2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與圓的位置有關(guān)的輔助線模型復(fù)習(xí)講義

與圓的位置有關(guān)的輔助線模型復(fù)習(xí)講義

直線與圓的位置關(guān)系幾乎是中考必考題目，一般考查切線的判定與性質(zhì)的問題最多，本節(jié)重點(diǎn)講解圓的切線的

性質(zhì)與判定方法，以及與切線相關(guān)的圓的幾何計(jì)算問題.

作切線輔助線的方法：①有交點(diǎn)，連半徑，證垂直；②無交點(diǎn)，作垂直，證半徑.

模型有切點(diǎn)連圓心

場景：如圖，AB是圓0的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)A.

作輔助線方法：連接0A.

結(jié)論：OA_LAB.

應(yīng)用：已知有切線時(shí),

⑴連接過切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)解題；

(2)構(gòu)造直角三角形，連接過切點(diǎn)的半徑，半徑、切線長、點(diǎn)心線(圓心與圓外點(diǎn)的連線)組成直角三角形.

證明切線時(shí),

(1)當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)，那么連接這點(diǎn)和圓心得半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可；

⑵如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)，可先過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可.

切線問題和直角有關(guān)，所以經(jīng)常和直徑所對(duì)的圓周角結(jié)合使用.

精選例題

例1.如圖,AB是。O的直徑，直線DE與。。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A,B分別作AD1DE,BE±DE,為點(diǎn)D,E,連

接AC,BC.若AD=V3,CF=3,則前的長為（）.

B.—n

A乎3

「V3n26

C.—7TD.——71

23

解析

已知點(diǎn)c是切點(diǎn)，連接0C,可得（0C1DE,,由“一線三等角”相似模型可得△ADCACEB,從而得tan乙48c

=S=S=^=可即乙ABC=30°,ZXOC=60。,△是等邊三角形，所以只需要求出半徑（即A。就可求出答

ACAD

案.

解如圖，連接OC.

???AD1DE,BE1DE,???/.ADC=乙CEB=90°.

???^DAC+^ACD=90°.

VAB是AO的直徑,..??乙4cB=90°.

???AADC=乙CEB=90。,乙BCE=^DAC

ADC△CEB.

...￡￡=￡￡=卷=H=tanzBXC,

CAADy[3

：.ZBAC=60°,?,?ZABC=30°.

又?.?OA=OC,

AAOC是等邊三角形,，ZACO=60°.

;直線DE與。O相切于點(diǎn)C,；.OC_LDE.

ZACD=90°-ZACO=30°,AAC=2AD=2V3.

AAOC是等邊三角形,，OA=AC=2V3,ZAOC=60°.

一AC的長為篝了=竽兀故答案為竽兀.

例2.如圖,BD是。O的直徑,BA是。0的弦，過點(diǎn)A的切線交BD延長線于點(diǎn)C,OE±AB于點(diǎn)E,且AB=AC.

若CD=2/則OE的長為.

解析

根據(jù)題意，利用三角形全等和切線的性質(zhì)、中位線、直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系、垂徑定

理可以求得OE的長.由題可知，只要求出AD的長就可以求出OE的長，也可根據(jù)等角的余角相等，得到/DAC=

NB=/C,從而解答.

解法一如圖，連接OA,AD.

???BD是。O的直徑,BA是。。的弦，過點(diǎn)A的切線交BD延長線于點(diǎn)CQELAB于點(diǎn)E,

???ZDAB=90°,ZOAC=90°.

TAB二AC,???NB=NC.

在^ACO和^BAD中，

乙C=乙B,

AC=AB,

.Z.CAO=Z-BAD,

：.AACO^AABD(ASA).

二?AO=AD.

AO=OD,???AO=OD=AD.

??.△AOD是等邊三角形.

ZADO=ZDAO=60°.

ZB=ZC=30°,ZOAE=30°,ZDAC=30°.

/.AD=DC.

VCD=2V2,.\AD=2V2.

???點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，OEAD,OE^\AB.：.OE=V2.

故答案為V2.

解法二如圖，連接OA,AD.

：BD是。。的直徑,BA是。。的弦，過點(diǎn)A的切線交BD延長線于點(diǎn)C,OE，AB于點(diǎn)E,

ZDAB=90°,ZOAC=90°.

ZDAC+ZOAD=90°,ZB+ZADO=90°.

VOD=OA,.\ZDAC=ZB.

VAB=AC,.\ZC=ZB..\ZDAC=ZC.

AD=CD2a點(diǎn)O為BD的中點(diǎn),OE〃AD,OE_LAB.

.\OE=V2.

例3.如圖在RtAABC中,NACB=9(T,AC=6,BC=8,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)以CD為直徑作。0,。0分別與AC,BC

交于點(diǎn)EF過點(diǎn)F作。O的切線FG,交AB于點(diǎn)G,則FG的長為.

就解析

利用勾股定理求出AB=10,進(jìn)而求出CD=BD=5,再求出CF=4,進(jìn)而求出DF=3,再判斷出FGXBD,利用面積公

式即可得出結(jié)論.

解如圖在RtAABC中,根據(jù)勾股定理，得AB=10.

.??點(diǎn)D是AB中點(diǎn).

1

CD=BD=-AB=5.

2

連接DF.

CD是。O的直徑,ZCFD=90°.

BF=CF=-BC=4./.DF=VCD2-CF2=3.

2

連接OF.

,.,OC=OD,CF=BF,JOF〃AB,ZOFC=ZB.

VFG是。O的切線,???ZOFG=90°.

???ZOFC+ZBFG=90°.AZBFG+ZB=90°,FG±AB.

??.SBDF=xBF=三BDxFG.

DFXBF3X412

???FG=----=——=—,

BD55

故答案為y.

精選練習(xí)

1.如圖,△ABC的內(nèi)切圓。O與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,且AB=5,BC=13,CA=12,則陰影部分（即四邊形A

EOF）的面積是（）.

如圖,AB為。O的直徑，點(diǎn)P為AB延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。O的切線PE,切點(diǎn)為點(diǎn)M,過A,B兩點(diǎn)分別作

PE的垂線AC,BD,垂足分別為點(diǎn)C,D,連接AM,則下列結(jié)論:①AM平分.^CAB-@AM2=AC-AB-@^

AB=4,/APE=30。,則.BM的長為g；；④若AC=3,BD=1,則有CM=DM=但其中正確的是（寫出所有正確

結(jié)論的序號(hào)）.

5.2與圓的位置有關(guān)的輔助線模型

精選練習(xí)

1.解析一利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形,NA=90。,再利用切線的性質(zhì)得到OF，AB,OE，AC,

所以四邊形OFAE為正方形，設(shè)OE=AE=AF=x,利用切線長定理得到BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,所以5-r+12-r=13,然后

求出r后可計(jì)算出陰影部分（即四邊形AEOF）的面積.

解法一:：AB=5,BC=13,CA=12,

AB2+CA2=BC2.

AABC為直角三角形,/A=90。.

???AB,AC與。O分別相切于點(diǎn)E,F,

-,.OF±AB,OE±AC.

.??四邊形OFAE為正方形.

設(shè)OE=r,

則AE=AF=x.

VAABC的內(nèi)切圓OO與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,

BD=BF=5-r,CD=CE=12-r.

**.5-r+12-r=13.

5+12-13r

.?.r=--------------=2.

2

.,?陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是2x2=4.

故選A.

解析二：同解法一，得到△ABC是直角三角形.連接0D,由。0是內(nèi)切圓，可知ODLBC,且0D為半徑，應(yīng)用面積

法SABC=XAC=^(AB+BC+AC)Xr,可求出半徑.

解法二：同解法一，知4ABC為直角三角形，ZA=90°.

如圖，連接0D.

貝?。軴D_LBC,且OD=OE=OF=r.

由SABC=5ABxAC=—+BC+AC)xT,

5xl2=(5+12+13)xr.

則r=2.

同解法一，可得陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是2x2=4.

2.解:如圖，連接OM,BM.

〈PE是。O的切線，

.\OM±PE.

VAC±PE,

???AC〃OM.

ZCAM=ZAMO.

VOA=OM,

???ZAMO=ZMAO.

???ZCAM=ZMAO.

AAM平分NCAB.結(jié)論①正確.

VAB為直徑，

???ZAMB=90°=ZACM.

ZCAM=ZMAB,

AAAMC^AABM.

.AC_AM

''AM-AB'

??.AM2=AC?Ab.結(jié)論②正確.

ZP=30°,

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