專題11 圓錐曲線（4大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯(cuò)題（新高考專用）含解析

【高考數(shù)學(xué)】備戰(zhàn)2025年高考易錯(cuò)題（新高考專用）含解析專題11圓錐曲線易錯(cuò)點(diǎn)一：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍（求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程）求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：第一類：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．第二類：定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．第三類：相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．第四類：交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò)．例．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；變式1．在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.求曲線的方程；變式2．已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程；變式3．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．求的軌跡的方程；1．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓和圓均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；3．設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．(1)若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；(2)設(shè)是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(3)設(shè)是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，與拋物線交于點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn)，若點(diǎn)G滿足，求點(diǎn)G的軌跡方程．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.說明是什么曲線，并求的方程；5．已知為圓：上任一點(diǎn)，，，，且滿足.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；6．已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．求點(diǎn)的軌跡的方程；7．已知圓，一動(dòng)圓與直線相切且與圓C外切．(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線l與曲線相交于兩點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.8．圓，圓心為，點(diǎn)，作圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)連線的中垂線，交于.求的軌跡的方程；9．已知，，對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，且.求點(diǎn)Р的軌跡C的方程；10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.求C的方程；易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略了給定條件對(duì)e范圍的限定（離心率的求算）求離心率范圍的方法建立不等式法：技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.例．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2變式2．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3變式3．過雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．已知直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是其右支上一點(diǎn)．若，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上與不同的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點(diǎn)，若雙曲線上的點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．9．已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．易錯(cuò)點(diǎn)三：易忽略判別式自身參數(shù)范圍（求最值問題）知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓錐曲線聯(lián)立（設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別）（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，與C相離；與C相切；與C相交．注意：1.如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．2.直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．易錯(cuò)提醒：求最值問題時(shí)一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）例．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則的取值范圍是．變式1．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6，則C的離心率為．變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為變式3．設(shè)，分別為橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則的方程為.1．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為．2．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩點(diǎn)，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．已知橢圓是橢圓上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是.5．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，外接圓的圓心為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.7．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為為橢圓的左頂點(diǎn)，且，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為.8．已知為函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積最大值為.9．過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M，N，則的取值范圍是.10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為.易錯(cuò)點(diǎn)四：意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤（有關(guān)直線與圓錐曲線的定點(diǎn)與定值問題）1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．2、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒有關(guān)系的點(diǎn)．易錯(cuò)提醒：直線恒過定點(diǎn)是指無論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解．解決定點(diǎn)與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．例．橢圓的離心率，過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積.變式1．已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.變式2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在上的射影為，且滿足.(1)記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，求的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.變式3．已知點(diǎn)，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于），過作軸的垂線分別交直線于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，證明．直線過定點(diǎn).1．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線與直線分別交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，切點(diǎn)為，求證：是定值．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.(1)說明是什么曲線，并求的方程；(2)設(shè)是上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且異于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值?若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．7．已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．9．已知橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形的面積為定值.10．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線與直線相交于點(diǎn)．且點(diǎn)在橢圓上，證明直線恒過定點(diǎn)．

專題11圓錐曲線易錯(cuò)點(diǎn)一：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍（求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程）求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：第一類：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．第二類：定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．第三類：相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．第四類：交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò)．例．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；【詳解】圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以所以所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線上設(shè)雙曲線的方程為，則，所以，，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為變式1．在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.求曲線的方程；【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，化簡得：，故曲線的方程為變式2．已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程；【詳解】圓P：，所以圓P的圓心坐標(biāo)為，半徑為1設(shè)，依題意有化簡整理得：，故所求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程為變式3．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．求的軌跡的方程；【詳解】方法1：設(shè)因?yàn)?，所以，即又，所以，所以方?：如圖，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由已知得，互相垂直平分所以四邊形為菱形，所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即點(diǎn)在定直線上，因?yàn)椋耘c直線垂直，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡的方程為1．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓和圓均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑為．由已知條件，得．①當(dāng)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，，從而．②當(dāng)動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，，從而．綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，6為長軸長的橢圓．易得圓與圓交于點(diǎn)與，所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；【詳解】設(shè)，依題意，得，化簡得，故的方程為．3．設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．(1)若直線被拋物線所截得的弦長為6，求的值；(2)設(shè)是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(3)設(shè)是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，與拋物線交于點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn)，若點(diǎn)G滿足，求點(diǎn)G的軌跡方程．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）可令，代入拋物線方程，計(jì)算可得弦長繼而得；（2）根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化線段比值，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系計(jì)算即可；（3）設(shè)坐標(biāo)及方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理以及兩直線垂直的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及消元轉(zhuǎn)化，可得所求軌跡方程．【詳解】（1）由可得，由題意可知；（2）易知，則，拋物線準(zhǔn)線為，

如圖所示，過作準(zhǔn)線，垂足為B，由拋物線定義可知，故，設(shè)直線為，，則，欲求的最大值，即求的最小值，顯然當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最大，此時(shí)其余弦最小，聯(lián)立拋物線方程可得，由直線和拋物線相切可得，結(jié)合拋物線對(duì)稱性，不妨取，此時(shí)，即；（3）

由已知可知，則，設(shè)，，則，與拋物線聯(lián)立可得：，即有，同理則有，因?yàn)辄c(diǎn)G滿足，即，故，可得，則G的軌跡方程為．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.說明是什么曲線，并求的方程；【答案】【詳解】根據(jù)題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.5．已知為圓：上任一點(diǎn)，，，，且滿足.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】【詳解】

如圖，由，可得，因?yàn)?，所以，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.6．已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．求點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】【詳解】由得，其半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，

故，則,而，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，則，故點(diǎn)的軌跡的方程為.7．已知圓，一動(dòng)圓與直線相切且與圓C外切．(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線l與曲線相交于兩點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，方程為【分析】（1）利用直接法，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)相切關(guān)系找到等量關(guān)系即可求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；（2）由題意設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用，從而由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算于韋達(dá)定理可得，即可求出直線方程．【詳解】（1）由題意知圓的圓心，半徑；設(shè)，易知點(diǎn)在直線右側(cè)，所以到直線的距離為，又，由相切可得，即化簡可得動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程為；（2）如下圖所示：

設(shè)，．由題意，設(shè)直線l的方程為聯(lián)立T的方程可得則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，假設(shè)存在，使得,則，又，所以；，由可得，所以，代入化簡可得，解得，∴存在直線，使得.8．圓，圓心為，點(diǎn)，作圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)連線的中垂線，交于.求的軌跡的方程；【答案】【詳解】連接，則，其中，則，所以，故的軌跡為以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，其中，故，，所以的方程為；9．已知，，對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，且.求點(diǎn)Р的軌跡C的方程；【答案】當(dāng)，；當(dāng)，【詳解】設(shè)，則，從而由，有，若，化簡整理得；若，化簡整理得.10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.求C的方程；【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，所以，因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)點(diǎn)的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點(diǎn)的軌跡方程C為易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略了給定條件對(duì)e范圍的限定（離心率的求算）求離心率范圍的方法建立不等式法：技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．技巧3：利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.例．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【分析方案】由，令且，，則，根據(jù)題設(shè)有、、，進(jìn)而有，將它們整理為關(guān)于的齊次方程求離心率即可【詳解】由題設(shè)，令且，，則，且①由，即②由，即又C在雙曲線上，則③由①得：，代入③并整理得：由①②及得：所以，即顯然，則，故選：B變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【分析方案】根據(jù)雙曲線定義得到，由三角形面積公式和余弦定理求出，兩邊同除以得到，求出離心率【詳解】∵分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，∴，，又∵在中，∵，∴，則又∴，即，故，解得：∵，∴故選：A變式2．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3【分析方案】根據(jù)雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為，可知，則，即則當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，由題意可得，且因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以方程，且，解得，則，所以雙曲線E的離心率為，故選：D變式3．過雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．【分析方案】根據(jù)題意，可得，兩種情況，分別求解，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，代入離心率公式，即可得到結(jié)果【詳解】如圖①，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設(shè)，，，因?yàn)椋杂?，所以，所以，，，則，則，且，即，解得，所以，如圖②，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，在中，，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，，則，，，所以，則，所以，即，解得，所以故選：B1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接、、，則，，設(shè)點(diǎn)，則，分析可得，可得出的取值范圍，由可求得的取值范圍.【詳解】連接、、，則，，由切線長定理可知，，又因?yàn)?，，所以，，所以，，則，設(shè)點(diǎn)，則，且，所以，，所以，，故，故選：B.2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，得，根據(jù)這兩個(gè)方程解得，則，得，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義得到，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，∴，又，∴．設(shè)，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．4．已知直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由得到，的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出離心率.【詳解】設(shè)，，則，．由，得．直線l的方程為，即，代入雙曲線的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故選:B．5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是其右支上一點(diǎn)．若，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量法得：，然后結(jié)合雙曲線定義：和余弦定理即可求解.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)，可知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，即:，所以：，解得：，所以：，故，由，解得：，所以：，故B項(xiàng)正確.故選：B.6．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上與不同的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出的坐標(biāo)，通過運(yùn)算得到，代入，利用二次函數(shù)的知識(shí)求得取最小值時(shí)，的值，即可求解.【詳解】將代入雙曲線方程中，整理得，得，設(shè)，則，，所以，所以．當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí),所以，解得，所以.故選：C．7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應(yīng)用勾股定理列方程求得，進(jìn)而求離心率.【詳解】中，中，所以，，又，則，又，所以，令，則，，而，由，則，，可得，即.故選：D8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點(diǎn)，若雙曲線上的點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由雙曲線的定義結(jié)合題意可得，又由，表示出，，在中，由余弦定理可求得，解方程即可求出答案.【詳解】如圖，連接，由題意知，設(shè)，由雙曲線的定義可得．又由題可得，所以，即．在中，，由，得，由雙曲線的定義可得．因?yàn)?，所以，所以，在中，，又由余弦定理可得，即，所以．又因?yàn)?，所以，所以，故，所以雙曲線的離心率．

故選：A.9．已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡得到，結(jié)合，化簡得到，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.因?yàn)?，所以，即，可?又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.

10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，

又因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切危?，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以，即：，所以，?故選：D.易錯(cuò)點(diǎn)三：易忽略判別式自身參數(shù)范圍（求最值問題）知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓錐曲線聯(lián)立（設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別）（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，與C相離；與C相切；與C相交．注意：1.如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．2.直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．易錯(cuò)提醒：求最值問題時(shí)一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）例．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則的取值范圍是．【分析方案】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出（），利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和橢圓方程表達(dá)出，結(jié)合的取值范圍，得到的取值范圍【詳解】由，，解得：，所以不妨令，，因?yàn)镻是橢圓E上任一設(shè)點(diǎn)，設(shè)（）則，即，其中因?yàn)?，所以，，所以的取值范圍是故答案為：變?．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6，則C的離心率為．【分析方案】設(shè)出右焦點(diǎn),將轉(zhuǎn)化成，最后利用三點(diǎn)共線表示最大值求出，進(jìn)而求出離心率【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)，由橢圓定義，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，.又，，，故答案為：變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為【分析方案】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑，應(yīng)用分析法要使最大只需讓最大即可，由數(shù)形結(jié)合的方法分析知共線時(shí)有最大值，進(jìn)而求目標(biāo)式的最大值【詳解】由題意得：，根據(jù)橢圓的定義得，∴圓變形得，即圓心，半徑要使最大，即最大，又∴使最大即可，如圖所示：∴當(dāng)共線時(shí)，有最大值為∴的最大值為∴的最大值，即的最大值為11+1=12故答案為：12變式3．設(shè)，分別為橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則的方程為.【分析方案】由題意知，，則；由三角形的三邊關(guān)系可知，從而可求出，由橢圓的定義知，從而可求出，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】由橢圓定義可知，且，則因?yàn)?，所以，所以，所以，故的方程為，故答案為?．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為．【答案】【分析】求出圓的圓心，根據(jù)題意可得、，利用平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，又橢圓，則，，右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以，即，所以的最大值為，最小值為.則的最大值與最小值之和為.故答案為：2．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．【答案】【分析】由余弦定理變形得出，在以為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓上，因此當(dāng)是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，由此可求得三角形面積最大值．【詳解】,，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以為焦點(diǎn)，長軸長為6的橢圓上（不在直線上），如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，則，所以，當(dāng)是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最大為，所以的最大值為，故答案為：．3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩點(diǎn)，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，，可表示出，，再由可得，此時(shí)表示與兩點(diǎn)的連線的斜率，由幾何意義求解即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，為橢圓的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)A作極軸交極軸于點(diǎn)，由橢圓的第二定義知：，則，所以，則，代入化簡可得：，同理可得：，由可得，，表示與兩點(diǎn)的連線的斜率，而可看作圓上任意一點(diǎn)，所以的幾何意義為圓上一點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線的斜率，過點(diǎn)作圓的切線可求出的最大值和最小值，由分析知，過點(diǎn)直線的斜率一定存在，設(shè)為，，故圓心到直線的距離為：，化簡可得：，解得：或，所以，故.故答案為：.4．已知橢圓是橢圓上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，則，再由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可求出結(jié)果【詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.若，即，則，滿足題意；若，即，則不滿足題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，有，作差得：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，設(shè)線段的垂直平分線為，則，得：，令，得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則，則，故.故答案為：.5．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為．【答案】【分析】由條件求的關(guān)系，再求四邊形的面積，由此可得的表達(dá)式，再結(jié)合基本不等式求的取值范圍.【詳解】點(diǎn)在橢圓上，所以上，解得，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，故，由于，所以，所以的取值范圍為．故答案為：?．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，外接圓的圓心為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加法法則和向量垂直的表示，結(jié)合均值不等式代入即可.【詳解】，取線段的中點(diǎn)，則，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為：.7．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為為橢圓的左頂點(diǎn)，且，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)已知先求出的值，記，得到，記，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解.【詳解】解：由題可知，即，又由題可知，，記，則，記，則在上恒成立，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，.故答案為：8．已知為函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積最大值為.【答案】【分析】利用三角代換可得，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由可得，易得在橢圓的第一象限內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，,又，則，其中，當(dāng)時(shí)，，即四邊形的面積最大值為.故答案為：.9．過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M，N，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，中點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法及兩點(diǎn)的斜率公式得到，即可求出的取值范圍，再根據(jù)，可得，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，，中點(diǎn)，，由與相減得，所以，又，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，即．故答案為?0．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，分析可知且、、三點(diǎn)共線，故，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長公式可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，易知點(diǎn)、，由橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)也在橢圓上，因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線，則，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以，.故答案為：.易錯(cuò)點(diǎn)四：意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤（有關(guān)直線與圓錐曲線的定點(diǎn)與定值問題）1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．2、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒有關(guān)系的點(diǎn)．易錯(cuò)提醒：直線恒過定點(diǎn)是指無論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解．解決定點(diǎn)與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．例．橢圓的離心率，過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示：

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得，又，所以，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消去y得：，，由韋達(dá)定理得，所以，，.變式1．已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【詳解】（1）如圖所示，

∵，且，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程，則，，∴，.所以點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，由，得設(shè)，，則，.所以，，因?yàn)橹本€的方程為：，令，得，所以，，同理可得，以為直徑的圓的方程為：，即，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，，得，代入得，化簡得，，解得或（舍去），所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線與軸重合，直線經(jīng)過點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn).變式2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在上的射影為，且滿足.(1)記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，求的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋?，化簡得，，即的方程?（2）由題意知，設(shè)過點(diǎn)作斜率不為0的直線為，，，聯(lián)立可得，，則，，又，，則，所以得證.

變式3．已知點(diǎn)，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于），過作軸的垂線分別交直線于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，證明．直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由題知，又橢圓經(jīng)過，代入可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意知，當(dāng)軸時(shí)，不符合題意，故的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去得，則，即設(shè)，，，的方程為，令得，的方程為，令得，由是中點(diǎn)，得，即，即，即，即，所以，得或，當(dāng)，此時(shí)由，得，符合題意；當(dāng)，此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)，與題意不符，舍去.所以的方程為，即，所以過定點(diǎn).1．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線與直線分別交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)已知，根據(jù)的關(guān)系得出.將點(diǎn)代入橢圓方程，即可解出，進(jìn)而得出；（2）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)，，，設(shè)直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系，求出坐標(biāo).根據(jù)已知列出方程，整理推得，.代入橢圓方程求出點(diǎn)坐標(biāo)；檢驗(yàn)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，滿足對(duì)稱關(guān)系，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，.又，所以.將代入橢圓方程，得，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l：，聯(lián)立得，整理得．則，解得或.設(shè)，，，由韋達(dá)定理可得，，則直線MQ：，令，得，所以.同理得．由點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱得，即，整理可得，.易知點(diǎn)不在上，所以，所以，，所以，有，整理得.由n的任意性知，將坐標(biāo)代入代入橢圓方程有，解得，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，不妨令，，，此時(shí)直線MQ：，令，得，所以，同理得，顯然點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，滿足.綜上，存在滿足題意的點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與圓錐曲線有關(guān)的頂點(diǎn)問題時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系.分析已知條件，得出等量關(guān)系，整理化簡即可得出結(jié)論.2．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由離心率與定點(diǎn)代入橢圓方程，建立方程組待定系數(shù)即可；（2）由條件轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，將斜率坐標(biāo)化，利用韋達(dá)定理代入，得到的等式，不論如何變化，等式恒成立求值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以橢圓的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）存在定點(diǎn)，使.理由如下：由（1）知，，則點(diǎn).設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使成立.當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線右焦點(diǎn)的直線即軸與交于長軸兩端點(diǎn)，若，則，或.當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，.由消去并整理，得，則.因?yàn)椋?，所以，?所以，即，恒成立，即對(duì)，恒成立，則，即.又點(diǎn)滿足條件.綜上所述，故存在定點(diǎn)，使.

3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，切點(diǎn)為，求證：是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由離心率為可以先得到，然后結(jié)合其余已知條件即可得解.（2）分直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，算出，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合直線與圓相切于點(diǎn)，從而即可得解.【詳解】（1）如圖所示：

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，則橢圓的方程為．將代入橢圓方程，得，則，所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．將代入橢圓的方程，得，所以，則．如圖所示：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．將與聯(lián)立，消去并整理，得．由，得．設(shè)，，，則，，，則．由直線與圓相切，可得，即．由，得．結(jié)合，得．又，兩邊平方并整理，得，所以．所以．綜上，，即是定值．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.(1)說明是什么曲線，并求的方程；(2)設(shè)是上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且異于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值?若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值，這個(gè)值為【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程可知圓心，半徑，再利用橢圓定義即可求得的軌跡曲線的方程為；（2）依題意設(shè)出,可得，求出直線的直線方程解出其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，，即可得出的表達(dá)式，再進(jìn)行化簡即可知.【詳解】（1）根據(jù)題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.（2）不妨設(shè)，，且，；則易知；易知直線的斜率都存在，如下圖所示：所以直線的斜率為，其方程為，可得直線交軸于點(diǎn)直線的斜率為，其方程為，可得直線交軸于點(diǎn)所以，可得；由，可得，，；所以；因此為定值，.5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）利用橢圓的定義及橢圓的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件作出圖形并設(shè)出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，則由橢圓的定義及的周長為6，知①，由于為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，得到軸距離最大為，因?yàn)榈拿娣e的最大值為，所以②，又③，聯(lián)立①②③，得，所以橢圓的方程為.（2）為定值，理由如下：根據(jù)已知條件作出圖形如圖所示,

設(shè)，則，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，則直線與橢圓一定有兩交點(diǎn)，聯(lián)立消去得：，，又，且，所以，同理所以.所以為定值.6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)長軸和短軸長度關(guān)系，將點(diǎn)代入解方程組即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程并于橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及直線的斜率為零即可化簡整理計(jì)算得出直線的斜率為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為根據(jù)題意得，解得故所求橢圓方程為（2）如下圖所示：

設(shè)直線交該橢圓與兩點(diǎn)．將代入得所以由直線能與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形，可得，即整理得，即即，所以當(dāng)時(shí)，不論為何值時(shí)都成立，所以直線與軸共同圍成底邊在軸上的等腰三角形時(shí)直線的斜率為定值7．已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）先根據(jù)直線是拋物線的一條切線，求出的值，再由橢圓離心率為，求出的值，則橢圓方程可得．（2）先假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，再用垂直時(shí)，向量，的數(shù)量積為0，得到關(guān)于直線斜率的方程，求，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．【詳解】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）

當(dāng)直線與軸平行時(shí)，以為直徑的圓方程為當(dāng)直線與軸重合時(shí)，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點(diǎn)為點(diǎn)猜想：所求的點(diǎn)為點(diǎn)．證明如下．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，以為直徑的圓過點(diǎn)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線為：由得，設(shè)，則則所以，即以為直徑的圓過點(diǎn)所以存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)．8．已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，再分圓在橢圓的內(nèi)部和外部兩種情況分別求解即可；（2）由題意橢圓的方程為，再設(shè)，得出切線的方程，將代入可得的坐標(biāo)都滿足方程即可得定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)．因?yàn)闄E圓的短軸長小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過定點(diǎn)．9．已知橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和可解得，可寫出橢圓的方程；（2）設(shè)分別求出直線，的方程并解出的坐標(biāo)，可得四邊形的面積.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，又，即可得，結(jié)合，解得；即橢圓的方程為.（2）證明：由（1）可知，如下圖所示：

設(shè)，且；易知直線的斜率，所以的直線方程為；同理直線的斜率，所以的直線方程為；由題意解得；所以可得，四邊形的面積又，可得，故，即四邊形的面積為定值.10．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線與直線相交于點(diǎn)．且點(diǎn)在橢圓上，證明直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用表示出橢圓的焦距和離心率，由此可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出坐標(biāo)，將代入橢圓方程可整理得到，同理得到，由此可得直線方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由橢圓方程可得其焦距為，離心率為；由橢圓可得其焦距為，離心率為；由題意知：，解得：（舍）或，，.（2）設(shè)，，，則，，，分別為的中點(diǎn)，，，，，，，，即，同理可得：，直線的方程為，直線恒過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓上可構(gòu)造方程組整理得到所滿足的直線方程，根據(jù)直線方程可確定定點(diǎn)坐標(biāo).

專題12概率易錯(cuò)點(diǎn)一：互斥與對(duì)立混淆致誤（隨機(jī)事件的概率）Ⅰ：首先明確什么是隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母表示．隨機(jī)試驗(yàn)的要求：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果．Ⅱ：隨機(jī)事件的前提樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．Ⅲ：兩類事件：隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機(jī)事件的確定事件．注意：事件的運(yùn)算可以用韋恩圖可以破解Ⅳ：互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用韋恩圖表示如下：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系（重點(diǎn)）①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．Ⅴ：概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.解題步驟如下：第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三，兩個(gè)事件互斥是在試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來確定的．對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作．分類討論思想是解決互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想例、判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由．從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都是從1~10）中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．變式1．從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（

）A．“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”B．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”C．“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”變式2．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，，分別為A，B的對(duì)立事件．給出以下命題：①若A，B為互斥事件，且，，則；②若，，且，則A，B相互獨(dú)立；③若，，且，則A，B相互獨(dú)立；④若，，且，則A，B相互獨(dú)立．其中所有真命題的序號(hào)為（

）A．① B．② C．①②③ D．②③④變式3．（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D1．某中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)項(xiàng)目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個(gè)階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對(duì)一進(jìn)行比賽，共進(jìn)行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負(fù)方得0分；第二階段，比賽雙方各出4人，二對(duì)二進(jìn)行比賽，共進(jìn)行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負(fù)方得0分．先得到5分及以上的一方裁定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束．若甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的概率都是，在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)過7局比賽獲勝的概率是（

）A． B． C． D．2．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若，則D．若，則3．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥4．已知為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（

）A． B．C． D．5．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個(gè)學(xué)校支教，每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件：“甲分配到學(xué)?！?；事件：“乙分配到學(xué)校”，則（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨(dú)立 D．6．為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望7．截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆．中國女子國家足球隊(duì)在參賽的15屆亞洲杯中共獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績每每給國人帶來拼搏奮進(jìn)的力量．在某屆女足亞洲杯中，將甲、乙、丙等12支參賽球隊(duì)平均分成，，三個(gè)小組．(1)求甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率；(2)求甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率．8．某娛樂節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.9．甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒有平局.(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.10．某校為豐富教職工業(yè)余文化活動(dòng)，在教師節(jié)活動(dòng)中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進(jìn)入到?jīng)Q賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.(1)求；(2)已知冠軍獎(jiǎng)品為28個(gè)籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎(jiǎng)品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進(jìn)行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請(qǐng)問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個(gè)籃球?易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤（古典概率）古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.（3）概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．解題步驟如下：第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第四步：利用公式求出事件的概率．易錯(cuò)提醒：在解決古典概型問題時(shí)要分清事件與基本事件，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個(gè)事件可能包含幾個(gè)基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯(cuò).例、設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出2只球．（1）求這2只球都是白球的概率；（2）求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．變式1：袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．變式2：一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個(gè)小球，其中白色球3個(gè)，黑色球2個(gè)．若從中任取1個(gè)球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個(gè)球，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為_____________．變式3：已知不透明的袋中裝有三個(gè)黑球（記為，和）、兩個(gè)紅球（記為和），從中不放回地依次隨機(jī)抽取兩球．(1)用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率．1．某學(xué)校舉辦作文比賽，共5個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．2．書籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域影響深遠(yuǎn)的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學(xué)書”，代表了文藝復(fù)興之前歐洲數(shù)學(xué)的最高成就，這些著作對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國數(shù)學(xué)名著的概率為（

）A． B． C． D．3．“二十四節(jié)氣”是我國上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，農(nóng)耕生產(chǎn)與大自然的節(jié)律息息相關(guān)，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時(shí)，通過觀察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲（年）中時(shí)候（時(shí)令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識(shí)體系．“二十四節(jié)氣”對(duì)今天的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)仍有著重要的指導(dǎo)意義．傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始．現(xiàn)從“二十四節(jié)氣”中隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季的概率為（

）A． B． C． D．4．某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（

）A． B． C． D．5．某對(duì)新婚夫婦響應(yīng)國家號(hào)召，計(jì)劃生育3個(gè)孩子，若每胎只有一個(gè)孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個(gè)孩子中有男有女”，則（

）A． B． C． D．6．某中學(xué)團(tuán)委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚(yáng)青春風(fēng)采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機(jī)選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（

）A． B． C． D．7．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立8．某公司為了推廣旗下的某款，在2024年春節(jié)來臨之前，推出了集“福卡”得獎(jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)，其中“?？ā庇?種，分別是“福到”“財(cái)?shù)健薄跋驳健薄熬壍健薄斑\(yùn)到”．規(guī)則如下：①通過登錄這款或推薦新用戶下載并使用這款可獲得若干抽獎(jiǎng)次數(shù)；②每次抽獎(jiǎng)可獲得一張“?？ā?；③5種“?？ā笔窍到y(tǒng)隨機(jī)分配的；④用戶集齊5種“福卡”后，便可獲得提供的獎(jiǎng)勵(lì)；⑤集齊5種“?？ā焙螅脩舨辉俪楠?jiǎng)，活動(dòng)結(jié)束；⑥用完所有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，活動(dòng)結(jié)束．現(xiàn)在甲參加了集“福卡”得獎(jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)．(1)已知甲已經(jīng)集了其中的2種“?？ā保€有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率；(2)已知甲已經(jīng)集了其中的3種“?？ā?，還有4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記活動(dòng)結(jié)束時(shí)，甲使用的抽獎(jiǎng)次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．9．某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙、丙三位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子100m決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測，為此，他收集了這三位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽100m成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；丙：10.03，9.98，10.10，10.01.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員的比賽成績相互獨(dú)立.(1)分別估計(jì)甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率；(2)設(shè)這三位運(yùn)動(dòng)員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望.10．某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙兩位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測，為此，他收集了這兩位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽成績（單位：秒），若比賽成績小于10秒則稱為“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；(1)求甲成績的中位數(shù)與平均數(shù)（平均數(shù)的結(jié)果保留3位小數(shù)）；(2)從乙的5次成績中任選3次，求恰有2次成績“破十”的概率.易錯(cuò)點(diǎn)三：條件概率應(yīng)用錯(cuò)誤（條件概率）Ⅰ：條件概率一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．Ⅱ：相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的