×5×5eq\r(3)×cos30°，∴a2＝25，∴a＝5.【變式11】2.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3【答案】D【解析】由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5.整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選D．【變式11】3.在△ABC中，已知sinC＝eq\f(1,2)，a＝2eq\r(3)，b＝2，求邊c.【答案】c=2【解析】∵sinC＝eq\f(1,2)，且0<C<π，∴C為eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).當(dāng)C＝eq\f(π,6)時，cosC＝eq\f(\r(3),2)，此時，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.當(dāng)C＝eq\f(5π,6)時，cosC＝－eq\f(\r(3),2)，此時，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r(7).【變式11】4.在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】設(shè)△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則a＝3，c＝eq\r(13)，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.◆類型2已知三邊解三角形【方法總結(jié)】已知三邊解三角形法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一法二：若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解【例題12】（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，若a=7A．30° B．60° C．45° D．90°【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因為a=所以由余弦定理得cosA又0°<A<180°，則故選：B.【變式12】1.（2021春·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若aA．π6 B．π4 C．π3【答案】C【分析】由a:b:【詳解】解：在△ABC中，a設(shè)a=3由余弦定理得cosB因為B∈所以B=故選：B【變式12】2.在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則AC邊上的高為()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(3,2)D．3eq\r(3)【解析】由余弦定理，可得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(42＋32－\r(13)2,2×3×4)＝eq\f(1,2)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).則AC邊上的高h＝ABsinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故選B．【變式12】3.在△ABC中，三邊長AB＝7，BC＝5，AC＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．19B．－14C．－18D．－19【答案】D【解析】在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，則cosB＝eq\f(49＋25－36,2×5×7)＝eq\f(19,35).又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB＝－7×5×eq\f(19,35)＝－19.【變式12】4.在△ABC中，若a＝eq\r(3)＋1，b＝eq\r(3)－1，c＝eq\r(10)，則△ABC的最大角的度數(shù)為()A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C【解析】顯然eq\r(10)＞eq\r(3)＋1＞eq\r(3)－1，∴cosC＝eq\f(\r(3)＋12＋\r(3)－12－\r(10)2,2\r(3)＋1·\r(3)－1)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.題型2利用余弦定理判斷三角形形狀【方法總結(jié)】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法1.利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換（因式分解、配方等），求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解.2.常見結(jié)論：設(shè)△ABC中的最大角為C，若，則△ABC是鈍角三角形；若，則△ABC是直角三角形；若，則△ABC是銳角三角形；若sin2A=sin2B,則A=2B或A+B=π3.若三角形的兩邊相等或兩角相等，則三角形為等腰三角形；4.注意：等腰直角三角形與等腰三角形或直角三角形不一樣?！纠}21】在△ABC中，如果eq\f(1－cosA,1－cosB)＝eq\f(a,b)，則該三角形的形狀為____________；【解析】由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴1－cosA＝eq\f(a＋b－ca－b＋c,2bc).同理1－cosB＝eq\f(b＋a－cb－a＋c,2ac).∵eq\f(1－cosA,1－cosB)＝eq\f(a,b)，∴eq\f(\f(a＋b－ca－b＋c,2bc),\f(b＋a－cb－a＋c,2ac))＝eq\f(a,b).∴a－b＋c＝b－a＋c，∴a＝b，即△ABC為等腰三角形．【變式21】1.在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，則△ABC的形狀為__________.【解析】∵2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°.又b2＝ac，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－ac＝ac，從而(a－c)2＝0，∴a＝c，可知△ABC為等邊三角形．【變式21】2.在△ABC中，已知lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，且B為銳角，試判斷△ABC的形狀.【答案】等腰直角三角形【解析】由lgsinB＝－lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2).又B為銳角，所以B＝45°.由lga－lgc＝－lgeq\r(2)，得eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\r(2)a.又因為b2＝a2＋c2－2accosB，所以b2＝a2＋2a2－2eq\r(2)a2×eq\f(\r(2),2)＝a2.所以a＝b，即A＝B．又B＝45°，所以△ABC為等腰直角三角形．【變式21】3.（2022·全國·高一假期作業(yè)）在△ABC中，若2A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定【答案】A【分析】利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，然后化簡可得結(jié)果.【詳解】因為2a所以由余弦定理得2a所以a2+c因為a>0,b>0所以△ABC故選：A【變式21】4.以4、5、6為邊長的三角形一定是三角形．(填：銳角、直角、鈍角)【答案】銳角三角形【解析】由題意可知長為6的邊所對的內(nèi)角最大，設(shè)這個最大角為α，則cosα＝eq\f(16＋25－36,2×4×5)＝eq\f(1,8)>0，因此0°<α<90°.【變式21】5．（2023·高一課時練習(xí)）在△ABC中，a2+b2【答案】等邊三角形【分析】先利用余弦定理求得C=π3，再利用兩角和與差的余弦公式求得cosAcos【詳解】因為a2+b所以由余弦定理得cosC因為0<C<π，所以因為cosA+B又cosA+B=cosA所以cosA因為0<A<π,0<B<π，所以?π<A又因為A+B=π?又C=π3題型3余弦定理的應(yīng)用◆類型1取值問題【例題31】（2020秋·福建泉州·高一泉州五中?？奸_學(xué)考試）已知a，b，c是三角形的三邊，那么代數(shù)式a2A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能確定【答案】A【分析】利用余弦定理，可得a2【詳解】由余弦定理知，c2所以a2因為C∈(0,π)，所以cos所以cosC而ab>0，所以a故選：A．【變式31】1．（2023秋·陜西渭南·統(tǒng)考期末）在△ABC中，若ac=8,aA．25 B．5 C．4 D．5【答案】B【分析】利用余弦定理b=【詳解】在△ABC中，若ac=8，a+由余弦定理得b=故選：B【變式31】2．（2023春·浙江溫州·）A，B是⊙C上兩點，AB?ACA．1 B．2 C．22 【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算及余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)⊙C半徑為r，∠則AB?由余弦定理知AB=故選：C【變式31】3．（2023秋·貴州黔東南·高一凱里一中?？计谀┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為3，A=60°，bA．2 B．22 C．4 【答案】B【分析】由三角形面積公式得到bc=4，進而求出b【詳解】由題意，S△ABC=12所以a2解得a=22或故選：B【變式31】4．（2023春·河南·滎陽市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b2b+c【答案】2【分析】由sinA2=64得cosA=【詳解】因為sinA2=又b2b+c=2所以2c?b4b=1最大邊上的高?a所以a?故答案為：215【變式31】5．（2023·課時練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=3，b?c=2【答案】12【分析】利用余弦定理結(jié)合已知條件求得c，進而得出b，即可得解．【詳解】由余弦定理可得b2=a2+則b=c+2=7故答案為：12．◆類型2求角問題【例題32】（2022·高一課時練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為aA．30° B．60° C．120°【答案】B【分析】化簡已知等式可得a2+b2?【詳解】由a3+b∴a∵a+b≠0，∴cosC=a2+故選：B.【變式32】1.（2023·高一課時練習(xí)）任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：△ABC的三邊是a,b,c，它們所對的角分別是A,B,C，則有a=b【答案】π【分析】由題可得cosC【詳解】由題得，2cosC由第一余弦定理知c=所以2cosC所以cosC解得C=故答案為：π【變式32】2．（2021春·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊分別為aA．π6 B．π3 C．π2【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】解：由余弦定理得cosC因為cosC∈0,π故選：B◆類型3求范圍問題【例題33】在銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是()A．1<a<3B．1<a<eq\r(5)C．eq\r(3)<a<eq\r(5)D．不確定【答案】C【解析】由三角形的性質(zhì)，知c－b<a，得a>1.又由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(5－a2,2bc)>0，得0<a<eq\r(5).由cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋3,2ac)>0，得a∈R.由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2－3,2ab)>0，得a>eq\r(3).綜上，知eq\r(3)<a<eq\r(5).故選C．【變式33】1.（2023·課時練習(xí)）已知a+1，a+2，a+3【答案】（0，2）【分析】由題意可知此三角形的最大邊為a+3，設(shè)此邊所對應(yīng)的角為α，則α為鈍角，cosα<0【詳解】解：因為a+1<a+2<所以此三角形的最大邊為a+3設(shè)此邊所對應(yīng)的角為α，則α為鈍角，由余弦定理可得cosα即有(a整理得a2解得?2<a又因為a+1>0即a>0所以a的取值范圍為：(0,2).故答案為：(0,2)【變式33】2.（2022春·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校?？计谥校┰凇鰽BC中，角A,B,C所對的邊分別為aA．0,π6 B．π6,π2【答案】C【分析】由已知，整理可得：b2+c2?a2【詳解】解：因為ba整理可得：b2∴由余弦定理可得：cosA∴由A為三角形內(nèi)角，即A∈0,π，可得：故選：C．【變式33】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，設(shè)△ABC的面積為S，若3a【答案】14【分析】根據(jù)題中條件利用余弦定理進行簡化，運用均值不等式求cosA【詳解】由題知3a2=2則cos≥22b∵Sb2而tanA∴S故答案為：14題型4正余弦定理邊角互化問題【方法總結(jié)】1.①，，；②，，；③．2.3.利用正弦定理進行邊角互化，必須出現(xiàn)齊次式；利用余弦定理進行邊角互化，條件須和余弦定理形式相同?！纛愋?取值問題【例題41】△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理，得，即，，∴．【變式41】1．（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┮阎鰽BC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若tanCtanA．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先化為1tanA+1tan【詳解】因為tanCtan即cosA由正弦定理得：cosA由余弦定理得：b2整理得：a2所以a故選：C【變式41】2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，則b等于()A．6B．4C．2D．1【解析】(角化邊)由題意，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC，由正弦、余弦定理，得a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝3c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，整理得2(a2－c2)＝b2，①又a2－c2＝b，②聯(lián)立①②得b＝2，故選C.◆類型2求角【例題42】在，內(nèi)角所對的邊長分別為．若，且，則=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】邊換角后約去，得，所以，但B非最大角，所以．【變式42】1.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，則角C＝.【答案】eq\f(2π,3)【解析】因為3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因為b＋c＝2a，所以c＝2a－eq\f(3,5)a＝eq\f(7,5)a.令a＝5，b＝3，c＝7，則由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(2π,3).【變式42】2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，則B等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(3π,4)【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，故B＝eq\f(π,3)，故選C.【變式42】3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為．【答案】eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)【解析】由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結(jié)合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).◆類型3面積問題【例題43】（2022·高一課時練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為aA．32 B．2 C．3 D．【答案】A【分析】利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式，可得sinAsinB=13sinC，利用平方關(guān)系可得【詳解】解：由正弦定理得sin2Acos∴sin=sinA∵B∈(0,π),cos∴55sinA=1由余弦定理得b2解得c=3，∴a=5故選：A．【變式43】1．（2023秋·吉林·高一吉林一中?？茧A段練習(xí)）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinA+sinB?sinC?【答案】23或【分析】根據(jù)題意，由正弦定理化簡，再結(jié)合余弦定理即可求得A=π3，然后根據(jù)△ABC為直角三角形，分【詳解】由正弦定理，sinAa+b?所以cosA=b2+又b=4,△若B=π2，則C=π6，若C=π2，則B=π6，【變式43】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB【答案】3【分析】由正弦定理將邊化為角，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，可求得B，由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得ac≤4【詳解】由正弦定理及2b得2sinB∵B∈(0,π),sinB≠0∵B∈(0,π)，∴B由余弦定理b2=a即ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a∴S△ABC=∴△ABC的面積的最大值為3故答案為：3．◆類型4最值取值范圍問題【方法總結(jié)】三角函數(shù)最值的不同求法：①利用sinx和cos②把形如y=asin③利用sinx±cosx④形如y=asin在三角形中,常常隱含角的范圍:①若已知一個角數(shù)，則另兩角的范圍不能是(0,π)，如B＝π3②在銳角三角形中，不要只考慮A,B,C∈(0,π2)，還要想到另外兩角之和在(π2,π)內(nèi),若再知其中一角,要考慮其它角的范圍,如B【例題44】（2022春·上海嘉定·高一上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，若sin2A【答案】π【分析】利用正弦定理進行角變邊可得bc≤【詳解】sin2A≤sin2所以cosA因為0<A<π，所以0<A≤π故答案為：π【變式44】1．（2022春·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sinA+sin【答案】2【分析】先由正弦定理得到三邊的關(guān)系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得結(jié)果.【詳解】已知sinA+sinC則cosB=a2+所以cosB≥13，則B∈0,π2，且當(dāng)此時sinB=2故答案為：22【變式44】2．（2023秋·重慶·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a2=b2A．0,2 B．1,3 C．0,2 【答案】C【分析】利用余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得出A=2B，根據(jù)△ABC為銳角三角形可求得角B的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡得出cosC?【詳解】由余弦定理可得a2=b由正弦定理可得sin=sinA因為△ABC為銳角三角形，則0<A<π2又因為函數(shù)y=sinx在?π2,由于△ABC為銳角三角形，則0<A<π2cos=?2cos因為π3<2B因為?2cos22B+故選：C.【變式44】3．（多選）（2022春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且3A．若B+C=2A，則△ABC的外接圓的面積為B．若A=π4，且C．若C=2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若A=2C，且sinB=2sinC，O為△ABC【答案】ACD【分析】根據(jù)條件3bcosC選項A：根據(jù)條件B+選項B：由余弦定理得9=b2+選項C：根據(jù)正弦定理把邊c表示為6cosA，利用△ABC為銳角三角形求角A的范圍，從而求邊選項D：利用正弦定理求出角C，從而判斷出△ABC是直角三角形，利用直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求△ABC的內(nèi)切圓半徑，從而求【詳解】因為3bcosC即3sinB因為A+B+C=π，所以sin選項A：若B+C=2所以△ABC的外接圓的直徑2R=所以△ABC的外接圓的面積為π×選項B：由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA選項C：由正弦定理，得asinA=因為△ABC為銳角三角形，所以0<A<π2所以c=6cos選項D：因為sinB=2sinC因為A=2C，所以所以由正弦定理bsinB=csin所以sin2C即2sinCcos2所以cos2C=34，又因為A=2C，所以C即△ABC是直角三角形，所以內(nèi)切圓的半徑為r所以△AOB的面積為S故選：ACD.◆類型5多選題【例題45】（2022·高一課時練習(xí)）（多選）在△ABCA．a(chǎn)cosB=C．2sinAsinB【答案】BC【分析】利用正弦定理判斷A，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及正弦定理變形判斷B，由余弦定理及正弦定理化邊為角判斷C，由誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式變形后判斷D．【詳解】對于A，由于asinA=bsinB得asinB=bsin對于B，sinC=sin(A對于C，cosC=a對于D，cosA故選：BC．【變式45】1．（多選）（2022春·江蘇蘇州·高一江蘇省木瀆高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,CA．tanB=43 B．cosB=?【答案】AC【分析】用余弦定理將已知面積化為S=13×2accosB，寫出三角形面積公式，得到等式12ac【詳解】因為S=12所以12acsin所以tanB=43，所以sinB=4故選：AC.【變式45】2．（多選）（2022春·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(A．A=π6C．當(dāng)a=4時，△ABC的面積最大值為23 D．當(dāng)b【答案】BD【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理的邊角互化可判斷A錯誤，B正確，結(jié)合均值不等式可判斷C，根據(jù)余弦定理的邊的關(guān)系，代入可得三邊關(guān)系滿足勾股定理，可判斷D.【詳解】∵(a∴由正弦定理得：(a+b)(a由余弦定理得：cosA又A∈(0,π)，∴若a=4，由b2+c2?a2=bc得16=b由b?c=3a3得b=c+3a3將其代入b2+c故選：BD【變式45】3．（多選）（2022春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.其面積為S，周長為L.若asinAA．C=π6 B．C．△ABC的外接圓半徑為233 【答案】BC【分析】由已知式子利用正弦定理結(jié)合二倍角公式化簡可求出角C，再利用正弦定理可求出△ABC的外接圓半徑，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出S的最大值，利用正弦定理結(jié)果三角函數(shù)恒等變換公式可求出L【詳解】因為asin所以由正弦定理得sinA因為sinA≠0，所以所以cosC因為0<C2<所以sinC2=12設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則由正弦定理得c2sinπ3由余弦定理得c2=a當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，所以所以S的最大值為12由正弦定理得asin所以a=所以a+因為0<A<2所以12所以2<4sinA+π所以4<a故選：BC【變式45】4．（多選）（2022秋·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)?？计谥校┤簟鰽BC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bA．角C可以為銳角 B．a(chǎn)C．tanB的最小值為33 【答案】BD【分析】選項A，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式對已知等式化簡可得cosC選項B，由A和余弦定理，即可判斷；選項D，結(jié)合選項B的結(jié)論，再根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、正弦定理和余弦定理，可推出tanA選項C，結(jié)合選項D的結(jié)論，再由三角形的內(nèi)角和定理與正切的兩角和公式，結(jié)合基本不等式，即可判斷．【詳解】解：∵b?2∴b?2a+4acos又C∈由余弦定理知，cosC=a∵tanA∴3tanA∵A+∴tanB∵C為鈍角，∴A∈0,π∴1tanA+3tan即tanA此時tanB取得最大值3故選：BD.◆類型6解答題【例題46】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinC,c).①證明：sinAsinB＝sinC；②若b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，求tanB.【解析】①證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k(k>0)，則a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(sinC,c)中，有eq\f(cosA,ksinA)＋eq\f(cosB,ksinB)＝eq\f(sinC,ksinC)，變形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC．所以sinAsinB＝sinC.②解由已知，b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，根據(jù)余弦定理，有cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,5).所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以eq\f(4,5)sinB＝eq\f(4,5)cosB＋eq\f(3,5)sinB.故tanB＝eq\f(sinB,cosB)＝4.【變式46】1.（2022春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期中）在△ABC中，a,b,(1)求A的大??；(2)現(xiàn)給出三個條件：（1）a=2；（2）B=π4；（3）c=【答案】(1)A(2)答案見解析【分析】（1）結(jié)合正弦定理邊角互化變形即可求解（2）選擇（1）（3），利用余弦定理、三角形的面積公式即可求解；選擇（1）（2），利用正弦定理、三角形的面積公式即可求解；選擇（2）（3），三角形不存在【詳解】（1）由正弦定理可得：2sinB得2sinB又sinB≠0，得cosA=3（2）（i）選擇（1）（3），將a=2，c=3b代入解得b=2,c=2（ii）選擇（1）（2），由asin又sinC所以S=（iii）選擇（2）（3），由A=π6，B=π所以由正弦定理可得bsinB=csin故這樣的三角形不存在．【變式46】2．（2022春·河南洛陽·高一校考階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,(1)求角A的大小(2)若a=1，b=3【