2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習講義：一次函數(shù)

專題08一次函數(shù)

考點精講

1.結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達式。

2.會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式。

3.能畫出一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式y(tǒng)=kx+b（k主0）探索并理解

%>0和左<0時，圖象的變化情況。

4.理解正比例函數(shù)。

5.體會一次函數(shù)和二元一次方程的關(guān)系。

考點解讀

考點1：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)

（1）概念：一般來說，形如（際0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).特別地，當b=0時，稱

為正比例函數(shù).

（2）圖象形狀：一次函數(shù)〉=履+6是一條經(jīng)過點（0應(yīng)）和（也次,0）的直線.特別地，正比

例函數(shù)的圖象是一條恒經(jīng)過點的直線.

k,b*>0rt>0*A>0,jKO.RO,

行號

4>0*<0b>0*0b=0

大豉IV

1

圖能0s'

夕4i寸~~、一?、一、二一.??

以PR四叫

圖ayMx的■大而中大,vMx0

性隨

（3）一次函數(shù)與坐標軸交點坐標

1.求一次函數(shù)與x軸的交點，只需令y=。,解出x即可;

2.求與y軸的交點，只需令x=。,求出y即可.

b

故一次函數(shù)y=fcv+b(際0)的圖象與x軸的交點是(-一,0),與y軸的交點是(0,b)；

k

3.正比例函數(shù)y=履(原0)的圖象恒過點(0,0).

考點2：一次函數(shù)解析式的確定

(1)常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為：

①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達式為v=kx+b(k^0)；

②代：將已知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程或方程組；

③解：求出發(fā)與b的值，得到函數(shù)表達式.

(2)常見類型：

①已知兩點確定表達式；②已知兩對函數(shù)對應(yīng)值確定表達式；

③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由y=2x平移所得到的，且經(jīng)過點(0,1),則可設(shè)要求函數(shù)的

解析式為產(chǎn)2尤+6,再把點(0,1)的坐標代入即可.

考點3：一次函數(shù)圖像的平移

規(guī)律：“左加右減，上加下減”

①一次函數(shù)圖象平移前后左不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的左值相同.

②若向上平移單位，則b值增大/?；若向下平移/7單位，則b值減小瓦

考點4：一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系

(1)一次函數(shù)與方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)尸質(zhì)+6(hb是常數(shù)，物0)

的圖象與x軸交點的橫坐標.

y=k,x+b

(2)一次函數(shù)與方程組：二元一次方程組的解=兩個一次函數(shù)y=4x+b和

y=k2x+b

y=k2x+b圖象的交點坐標.

(3)一次函數(shù)與不等式

(1)函數(shù)尸fct+b的函數(shù)值y>0時，自變量x的取值范圍就是不等式fcc+b>0的解集

(2)函數(shù)尸fct+b的函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍就是不等式fcc+b<0的解集

考點5：一次函數(shù)的應(yīng)用

一般步驟：

(1)設(shè)出實際問題中的變量；

(2)建立一次函數(shù)關(guān)系式；

(3)利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；

(4)確定自變量的取值范圍；

(5)利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義;

(6)做答.

2.常見題型

(1)求一次函數(shù)的解析式.

(2)利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問題.

考點突破

1.若函數(shù)y=(m-1)的「5是一次函數(shù)，則機的值為()

A.±1B.-1C.1D.2

2.下列問題中，兩個變量之間成正比例關(guān)系的是()

A.圓的面積S(cm2)與它的半徑r(cm)之間的關(guān)系

B.某水池有水15n?,現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h,xh后這個水池有水yn?

C.三角形面積一定時，它的底邊。(cm)和底邊上的高〃(cm)之間的關(guān)系

D.汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y與行駛時間x之間的關(guān)系

3.在同一直角坐標系中，當">0時，y=a/與y=ax+6的圖象大致是()

4.正比例函數(shù)0)和一次函數(shù)y=Z(1-%)在同一個直角坐標系內(nèi)的圖象大致是

下圖中的()

y(

5.關(guān)于函數(shù)y=-2x+l,下列結(jié)論正確的是（）

A.圖象必經(jīng)過（-2,1）

B.y隨x的增大而增大

C.圖象經(jīng)過第一、二、三象限

D.當x＞工時，y＜0

2

6.已知正比例函數(shù)0）,函數(shù)值隨尤的增大而增大，則一次函數(shù)y=-依+左的圖象

大致是（）

8.一次函數(shù)＞=-2x+6的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積是（）

A.6B.9C.12D.18

9.若函數(shù)y=（加-3）物-I是一次函數(shù)，則的值為.

10.當k=時，函數(shù)y=(%-1)x+M-1是一個正比例函數(shù).

11.若式子瘧!+*-1)°有意義，則一次函數(shù)y=(Z-1%+1-左的圖象可能是?(填

字母代號)

12.函數(shù)y=2x與y=6-質(zhì)的圖象如圖所示，則左=

13.請寫出一個圖象經(jīng)過第一、第三象限的一次函數(shù)關(guān)系式.(寫出一個即可).

14.請寫出一個圖象經(jīng)過原點的函數(shù)的解析式.

15.點P(x,y)在第一象限，且x+y=8,點A的坐標為(6,0).設(shè)△<??!的面積為S.

(1)用含x的解析式表示S為,其中x的范圍是.

(2)畫出函數(shù)S的圖象.

(3)當點P的橫坐標為5時，A。a的面積為.

(4)AORl的面積能大于24嗎？為什么？

16.先完成下列填空，再在同一平面直角坐標系中畫出以下函數(shù)的圖象(不必再列表)

(1)正比例函數(shù)y=2x的圖象過(0,)和(1,)；

(2)一次函數(shù)＞=-x+3的圖象過(0,)和(,0).

17.請根據(jù)學(xué)習“一次函數(shù)”時積累的經(jīng)驗和方法研究函數(shù)y=-IR+2的圖象和性質(zhì)，并解決

問題.

(1)填空：

①當x=0時，y=-|x|+2=；

②當尤＞0時，y=-|x|+2=；

③當x＜0時，y=-\x\+2—；

(2)在平面直角坐標系中作出函數(shù)＞=-|x|+2的圖象；

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出關(guān)于這個函數(shù)的兩條結(jié)論；

(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖象與無軸有個交點，方程Tx|+2=0有個解；

②方程-|x|+2=2有個解；

③若關(guān)于x的方程-|x|+2=a無解，則a的取值范圍是.

r-6-

r-

U

A

4

J

r?

J

1

1

■>

X

)-j-I-]-10[I；(

1

1

n

L

c

o

4A

L

J

-6-

18.如圖1,在菱形ABC。中，AB=5,某數(shù)學(xué)興趣小組從函數(shù)的角度對菱形ABC。的對角

線長度進行如下探究：

利用幾何畫板，測量出以下幾組值：

AC1.002.003.004.005.006.007.008.009.009.549.809.95

BD9.959.809.549.168.668.007.14a4.363.002.001.00

根據(jù)所學(xué)的函數(shù)知識，對上述數(shù)據(jù)進行分析.

(1)表格中。的值為.

(2)設(shè)AC的長為自變量x,BD的長是關(guān)于自變量x的函數(shù)，記為以。，現(xiàn)已在圖2所

示的平面直角坐標系中描出了表格中各組數(shù)據(jù)的對應(yīng)點(x,VBD).

①畫出函數(shù)以。的圖象；

②請在同一平面直角坐標系中畫出直線y=x,結(jié)合所繪制的函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的

一條性質(zhì).

(3)在平面直角坐標系中，將三角板(含30。角的直角三角板)按如圖3所示方式放置,

頂點和坐標原點重合，斜邊在x軸上，畫出射線04.若與繪制的函數(shù)圖象交于點

則此時菱形ABC。的面積為

參考答案

1?【解答】解：由題意得：

\m\=l且機-1#0,

/.m=±l且機#1,

??Z72-1,

故選：B.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2?【解答】解：A選項，S=M,故該選項不符合題意；

B選項，y=15+5x,這是一次函數(shù)，故該選項不符合題意；

C選項，'：lah=S,

2

故該選項不符合題意；

h

D選項，y=60x,故該選項符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查了正比例函數(shù)的定義，掌握形如y=fcr（際0）的函數(shù)是正比例函數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

3.【解答】解：：ab>0,

6>0或a<0,6c0,

當。>0,b>0時，函數(shù)>=依2的圖象開口向上，頂點在原點，函數(shù)>=辦+6的圖象經(jīng)過

第一、三、四象限，故選項A,B錯誤，不符合題意；

當a<0,b<0時，函數(shù)>=癥的圖象開口向下，頂點在原點，函數(shù)>=辦+。的圖象經(jīng)過

第二、三、四象限，故選項C錯誤，不符合題意，選項D正確，符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

4.【解答】解：分兩種情況：（1）當左>0時，正比例函數(shù)y=履的圖象過原點、且過第一、

三象限，一次函數(shù)y=A:（l-x）=-fcr+上的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，選項￡）符合；

（2）當上<0時，正比例函數(shù)y=履的圖象過原點、第二、四象限，一次函數(shù)y=%（l-

x）=-日+Z的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，無選項符合.

故選：D.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象，明確一次函數(shù)y=fcv+6的圖象有四種情況：

①當上>0,b>Q,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；

②當上>0,b<Q,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；

③當左<0,6>0時，函數(shù)y=Ax+6的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；

④當上<0,6<0時，函數(shù)y=fcv+6的圖象經(jīng)過第二、三、四象限.

5.【解答】解：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，依次分析可得，

A.尤=-2時，y=-2x-2+1=5,故圖象必經(jīng)過（-2,5）,故錯誤，

B.k<0,則y隨x的增大而減小，故錯誤，

C.k=-2<0,b=l>0,則圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故錯誤，

￡>.當尤>工時，y<0,正確；

2

故選：D.

【點撥】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，注意一次函數(shù)解析式的系數(shù)與圖象的聯(lián)系.

6.【解答】解：..?正比例函數(shù)（以0）函數(shù)值隨尤的增大而增大，

">0,

一左V0,

...一次函數(shù)y=-息+k的圖象經(jīng)過一、二、四象限；

故選:A.

【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，掌握一次函數(shù)>=履+6,當4>0,6>0時，

圖象過一、二、三象限；當％>0,6<0時，圖象過一、三、四象限；k<0,6>0時，圖

象過一、二、四象限；k<0,6<0時，圖象過二、三、四象限.

7.【解答］解：A.如果過第一、二、四象限的圖象是yi,由yi的圖象可知，m<0,?>0；

由”的圖象可知，n>0,m>0,兩結(jié)論相矛盾，故錯誤；

B.如果過第一、二、四象限的圖象是yi,由yi的圖象可知，ni<0,九>0；由>2的圖象可

知，n>0,m<0,兩結(jié)論不矛盾，故正確；

C.如果過第一、二、四象限的圖象是yi,由yi的圖象可知，?>0；由”的圖象可

知，n>Q,m>0,兩結(jié)論相矛盾，故錯誤；

D.如果過第二、三、四象限的圖象是yi,由yi的圖象可知，觀<0,n<0；由y2的圖象

可知，n<0,m>0,兩結(jié)論相矛盾，故錯誤.

故選：B.

【點撥】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它的性質(zhì)才能靈活解題.一次函

數(shù)>=日+6的圖象有四種情況：

①當上>0,b>0,函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；

②當上>0,b<0,函數(shù)>=依+4>的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；

③當左<0,6>0時，函數(shù)y=fcc+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；

④當上<0,6<0時，函數(shù)y=fcc+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限.

8.【解答］解：當x=0時，-2x0+6—6,

...一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與y軸交于點（0,6）；

當y=0時，-2x+6—0,解得：尤=3,

...一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與彳軸交于點（3,0）.

.?.一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與兩坐標軸圍成的三角形的面積為』x6x3=9.

2

故選：B.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，利用一次函數(shù)圖

象上點的坐標特征，求出一次函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標是解題的關(guān)鍵.

9?【解答】解:由題意得：

\m-2|=1且機-3^0,

或m—1且m^-3,

??m=1f

故答案為：L

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

10.【解答】解：?.?函數(shù)y=（k-1）x+lc-1是正比例函數(shù)，

：.k-1/0,lc-1=0,

:?k=-1.

故答案為：-1.

【點撥】本題考查了正比例函數(shù)的定義.解題的關(guān)鍵是能夠正確理解正比例函數(shù)和一次

函數(shù)的概念.形如（原0）為正比例函數(shù)；y=kx+b（原0）為一次函數(shù).

11.【解答】解：：后1+（A-1）°有意義，

：.k-1>0,且4-1和，

解得人>1,

：.k-1>0,1-k<Q,

.,.一次函數(shù)y=（%-1）無+1-%的圖象如圖所示：

故答案是：B.

【點撥】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象，零指數(shù)幕定義以及二次根式有意義的條件；

解答此題的關(guān)鍵是要明確：當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正

半軸；當6<0時，（0,b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

12.【解答］解：由圖可知,

函數(shù)y=2x與y=6-kx的圖象交點的縱坐標是4,

將y=4代入y=2x,得x=2,

即函數(shù)y=2x與y=6-質(zhì)的圖象交點的坐標為（2,4）,

將點（2,4）代入y=6-丘，得

4=6-2k,

解得,k—1,

故答案為：L

【點撥】本題考查正比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

13.【解答】解：???一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，

...所填函數(shù)x的系數(shù)大于0,常數(shù)項為0.

如：y=x（答案不唯一）.

【點撥】本題考查的知識點為：一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，說明函數(shù)為增函數(shù).

14.【解答】解：依題意，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，

如y=x（答案不唯一）.

故答案為：y=x（答案不唯一）.

【點撥】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,

二次函數(shù)的圖象也可能經(jīng)過原點，寫出一個即可.

15.【解答】解：⑴???x+y=8,

??y--S-XJ

；.S=L<6xy=3（8-尤），

2

即S=-3x+24（0<x<8）；

（2）所畫圖象如圖所示：

（3）當x=5時，5=-3x5+24=9；

故答案為S=-3x+24；0<x<8；9.

（4）AOPA的面積不能大于24.

理由如下：：S=-3x+24.

而-3<0,

；.S隨x的增大而減小

又：x=0時，5=24,

.?.當0<x<8,S<24.

即△。外的面積不能大于24.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象：一次函數(shù)>=丘+6的圖象為直線.也考查了一次

函數(shù)的性質(zhì).

16.【解答】解：（1）當x=0時，y=2尤=0,

正比例函數(shù)y=2x的圖象過（0,0）；

當x=l時，y—2x—l,

正比例函數(shù)y=2x的圖象過（1,2）.

故答案為：0；2.

（2）當x=0時，y=-x+3=3,

...一次函數(shù)y=-x+3的圖象過（0,3）；

當y=0時，有-x+3=0,

解得：x=3,

...一次