2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：函數(shù)綜合壓軸題（27題）含答案及解析

專題36函數(shù)綜合壓軸題(27題)

一、解答題

1.(2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=gx-2與尤

軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn)的拋物線丁=?%2+法+。(。70)與無軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)8(-1,0),

點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC于點(diǎn)E,點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)。是x軸上的任意一點(diǎn)，若AAC。是以AC為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)EF=AC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為連接N4,MP,

則NA+MP的最小值為.

2.(2024?黑龍江綏化?中考真題)綜合與實(shí)踐

問題情境

在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片為操作對(duì)象.

紙片AABC和J)EF滿足ZACB=NEDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是創(chuàng)新小組的探究過程.

操作發(fā)現(xiàn)

(1)如圖1,取A3的中點(diǎn)0,將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)0與點(diǎn)尸重合.當(dāng)旋轉(zhuǎn)QEF紙片交AC

邊于點(diǎn)H、交BC邊于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)AH=x(l<x<2),BG=y,請(qǐng)你探究出>與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解

答過程.

問題解決

(2)如圖2,在(1)的條件下連接G”，發(fā)現(xiàn)ACG”的周長(zhǎng)是一個(gè)定值.請(qǐng)你寫出這個(gè)定值，并說明理由.

拓展延伸

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在AB邊上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B）,且始終保持NAFE=60。.請(qǐng)你直接寫出ADEF

紙片的斜邊E尸與廿LBC紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號(hào)）.

圖1圖2圖3

3.（2024?廣東深圳?中考真題）為了測(cè)量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放

置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x,y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇

不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)8D的讀數(shù)為無,8讀數(shù)為y,拋物線的頂點(diǎn)為C.

123456789X

(1)(I)列表:

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（ID描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的（X,y）描在圖2中；

（III）連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與尤的關(guān)系式；

（2）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+上的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直

直尺測(cè)量其水平跨度為豎直跨度為8,且=CD=n,為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)

興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)y=a（x-/7）2+左平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)。重合，此時(shí)拋物線解析式為y=

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)坐標(biāo)代入y=“小中，解得；（用含加，w的式子表示）

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為伍㈤

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=q(x-/zy+左中解得。=；(用含機(jī)，〃的式子表示)

(3)【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系宜刀中有A,B兩點(diǎn)，AB=4,且AS〃x軸，二次函數(shù)

G：%=2(x+〃f+上和。2：%++匕者B經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且C1和C2的頂點(diǎn)P,0距線段A8的距離之

和為10,求a的值.

4.(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2/+"+，與x軸相交于40,0),

■8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，頂點(diǎn)為M(2,d),連接AM.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,若C是>軸正半軸上一點(diǎn)，連接AC,CM.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為］o,￡|時(shí)，求證：ZACM^ZBAM；

(3)如圖2,連接將AABM沿x軸折疊，折疊后點(diǎn)M落在第四象限的點(diǎn)處，過點(diǎn)3的直線與線段WW'

相交于點(diǎn)D,與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)￡.當(dāng)黑=5時(shí)，3soM，與2sAMM是否相等？請(qǐng)說明理由.

5.(2024.四川達(dá)州.中考真題)如圖1,拋物線y=#+日-3與x軸交于點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)3(1,0),與y軸交

(2)如圖2,連接AC,DC,直線AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M,若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，且

SAPMC=2sADMC＜求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)。上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角

形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=a?+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),

與y軸交于點(diǎn)B,且關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)-IVxVf時(shí)，y的取值范圍是1,求/的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)

E,使得以8,C,D,￡為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

7.(2024.四川南充?中考真題)已知拋物線y=+法+c與x軸交于點(diǎn)A(TO),B(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為線段OC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線上4,PB分別交拋物線于

點(diǎn)、E,D,設(shè)4總面積為△P3E面積為邑，求3的值；

(3)如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線(不與對(duì)稱軸重合)與拋物線交于點(diǎn)N,

過拋物線頂點(diǎn)G作直線/〃x軸，點(diǎn)。是直線,上一動(dòng)點(diǎn).求QM+QN的最小值.

8.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線￡：y=依2一2依-3。（。＞0）與無軸

。是拋物線第四象限上一點(diǎn).

（2）當(dāng)。=1時(shí)，若AACD的面積與的面積相等，求tan/ABD的值;

⑶延長(zhǎng)。交x軸于點(diǎn)E,當(dāng)4￡＞=小時(shí)，將AADB沿DE方向平移得到將拋物線L平移得到拋物

線Z/,使得點(diǎn)A'，8,都落在拋物線Z/上.試判斷拋物線V與L是否交于某個(gè)定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

若不是，請(qǐng)說明理由.

9.（2024?山東?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2,-3）在二次函數(shù)y=加+法-3（。＞0）的圖像上，

記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線".

⑴求機(jī)的值；

（2）若點(diǎn)。（餌T）在y=o?+法-3的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函

數(shù)的圖像.當(dāng)0VxV4時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；

（3）設(shè)＞=渥+廄-3的圖像與x軸交點(diǎn)為伍,0）,（%,0）（%＜々）.若4＜%-再＜6,求。的取值范圍.

10.（2024?四川內(nèi)江.中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A,

與，軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-V+打+c經(jīng)過A、3兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)。作。C，x

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）是否存在點(diǎn)O,使得ABDE和ZXACE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由;

(3)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交A3于點(diǎn)G,連接￡>尸，當(dāng)四

邊形EGFD為菱形時(shí)，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

11.(2024?上海?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線y=后得到的新拋物線經(jīng)過A，,一：

和2(5,0).

尸

Ox

(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；

(2)直線x=m(m>0)與新拋物線交于點(diǎn)尸，與原拋物線交于點(diǎn)Q

①如果尸。小于3,求機(jī)的取值范圍；

②記點(diǎn)尸在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,如果四邊形尸'8P。有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

12.(2024?四川遂寧?中考真題)二次函數(shù)丁=加+法+4"0)的圖象與無軸分別交于點(diǎn)A(-l,0),3(3,0),

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，△OP。是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(3)設(shè)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)，。的橫坐標(biāo)為m+1,試探究：△OPQ的面積S是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最

小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.(2024.四川涼山?中考真題)如圖，拋物線丫=-爐+6無+修與直線》m彳+2相交于A(-2,0),5(3,回兩點(diǎn),

與x軸相交于另一點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A8重合)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)。，交直線A3于

點(diǎn)、E,當(dāng)尸E=2￡D時(shí)，求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)/使AABM的面積等于AABC面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)/的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

14.(2024?江蘇連云港?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=<vc+bx-l(a、b為常數(shù)，。>0).

(1)若拋物線與x軸交于4-1,0)、8(4,0)兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵如圖，當(dāng)匕=1時(shí)，過點(diǎn)C(T,。)、D(l,a+2A/2)分別作>軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)M、N,連接MN、MD.求

證：MD平外NCMN；

(3)當(dāng)。=1,6W-2時(shí)，過直線y=x-l(lVx<3)上一點(diǎn)G作V軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)H.若GH的最大

值為4,求6的值.

15.(2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，點(diǎn)A、B、M.E、尸依次在直線/上，點(diǎn)48固定不動(dòng)，且AB=2,

分別以AB、EF為邊在直線/同側(cè)作正方形ABC。、正方形EFGH,ZPMN=90°,直角邊恒過點(diǎn)C,直

角邊恒過點(diǎn)

(1)如圖1,若防=10,即=12,求點(diǎn)M與點(diǎn)3之間的距離；

(2汝口圖1,若BE=10,當(dāng)點(diǎn)/在點(diǎn)3、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求"E的最大值;

（3）如圖2,若BF=22,當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)8、尸之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接S,點(diǎn)。是S的中點(diǎn)，連

接HB、MO,則2OM+HB的最小值為.

16.（2024.山東威海.中考真題）如圖，在菱形A3CO中，AB=10cm,ZABC=6O°,E為對(duì)角線AC上一

動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作4>EF=60。，的交射線BC于點(diǎn)/，連接3E近.點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4方向

以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A處停止.設(shè)跖的面積為yen?,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.

⑴求證：BE=EF；

⑵求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）求x為何值時(shí)，線段OF的長(zhǎng)度最短.

17.（2024?湖南?中考真題）已知二次函數(shù)y=-/+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-2,5）,點(diǎn)尸（為兇），。仁,必）是此二

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2汝口圖1,此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)尸在直線A8的上方,過點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)C,

交A8于點(diǎn)。，連接AGOQ/Q.若三=占+3,求證把絲的值為定值;

（3）如圖2,點(diǎn)尸在第二象限，％=-2占，若點(diǎn)M在直線尸2上，且橫坐標(biāo)為%-1,過點(diǎn)M作肱軸于點(diǎn)

N,求線段MN長(zhǎng)度的最大值.

18.（2024.四川樂山?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”.拋

物線y=ax2-2ax+2a（a為常數(shù)且a>0）與y軸交于點(diǎn)A.

（1）若a=l,求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵若線段。4（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；

（3）若拋物線與直線丫=工交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”,

求。的取值范圍.

19.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，拋物線y=-尤2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)B,與>軸交于點(diǎn)

C（0,3）,點(diǎn)O在拋物線上.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且AACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶在直線BC上是否存在點(diǎn)尸，使△。尸D是以尸￡>為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.（2024?河北?中考真題）如圖，拋物線C/y="2-2x過點(diǎn)（4,0）,頂點(diǎn)為0.拋物線

2

C2:y=-1（x-Z）+1?-2（其中/為常數(shù)，且t>2）,頂點(diǎn)為尸.

(2)嘉嘉說：無論/為何值，將G的頂點(diǎn)Q向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在C2上.

淇淇說：無論/為何值，G總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).

請(qǐng)選擇其中一人的說法進(jìn)行說理.

(3)當(dāng)1=4時(shí),

①求直線PQ的解析式；

②作直線/〃PQ,當(dāng)/與C?的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求/與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)設(shè)C］與Cz的交點(diǎn)A,8的橫坐標(biāo)分別為4,馬，且X.點(diǎn)加在G上，橫坐標(biāo)為?點(diǎn)N

在C2上，橫坐標(biāo)為若點(diǎn)M是到直線P。的距離最大的點(diǎn)，最大距離為％點(diǎn)N到直線P。的

距離恰好也為d,直接用含f和相的式子表示〃.

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21.(2024.廣東廣州.中考真題)已知拋物線G:y=ax-Gax-a+2a+l(a>0)過點(diǎn)A(%,2)和點(diǎn)B(x2,2),

直線/:y=m2x+n過點(diǎn)C(3,l),交線段AB于點(diǎn)D,記^CDA的周長(zhǎng)為G，XDB的周長(zhǎng)為C?,且G=C?+2.

(1)求拋物線G的對(duì)稱軸；

(2)求機(jī)的值；

⑶直線/繞點(diǎn)C以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)r秒后(0W/<45)得到直線廠，當(dāng)「〃鈿時(shí)，直線「交拋物線G于

E,歹兩點(diǎn).

①求r的值；

②設(shè)△AEF的面積為S,若對(duì)于任意的。>0,均有SN4成立，求女的最大值及此時(shí)拋物線G的解析式.

22.（2024?湖北?中考真題）如圖1,二次函數(shù)、=一/+法+3交無軸于A（-l,0）和3,交〉軸于C.

圖1圖2

⑴求b的值.

⑵M為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，滿足/MAB=/ACO,求M點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（3）如圖2,將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為心e與>軸交于點(diǎn)。，記DC=d,記L頂點(diǎn)橫坐標(biāo)

為”.

①求d與〃的函數(shù)解析式.

②記L與x軸圍成的圖象為與重合部分（不計(jì)邊界）記為W,若d隨“增加而增加，且W內(nèi)恰有

2個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，直接寫出〃的取值范圍.

23.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）已知四個(gè)不同的點(diǎn)4石,%）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,。（尤4,%）都在關(guān)于x的

函數(shù)>=0^+法+。（a,b,c是常數(shù)，awO）的圖象上.

⑴當(dāng)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（TT）,（3,4）時(shí)，求代數(shù)式20244+10126+3的值；

（2）當(dāng)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足1+2（必+%）。+4%%=。時(shí)，請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并

說明理由；

⑶當(dāng)a>0時(shí)，該函數(shù)圖象與無軸交于E,尸兩點(diǎn)，且43,C,。四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：2/+2（%+%）。+才+負(fù)=。，

2

2a-2（y3+y4）a+yl+yl=0.請(qǐng)問是否存在實(shí)數(shù)/O>1）,使得AB,CD,這三條線段組成一個(gè)三

角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1:2:3?若存在，求出機(jī)的值和此時(shí)函數(shù)的最小值；若不存在，

請(qǐng)說明理由（注：”所表示一條長(zhǎng)度等于EP的加倍的線段）.

3

24.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，拋物線y="2-；x+c與無軸交于A（T。），8（4,0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P.

(1)求拋物線的解析式及P點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵拋物線交y軸于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A,B,C的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。，求線段8的長(zhǎng)；

⑶過點(diǎn)P的直線、=丘+”分別與拋物線、直線％=-1交于x軸下方的點(diǎn)N,直線交拋物線對(duì)稱軸于

點(diǎn)E,點(diǎn)P關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)為0,軸于點(diǎn)H.請(qǐng)判斷點(diǎn)”與直線NQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

25.(2024?重慶?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+如一3與x軸交于A(-l,0),B兩

(2)點(diǎn)P是直線BC下方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸D〃x軸交拋物線于點(diǎn)。，作PE，3c于點(diǎn)E,

求尸￡>+好PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

(3)將拋物線沿射線BC方向平移逐個(gè)單位，在尸D+倉尸E取得最大值的條件下，點(diǎn)p為點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)

2

點(diǎn)，連接■交y軸于點(diǎn)點(diǎn)N為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若NWF-NABC=45。，請(qǐng)直接寫出所有符

合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

2

26.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，拋物線>=-1爐+6尤+。與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)8坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

⑵點(diǎn)P是直線5c上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作X軸的垂線交直線于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作y軸的垂線，

垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)?zhí)骄?尸。+尸石是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，

請(qǐng)說明理由.

⑶點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMCB=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

27.(2024?甘肅?中考真題)如圖1,拋物線y=a(x-〃)2+左交x軸于O,A(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為網(wǎng)2,2石).點(diǎn)

C為08的中點(diǎn).

(1)求拋物線y=a(x-/z)2+左的表達(dá)式；

⑵過點(diǎn)C作CF/LQ4,垂足為X,交拋物線于點(diǎn)E.求線段CE的長(zhǎng).

(3)點(diǎn)。為線段。4上一動(dòng)點(diǎn)(。點(diǎn)除外)，在OC右側(cè)作平行四邊形OCED.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②如圖3,連接BD,BF,求BD+3E的最小值.

專題36函數(shù)綜合壓軸題(27題)

一、解答題

1.(2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=gx-2與尤

軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn)的拋物線丁=?%2+法+。(。70)與無軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)8(-1,0),

點(diǎn)P是拋物線位于第四象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC于點(diǎn)E,點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)。是x軸上的任意一點(diǎn)，若AAC。是以AC為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)EF=AC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為連接N4,MP,

則NA+MP的最小值為.

13

【答案】⑴y=尤-2

⑵2(-4,0),3(4+2A/5,0),￡>3(4-2G0)

⑶—

⑷亞

2

【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的

關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)題意確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標(biāo)與圖形即可解答；

(3)先證明AAOC絲△￡'尸7?(二人)可得尸/=℃=2,設(shè)機(jī)［加卜0<m<4),則尸

可得尸尸=-；〃/+2加，即-1〃/+2%=2,求得可得利的值，進(jìn)而求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（4）如圖:將線段腦向右平移!■單位得到MG,即四邊形肱WLG是平行四邊形，可得Ml=MG,AG=MN=卞

即6（馴，作P（2,-3）關(guān)于對(duì)稱軸x=T的點(diǎn)[（1,-3），則MP=MP1,由兩點(diǎn)間的距離公式可得PG=浮,

再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得NA+MP=MG+MP]>PiG=誓即可解答.

【詳解】（1）解：,??直線y=gx-2與無軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

...當(dāng)」=。時(shí),x=4,即4（4,0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=-2,即C（0,—2）；

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+l）（x-4）（a豐0）,

把C（0,-2）代入可得：-2=4（0+1乂0-4）,解得：.=

,y=*+i）（i）=#-|x-2,

13

，拋物線的解析式為：y=$2-方-2.

（2）解：?；A（4,0）,C（0,-2）,

OC=2,OA=4,

AC=>JOC2+AB2=2A/5，

如圖：當(dāng)CD；=AC=2右,OC1.AD1,

。2=。4=4,即9（<0）；

如圖：當(dāng)A4=AC=26，

0鼻=9一AC=2百-4,即&（4-2底0）；

如圖：當(dāng)AA=AC=26，

：.OD3=AD3+AC=245+4D2（4-260）；

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為2（-4,0）,2（4+2班,0）,0,（4-26,0）.

(3)解：如圖：???「￡〃工軸，

：.ZPEA=ZOAC,

???尸產(chǎn)〃y軸，

:?/PFE=/OCA,

EF=AC,

：.△AOC^AEPF(ASA),

???PF=OC=2,

設(shè)P^m^m2--1m-2^(0<m<4),則F^m^m-2^

?p尸1023)12,9

2(22J2

**?—加2+2根=2,解得：m=2(負(fù)值舍去)，

2

13

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，一x2?—x3—2=—3,

22

???P(2,-3).

13

(4)解：??,拋物線的解析式為：y=-x2--x-2,

3

???拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=],

3

如圖：將線段N4向右平移,單位得到MG,

???四邊形ACUG是平行四邊形，

：.NA=MG,AG=MN=^^\iG^-,O^,

a

作尸(2,-3)關(guān)于對(duì)稱軸尤=1的點(diǎn)《(1,一3)，則MP=MP.

2

???Pfi=1l-yJ+(-3-O)=當(dāng)，

'/NA+MP=MG+MPi>PlG=^Y-,

/.N4+MP的最小值為哀叵.

2

故答案為獨(dú)1.

2.（2024.黑龍江綏化?中考真題）綜合與實(shí)踐

問題情境

在一次綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片為操作對(duì)象.

紙片和ADEF滿足NACB=/￡?/=90。,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是創(chuàng)新小組的探究過程.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）如圖1,取AB的中點(diǎn)。，將兩張紙片放置在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合.當(dāng)旋轉(zhuǎn)—EF紙片交AC

邊于點(diǎn)H、交BC邊于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)AH=^（l<x<2）,BG=y,請(qǐng)你探究出V與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出解

答過程.

問題解決

（2）如圖2,在（1）的條件下連接GH,發(fā)現(xiàn)ACG"的周長(zhǎng)是一個(gè)定值.請(qǐng)你寫出這個(gè)定值，并說明理由.

拓展延伸

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在A3邊上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B）,且始終保持NAFE=60。.請(qǐng)你直接寫出ADEF

紙片的斜邊族與AABC紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結(jié)果保留根號(hào)）.

2

【答案】（1）y=-（l<x<2）,見解析；（2）2,見解析；（3）2+括或2-g

X

【分析】（1）根據(jù)題意證明得出關(guān)系式4"力6=”?防，進(jìn)而求得

AB=2?,AF=BC=^,代入比例式，即可求解;

(2)方法一：勾股定理求得G”，將將(1)中孫=2代入得G"=x+y-2,進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，

即可求解；

方法二：證明△AO"s/\BGO,AHAO^AHOG,過。作OMJ_A”交AH于點(diǎn)作OP2HG交HG

于點(diǎn)P,作ON_LG3交GB于點(diǎn)N.證明△QW/絲△OPG絲△ONG,得出HG=MH+GN,得

出CM=CN=LBC=1,進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得△CHG的周長(zhǎng)=C0+CV=2CW=2X1=2.

2

方法三：過。作OA/LAH交A"于點(diǎn)M,作ONLGB交GB于點(diǎn)、N,在NB上截取一點(diǎn)。，使NQ=MH,

連接0C.得出AOMH注AONQ,△OHGdOQG,則HG=G2=GN+Mf,同方法二求得

CM=CN=-BC=1,進(jìn)而即可求解；

2

(3)分兩種情況討論，E尸于AC,BC的夾角；①過點(diǎn)/作FNLAC于點(diǎn)N,作FH的垂直平分線交7W于

點(diǎn)、M,連接在Rt&VCWf中，設(shè)NH=k,由勾股定理得，F(xiàn)N=MN+MF=(2+^k,進(jìn)而根據(jù)正

確的定義，即可求解；②過點(diǎn)尸作印_L3C于點(diǎn)N,作RS的垂直平分線交3G于點(diǎn)M,連接回"，在

及△MVM中，設(shè)FN=k,同①即可求解..

【詳解】操作發(fā)現(xiàn)

解：⑴,；ZACB=ZEDF=90。,且AC=5C=O尸=DE=2cm.

，ZA=ZB=ZDFE=45°,

：.ZAFH+ZBFG=ZBFG+ZFGB=135°,

ZAFH=ZFGB,

AAFHsABGF,

.AFAH

??一,

BGBF

；?AHBG=AFBF.

在R3AC3中，AC=BC=2,

???AB=VAC2+BC2=722+22=2V2，

TO是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合，

JAF=BF=^，

xy=V2x^2,

y=—(1<x<2).

O(F)

A■B

E

問題解決

(2)方法一■：

解：ACG”的周長(zhǎng)定值為2.

理由如下：VAC=BC=2,AH=x,BG=y,

：.CH=2-x,CG=2-y,

在Rt"70G中，/.GH=A/CH2+CG2=J(2-x)2+(2-y)2

=Jf+J_4(x+y)+8=J(%+y)2--4(x+y)+8?

將(1)中取=2代入得：

GH—J(x+―4(%+.)+4—J(X+y—=|x+y-2|.

(x+yj=%2+y2+2xy=x2+y2+4>4,又<l<x<2,

x+y>2,

GH=x+y—2,

ACHG的周長(zhǎng)=CTf+CG+G”,

△0?7的周長(zhǎng)=2-工+2-'+彳+,-2=2.

方法二：

解：△CG"的周長(zhǎng)定值為2.

理由如下：?「A4BC和AD即是等腰直角三角形，

JZA=ZB=ZE=ZEOD=45°f

「ZAOH+ZBOG+ZEOD=180°,

???NAQET+N30G=135。，

在△AO"中，NA=45。，

???ZAOH-^-ZAHO=135°,

：.ZAHO=ZBOG,

：.AAOHsABGO,

ZAOH=ZOGB,ZAHO=ZBOG,

BGOGOB

???0為A3的中點(diǎn),

AO=BO,

.OHAH

??一,

OGAO

又：ZA=NEOD=45°,

/.AHAO^^HOG,

ZAHO=ZOHG,ZOGB=ZOGH,

.?.過。作OM，四交A”于點(diǎn)”，作OP工HG交HG于點(diǎn)P,作ONLGB交GB于點(diǎn)、N.

：.OM=OP=ON.

又,：OH=OH,OG=OG,

AOMH^AOPH,AOPG^AONG,

：.HM=PH,PG=NG,

：.HG=MH+GN.

：△SG的周長(zhǎng)=CH+CG+GH=CH+CG+MH+G7V=CM+GV.

XVAO=OB,OM=ON,ZA=ZB=45°,

:.AAOM'BON,

：.AM=BN,

VZC=90°,/AMO=90。，

OM//BC,

是AB的中點(diǎn)，

.,.點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，同理點(diǎn)N是BC的中點(diǎn).

CM=CN=-BC=1,

2

△CHG的周長(zhǎng)=CM+OV=2CM=2x1=2.

方法二：

解：ACGH的周長(zhǎng)定值為2.

理由如下：過。作QWLAH交AH于點(diǎn)作ON_LG3交GB于點(diǎn)N,在上截取一點(diǎn)。，使=,

連接。C.

???AABC是等腰直角三角形，。為AB的中點(diǎn),

???0C平分/ACB,

：.OM=ON,

：.AOMH^^ONQ,

：.OH=OQ,ZMOH=ZNOQ.

?HOG45?,ZACB=90°,

：.ZMON=90°,ZMOH+/GON=45。,

：.NGOQ=45。，

??.ZHOG=ZGOQf

OG=OG,

：.AOHG^AOQG,

HG=GQ=GN+MH,

；?&CHG的周長(zhǎng)=CH+CG+GH=CH+CG+MH+GN=CM+CN.

XVAO=OB,OM=ON,NA=N3=45。，

???AAOM%BON,

：.AM=BN.

VZC=90°,ZAMO=90°,

：.OM//BC.

???。是AB的中點(diǎn)，，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，同理點(diǎn)N是5C的中點(diǎn).

??.CM=CN=-BC=l

2f

???△CHG的周長(zhǎng)=CM+GV=2CM=2x1=2.

E

拓展延伸

(3)2+g或2-g

①解：,：ZAFE=60°fZA=45°,

：.ZAHF=15°,

過點(diǎn)尸作于點(diǎn)N,作的垂直平分線交FN于點(diǎn)M,連接也

:.FM=MH,

9：ZFNH=90°,

：.ZNFH=15°f

*.*FM=MH,

：.ZNFH=ZMHF=15°,

：.ZNMH=30°,

在Rt&VWH中，設(shè)NH=k,

：.MH=MF=2k,由勾股定理得,

MN=6NH=6k,

：.FN=MN+MF=9+；,

W中，tan—繪上等=2+行

②解：VZAFE=60°,ZA=45°,

ZFGB=15°,

過點(diǎn)/作FNLBC于點(diǎn)N,作PG的垂直平分線交8G于點(diǎn)M,連接EU.

GM=MF,

:.NFGB=NGFM=15。,

：./FMB=30。，

在RtZ\FW中，設(shè)FN=k,

:.GM=MF=2k,由勾股定理得，MN=y[3FN=y[3k,

：.GN=GM+MN=(2+^k,

FNk

.?.在Rt^WVG中,tanZFGN=tan15。=—=2-V3.

GN-(2+石汝

tanZFHN=2+石或tanZFGN=2—右.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

函數(shù)解析式，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?廣東深圳?中考真題)為了測(cè)量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放

置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇

不同位置測(cè)量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)8。的讀數(shù)為x,8讀數(shù)為y,拋物線的頂點(diǎn)為C.

?②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描點(diǎn)：請(qǐng)將表格中的(尤廣)描在圖2中；

(III)連線：請(qǐng)用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與X的關(guān)系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-/7)2+上的頂點(diǎn)為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直

直尺測(cè)量其水平跨度為AB,豎直跨度為8,且=CD=n,為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)學(xué)

興趣小組有如下兩種方案，請(qǐng)選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)y=a(無-獷+太平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，此時(shí)拋物線解析式為>=以2.

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為;

②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=中，解得。=;(用含加，”的式子表示)

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為他㈤

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=a（x-/z）2+左中解得。=；（用含機(jī)，〃的式子表示）

（3）【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系％。y中有A,8兩點(diǎn)，AB=4,且軸，二次函數(shù)

。1：%=2（%+/1）2+女和。2：%=〃（％+%）2+。者8經(jīng)過4B兩點(diǎn)，且G和。2的頂點(diǎn)尸，。距線段A3的距離之

和為10,求a的值.

【答案】（1）圖見解析，y=

4

（2）方案一：①/左一］；②?；方案二：①:九左+〃］；②？;

）m\2）m

（3）〃的值為;或-5.

乙2

【分析】（1）描點(diǎn)，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可;

（2）根據(jù)圖形寫出點(diǎn)9或點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入求解即可；

（3）先求得A（-/z—2,8+左），B（-h+2,8+k）,G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（-/i,k）,再求得C1頂點(diǎn)距線段AB的距離

為|（8+左）-4=8,得到G的頂點(diǎn)距線段AB的距離為10-8=2,得到Q的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（-h,W+k）或

Q（-h,6+k）,再分類求解即可.

【詳解】（1）解：描點(diǎn)，連線，函數(shù)圖象如圖所示,

9

O123456789》

觀察圖象知，函數(shù)為二次函數(shù),

設(shè)拋物線的解析式為y=加+bx+c,

c=0

由題意得4〃+2匕+。=1,

16〃+48+。=4

1

Cl———

4

解得。=0，

c=0

與x的關(guān)系式為y=；/；

（2）解：方案一：①：AB=〃2,CD=n,

/.D'B'=-m,

2

此時(shí)點(diǎn)8,的坐標(biāo)為片■相,j；

故答案為：肛4；

②由題意得機(jī)Ja=n,

解得a=笑,

m

477

故答案為：一；

m

方案二：①點(diǎn)坐標(biāo)為僅用，AB=m,CD=n,

DB=—m,

2

此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為1■加水+〃J；

故答案為：［h+^m,k+n\^.

②由題意得上+〃=0（〃+：相一+k,

解得”:，

m

4n

故答案為：一;

m

（3）解：根據(jù)題意C］和。2的對(duì)稱軸為％,

則A（—0―2,8+左），3（—/1+2,8+左），G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（—"k）,

???G頂點(diǎn)距線段AB的距離為|（8+左）-川=8,

???G的頂點(diǎn)距線段A5的距離為10-8=2,

Q的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（-/U0+外或。（-九6+左）,

當(dāng)。2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（一"1。+%）時(shí)，%=。（％+域+10+k,

將A（—/z—2,8+左）代入得4a+10+左=8+左，解得Q=—萬；

2

當(dāng)G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（-"6+左）時(shí)，y2=a（x+h）+6+3

將24（一無一2,8+左）代入得4々+6+左=8+左，解得〃=/;

綜上，。的值為3或-;.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2f+bx+c與x軸相交于4（1,0）,

8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為連接AM.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1,若C是>軸正半軸上一點(diǎn)，連接AC,CM.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，求證：ZACM=ZBAM；

（3）如圖2,連接BM,將AABM沿x軸折疊，折疊后點(diǎn)M落在第四象限的點(diǎn)M處，過點(diǎn)B的直線與線段

相交于點(diǎn)。，與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)E.當(dāng)芻g=言時(shí)，3s小m與2s△“如是否相等？請(qǐng)說明理由.

DE7

【答案】⑴、=-2/+8彳-6

（2）見解析

⑶相等，理由見解析

/、bb/、

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)為“（2,d）,利用-五=一訐1=2求出匕=8,再將A。,。）代入解析式即可求出

c=-6,即可得出函數(shù)表達(dá)式；

（2）延長(zhǎng)WC交x軸于點(diǎn)由（1）知拋物線的解析式表達(dá)式為y=-2/+8x-6,求出M（2,2）,再利用

待定系數(shù)法求出直線MC的解析式為y=+進(jìn)而求出。則AO=g,利用兩點(diǎn)間距離公式求

出DW=W,Cr>=9,易證AACDSJI例°,得到NACD=NMW,由

36

ZACD+ZACM=ZMAD+ZBAM=180°,即可證明NACM=NB4M；

(3)過點(diǎn)。作。G,%軸，交x軸于點(diǎn)G,利用拋物線解析式求出5(3,0),求出06=3,A5=2,根據(jù)O石〃。G,

易證ABDGs①EO,得到=由；^=5，即高三=2，求出5G=g,得到OG=1,即點(diǎn)。

(JDDE(JEDE7BE1553

的橫坐標(biāo)為由折疊的性質(zhì)得到M'(2,-2),求出直線加，的解析式為y=-2x+2,進(jìn)而求出

得到DG=：,利用三角形面積公式求出=則屈T=(，

JNDNDD

即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)解：?.?該拋物線的頂點(diǎn)為M(2,d),即該拋物線的對(duì)稱軸為尤=2,

bb\

?x------=-------———2

"2a2x(-2)'

Z?=8,

將4(1,0)代入解析式y(tǒng)=—2/+8x+c,貝lJ0=-2+8+c,

c——6,

拋物線的解析式表達(dá)式為y=-2%2+8%-6；

(2)證明：如圖1,延長(zhǎng)MC交x軸于點(diǎn)Z),

由(1)知拋物線的解析式表達(dá)式為y=-2/+8x-6,則為=-2?228?26=2,

..加(2,2),

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(o,g

設(shè)直線MC的解析式為y=kx+b(k^O),

L=b

則2

2=2k+b

b=-

2

解得：

73

k=—

4

3131

???直線MC的解析式為y=則0=》+不

2

D14

???4(1,0),

55

.?坐=8」旦口

*DM102"AD52f

T3

.ADCD

一而一茄’

ZADM=ZADM,

AACD^^MAD,

ZACD=ZMADf

???ZACD-^-ZACM=ZMAD+ZBAM=180°,

AZACM=ZBAM；

(3)解：過點(diǎn)。作軸，交x軸于點(diǎn)G,

圖2

2

令一2》2+8X-6=0,BPX-4X+3=0,

x

解得：i=1)x2=3,

根據(jù)題意得：3(3,0),

/.OB=3,AB=2,

OGJ_x軸，O￡_L九軸，

AOE//DG,

ABDGS*EO,

.BGBDDG

BD8BD8

?「——=一，即nn——=一,

DE7BE15

QQ

/.BG=——OB=—,

155

7

/.OG=《，

7

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為—,

由折疊的性質(zhì)得到2),

設(shè)直線4VT的解析式為y=s+〃(mw。),

f—2=2m+n

則八，

[O=m+n

fm=-2

解得：c，

[n=2

???直線AM1的解析式為y=_2x+2,

74

yD=-2x—+2=--,

1