人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)（一）

人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)（一）專題2三角形的高、中線專題1三角形的三邊關(guān)系專題3常用角度轉(zhuǎn)換模型專題4角平分線模型專題5數(shù)學(xué)思想與求角專題6證明三角形全等的基本思路專題7中點(diǎn)模型——全等構(gòu)造專題8線段和差處理——等量代換法專題9角的平分線模型探究專題10半倍角模型——截長(zhǎng)補(bǔ)短法專題11一線三等角模型(一)三垂直圖形專題12一線三等角模型(二)一般情形專題13軸對(duì)稱作圖專題14線段的垂直平分線專題15巧用“三線合一”解題專題16構(gòu)造等腰三角形專題17數(shù)學(xué)思想與等腰三角形中的求角專題18作平行線構(gòu)造等邊三角形專題19巧用含30°角的直角三角形解題專題1三角形的三邊關(guān)系重點(diǎn)強(qiáng)化一利用三邊關(guān)系判斷能否組成三角形1．已知下列四組三條線段的長(zhǎng)度比，則能組成三角形的是(

)A．1∶2∶3 B．1∶1∶2C．1∶3∶4 D．2∶3∶42．長(zhǎng)度分別為8,6,6,4的四根木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形(木棒允許連接，但不允許折斷)，得到的三角形的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為(

)A．8 B．10C．12 D．14DB重點(diǎn)強(qiáng)化二利用三邊關(guān)系求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或取值范圍A．5 B．6C．7 D．84．三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則周長(zhǎng)l的取值范圍是(

)A．6<l<15 B．6<l<16C．11<l<13 D．10<l<16AD5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其周長(zhǎng)為20cm，則邊AB的長(zhǎng)的取值范圍是(

)A．1cm<AB<4cmB．5cm<AB<10cmC．4cm<AB<8cmD．4cm<AB<10cm6．△ABC的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，且第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____.7．若三角形的三邊長(zhǎng)分別為4,1－2a,7，則a的取值范圍是__________________.B5－5<a<－18．【變式體驗(yàn)】在△ABC中，AB＝2cm，AC＝9cm.(1)求第三邊BC的長(zhǎng)的取值范圍．(2)若第三邊BC的長(zhǎng)是偶數(shù)，求BC的長(zhǎng)．(3)若△ABC是等腰三角形，求其周長(zhǎng)．解：(1)7cm<BC<11cm.(2)BC的長(zhǎng)是8cm或10cm.(3)若△ABC是等腰三角形，則BC＝9cm，∴△ABC的周長(zhǎng)為2＋9＋9＝20(cm)．重點(diǎn)強(qiáng)化三利用三邊關(guān)系化簡(jiǎn)9．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，化簡(jiǎn)：|a＋b－c|－2|a－b－c|＋|a＋b＋c|.解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∴必須滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則a＋b－c＞0，a－b－c＜0，a＋b＋c＞0，∴|a＋b－c|－2|a－b－c|＋|a＋b＋c|＝a＋b－c＋2a－2b－2c＋a＋b＋c＝4a－2c.專題2三角形的高、中線重點(diǎn)強(qiáng)化一三角形的高的運(yùn)用運(yùn)用1與高有關(guān)的角度問(wèn)題1．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度數(shù)．解：當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)(如圖1)，∠BAC＝90°.當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)(如圖2)，∠BAC＝50°.綜上所述，∠BAC的度數(shù)為90°或50°.運(yùn)用2與高有關(guān)的面積問(wèn)題2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，邊AC上的高BD＝4，點(diǎn)P為邊BC上的一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，求PE＋PF的值．解：如圖，連接AP.∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，∵AB＝AC，BD＝4，∴PE＋PF＝4.重點(diǎn)強(qiáng)化二三角形的中線的運(yùn)用運(yùn)用1與中線有關(guān)的線段問(wèn)題3．如圖，BE＝EC，ED為△EBC的中線，BD＝8，△AEC的周長(zhǎng)為24，求△ABC的周長(zhǎng)．解：∵△AEC的周長(zhǎng)為24，∴AE＋EC＋AC＝24.∵EB＝EC，∴AE＋EB＋AC＝AB＋AC＝24.∵BD＝CD＝8，∴BC＝16，∴△ABC的周長(zhǎng)為AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.運(yùn)用2與中線有關(guān)的面積問(wèn)題4．(1)如圖1，AD是△ABC的一條中線.求證：S△ABD＝S△ACD.(2)請(qǐng)運(yùn)用第(1)題的結(jié)論解答下列問(wèn)題：如圖2，△ABC三邊的中線AD，BE，CF交于點(diǎn)G.若S△ABC＝60，求圖中陰影部分的面積．解：(1)證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC交BC于點(diǎn)M.∴S△ABD＝S△ACD.(2)∵△ABC的三條中線AD，BE，CF交于點(diǎn)G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△AGF＝S△BGF＝S△BDG＝S△CDG.∴S陰影＝S△CGE＋S△BGF＝20.專題3常用角度轉(zhuǎn)換模型【模型1】蝶形(8字形)1．如圖，∠ABC＝∠DBE＝90°，DE，AC相交于點(diǎn)F，∠ABD＝25°，∠C＝∠E，求∠EFC的度數(shù)．解：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠CBE＝∠ABD＝25°.∵∠C＝∠E，∴∠EFC＝∠CBE＝25°.2．如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)．解：如圖，連接BE，則∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB.∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠AED＝∠ABE＋∠AEB＋∠A＝180°.【模型2】燕尾形3．如圖，求證：∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC.證明：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.∵∠A＋∠B＝∠BEC，∠BDC＝∠BEC＋∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC.4．如圖，PB平分∠ABD，PC平分∠ACD，∠A＝80°，∠D＝160°，求∠P的度數(shù)．解：設(shè)∠ABP＝∠DBP＝x，∠ACP＝∠DCP＝y(tǒng)，則∠P＝x＋y＋80°，∠D＝x＋y＋∠P＝160°，∴2x＋2y＋80°＝160°，∴x＋y＝40°，∴∠P＝40°＋80°＝120°.【模型3】余角模型5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D.求證：(1)∠1＝∠A.(2)∠2＝∠B.證明：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠1＋∠B＝∠A＋∠B＝90°，∴∠1＝∠A.(2)∵∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠A＋∠2＝∠A＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B.6．如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE相交于點(diǎn)F.求證：(1)∠A＝∠C.(2)∠AFE＝∠B.證明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠B＝90°，∴∠A＝∠C.(2)∵∠AEF＝∠ADB＝90°，∴∠AFE＋∠A＝∠B＋∠A＝90°，∴∠AFE＝∠B.【模型4】補(bǔ)角模型7．如圖，∠B＋∠D＝180°.求證：∠DCE＝∠A.證明：∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∠B＋∠D＝180°，∴∠A＋∠BCD＝180°.又∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠A.【模型5】一線三等角模型8．如圖，∠ADE＝∠B＝∠C.求證：(1)∠CDE＝∠A.(2)∠ADB＝∠E.證明：(1)∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠A＋∠B，∠ADE＝∠B，∴∠CDE＝∠A.(2)∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝∠E＋∠C，∠ADE＝∠C，∴∠ADB＝∠E.9．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上一點(diǎn)，∠CDE＝∠BAD，求∠ADE的度數(shù)．解：∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠B＝45°.專題4角平分線模型【模型1】三角形兩內(nèi)角平分線夾角模型證明：∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，2．在△ABC中，∠A＝60°.(1)如圖1，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)是____________.(2)如圖2，∠ABC，∠ACB的三等分線交于點(diǎn)O1，O2，則∠BO1C的度數(shù)是__________，∠BO2C的度數(shù)是__________.(3)如圖3,∠ABC,∠ACB的n等分線交于點(diǎn)O1,O2,…,On－1，則∠BO1C的度數(shù)是___________________，∠BOn－1C的度數(shù)是______________.(均用含n的代數(shù)式表示)120°100°140°【模型2】三角形兩外角平分線夾角模型證明：∵點(diǎn)P是△ABC的兩條外角平分線的交點(diǎn)．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度數(shù)．【模型3】三角形內(nèi)角平分線與外角平分線夾角模型5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．6．問(wèn)題情境：如圖1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD.(1)探索發(fā)現(xiàn)：若∠A＝60°，則∠O的度數(shù)為_(kāi)_________；若∠A＝130°，則∠O的度數(shù)為_(kāi)_________.(2)猜想證明：試判斷∠A與∠O的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)結(jié)論應(yīng)用：如圖2，在四邊形MNCB中，BD平分∠MBC，且與四邊形MNCB的外角∠NCE的平分線CD交于點(diǎn)D.若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，則∠D的度數(shù)為_(kāi)_________.30°65°25°∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC.∵∠OCD是△OBC的外角，∴∠OCD＝∠O＋∠OBC，(3)如圖2，延長(zhǎng)BM，CN交于點(diǎn)A.∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，∴∠AMN＝180°－∠BMN＝180°－130°＝50°，∠ANM＝180°－∠CNM＝180°－100°＝80°，∴∠A＝180°－∠AMN－∠ANM＝180°－50°－80°＝50°，∴∠D＝25°.故答案為25°.【拓展變式】(設(shè)參計(jì)算＋整體思想)7．如圖，∠ABD，∠ACD的平分線交于點(diǎn)P.若∠P＝20°，∠D＝10°，求∠A的度數(shù)．解：設(shè)∠ABP＝∠DBP＝x，∠ACP＝∠DCP＝y(tǒng).∵∠A＋x＝∠P＋y，∴∠A＝20°＋y－x.∵∠P＋∠D＋x＝y(tǒng)，∴20°＋10°＋x＝y(tǒng)，∴y－x＝30°，∴∠A＝20°＋30°＝50°.8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為垂足，∠OME與∠OAB的平分線交于點(diǎn)N.(1)求證：∠OEM＝∠ABO.(2)求∠ANM的度數(shù)．解：(1)證明：∵∠EDA＝∠EOM＝90°，∴∠OEM＋∠EAD＝∠OAD＋∠ABO，∴∠OEM＝∠ABO.(2)易證∠OME＝∠OAB.∴∠NMO＝∠OAN，∴∠ANM＝∠AOM＝90°.【模型4】角平分線與高線夾角模型(設(shè)參計(jì)算＋整體思想)10．如圖，在△ABC中，∠C＝40°，∠B＝70°，AE平分∠CAB，AD⊥BC于點(diǎn)D，DF⊥AE于點(diǎn)F.(1)求∠CAE的度數(shù)．(2)求∠ADF的度數(shù)．解：(1)∵∠C＝40°，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∵AE平分∠CAB，(2)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－40°＝50°.由(1)得∠CAE＝35°，∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝50°－35°＝15°.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF＝90°－∠DAE＝90°－15°＝75°.【模型5】蝶形(8字形)＋雙角平分線(設(shè)參計(jì)算＋整體思想)證明：設(shè)∠PCD＝∠PCB＝x，∠PAD＝∠PAB＝y(tǒng)，∠P＋y＝x＋∠D①，∠P＋x＝y(tǒng)＋∠B②，由①＋②得，2∠P＋x＋y＝∠B＋∠D＋x＋y，∴2∠P＝∠B＋∠D，【模型6】燕尾形＋雙角平分線(設(shè)參計(jì)算＋整體思想)證明：如圖，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E.設(shè)∠PBA＝∠PBD＝x，∠PCA＝∠PCD＝y(tǒng)，∠BPC＝∠BEC＋y＝x＋∠A＋y，∴x＋y＝∠BPC－∠A，同理可得∠D＝x＋y＋∠BPC＝2∠BPC－∠A，∴2∠BPC＝∠A＋∠D，13．(1)如圖1，∠BAC＝90°，PB，PC分別平分∠ABC，∠ACB，且交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．(2)如圖2，∠BAC＝∠BDC＝90°，直線BA，CD交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)E，PB，PC分別平分∠ABD，∠ACD，且交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．(2)∠P＝90°.專題5數(shù)學(xué)思想與求角【數(shù)學(xué)思想1】整體思想【方法指導(dǎo)】根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把相互關(guān)聯(lián)的量看成一個(gè)整體，從宏觀上尋求解決問(wèn)題的思想方法．1．如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＋∠B＝140°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)．求∠1＋∠2的度數(shù)．解：∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－140°＝40°，∴∠CMN＋∠CNM＝140°，∴∠DMC＋∠DNC＝2×140°＝280°，∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°.【數(shù)學(xué)思想2】分類討論思想【方法指導(dǎo)】當(dāng)題目問(wèn)題或條件指待不明，存在不同情況時(shí)，則需要分類討論，特別是有關(guān)等腰三角形或三角形的高的問(wèn)題．2．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是高，∠ABD＝20°，求∠ACB的度數(shù)．解：∠ACB＝55°或35°.【數(shù)學(xué)思想3】方程思想【方法指導(dǎo)】當(dāng)問(wèn)題中的角度關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)，可通過(guò)挖掘等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，建立方程來(lái)解決．3．如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，且BD，CE相交于點(diǎn)H，求∠BHC的度數(shù)．解：在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，故設(shè)∠A＝3x，∠ABC＝4x，∠ACB＝5x.∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，∴∠A＝3x＝45°.∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴在△ABD中，∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝180°－90°－45°＝45°，∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝45°＋90°＝135°.4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠DBA＝∠A.(1)求證：BD平分∠ABC.(2)求∠A的度數(shù)．解：(1)證明：設(shè)∠DBA＝∠A＝x，則∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠CBD＝x＝∠DBA，即BD平分∠ABC.(2)由(1)知∠A＝x，∠ABC＝∠C＝2x.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.【數(shù)學(xué)思想4】轉(zhuǎn)化思想【方法指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化思想是把一個(gè)未知(待解決)的問(wèn)題化為已解決的或易于解決的問(wèn)題來(lái)解決．一、借助平行轉(zhuǎn)化5．如圖，AB∥ED，∠A＝20°，∠ACD＝140°，求∠D的度數(shù)．解：如圖，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)F.∵AB∥ED，∴∠D＝∠BFC＝∠A＋∠ACF＝20°＋(180°－140°)＝60°.二、多邊形轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形6．(1)如圖1，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)．(2)如圖2，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù).解：(1)∵∠EGH＝∠A＋∠D，∠GHC＝∠EGH＋∠E，∴∠GHC＝∠A＋∠D＋∠E.在四邊形BCHF中，∵∠B＋∠C＋∠GHC＋∠F＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.(2)如圖2，連接CD.∵∠F＋∠G＝180°－∠FHG，∠1＋∠2＝180°－∠CHD，∠FHG＝∠CHD，∴∠F＋∠G＝∠1＋∠2.在五邊形ABCDE中，∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°，∴∠A＋∠B＋∠BCG＋∠1＋∠2＋∠FDE＋∠E＝540°，∴∠A＋∠B＋∠BCG＋∠FDE＋∠E＋∠F＋∠G＝540°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°.專題6證明三角形全等的基本思路重點(diǎn)強(qiáng)化一已知兩邊對(duì)應(yīng)相等方法1尋找第三邊對(duì)應(yīng)相等，用“SSS”1．如圖，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，BC＝CE，BC＋AE＝DE，AB＝CD，求證：△ABC≌△DCE.證明：∵BC＝CE，BC＋AE＝DE，∴CE＋AE＝DE，∴AC＝DE.在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE(SSS).方法2尋找?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等，用“SAS”2．【變式體驗(yàn)】(人教八數(shù)上P37練習(xí)T1)如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，CD＝BE，CD∥BE.求證：∠D＝∠E.證明：證△ACD≌△CBE(SAS)，∴∠D＝∠E.重點(diǎn)強(qiáng)化二已知兩角對(duì)應(yīng)相等方法1尋找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)相等，用“ASA”3．如圖，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA).方法2尋找任一對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，用“AAS”4．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，EF＝BF，AD＝10，求DF的長(zhǎng)．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠FED，∠BAF＝∠EDF.又∵EF＝BF，∴△ABF≌△DEF(AAS)，重點(diǎn)強(qiáng)化三已知一邊一角對(duì)應(yīng)相等方法1有一邊和該邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，尋找另一角對(duì)應(yīng)相等，用“AAS”5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于點(diǎn)E，AD＝3，DE＝4，求BC的長(zhǎng)．解：證△ABD≌△ECB(AAS)，∴AD＝BE，∴BC＝BD＝BE＋DE＝AD＋DE＝3＋4＝7.方法2有一邊和該邊的鄰角對(duì)應(yīng)相等，尋找?jiàn)A該角的另一邊對(duì)應(yīng)相等，用“SAS”6．【變式體驗(yàn)】(人教八數(shù)上P39練習(xí)T2)如圖，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求證：AF＝DE.證明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.證△ABF≌△DCE(SAS)，∴AF＝DE.方法3有一邊和該邊的鄰角對(duì)應(yīng)相等，尋找另一角對(duì)應(yīng)相等，用“AAS”或“ASA”7．如圖，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求證：BC＝AE.證明：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠EDA.在△ABC和△DAE中，∴△ABC≌△DAE(ASA)，∴BC＝AE.專題7中點(diǎn)模型——全等構(gòu)造方法技巧一將中點(diǎn)處的線段倍長(zhǎng)→構(gòu)造全等三角形基本圖形1：如圖，若OA＝OC，OB＝OD，則△AOB≌

△COD(SAS)．1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．(1)求證：AB＋AC＞2AD.(2)若AB＝5，AC＝7，則AD的取值范圍為_(kāi)____________.1<AD<6解：(1)如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE.證△ADC≌△EDB(SAS)，∴AC＝BE.∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(2)∵BE－AB＜AE＜BE＋AB，∴7－5＜2AD＜7＋5，∴1＜AD＜6.2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.求證：EB＋CF＞EF.證明：如圖，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)N，使DN＝DF，連接BN，EN.易得△CDF≌△BDN(SAS)，∴CF＝BN.在△BEN中，由三角形的三邊關(guān)系，得EB＋BN＞EN，∴EB＋CF＞EN.∵DE⊥DF，DN＝DF，∴EF＝EN，∴EB＋CF＞EF.方法技巧二過(guò)線段的兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線→構(gòu)造全等三角形基本圖形2：如圖，若OA＝OB，BC⊥CD，AD⊥CD，則△AOD≌△BOC(AAS)．3．如圖，A(－2,1)，C(0,2)，且點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E.證△ACD≌△BCE(AAS)，∴AD＝BE＝2，CD＝EC＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,3)．4．如圖，∠C＝90°，BE⊥AB，且BE＝AB，BD⊥BC，且BD＝BC，CB的延長(zhǎng)線交ED于點(diǎn)F.(1)求證：DF＝EF.解：(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.先證△EMB≌△BCA(AAS)，∴EM＝BC＝BD，再證△DBF≌△EMF(AAS)，∴DF＝EF.專題8線段和差處理——等量代換法方法技巧：通過(guò)全等得到等線段，等量代換，將不在同一條直線上的幾條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上來(lái)解決問(wèn)題．1．如圖，BD⊥DE于點(diǎn)D，CE⊥DE于點(diǎn)E，AB＝AC，AB⊥AC.求證：DE＝BD＋CE.證明：證△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.2．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC與∠ACB的平分線BD，CE交于點(diǎn)I.求證：BC＝BE＋CD.證明：如圖，作∠BIC的平分線IF交BC于點(diǎn)F.可求得∠BIC＝120°，∴∠BIF＝∠BIE＝60°.證△BIE≌△BIF(ASA)，∴BE＝BF，同理CD＝CF，∴BF＋CF＝BE＋CD，∴BC＝BE＋CD.3．如圖，AD為△ABC的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F.求證：(1)DE＝DF.(2)AE＋AF＝2AD.證明：(1)證△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.(2)AE＋AF＝AD＋DE＋AD－DF＝2AD.4．如圖，點(diǎn)F，E分別是△ABC的中線CD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AE∥BF.求證：(1)AE＝BF.(2)CE－CF＝2DE.證明：(1)∵CD是邊AB上的中線，∴AD＝BD.∵AE∥BF，∴∠EAD＝∠FBD.∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE＝BF.(2)由(1)可得△ADE≌△BDF，∴DE＝DF，∴EF＝DE＋DF＝DE＋DE＝2DE.∵EF＝CE－CF，∴CE－CF＝2DE.專題9角的平分線模型探究【模型一】作垂線(一)已知角的平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線基本圖形1：如圖，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB；若PA⊥OA，PB⊥OB，PA＝PB，則∠1＝∠2.1．如圖，BE是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)D，S△ABC＝30cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，求DE的長(zhǎng)．解：DE＝2cm.(二)要證角的平分線向角的兩邊作垂線2．如圖，在△ABC中，BD＝CD，∠ABD＝∠ACD.求證：AD平分∠BAC.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，則∠BMD＝∠CND＝90°.在△BDM和△CDN中，∴△BDM≌△CDN(AAS)，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC.3．如圖，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求證：OP平分∠AOB.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分別為E，F(xiàn).∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBF＝180°，∴∠1＝∠PBF.在△PAE和△PBF中，∴△PAE≌△PBF(AAS)，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB.【模型二】截長(zhǎng)補(bǔ)短基本圖形2：如圖，若∠1＝∠2，OA＝OB，則△OAP≌

△OBP.4．如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接EC.求證：BC＝AB＋CE.證明：如圖，在BC上截取BM＝BA，連接DM.證△BAD≌△BMD(SAS)，∴AD＝MD＝DE.再證△CED≌△CMD(SAS)，∴CE＝CM，∴BC＝BM＋CM＝AB＋CE.【模型三】角平分線＋垂線段→延長(zhǎng)法基本圖形3：如圖，若∠1＝∠2，AC⊥OC，延長(zhǎng)AC交OB于點(diǎn)B，則△OCA≌△OCB.5．如圖，在△ABC中，AB＜BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP于點(diǎn)P，連接PC.若△ABC的面積為4，求△BPC的面積．解：如圖，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D.證△ABP≌△DBP(ASA)，∴AP＝DP，∴S△ABP＝S△DBP，S△APC＝S△DPC，6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，垂足為E.求證：∠ACE＝∠B＋∠ECD.證明：如圖，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE.∴△FAE≌△CAE(ASA)，∴∠AFC＝∠ACE.∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，∴∠ACE＝∠B＋∠ECD.7．如圖，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于點(diǎn)D，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD＝2AE.證明：如圖，延長(zhǎng)AE交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(ASA)，∴AE＝FE，∴AF＝2AE.∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(ASA)，∴AF＝BD，∴BD＝2AE.專題10半倍角模型——截長(zhǎng)補(bǔ)短法基本圖形一半45°倍90°1．如圖，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，過(guò)點(diǎn)C作NC⊥AC交AN于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AB交AM于點(diǎn)M，連接MN.(1)如圖1，當(dāng)∠MAN在∠BAC內(nèi)部時(shí)．求證：BM＋CN＝MN.(2)如圖2，當(dāng)AM，AN在AC的兩側(cè)時(shí)，直接寫出BM，CN，MN之間的數(shù)量關(guān)系．解：(1)如圖，延長(zhǎng)MB至點(diǎn)G，使BG＝CN，連接AG，證△ABG≌△ACN(SAS)，∴AG＝AN，∠BAG＝∠CAN.∵∠GAM＝∠BAG＋∠BAM＝∠CAN＋∠BAM＝45°＝∠MAN，證△AMN≌△AMG(SAS)，∴MN＝MG＝BM＋BG＝BM＋CN.(2)MN＝BM－CN.基本圖形二半60°倍120°2．如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°.求證：DE－AD＝BE.證明：延長(zhǎng)EB至點(diǎn)F，使BF＝AD，連接CF，易證△CBF≌

△CAD(SAS)，△CED≌△CEF(SAS)，∴DE－AD＝FE－BF＝BE.基本圖形三半α倍2α解：如圖，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG.證△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.證△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝GF.∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.專題11一線三等角模型(一)三垂直圖形基本模型：如圖1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，DC＝CE，則△ADC≌△BCE；如圖2，∠A＝∠EBC＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，B在同一條直線上，CD＝CE，則△ADC≌△BCE.1．如圖，C(0,2)，A(3,0)，AB⊥AC，且AB＝AC，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E.證△AOC≌△BEA(AAS)，∴OA＝BE＝3，OC＝AE＝2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,3)．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝3，BC＝5，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，且AE＝AB，連接DE，求△ADE的面積．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴∠AMB＝∠ENA＝90°.∵AE⊥AB，∴∠BAM＋∠EAN＝90°.又∵∠BAM＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠EAN.又∵AB＝AE，∴△ABM≌△EAN(AAS)，∴AM＝EN.∵AD＝3，DM＝BC＝5，∴AM＝5－3＝2，∴EN＝2，3．如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)置于直線l上，且過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D，E，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^(guò)程．解：△ADC與△CEB全等．理由如下：根據(jù)題意，可知AC＝CB，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°.在Rt△ADC中，∠CAD＋∠ACD＝90°.又∵∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.∴△ADC≌△CEB(AAS)．專題12一線三等角模型(二)一般情形基本模型：如圖1，∠D＝∠BAC＝∠E，AB＝AC，則△ADB≌△CEA；如圖2，∠BAC＝∠BDF＝∠CEF，AB＝AC，則△ADB≌

△CEA.1．如圖，點(diǎn)E，A，D在同一條直線上，AB＝AC，∠AEC＝∠ADB＝∠BAC＝60°.求證：DE＝DB＋CE.證明：證△ADB≌△CEA(AAS)．∴DB＝EA，AD＝CE.∵DE＝EA＋AD，∴DE＝DB＋CE.2．如圖，AB＝AC，∠BAC＝60°，點(diǎn)D，E為AD上兩點(diǎn)，∠ADB＝∠AEC＝120°，探究BD，CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系.解：CE＝BD＋DE.理由如下：在△ABD中，∠ADB＝120°，∴∠ABD＋∠BAD＝180°－120°＝60°.∵∠BAD＋∠CAE＝∠BAC＝60°，∴∠ABD＝∠CAE.又∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝120°，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∴AD＝AE＋DE＝BD＋DE，即CE＝BD＋DE.3．如圖，AB＝AC，∠BAC＝60°，點(diǎn)D，E為AD上兩點(diǎn)，∠ADB＝∠AEC＝120°，BD＝2，CE＝4.5，求DE的長(zhǎng)．解：證△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD－AE＝CE－BD＝4．5－2＝2.5.解：證△AEC≌△BDA(AAS)，專題13軸對(duì)稱作圖1．如圖，△ABC在8×8的網(wǎng)格中，每一個(gè)小格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．(1)畫出△ABC關(guān)于AB的軸對(duì)稱圖形，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD.(2)直接寫出△ADC的面積為_(kāi)_____.6解：(1)如圖所示，△ABD與△ABC關(guān)于AB成軸對(duì)稱，點(diǎn)D即為所求．故答案為6.2．已知△ABC在如圖所示的方格中．(1)作出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形△A1B1C1.(2)寫出△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的？(3)在圖上標(biāo)出C1平移的方向并測(cè)出平移的距離(精確到0.1cm)．解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求．(2)由圖可得，先向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到△A2B2C2.(3)如圖所示，C1C2即為平移方向，測(cè)量距離略．3．如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(－2,1)，B(－4,5)，C(－5,2)．(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1，B1，C1.(2)寫出點(diǎn)A1，B1，C1

的坐標(biāo)．解：(1)如圖所示，△A1B1C1

即為所求．(2)點(diǎn)A1，B1，C1

的坐標(biāo)分別為A1(2,1)，B1(4,5)，C1(5,2)．4．若點(diǎn)C(－2，－3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B.(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC，并求△ABC的面積．(2)將△ABC向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo).解：(1)如圖所示，△ABC即為所求，(2)如圖所示，△A1B1C1即為所求，點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)分別為A1(2，5)，B1(6，－1)，C1(2，－1)．專題14線段的垂直平分線重點(diǎn)強(qiáng)化一線段的垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，連接BE.若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40和24，求AB的長(zhǎng)．解：設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，∴x＝16，∴AB＝16.重點(diǎn)強(qiáng)化二線段的垂直平分線的判定2．如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，連接AB，CD，BD，點(diǎn)E是BD下方一點(diǎn)，連接OE，BE，DE.若OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求證：OE垂直平分BD.證明：在△AOB與△COD中，∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD，∴點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上．∵BE＝DE，∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，∴OE垂直平分BD.重點(diǎn)強(qiáng)化三線段的垂直平分線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用3．如圖，AO，BO是互相垂直的墻壁，墻腳O處是一鼠洞，一只貓?jiān)贏處發(fā)現(xiàn)了B處有一只老鼠正向洞口逃去．若貓以與老鼠同樣的速度去追捕，請(qǐng)?jiān)趫D中找出最快能截住老鼠的位置C(保留作圖痕跡)．解：如圖，連接AB，作DE垂直平分AB交AB于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)C，連接AC，則AC＝BC，因此點(diǎn)C即為所求．重點(diǎn)強(qiáng)化四線段的垂直平分線的綜合應(yīng)用4．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝2∠C，邊

BC

的垂直平分線交邊AC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E，連接BD，求∠ADB的度數(shù)．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠C＝180°－60°＝120°.又∵∠ABC＝2∠C，∴3∠C＝120°，∴∠C＝40°.∵邊BC的垂直平分線交邊AC于點(diǎn)D，∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝40°，∴∠ABD＝40°，∴∠ADB＝180°－60°－40°＝80°.專題15巧用“三線合一”解題方法技巧一遇等腰→作高1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在△ABC的外部，∠ABD＝∠C，∠D＝90°.求證：BC＝2BD.解：如圖，過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠ABC＝∠ACB，∠AEB＝∠AEC＝90°.∵∠ABD＝∠C，∠D＝90°，∴∠D＝∠AEB＝90°，∠ABD＝∠ABE.∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE，∴BD＝BE，∴BC＝2BD.2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，試探究∠BAC與∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則∠BAE＝∠CAE.∵∠BAE＋∠B＝∠BCD＋∠B＝90°，∴∠BAE＝∠BCD，∴∠BAC＝2∠BCD.3．如圖，點(diǎn)D，E分別在CA的延長(zhǎng)線和AB上，AB＝AC，DE⊥BC.求證：AD＝AE.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)G.∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴DE∥AF，∴∠BAF＝∠AED，∠CAF＝∠D，∴∠AED＝∠D，∴AD＝AE.方法技巧二遇底邊中點(diǎn)→連接底邊上的中線4．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AE＝CF，求∠OEF的度數(shù)．解：如圖，連接OC，OF.證△AEO≌△CFO(SAS)，△OEF為等腰直角三角形，∴∠OEF＝45°.5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：DE＝DF.(2)若∠BDE＝55°，求∠BAC的度數(shù)．解：(1)證明：連接AD.∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°.∵∠BDE＝55°，∴∠B＝35°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝35°，∴∠BAC＝110°.專題16構(gòu)造等腰三角形方法技巧一作平行線構(gòu)造等腰三角形(一)利用“角平分線＋平行線”構(gòu)造等腰三角形證明：如圖，連接AD.則AD⊥BC，易證DE＝AE，再證BE＝DE，(二)作腰的平行線構(gòu)造等腰三角形2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且BE＝CF，EF交BC于點(diǎn)N，EM⊥BC于點(diǎn)M.(1)求證：EN＝NF.(2)若∠B＝45°，求證：BN＝CN＋2EM.證明：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC交BC于點(diǎn)G.證△ENG≌△FNC(AAS)，∴EN＝NF.(2)證BM＝MG，GN＝CN，可得BN＝CN＋2BM.又∵∠B＝45°，∴BM＝EM，∴BN＝CN＋2EM.(三)作底邊的平行線構(gòu)造等腰三角形3．如圖，在△ABC中，CA＝CB，點(diǎn)D在邊AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊BC上，且CD＝CE.求證：DE⊥AB.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.易證∠CDM＋∠CDE＝∠MDE＝90°，∴DE⊥DM.又∵DM∥AB，∴DE⊥AB.(四)中線倍長(zhǎng)得平行線構(gòu)造等腰三角形4．如圖，在△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，AD，CE相交于點(diǎn)F，且AE＝EF.求證：AB＝CF.證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接CG.證△ABD≌△GCD(SAS)，∴AB＝CG，再證∠G＝∠EAF＝∠EFA＝∠GFC，∴CG＝CF，∴AB＝CF.方法技巧二利用倍半角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形(一)作二倍角的平分線構(gòu)造等腰三角形5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，AC＝2BC.求證：∠B＝90°.證明：如圖，作∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥

AC于點(diǎn)E.證CD＝AD，AE＝CE＝BC，△BCD≌△ECD即可．(二)延長(zhǎng)二倍角的一邊構(gòu)造等腰三角形6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交邊AB于點(diǎn)D.求證：AC＋AD＝BC.證明：如圖，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使EA＝AD，連接DE.證∠E＝∠ADE＝∠B，再證△CDE≌△CDB(AAS)即可．方法技巧三截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．解：方法一(截長(zhǎng)法)：如圖，在CD上取點(diǎn)E，使DE＝BD，連接AE.則CE＝AB＝AE，∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝135°，∴180°－3∠C＝135°，∴∠C＝15°；方法二(補(bǔ)短法)：如圖，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)F，使BF＝AB.則AB＋BD＝DF＝CD，∴180°－3∠C＝135°，∴∠C＝15°.證明：如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝AC.可證∠B＝∠D，AB＝AD.∵AB＋AD>BC＋CD，∴2AB>BC＋AC，專題17數(shù)學(xué)思想與等腰三角形中的求角思想方法一方程的思想1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度數(shù)．解：易證∠ADC＝90°.設(shè)∠CDE＝x，則∠ADE＝∠AED＝x＋50°，∴x＋(x＋50°)＝90°，∴x＝20°，∴∠CDE＝20°.2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝DA＝AC，∠BAC＝72°.求∠CAD的度數(shù)．解：設(shè)∠B＝∠BAD＝x，則∠ADC＝∠C＝2x，∠B＋∠C＝3x.∵3x＋72°＝180°，∴x＝36°，∴∠CAD＝180°－4x＝180°－144°＝36°.3．在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.(1)如圖1，若AE⊥BC于點(diǎn)E，∠C＝75°，求∠DAE的度數(shù)．(2)如圖2，若DF⊥AD交AB于點(diǎn)F，求證：BF＝DF.解：(1)∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，∴∠B＝25°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.∵AD平分∠BAC，∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝65°.∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－65°＝25°.(2)證明：設(shè)∠B＝α，則∠C＝3α，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－4α.∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°－∠BAD＝2α.∵∠AFD＝∠B＋∠BDF，∴∠BDF＝α＝∠B，∴BF＝DF.思想方法二整體的思想4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，AC上，DE＝DB，DC＝DF.若∠A＝α，求∠EDF的度數(shù)．解：設(shè)∠B＝x＝∠DEB，∠C＝∠DFC＝y(tǒng)，則∠EDF＝180°－[(180°－2x)＋(180°－2y)]＝2x＋2y－180°.又∵x＋y＝180°－∠A＝180°－α，∴∠EDF＝180°－2α.思想方法三分類討論的思想(一)頂角底角不明時(shí)需討論5．等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角大30°，求該等腰三角形的頂角的度數(shù)．解：①較大的角為頂角，設(shè)這個(gè)角為x，則

x＋2(x－30°)＝180°，x＝80°；②較大的角為底角，設(shè)頂角為y，則

y＋2(y＋30°)＝180°，y＝40°，綜上所述，該等腰三角形的頂角為80°或40°.6．等腰三角形的一個(gè)角是80°，求它的另外兩個(gè)角的度數(shù)．則另外兩個(gè)角分別是50°和50°；②若底角是80°，則頂角為180°－80°－80°＝20°，則另外兩個(gè)角分別是80°和20°，綜上所述，另外兩個(gè)角是50°和50°或80°和20°.(二)涉及高時(shí)常需討論7．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，求該等腰三角形的頂角的度數(shù)．解：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD為邊AC上的高，由題意知∠ABD＝50°,則∠A＝40°，即等腰三角形的頂角為40°.以上解法錯(cuò)在哪里？請(qǐng)你寫出正確的解答過(guò)程．解：錯(cuò)在當(dāng)為鈍角三角形時(shí)沒(méi)有求解．①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示．∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°－50°＝40°，∴該等腰三角形的頂角為40°；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示．∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°－50°＝40°.∵∠BAD＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°，∴該等腰三角形的頂角為140°.綜上所述，該等腰三角形的頂角為40°或140°.(三)動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°.(1)如圖，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，BD＝CE，BE與CD交于點(diǎn)F.求證：BF＝CF.(2)若點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BD＝CE，BE與CD交于點(diǎn)F.當(dāng)△BFD是等腰三角形時(shí)，求∠FBD的度數(shù)．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.在△BCD與△CBE中，∴△BCD≌△CBE(SAS)，∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF.(2)∵AB＝AC，∠BAC＝45°，由(1)知∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF.設(shè)∠FBD＝∠ECF＝x，則∠FBC＝∠FCB＝(67.5°－x)，∠BDF＝∠ECF＋∠BAC＝x＋45°，∠DFB＝2∠FBC＝2(67.5°－x)＝135°－2x.∵△BFD是等腰三角形，故分三種情況討論：①當(dāng)BD＝BF時(shí)，此時(shí)∠BDF＝∠DFB，∴x＋45°＝135°－2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②當(dāng)BD＝DF時(shí)，此時(shí)∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°－2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③當(dāng)BF＝DF時(shí)，此時(shí)∠FBD＝∠FDB，∴x＝x＋45°，不符題意，舍去．綜上所述，∠FBD＝30°或45°.專題18作平行線構(gòu)造等邊三角形基本模型：如圖，若DE∥BC，△ABC是等邊三角形，則△ADE也是等邊三角形．1．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，DF＝EF.求證：AD＝CE.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，構(gòu)造等邊三角形ADG.證△CEF≌△GDF(ASA)，∴CE＝GD＝AD.2．【變式體驗(yàn)】(人教八數(shù)上P93復(fù)習(xí)題13T13)如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝AD.求證：DB＝DE.證明：方法一：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F.證△BDF≌△DEC，∴∠FDB＝∠CED.∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠CED，∴DB＝DE.方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，先由△DCG是等邊三角形得CD＝CG.又∵AC＝BC，∴AD＝BG，再證△DBG≌△DEC即可．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且△ADE是等邊三角形，CE＝AB.求證：CB＝CD.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交AC于點(diǎn)F.∵△ADE為等邊三角形，∴△ABF為等邊三角形，∴∠DEC＝∠CFB＝120°，AB＝AF＝BF.∵CE＝AB，∴AF＝BF＝AB＝CE，∴DE＝AE＝CF，∴△FCB≌△EDC(SAS)，∴CB＝CD.4．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，過(guò)AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連接PQ交邊AC于點(diǎn)D，求DE的長(zhǎng)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF∥BC交邊AC于點(diǎn)F.∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF.∵PE⊥AC，∴AE＝EF.∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ.專題19巧用含30°角的直角三角形解題方法技巧一直接利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求長(zhǎng)度或比值30°2．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F.(1)∠D＝________