2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）第二章直線和圓的方程章末題型歸納總結(jié)

第二章直線和圓的方程章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：直線與線段相交問題經(jīng)典題型二：直線方程綜合應(yīng)用經(jīng)典題型三：直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問題經(jīng)典題型四：直線對(duì)稱問題經(jīng)典題型五：兩直線的平行與垂直經(jīng)典題型六：直線與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型七：圓與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型八：軌跡問題經(jīng)典題型九：直線和圓的范圍與最值問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：直線與線段相交問題【典例11】（2024·高二·福建福州·階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線與線段MN相交，，則的斜率k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】如圖所示：則，若過點(diǎn)的直線與線段MN相交，所以.故選：B.【典例12】（2024·高二·陜西西安·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】記為點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．故選：B．【變式11】（2024·高二·北京朝陽·階段練習(xí)）已知三點(diǎn)，，，則過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)時(shí)（公共點(diǎn)包含端點(diǎn)），直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，過作軸，交軸于，因?yàn)槿c(diǎn)，，，直線的斜率，直線的斜率，所以結(jié)合圖象，得直線的斜率的取值范圍是．故選：B【變式12】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖象結(jié)合題意可知：，觀察到直線過點(diǎn)與線段有公共點(diǎn)時(shí)傾斜角為鈍角時(shí)逐漸增大，斜率大于或等于直線的斜率；為銳角時(shí)傾斜角逐漸減小，斜率小于或等于直線的斜率；所以直線的斜率的取值范圍是．【變式13】（2024·高二·河南漯河·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】可以看成是線段上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，如圖，易求得，，所以得取值范圍為.故選：C.經(jīng)典題型二：直線方程綜合應(yīng)用【典例21】（2024·高二·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線所在直線方程為．(1)求邊所在直線的方程；(2)求的面積．【解析】（1）因?yàn)椋栽O(shè)直線的方程為：，將代入得，所以直線的方程為：，聯(lián)立，所在直線方程：，解得，設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)樵谥本€上，在上，所以，，解得，所以，，所以所在直線的方程為：，即.（2）點(diǎn)到直線的距離為：，又，所以.【典例22】（2024·高一·福建寧德·階段練習(xí)）（1）求經(jīng)過點(diǎn)在軸上的截距為2的直線方程.（2）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為，求直線的方程【解析】（1）由題意可知所求直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的斜率，所以直線方程為，即；（2）由題意可設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為，即.【變式21】（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）如圖，已知，，，直線：．(1)求直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，李老師站在點(diǎn)用激光筆照出一束光線，依次由（反射點(diǎn)為）、（反射點(diǎn)為）反射后，光斑落在點(diǎn)，求入射光線的直線方程．【解析】（1）由直線：，即，令，解得，故直線恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由直線的方程為，即，所以，解得，所以，由題意得、、、四點(diǎn)共線，，由對(duì)稱性得，所以入射光線的直線方程為，即．【變式22】（2024·高二·河北石家莊·階段練習(xí)）在中，頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．(1)求直線的方程；(2)若直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，求直線l的方程．【解析】（1）由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，而邊中線所在的直線方程為，由，解得，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，于是，解得，即點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，，由直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點(diǎn)，或，當(dāng)直線過時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，當(dāng)直線時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，所以直線l的方程為或.【變式23】（2024·高二·廣東廣州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)：，，.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明平行四邊形為矩形；(2)求邊所在的直線方程及的內(nèi)角平分線所在的直線方程.【解析】（1）如圖所示，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，設(shè)，則，解得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形是矩形；?），所以直線，即；設(shè)的角平分線與軸交于點(diǎn)，求得，所以，又為角平分線，所以，所以傾斜角，所以斜率，所以直線，即.【變式24】（2024·高二·安徽合肥·期中）中，邊上的中線所在直線方程為，的平分線方程為．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．【解析】（1）設(shè)，則的中點(diǎn)在直線上．，，即，又點(diǎn)在直線上，則，由可得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在直線上．由題知，得，，直線的方程為，即【變式25】（2024·高二·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．求：(1)邊中線所在的直線方程；(2)的平分線所在的直線方程．【解析】（1）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，所以中點(diǎn)為，而，所以中線方程為．（2），所以，所以為鈍角，且，設(shè)的平分線與軸的交點(diǎn)為，則，即的平分線所在的直線的傾斜角為，，解得（負(fù)根舍去），所以，所以的平分線的直線方程為，即.經(jīng)典題型三：直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問題【典例31】（2024·高二·河南漯河·階段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為(1)求證：無論a為何值，直線l必過一定點(diǎn)P；(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A，B，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長；(3)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)且斜率為正值時(shí)，求直線l的方程.【解析】（1）由得，令，解得，所以不論為何值，直線必過一定點(diǎn).（2）由，令，得，令，得，由，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以得周長為.（3）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)，即，均為整數(shù)，所以，均為整數(shù)，又斜率為正值即，即，，所以直線的方程為，，，.【典例32】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．【解析】當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，直線在軸，軸上的截距分別為，因此所求三角形的面積為．【變式31】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線的斜率為2．(1)求；(2)若直線，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程．【解析】（1）易知直線過點(diǎn)，則直線的斜率為，解得．（2）由題可知直線的斜率為2，故設(shè)直線的方程為．易知直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得．所以直線的方程為或．【變式32】（2024·高二·湖北襄陽·階段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為．(1)求證：不論a為何值，直線l必過一定點(diǎn)P；(2)若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)，，當(dāng)面積最小時(shí)，求此時(shí)的直線方程；(3)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)且a也為正整數(shù)時(shí)，求直線l的方程．【解析】（1）由得，則，解得，∴不論a為何值，直線l必過一定點(diǎn)；（2）由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．，，∴直線方程為．（3）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正整數(shù)，即，均為正整數(shù)，而a也為正整數(shù)，，，∴直線l的方程為．【變式33】（2024·高一·浙江寧波·期末）已知直線.(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.【解析】（1）由，即，則，解得，所以直線過定點(diǎn)；（2）如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為，即.【變式34】（2024·高二·云南臨滄·階段練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值和此時(shí)直線的方程.【解析】（1）直線可化為，要使直線不經(jīng)過第三象限，則，解得，的取值范圍為.（2）由題意可得中，取，得，取，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取“=”，此時(shí)的最小值為4，直線的方程為.經(jīng)典題型四：直線對(duì)稱問題【典例41】（2024·高二·北京·期中）已知與關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．直線過,的中點(diǎn) B．直線的斜率為C．直線的斜率為3 D．直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過，的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為3

，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€的斜率為3，所以直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，故D正確.故選：B.【典例42】（2024·天津和平·二模）過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A.【變式41】（2024·高二·云南臨滄·期末）已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C【變式42】（2024·高二·山東泰安·期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點(diǎn)的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點(diǎn)為，由，解得：，∴,∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：C.【變式43】（2024·高二·全國·期末）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【解析】由題設(shè)關(guān)于0,1對(duì)稱的點(diǎn)為，若該點(diǎn)必在上，∴，解得，即一定在直線上.故選：C.【變式44】（2024·高二·江蘇常州·期中）已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【解析】由于直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩直線平行，故，則，由于點(diǎn)在直線上，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，故在上，代入可得，故，故選：A【變式45】（2024·高二·四川成都·期中）直線l：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椴辉谥本€l：上，所以可設(shè)直線l：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為，則，解得或（舍去），故所求直線方程為：.故選：A【變式46】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線l：與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€l：與直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以在方程中，用代，以代，得，化簡，得，故選：A【變式47】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與關(guān)于軸對(duì)稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過兩點(diǎn)，故直線的方程為，即．故選：B.經(jīng)典題型五：兩直線的平行與垂直【典例51】（2024·高二·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知直線，若，則實(shí)數(shù).【答案】2【解析】由直線，因?yàn)?，可得，即，解?故答案為：.【典例52】（2024·高二·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知，設(shè)直線：，：，若，則.【答案】1【解析】因?yàn)椋?故答案為：1【變式51】（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知，動(dòng)直線，經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，時(shí)，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故答案為：.【變式52】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線，若，寫出一個(gè)滿足條件的直線的方程為．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，即，由題意所求直線方程滿足均可．取，得所求直線方程為：.故答案為：（答案不唯一）【變式53】（2024·高二·河南漯河·階段練習(xí)）三條直線，與不能圍成一個(gè)三角形，則.【答案】或或【解析】當(dāng)三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，，即交點(diǎn)為.將代入，得，解得；當(dāng)直線與平行，則，解得；當(dāng)直線與平行，則，解得.故答案為：或或【變式54】（2024·高二·云南·階段練習(xí)）若直線與直線平行，則．【答案】2【解析】直線的斜率為2，而它和直線平行，故，故或，當(dāng)時(shí)，直線即為直線，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線即為直線，兩直線重合，不合題意；故，故答案為：2.【變式55】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，若直線，則．【答案】【解析】由題得，即，解得．故答案為：【變式56】（2024·高二·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）過,兩點(diǎn)的直線與過、兩點(diǎn)的直線垂直，則.【答案】0或5【解析】兩直線的方向向量分別為、，故，解得或，當(dāng)時(shí)，,，、符合題意；當(dāng)時(shí)，,，、符合題意.綜上可知，或.故答案為：或.【變式57】（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知兩條直線，，且，當(dāng)兩平行線距離最大時(shí)，.【答案】【解析】由題意，由，解得，故過定點(diǎn)．，由，解得，故過定點(diǎn)，故，距離的最大值為．此時(shí)，直線的斜率為，則，直線的斜率為，解得，故．故答案為：5經(jīng)典題型六：直線與圓的位置關(guān)系【典例61】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，兩條直線垂直，所以旋轉(zhuǎn)后直線的斜率為，直線方程為，由題意得圓的圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，則．故選：D.【典例62】（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知圓M：，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線切，，切點(diǎn)為A，B，則四邊形面積的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．【答案】B【解析】圓M的方程可化為，所以x軸與圓M相離.又，且和均為直角三角形，，為圓的半徑，且，所以面積的最小值轉(zhuǎn)化為求最小，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，四邊形面積取得最小值，此時(shí)，所以四邊形面積最小值為.故選：B.【變式61】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．或【答案】D【解析】曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，則圓心到直線的距離為，可得（正根舍去），當(dāng)直線過時(shí)，，如圖，直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則或.故選：D.【變式62】（2024·高二·浙江嘉興·階段練習(xí)）圓和直線為圓C上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則的最大值為20B．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則C．存在實(shí)數(shù)a使得圓C與直線l相離D．無論取a任何實(shí)數(shù)，圓C都和直線l相交【答案】ABD【解析】對(duì)于B，方程可化為，所以的圓心為，半徑為，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則，解得，故B正確；對(duì)于A，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離滿足：，所以，解得，所以的最大值為20，故A正確；對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離為，若圓C與直線l相離，則，但這不可能，（因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可知，若，但這不可能，（因?yàn)椋?，所以恒成立，所以無論取a任何實(shí)數(shù)，圓C都和直線l相交，故D正確.故選：ABD.【變式63】（2024·高二·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知過原點(diǎn)的直線與圓相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線方程為，由題可知圓心到直線的距離小于半徑，圓圓心為2,0，半徑，所以有故選：C【變式64】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓是與直線，圓都相切的半徑最小的圓，則圓的半徑和圓心坐標(biāo)分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以半徑為，如圖，過圓心作直線的垂線，由題意得垂線斜率為，故設(shè)其方程為，將帶入其中，可得，解得，所以垂線方程為，因?yàn)榍蟀霃阶钚〉膱A，所以圓的圓心在直線上，而圓心到直線的距離為，故圓的半徑為，設(shè)圓心，已知，解得，即圓心，故D正確.故選：D【變式65】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)引圓的切線，則切線方程為（

）A．B．C．x=2或D．x=2或【答案】D【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，∴所求切線方程為.綜上，切線方程為或.故選：D.經(jīng)典題型七：圓與圓的位置關(guān)系【典例71】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（

）A．圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱B．圓和圓的公共弦長為C．的取值范圍為D．若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】D【解析】對(duì)于A，和圓，圓心和半徑分別是，則兩圓心中點(diǎn)為，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線是的中垂線，但兩圓心中點(diǎn)不在直線上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，到直線的距離，故公共弦長為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心距為，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大為，故的取值范圍為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最小，，即的最小值為，D正確.故選：D.【典例72】（2024·高二·江蘇連云港·階段練習(xí)）圓和圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)含【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為3，圓的圓心為0,3，半徑為2，兩圓的圓心距為，所以兩圓外切.故選：C【變式71】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩圓方程作差可得直線的方程為：，即；由圓方程可得其圓心，半徑，到直線的距離，.故選：B.【變式72】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若圓與圓有且僅有一條公切線，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，又兩圓有且僅有一條公切線，則兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，所以，即，解得．故選：C.【變式73】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若圓與圓相切，則（

）A．6 B．3或6 C．9 D．3或9【答案】D【解析】圓的圓心為、半徑為，圓的圓心為2,0、半徑為3，則兩圓的圓心距；當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，，解得；當(dāng)圓與圓外切時(shí)，，解得．故選：D.【變式74】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓和圓，則圓和圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】我們將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，故它的圓心為，半徑，由題意得，半徑，則由兩點(diǎn)間距離公式得，故兩圓圓心距為5，滿足，故兩圓外切，圓和圓的公切線條數(shù)為3，故C正確.故選：C【變式75】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)是以為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的軌跡滿足方程，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記以為直徑的圓為圓，在方程中，，記該方程表示的圓為圓．由，得圓的方程為，整理得．圓，圓心．依題意可知，圓與圓關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，所以圓的圓心為，所以，得．故選:D.【變式76】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由圓，圓，兩式作差得，，即，所以兩圓的公共弦所在直線方程是.故選：B.【變式77】（2024·高二·河北張家口·開學(xué)考試）已知：，：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．外離 C．相交 D．內(nèi)含【答案】C【解析】因?yàn)榭苫癁?則，半徑，因?yàn)榭苫癁椋瑒t，半徑，則，因?yàn)?，所以兩圓相交.故選：C.經(jīng)典題型八：軌跡問題【典例81】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，則有，化簡得，即點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：.【典例82】（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)Mx,y，由，得，可得：，即，整理得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.【變式81】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，所以直線斜率存在且不為0，即點(diǎn)不在軸上，即，即；同理直線的方程為，聯(lián)立消去得，故點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.【變式82】（2024·福建莆田·三模）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點(diǎn)M的軌跡是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為.若點(diǎn)Р在圓上，則的最小值是.【答案】【解析】設(shè)Mx,y，則，整理得（或）.設(shè)Px1,故.令，則=.故答案為：；.【變式83】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，圓O：與x軸的正半軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P的直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為．【答案】【解析】連接，設(shè)點(diǎn)Mx,y，∵M(jìn)是弦的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，即，聯(lián)立，解得或，又∵M(jìn)在圓O的內(nèi)部，∴點(diǎn)M的軌跡方程是，故答案為：．【變式84】（2024·高二·全國·單元測(cè)試）已知的方程是的方程是，動(dòng)點(diǎn)到和所引的切線長相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)Px,y，點(diǎn)到和所引的切線長為，：的圓心為，半徑為的圓心為，半徑為則，，，，即．故答案為：【變式85】（2024·高二·湖北武漢·期中）點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】將動(dòng)直線整理為，聯(lián)立，可得，所以動(dòng)直線過定點(diǎn).又，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，，即.故答案為：【變式86】（2024·高二·福建龍巖·期中）由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即.故答案為：.經(jīng)典題型九：直線和圓的范圍與最值問題【典例91】（2024·高二·陜西西安·期中）已知直線l過點(diǎn)且與x軸、y軸分別交于，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最小值為．【答案】【解析】直線l與x軸、y軸分別交于，,可設(shè)直線的截距式：，直線l過點(diǎn)，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故答案為：.【典例92】（2024·高二·四川成都·期中）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，若（且），則點(diǎn)P的軌跡是圓．后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，直線：，直線：，若P為，的交點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【解析】直線：即，過定點(diǎn)直線：即，過定點(diǎn)又，故，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，即點(diǎn)的軌跡為，即，假設(shè)存在點(diǎn)，使恒成立，設(shè)則，整理得，與的軌跡對(duì)照得，解得，即存在點(diǎn)，使，即，所以，即的最小值為.故答案為：.【變式91】（2024·高二·云南昆明·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，從下列3個(gè)條件選取一個(gè)________①過點(diǎn)；②圓恒被直線平分；③與軸相切.(1)求圓的為程；(2)已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）選條件①．設(shè)圓的方程為，將，代入可得，解得，則圓的方程為．選條件②．直線恒過點(diǎn)．因?yàn)閳A恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又圓經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，所以圓的方程為，即．選條件③．設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓的方程為，即．（2）設(shè)，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以的軌跡方程為．【變式92】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)．(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；(2)設(shè)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)的的軌跡方程．【解析】（1）因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，若截距為，即直線經(jīng)過原點(diǎn)，則，此時(shí)直線的方程為，若截距不為，不妨設(shè)直線方程為，代入，得，此時(shí)直線方程為，則求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或．（2）設(shè)，，則，得到，所以，又點(diǎn)在上，所以，整理得，故的軌跡方程為.【變式93】（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）①過點(diǎn)，②圓G恒被直線平分，③與y軸相切；在以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知圓G經(jīng)過點(diǎn)，，且_____.(1)求圓G的一般方程：(2)設(shè)，P是圓G上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明表示何曲線?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）方案一：選條件①.設(shè)圓的方程為，則，解得，則圓G的方程為.方案二：選條件②直線恒過點(diǎn)1,0.因?yàn)閳AG恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標(biāo)為1,0，又圓G經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的半徑，所以圓G的方程為，即.方案三：選條件③設(shè)圓G的方程為，由題意可得，解得，則圓G的方程為，即.（2）設(shè)Mx,y，因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是圓G上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，所以M的軌跡是一個(gè)圓.【變式94】（2024·高二·陜西榆林·期中）已知直線與圓交于A，兩點(diǎn)，則的最小值為．【答案】2【解析】由知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，最小，此時(shí)．根據(jù)弦長公式得的最小值為．故答案為：2【變式95】（2024·高二·浙江金華·階段練習(xí)）已知直線，動(dòng)直線被圓截得弦長的最小值為．【答案】【解析】由圓可得：圓心，半徑.由直線可得：直線過定點(diǎn).因?yàn)樗渣c(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓相交，則過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長最短，且弦長的最小值為.故答案為：【變式96】（2024·高二·江蘇南京·期中）已知M，N為圓上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)線段MN的中點(diǎn)為，圓：的圓心為，半徑為，則圓心到直線MN的距離為，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為.所以.故答案為：【變式97】（2024·高二·河南南陽·期末）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.【答案】【解析】由得，故圓的圓心為，半徑為1，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖可知，故此時(shí)的最小值是直線斜率的最大值的倒數(shù)，令，即，則圓心到該直線的距離滿足，兩邊平方整理得，解得，故此時(shí)的最小值是，又，故的最小值為.故答案為：.【變式98】（多選題）（2024·高二·廣東中山·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．已知點(diǎn)在圓上，則的最大值是4B．已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C．已知是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相離D．若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值4，故A正確；B選項(xiàng)，由，所以，即直線過點(diǎn)，因?yàn)橹本€和線段相交，故只需或，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，圓的圓心到直線的距離，而點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，所以，所以，所以直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，與點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)在圓上，由題意知圓與圓相交，所以圓心距，滿足，解得，故D正確.故選：AD【變式99】（多選題）（2024·高二·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．已知點(diǎn)Px,y在圓：上，則的最大值是B．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C．已知是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相交D．若圓：上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)Px,y在圓：上，故可設(shè)，，，所以，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取最大值，最大值是，A正確；對(duì)于B，方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，直線的斜率為，因?yàn)橹本€和以，為端點(diǎn)的線段相交，所以或，其中，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)槭菆A外一點(diǎn)，所以，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，C正確；到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以圓與圓相交，又，所以，又，所以，故的取值范圍是，D正確.故選：ACD.【變式910】（多選題）（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，為圓心，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．當(dāng)最大時(shí)，的面積為2C．的最大值為 D．的最大值為【答案】ACD【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，如圖所示，對(duì)于A，當(dāng)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，即，此時(shí)取得最小值為，故A正確；對(duì)于B，由題知，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)與重合，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，為圓心，則，所以當(dāng)最大時(shí)，也最大，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)，其最大值為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故D正確．故選：ACD．【變式911】（多選題）（2024·高二·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知是圓上任一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．圓心的坐標(biāo)為 B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．的最大值為 D．過的最短弦長是【答案】ACD【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，如圖所示：對(duì)于A：圓心C的坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓C外，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦垂直于時(shí)弦長最短，又，最短弦長為，故D正確.故選：ACD.【變式912】（多選題）（2024·高三·遼寧鞍山·開學(xué)考試）已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5B．的最大值為C．直線與圓相切時(shí)，D．圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，是圓上的點(diǎn)，所以的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.直線，即，過定點(diǎn)，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【變式913】（多選題）（2024·高二·江西新余·開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為B．的最小值為C．存在點(diǎn)使D．過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為【答案】AD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，解得，得的最大值為，故A正確；對(duì)于B，令，則點(diǎn)到直線的距離，解得，得的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)存在點(diǎn)使，設(shè)Px,y，則，化簡得，因此滿足的點(diǎn)在圓上，此圓圓心為，半徑為，而，因此與圓外離，所以不存在點(diǎn)使，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑為，則過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為，故D正確.故選：AD.【變式914】（多選題）（2024·高二·河南安陽·期中）已知直線過定點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．的最小值是C．的最大值是0 D．【答案】ACD【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑．對(duì)于A，直線，可化為，所以直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，因此直線過定點(diǎn)，A項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線到圓心的距離達(dá)到最大值，此時(shí)，可知的最小值是，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，，由于的最小值是，此時(shí)取最大值，故最大值為0，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，可得，故D項(xiàng)正確．故選：ACD．【變式915】（多選題）（2024·高二·安徽六安·期末）已知圓，下列說法正確的是（

）A．過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，則范圍為B．圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．圓與圓有且僅有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．過直線上任意一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過定點(diǎn)【答案】ABC【解析】圓的圓心為O0,0，半徑，對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，可得圓心到過點(diǎn)的直線的距離，所以，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閳A心到直線的距離，作且與的距離均為1，如下圖所示：由圖可知此時(shí)到的距離均為1，所以圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：圓的圓心，半徑為，則，若圓與圓有且僅有兩條公切線，所以兩圓相交，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)，則，可得，以為圓心，為半徑的圓的方程為，整理得，由題意可知：直線為圓與圓的公共弦所在的直線，可得，整理得，令，解得，所以直線必過定點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.【變式916】（多選題）（2024·高二·四川成都·期末）已知曲線，直線，點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，直線l被曲線C截得的弦長為C．若直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的范圍為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線l距離的最小值為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，直線變形為，令，解得，故直線過定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線，兩邊平方得，為以2,0為圓心，2為半徑的上半圓，半圓與直線相交，如圖所示，圓心到直線的距離為，弦長為，B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為2，故，解得（舍）或，所以m的范圍為，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線，如圖所示，由圖可知，當(dāng)A為原點(diǎn)時(shí)距離最小，且最小值為，D錯(cuò)誤.故選：BC．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例101】（2024·天津市市轄區(qū)·其他類型）過點(diǎn)引直線，使，到它的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D

【解析】由題意得，線段AB的中點(diǎn)為分兩種情況討論：①過且與直線AB平行的直線滿足題意，其方程為，整理得②過點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)的直線滿足題意，其方程為，整理得故滿足條件的直線方程是或，故選【典例102】（2024·四川省綿陽市·單元測(cè)試）已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．0或6 C．或2 D．【答案】B

【解析】直線與直線垂直，①時(shí)，它們的斜率之積等于，可得，解得②時(shí)，直線和垂直，符合題意，或6，故答案選：【變式101】（2024·重慶市市轄區(qū)·月考試卷）在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知是上一點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，若上存在點(diǎn)P，使，則正數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】直線化為：，令，解得，直線經(jīng)過定點(diǎn)由是上一點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，的圓心為，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，上存在點(diǎn)P，使，則點(diǎn)P在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，若兩圓外切，則解得若兩圓內(nèi)切，則，解得故選：【變式102】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯約公元前公元前190年的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓C：上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值可以為（

）A．2或3 B．3或4 C．4或5 D．1或5【答案】D

【解析】設(shè)，由，得，整理得，又點(diǎn)P是圓C：上有且僅有的一點(diǎn)，所以兩圓相切．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，得，故選【變式103】（2024·廣東省肇慶市·單元測(cè)試）如已知點(diǎn)，直線將三角形ABC分割成面積相等的兩個(gè)部分，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點(diǎn)為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點(diǎn)M在射線OA上．設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N，則由，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故，把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，求得②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即

，可得，求得

，故有③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，求得設(shè)直線和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)，由題意可得，的面積等于，即，即，化簡可得由于此時(shí)，，

．兩邊開方可得，，化簡可得

，故有綜上，可得b的取值范圍應(yīng)是

，故選【變式104】（2024·江蘇省南通市·同步練習(xí)）“曼哈頓距離”是赫爾曼．閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，例如在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的曼哈頓距離為：若點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】設(shè)Q為，，①當(dāng)，即，，由范圍可得的最大值為1，此時(shí)的最大值為；②當(dāng)，即，，，由范圍可得，的最小值為，此時(shí)的最大值為，綜上所述，的最大值為，故選②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例111】（2024·山東省菏澤市·單元測(cè)試）圓P：關(guān)于直線對(duì)稱的圓Q的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】圓P：的圓心為，設(shè)其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得1000，故圓Q的方程是故選【典例112】（2024·全國·其他類型）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓，若曲線上存在四個(gè)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)作圓O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，滿足，則k的取值范圍是．（

）A． B．C． D．【答案】B

【解析】設(shè)，，則，整理得，，解得舍去或，所以點(diǎn)P的軌跡方程為，若直線與相切時(shí)，，解得或，當(dāng)曲線與圓有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的k滿足題意，當(dāng)時(shí)，如圖所示，二者一個(gè)交點(diǎn)，存在一個(gè)點(diǎn)P，不符合題意，當(dāng)時(shí)，如下圖所示，此時(shí)二者有三個(gè)交點(diǎn)，存在三個(gè)點(diǎn)P，不符合題意，當(dāng)時(shí)，如圖所示，二者有兩個(gè)交點(diǎn)，存在兩個(gè)點(diǎn)P，不符合題意，當(dāng)時(shí)，如圖所示，二者沒有交點(diǎn)，不存在點(diǎn)P滿足題意，當(dāng)時(shí)，二者有四個(gè)交點(diǎn)，存在四個(gè)點(diǎn)P，滿足題意，綜上，故選：【變式111】（2024·廣東省·模擬題）過直線上一點(diǎn)P向圓作切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】因?yàn)閳AC的半徑為，所以當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)閳AC的圓心為，所以，所以的最小值為【變式112】（2024·天津市·階段練習(xí)）圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C

【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離為，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)，故選【變式113】（2024·北京市市轄區(qū)·期中考試）過直線上一點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為A，B，則四邊形PACB的面積的最小