四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次適應(yīng)性考試（理科數(shù)學(xué)）試題

高三下第一次適應(yīng)性考試（理科數(shù)學(xué)）一、單選題（每小題5分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求集合，再結(jié)合交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，，所以.故選：C.2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理一般式，可得答案.【詳解】由，結(jié)合題意，則，解得.故選：D.3.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為80，則判斷框中應(yīng)填入（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)程序框圖分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，可得；；，；結(jié)束循環(huán)，故填.故選：A．4.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C.70 D.72【答案】C【解析】【分析】方法一：由，利用通項(xiàng)公式求解；方法二：由，利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：方法一：展開式中，第項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為，方法二：展開式中，第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，所以的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為70，故選：C．5.已知滿足約束條件，則的最小值為（）A.2 B.18 C.20 D.22【答案】B【解析】【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】約束條件表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分（包括邊界），表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方．由圖知，的最小值為原點(diǎn)到直線的距離．由點(diǎn)到直線的距離公式得原點(diǎn)到直線的距離，故的最小值為18．故選：B．6.下列說法不正確的是（）①命題“，”的否定是“,”；②“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件；③命題，，命題,，則為真命題；④“函數(shù)在上是減函數(shù)”，為真命題.A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】【分析】對(duì)于①：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合充要條件分析判斷；對(duì)于③：根據(jù)特稱命題結(jié)合邏輯聯(lián)結(jié)詞分析判斷；對(duì)于④：根據(jù)單調(diào)性的定義舉例分析判斷.【詳解】對(duì)于①：命題“，”的否定是“,”，故①不正確；對(duì)于②：若，則的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，即充分性成立；若函數(shù)為奇函數(shù)，且的定義域?yàn)?，可得，整理得恒成立，解得，即必要性不成立；所以“”是“函?shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)楹愠闪?，即命題,為假命題，所以為假命題，故③不正確；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，但，可得，所以函數(shù)在上不是減函數(shù)，故④不正確；故選：C.7.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.8.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則（）A.6 B.6或14 C.6或14 D.2或6或14【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則當(dāng)時(shí)，則，所以；當(dāng)時(shí)，若，則，所以，，即，又因?yàn)樗?，解得，所以所以?4，綜上：或6或14，故選：D.9.已知橢圓()，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若、A、、B四點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共圓及的傾斜角得到為等邊三角形，故，進(jìn)而求出，利用橢圓定義得到方程，求出離心率.【詳解】因?yàn)?、A、、B四點(diǎn)共圓，為圓心，所以，故，又的傾斜角為，故為等邊三角形，故，由勾股定理得，由橢圓定義可得，即，解得.故選：C10.若點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，直線為點(diǎn)處的切線，則直線傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率的范圍即可得解.【詳解】函數(shù)中，，即，設(shè)點(diǎn)，求導(dǎo)得，由，得，即，因此函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，顯然直線的傾斜角為鈍角，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C11.已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系和所過的定點(diǎn)，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以直線恒過點(diǎn)，，所以直線恒過點(diǎn)，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段中點(diǎn)為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點(diǎn)在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過直線方程判斷交點(diǎn)的位置，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.12.已知正方體的內(nèi)切球半徑為1，、平面，若，，現(xiàn)在有以下四個(gè)命題：：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓：三棱錐的體積為定值：則下述結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).由，，可確定E，F(xiàn)坐標(biāo)，即可判斷p，q命題正誤；對(duì)于，注意到F到平面距離為定值，即可判斷命題正誤；對(duì)于，由圓外一直線到圓上點(diǎn)最短距離相關(guān)知識(shí)可判斷命題s否正確.后可判斷出正確結(jié)論.【詳解】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，因正方體的內(nèi)切球半徑為1，則正方體棱長為2.則，設(shè).對(duì)于p，，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為圓心，半徑為1的圓，故正確；對(duì)于q，由，則，又，，則，即F在直線上，故點(diǎn)的軌跡是一條直線，故q錯(cuò)誤；對(duì)于r，注意到，面，面，則面，又F在直線上，則點(diǎn)到平面距離為定值，則為定值，故r正確；對(duì)于s，由以上分析可知，即為圓外一直線到圓上點(diǎn)距離，當(dāng)圓心，圓上一點(diǎn)，直線上點(diǎn)三點(diǎn)共線,且圓上一點(diǎn)，直線上點(diǎn)在圓心同側(cè)時(shí)距離最小.由題可得，直線到圓心距離為，又圓半徑為1，故最短距離為，即，故s正確.則正確，錯(cuò)誤，又錯(cuò)誤，則，錯(cuò)誤.故選：C二、填空題（每小題5分）13.已知兩條直線若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由直線方程分析可知斜率必存在,由直線與直線平行可得.則有,解得.考點(diǎn)：兩直線平行.14.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.故答案為：15.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且的延長線交軸于．若為線段的中點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，先根據(jù)定義得出，再應(yīng)用中點(diǎn)結(jié)合圖形特征計(jì)算即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由題意得，設(shè)，由拋物線定義可知，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以，將其代入可得：，解得.故答案為：.16.如圖，函數(shù)的圖象為折線，函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)x∈0,2時(shí)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；③；④不等式的解集.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，根據(jù)題意推出函數(shù)為周期函數(shù)，根據(jù)周期結(jié)合在上的圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)判斷②，根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合在上的圖象判斷③，利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集判斷④.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，故，即，故①正確；又，所以，所以，即，所以函數(shù)周期為，由圖象可知，所以，由周期知，故函數(shù)在內(nèi)有共5個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，由圖象可知，，，又，所以，故③正確；由圖象，利用待定系數(shù)法可知，在同一坐標(biāo)系下，作出，的圖象如下，由圖易知，，所以結(jié)合圖象知不等式的解集，故④正確.故答案為：①③④三、解答題17.設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為直線，且直線與圓相切，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出直線的方程，由直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于圓的半徑，從而列方程解的值；（2）求函數(shù)的定義域，并求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）依題意有，，則，，因此，直線的方程為，即，又已知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，依題意可得，解得；（2）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?且，解不等式，得；解不等式，得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知數(shù)列滿足，（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列;（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與最大值.【答案】（1）證明見解析（2），最大值是【解析】【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)等差數(shù)列的概念即得結(jié)論；（2）由（1）可得，再研究其單調(diào)性，計(jì)算可得結(jié)論．【小問1詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，即當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)知單調(diào)遞減，所以，又，，，所以數(shù)列的最大值是19.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為中點(diǎn)，，.（1）證明:平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可通過證明，，得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過向量的夾角公式可得答案.【小問1詳解】證明：連接，，則，在中，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，，所以，則，又，、平面，所以平面【小問2詳解】解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，又平面，以為原點(diǎn)，以、、方向?yàn)?、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0、、、、P0,0,1，所以，，，，，，，，設(shè)平面法向量為m=x1,y1,z設(shè)平面法向量為n=x2,y2,z設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以．20.某學(xué)校為了學(xué)習(xí)、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識(shí)比賽，甲、乙兩位教師進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時(shí)甲、乙同時(shí)回答這一個(gè)問題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得10分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題甲、乙答對(duì)的概率分別為，且甲、乙答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．（1）求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時(shí)，累計(jì)得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）由題意知，取值可能為，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可.（2）由獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出結(jié)果.【小問1詳解】取值可能為，；；，所以的分布列為010．【小問2詳解】由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，所以乙最終獲勝的概率為．21.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與相切于點(diǎn)A，且與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，直線的傾斜角分別為．證明：存在定點(diǎn)，使得．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由漸近線傾斜角結(jié)合右焦點(diǎn)到漸近線的距離可得，即可得方程；（2）將與雙曲線方程，聯(lián)立，可得A，B坐標(biāo)，后由對(duì)稱性可得點(diǎn)必在軸上，設(shè)，后由可證明結(jié)論【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)Fc,0到漸近線的距離為，故，又且，解得：故雙曲線的方程是．【小問2詳解】由，得．動(dòng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)Ax0,y所以，化簡得．（*）此時(shí)，由，得．假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)必在軸上．設(shè)，要使，則，則對(duì)滿足（*）式的恒成立．，由，得，整理得．（**）由于（**）式對(duì)滿足（*）式的恒成立，.故存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，有時(shí)可通過對(duì)稱性確定定點(diǎn)位置，從而簡化計(jì)算流程.此外，向量與韋達(dá)定理也是經(jīng)常使用的工具.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求．【答案】（1）曲線的極坐標(biāo)方程，曲線的極坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）利用普通方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化公式即可；（2）利用極坐標(biāo)方程的幾何意義即可.【小問1詳解】因?yàn)榍€，，所以曲線的極坐標(biāo)方程，因?yàn)榍€