2025年高考數(shù)學一輪復習：復數(shù) （知識+試題+7類高頻考點）

第05講復數(shù)

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................4

高頻考點一：復數(shù)的概念..........................................4

高頻考點二：復數(shù)的幾何意義......................................6

高頻考點三：復數(shù)分類............................................9

高頻考點四：復數(shù)模..............................................13

高頻考點五：待定系數(shù)求復數(shù)z=a+bi15

高頻考點六：復數(shù)的四則運算.....................................17

高頻考點七：共拆復數(shù)............................................19

第四部分：新定義題(解答題)......................................21

第一部分：基礎知識

1、復數(shù)的概念

我們把形如。+方,。力eR的數(shù)叫做復數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,滿足/=-1，全體復數(shù)所構成的集合

C={a+bi\a,beR}做復數(shù)集.

復數(shù)的表示:復數(shù)通常用字母z表示，即2=。+初,a8eR,其中的。與人分別叫做復數(shù)z的實部與虛

部.

2、復數(shù)相等

在復數(shù)集。={。+61。3eR}中任取兩個數(shù)a+初，c+di,(a,b,c,de/?),我們規(guī)定

\a=c

a+bi=c+di<^<.

b=d

3、復數(shù)的分類

對于復數(shù)a+bi{a,b&Ry當且僅當3=0時,它是實數(shù)；當且僅當a=6=0時，它是

實數(shù)0；當萬30時，它叫做虛數(shù)；當a=O且時，它叫做純虛數(shù).這樣，復數(shù)

z=a+初(a,heR)可以分類如下:

'實數(shù)(6=0)

復數(shù)純虛數(shù)(a=0)

虛數(shù)(6w0)<

非純虛數(shù)(awO)

4、復數(shù)的幾何意義

(1)復數(shù)的幾何意義一一與點對應

復數(shù)的幾何意義1：復數(shù)z=a+bi(a,beR、＜---對應.復平面內(nèi)的點Z(a,6)

(2)復數(shù)的幾何意義一一與向量對應

復數(shù)的幾何意義2：復數(shù)z=a+bi(a,beR\4一一對應，平面向量無=(4力)

5、復數(shù)的模

向量友的模叫做復數(shù)z=a+沅a,0eR)的模，記為|z|或

公式：|zHa+》R=以兩，其中。，匕eR

復數(shù)模的幾何意義：復數(shù)z=a+4在復平面上對應的點Z(a,b)到原點的距離；

特別的，6=0時，復數(shù)z=a+A是一個實數(shù)，它的模就等于IaI(。的絕對值).

6、共軌復數(shù)

(1)定義

一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共朝復數(shù)；虛部不等于0的兩

個共朝復數(shù)也叫共軌虛數(shù).

(2)表示方法

表示方法：復數(shù)z的共輾復數(shù)用I表示，即如果z=a+萬，則I=a-切.

7、復數(shù)代數(shù)形式的加法(減法)運算

(1)復數(shù)的加法法則

設馬=。+歷，Z2=c+di,(a,0,c,deR)是任意兩個復數(shù)，那么它們的和：

4+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

顯然：兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù)

(2)復數(shù)的減法法則

類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：

(c+或)+(x+yi)=a+bi的復數(shù)x+yi叫做復數(shù)a+bi減去復數(shù)c+成的差，記作(a+bi)一(c+di)

實部相減為實部

（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i

IIT

虛部相減為虛部

注意：①兩個復數(shù)的差是一個確定的復數(shù)；

②兩個復數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（T,若），貝”的共軟復數(shù)2=（）

A.1+后B.1-V3i

C.—1+-^3iD.-1—5/3i

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)z,然后利用共輾復數(shù)的定義計算.

【詳解】z在復平面對應的點是（T,6），根據(jù)復數(shù)的幾何意義，z=-l+/,

由共輾復數(shù)的定義可知，，=-1-亞.

故選：D

2.（2023,全國?（乙卷文））|2+i2+2i3|=（）

A.1B.2C.6D.5

【答案】C

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i?+2i3=2-l-2i=l-2i，

則|2+i?+2i，|=|1—2i|=一2）2=石.

故選：C.

5（l+i3）

3.（2023?全國?（甲卷文））.7.=（）

（2+1）（2一）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的四則運算求解即可.

5("巧5(l-i)

【詳解】=l-i

(2+i)(2-i)5

故選：C.

1-i_

4.（2023?全國?（新高考I卷））已知z=----,則z—2=（）

2+21一

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出z,再由共輒復數(shù)的概念得到一從而解出.

【詳解】因為2=五1-『i3|目。-2i=丁1，所以-"1bBPz-z=-i.

故選：A.

5.（2023?全國?（新高考H卷））在復平面內(nèi)，（l+3i/3-i）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結合復數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3-i）=3+8i-3i?=6+8i,

則所求復數(shù)對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：復數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024下?上海?高三開學考試）下列命題不正確的為（）

A.若復數(shù)4,z?的模相等，貝”一是共軌復數(shù)

B.Z，Z?都是復數(shù)，若丐+馬是虛數(shù)，則與不是Z2的共軌復數(shù)

C.復數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=N

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,則z對應的點Z的軌跡為線段

【答案】A

【分析】根據(jù)共軌復數(shù)的定義可判斷ABC,根據(jù)復數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】對于A,若復數(shù)4，z2的模相等，則z，z?還可能是相等的復數(shù)，故A錯誤;

對于B,若Z和z?是共軌復數(shù)，則相加為實數(shù)，不會為虛數(shù)，故B正確；

對于C,若復數(shù)是實數(shù)，則z=a（aeR）,從而N=a（aeR）,所以z=Z,

反之若z=N,則由〃+歷二〃一歷(〃/ER)得6=0,所以z=。，

所以復數(shù)是實數(shù)的充要條件是z=N,故C正確；

對于D,設2=〃+歷(〃,Z?￡R),

由復數(shù)的幾何意義可知|z+i|+|z-i|=2表示點33到點Q-l)和(0,1)距離之和為2,

而點(。,-1)和(0,1)之間距離為2,所以z對應的點Z的軌跡為線段，故D正確.

故選：A

例題2.(多選)(2。24上,云南昆明?高二統(tǒng)考期末)已知復數(shù)2==|'則下列說法正確的是()

A.z的虛部為一B.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限

C.z的共軟復數(shù)三=i+iD.|z|=A/2

【答案】CD

【分析】由復數(shù)的乘、除法運算化簡復數(shù)可判斷A；由復數(shù)的幾何意義可判斷B；由共輾復數(shù)的定義可判斷

C；由復數(shù)的模長公式可判斷D.

4-2i（4-2i）（3-i）12-10i+2i2

=l-i

【詳解】3+i-（3+i）（3-i）ib

對于A,z的虛部為_1,故A錯誤；

對于B,復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(1,-1),位于第四象限，故B錯誤;

對于C,z的共軟復數(shù)1=1+「故C正確；

22

對于D,|2|=^1+(-1)=72,故D正確.

故選：CD.

練透核心考點

1.(2024上?廣東深圳?高三統(tǒng)考期末)復數(shù)(2+i)3的實部與虛部之和是()

A.7B.13C.21D.27

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算求解即可.

【詳解】因為(2+i)3=(4+4i+i?)(2+i)=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i2=2+lli,

所以復數(shù)(2+i)3的實部與虛部之和是2+11=13,

故選：B.

2

2.(2024下?高一單元測試)已知復數(shù)2=「

①在復平面內(nèi)Z對應點的坐標為(1,-1);

②復數(shù)的虛部為-i;

③復數(shù)的共輾復數(shù)為i-l;

@|z|=V2;

2

⑤復數(shù)z是方程X-2X+2=0在復數(shù)范圍內(nèi)的一個根.

以上5個結論中正確的命題個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用復數(shù)除法運算求得z=l-i,根據(jù)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標判斷①的正誤，根據(jù)復數(shù)的

概念判斷②的正誤，根據(jù)復數(shù)的共軌復數(shù)可以判斷③的正誤，根據(jù)復數(shù)模的概念判斷④的正誤，利用方

程在復數(shù)范圍內(nèi)求解判斷⑤的正誤.

【詳解】因為z爵2(1-i)

=1-i,

d+i)d-i)

所以在復平面內(nèi)Z對應點的坐標為（1,-1）,所以①正確;

復數(shù)Z的虛部為T,所以②錯誤；

復數(shù)z的共朝復數(shù)為1+i,所以③錯誤；

目=#+（一1）2=血,所以④正確;

方程/一2》+2=0在復數(shù)范圍內(nèi)的根為生3=1土i,

2

所以復數(shù)z是方程二一2尤+2=0在復數(shù)范圍內(nèi)的一個根，所以⑤正確;

所以正確的命題個數(shù)為3個，

故選：C.

高頻考點二：復數(shù)的幾何意義

典型例題

例題1.（2024下?全國?高一專題練習）是"復數(shù)2=（3加-2）+（9-1”在復平面內(nèi)對應的點位于

第四象限"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】求出復數(shù)2=（3〃?-2）+（〃?-巾在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限的等價條件，利用集合的包含關

系及充分條件、必要條件求解.

,、，、f3m—2>02

【詳解】因為復數(shù)Z=（3〃?-2）+（〃Ll）i在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限=相_]<0

42

ffU0<m<—成立推不出—<加<1成立,—<m<l=>O<m<—,

3333

所以0<〃2<：是復數(shù)Z=（32）+（m-l）i在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限的必要不充分條件,

故選：B

例題2.（2024上?四川成都?高三樹德中學?？计谀┰趶推矫鎯?nèi)，復數(shù)4,7對應的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

則三的模是（）

4

A.5B.75C.2D.72

【答案】D

【分析】由復數(shù)對應的點求出復數(shù)的代數(shù)形式，利用共轉(zhuǎn)復數(shù)和復數(shù)的除法化簡，模長公式求模.

【詳解】復平面內(nèi)，復數(shù)4，Z2對應的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

工l+3i（l+3i）（2+i）17.

則有Zi=2—i,z=1-3i,z=1+3i,—=----=------------=---1—i

2242-i（2-i）（2+i）55

Z2

4

故選：D

例題3.（多選）（2024?湖南長沙?長沙一中校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)Z-Z2在復平面上對應的點分別為

4B,且。為復平面原點若.4=1+工]（i為虛數(shù)單位），向量次繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，且模伸

長為原來的2倍后與向量加重合，則（）

A.z?的虛部為也B.點2在第二象限

2

C.|Z1+Z2|=A/2D.—=2

Z]

【答案】BD

【分析】結合復數(shù)的幾何意義，依題意求解出對應的坐標，然后逐項判斷即可；

【詳解】因為4=?+；i,所以4對應的坐標為[弓,"，上|=1,

￡

OA向量與1軸夾角為仇tan。=-^=§,9=]

3o

由題意可知，歸=2,且03=2[cos]o+5j,sin[d+5]j=,選項B正確；

z2=-l+^i,z?的虛部為6，選項A錯誤；

Z]+z?—l+[g+石）i,所以卜[+z?[=+[；+"）=6，選項C錯誤；

4—■=2,選項D正確；

4zi

故選：BD.

練透核心考點

；3

1.（2024上?廣東佛山?高三石門中學校考期末）復數(shù)z=——在復平面內(nèi)所對應的點位于（）

1—21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法和除法以及幾何意義求解即可.

-i-i（l+2i）21（2

【詳解】因為z=r=7T%7T了=￡一￡1，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點￡，）位于第四象限，

1-21（1-21）（1+21）55155J

故選：D.

2.（多選）（2024下?高一單元測試）關于復數(shù)，下列說法錯誤的是（）

A.若忖=1,貝。z=±l或土i

B.復數(shù)6+5i與-3+4i分別對應向量礪與而，則向量通對應的復數(shù)為9+i

C.若z是復數(shù)，則z2+l>0

D.若復數(shù)z滿足1V|4<0,則復數(shù)z對應的點所構成的圖形面積為兀

【答案】ABC

【分析】對于A,結合特殊值法，即可求解；對于B,結合向量的運算法則，即可求解；對于C,結合特

殊值法，即可求解；對于D,結合復數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】對于A,取z=；+岑i,則忖=1,故A錯誤；

對于B,在=礪一函=—3+4i—（6+5i）=—9—i,B錯誤；

對于C,|Xz=i,但i?=-1,2+1=0知C錯誤;

對于D,設復數(shù)z=x+)i(尤,yeR),則由14目＜血可知1VV+產(chǎn)＜2,

故復數(shù)z對應的點所構成的圖形面積為兀x2-7txl=兀，D正確.

故選：ABC.

3.(2024?全國?高一假期作業(yè))復平面上兩個點4,Z?分別對應兩個復數(shù)z，Z2,它們滿足下列兩個條件：

①z?=z/2i；②兩點Z1,Z?連線的中點對應的復數(shù)為3+4i,若。為坐標原點，則△ZQZ2的面積為

【答案】20

【分析】設4=a+〃(aSwR),根據(jù)復數(shù)的運算及集合意義可得點Z1,4的坐標，再根據(jù)中點坐標公式列方

程求得6的值，從而可得向量西，區(qū)的坐標，根據(jù)向量的坐標運算確定模長與角度，從而得△ZQZ?的

面積.

【詳解】設Zi="+6，(a,6eR),

則z2=Z1?2i=(a+bi)-2i=—2b+2ai.

所以點Z],Z2的坐標分別為Z、(a,b),Z2(-2b,2a)

又兩點Z：Z2連線的中點對應的復數(shù)為3+4i,

又OZj=(a,b\OZ2=(-2b,2a),

OZ}-OZ2=0,/.OZ[_LOZ2

:.AZ,OZ2的面積為S=1X2A/5X4A/5=20.

故答案為：20.

高頻考點三：復數(shù)分類

典型例題

例題L(2024上?河北廊坊?高三河北省文安縣第一中學校聯(lián)考期末)若復數(shù):篇(aeR)為純虛數(shù)，貝心=

1—1

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】利用復數(shù)的除法運算法則以及純虛數(shù)的定義求解.

r悻鏟1國由1+ai-1+出一。+兩(1)_(4+1)+("卓

[詳因為],023-1+j—+i)-2為純虛數(shù)，

ftz+1=0,

所以|C解得。=-1，

w0,

故選：A.

例題2.(2024下?全國■高一專題練習)復數(shù)z=(l+i?"2_(8+力”+15-61("1€1<),求實數(shù)機的取值范圍使

得：

(l)z為純虛數(shù)；

(2)z在復平面上對應的點在第四象限.

【答案】(1)%=5

(2)—2<m<3

【分析】(1)根據(jù)z為純虛數(shù)，列出方程，即可求解；

(2)根據(jù)z在復平面上對應的點在第四象限，列出不等式組，即可求解；

【詳解](1)z=(l+i)m2—(8+i)m+15—6i=(/n2—8/M+15)+(/M2—m—6)i,

若z為純虛數(shù)，則一8tl5：0,解得：m=5

[m-m-60

、,口心[m2-8m+15>0

(2)由題意知，\,八，解得：—2vmv3.

\m2-m-6<0

例題3.(2023下?河北唐山?高一校聯(lián)考期中)己知6eR,a>Q,復數(shù)z=a+歷，且目=占，復數(shù)z(l+i)

在復平面上對應的點在函數(shù)丫=-3x的圖像上.

⑴求復數(shù)z；

(2)若z-金(根eR)為純虛數(shù)，求實數(shù)機的值.

【答案】(l)z=l+2i

(2)2

【分析】(1)利用復數(shù)的四則運算，得到z(l+i)=a-8+(a+))i,再根據(jù)條件得到6=2a,又由題設知

/+廿=5,從而求出。力得到結果;

(2)利用(1)中的結果和復數(shù)的除法，再結合條件即可求出結果.

【詳解】(])因為z=a+bi(a,〃wR),

所以z(l+i)=(a+歷)(l+i)=a+tri+歷一Z?=a—Z?+3+Z2)i,對應的點為(。一仇。+人),

所以〃=—3(a—。)，得到人=2〃，又回=逐，

所以。？+/=5,又〃>0,

fI方2_5

由6=2.'解得。=32,

所以z=l+2i.

(2)由(1)知，z=l+2z,

mm(l-i).mm

所CC以HIz-丁一=1+21———-=l-—+(2+—)1,

1+1222

練透核心考點

1.（2024?天津濱海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校聯(lián)考期末）已知z=（m+l）+（2-%）i是純虛數(shù)（其

中帆eR,i是虛數(shù)單位），貝;

Z

【答案】&

【分析】根據(jù)實部為0虛部不為0,解方程可得復數(shù)，進而根據(jù)復數(shù)的除法運算計算模長即可.

fm+1=0

【詳解】由題意c八，解得根=-1,z=3i,

6+3i6+3i

z3i3

故答案為：6.

2.（2024?全國?高一假期作業(yè)）已知復數(shù)z滿足忖=5.

（1）若（4+3i）?z是實數(shù)，求復數(shù)z；

7

（2）求§+2-i的取值范圍.

【答案】（1）復數(shù)z=4-3i或~4+3i；（2）V5,1-+

【分析】（1）利用實數(shù)概念及模長，即可得到復數(shù)z；

（2）利用點與圓的位置關系，即可得到取值范圍.

【詳解】（1）設2=。+加，4、Z?GR,則〃2+從=25,

又（4+3i）-z=4a—3人+（3a+4/?）i是實數(shù)，

3。+4氏0,又3+/=25,

a=41=_3或〃=-4,〃=3,

/.復數(shù)z=4-3i或Y+3i；

(2)

|z-(T+2i)|表示復數(shù)z對應的點與_4+為對應的點A間的距離,

而復數(shù)z在以原點為圓心，半徑為5的圓上，

如圖所示，

|z-(T+2i)[e[5-2如,5+2如],

5

2-

3.(2024下■全國?高一專題練習)已知復數(shù)z=(1+i)”-(5i+3)〃z-(4+6i),當相為何值時,

(1)z為實數(shù)？

(2)z為虛數(shù)？

(3)z為純虛數(shù)？

(4)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限？

【答案】(1)，w=6或相=-1(2)相力6且(3)m=4(4)4<m<6

【分析】由題意得解得z=(加2-3機-4)+(療-5/w-6)i,

(1)由后-5m-6=0,求出m即可；

(2)根2-5加-6*0,即可得出m；

,fwz2—3wz-4=0”,—l,

(3)由1。uzc，解得加范圍；

[m-5m-6^0

fm2—3m-4>0

(4)根據(jù)象限特征，由2<4八，解得加范圍.

[m-5m-6<0

【詳解】解：z=(l+i)m2-(5i+3)m—(4+6i)=(4-3m-4)+(^m2-5m-6)i,

(1)由加之—5m—6=0得加=6或AH=-1,

即當帆=6或機=-1時，z為實數(shù)；

(2)由加之一5根—6。0得加。6且相。一1,

即當相。6且根W-1時，z為虛數(shù)；

m-5m-6^0,

即當相=4時，z為純虛數(shù)；

,m2-3m-4>0,__

(4)由｛2解得4cm<6,

m-5m-6<0,

即當4〈用<6時，z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限.

【點睛】本題考查復數(shù)的有關概念及其運算法則、方程與不等式的解法，考查推理能力與計算能力.

高頻考點四：復數(shù)模

典型例題

例題:1.(2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預測)已知復數(shù)Z，22滿足4+2%=-3-1,%-4=1,則Z+2i|的

最大值為.

【答案】VTo+i/i+Vio

【分析】設Z1=x+yi,根據(jù)題意求得Z，根據(jù)復數(shù)的幾何意義求得Z2對應點的軌跡，再根據(jù)幾何意義求目

標式的最大值.

【詳解】令復數(shù)Z=x+yi,x,”R,則一x-yi,

所以4+2%=3尤一”=一3-i,所以x=-l,y=l,即4=-l+i.

又因為卜-3=1,即在復平面內(nèi)，復數(shù)Z2所對應的點的軌跡是以(-U)為圓心，1為半徑的圓.

又點(-M)到點(0,-2)的距離為J(一1一0)2+(l+2f=回,

所以憶+型的最大值為W+1.

故答案為：JiU+i.

例題2.(2024?全國?高三專題練習)已知復數(shù)z滿足卜+閩+卜-碼=4,則|z-i|的最大值是.

【答案】逑/。有

33

【分析】根據(jù)復數(shù)模公式，復數(shù)的幾何意義及橢圓的定義可得復數(shù)z對應的點Z(x,y),然后利用三角代換

結合條件即可求解.

[iW]i^z=x+yi,(^yeR),由卜+6|+卜一614,得J(x+石『+/+J(龍一石j+y=4>2上,

因此在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點Z(尤,y)在以卜代,0)為焦點，長軸長為4的橢圓上，

22

所以可設橢圓方程為。+==1(〃>人>0)，貝!J〃=2,c=6,b=l,

所以橢圓方程為J+y2=l,

而|z-i|表示點Z與點（?！唬┑木嚯x，可設Z（2cose,sin。）,

所以當sin*-：時，d=處,即|z—i|的最大值是迪.

333

故答案為：拽

3

例題3.（2024?全國?高三專題練習）在復平面內(nèi)，已知復數(shù)z滿足|z|=l,i為虛數(shù)單位，則|z-3-4i|的最

大值為.

【答案】6

【分析】將問題化為定點（3,4）到圓/+產(chǎn)=1上點距離的最大值，即可求解.

【詳解】々z=x+yi且無,yeR,則/+丁=1,即復數(shù)z對應點在原點為圓心，半徑為1的圓上，

而|z-3-4i|=J（x-3>+（y-4）2,即點（羽>）到定點（3,4）距離的最大值，

所以|z-3-4i|的最大值為J（0-3f+（0-4）2+1=6.

故答案為：6

練透核心考點

1.（2024?天津濱海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校聯(lián)考期末）已知z=（利+1）+（2-〃?）i是純虛數(shù)（其

中meR,i是虛數(shù)單位），貝;

【答案】由

【分析】根據(jù)實部為0虛部不為0,解方程可得復數(shù)，進而根據(jù)復數(shù)的除法運算計算模長即可.

[m+l=0

【詳解】由題意1,解得機=-1,「.z=3i,

|2—加。0

6+3i6+3i加上=6

z3i3

故答案為：出.

2.（2024?全國?高一假期作業(yè)）若zeC,且滿足Iz+1-i|=1,貝UIz-l-i|的最大值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，結合圖形，即可求解.

【詳解】|z+l-i|=|z-(-l+i)|=l,復數(shù)Z的軌跡表示以點(-U)為圓心，1為半徑的圓，|z-l-i|=|z-(l+4

表示圓上的點到點(1,1)的距離，

如圖，當過點(1,1)和圓的圓心，即|上4|=3為最大值.

故答案為：3

3.(2024?全國?高一假期作業(yè))設復數(shù)4、z2,滿足團=|勾=1,z「z『后,則1Z+z?卜.

【答案】1

【分析】設4=%+卬，22=%+短(為"2，%,%€2,利用復數(shù)的模長公式、復數(shù)的運算以及復數(shù)相等可

得出力、%以及X；的值，再利用復數(shù)的加法以及復數(shù)的模長公式可求得I4+Z2I的值.

【詳解】設4=%+卯，z2^x2+y^(xx,x2,yx,y2eR),

因為聞=闖=1,則x；+y；=尤；+=1,

又因為4-Z2=(±+%i)-(々+%。=(玉一七)+(M一％》"，

x-x9=0玉=%

所以，[必-乂=5肌

M+%=°x=2

由X；+y；=x；+y；,可得(X_%)(乂+%)=。,故…S解得

%=

2

31

由x；+y；=占+—=1,可得無；=a，

所以，Z[+z[=2下+(%+%)=2%,所以，[z]+z2|=2ki|=2xj=l.

故答案為：1.

高頻考點五：待定系數(shù)求復數(shù)z=a+bi

典型例題

例題L（2024?全國?高一假期作業(yè)）設復數(shù)4、z2,滿足聞=3=1,z「Z2=",則B+Z2卜.

【答案】1

【分析】設4=占+卯，22=赴+%可占,與％，為€對，利用復數(shù)的模長公式、復數(shù)的運算以及復數(shù)相等可

得出%、%以及X；的值，再利用復數(shù)的加法以及復數(shù)的模長公式可求得區(qū)+Zzl的值.

【詳解】設Z=%+卯，z2=x,+y2i（^,x,,ypy2eR）,

因為聞=Z|=1,則尤:+y；=』+y；=1,

又因為4-z?=（匕+卯）—（%+短）=（匕一w）+（%—%）i=后，

fx-x9=0f%

所以,_A,即_4

fy.+y=0%9

由*+犬=￥+公，可得（％_%）（%+為）=。，故｛9信，解得《廠，

一一lx-%=J3V3

r=_T

3i

由x；+y；=呼+^=1,可得無；=“

所以，z1+z2=2xI+（y1+y2）i=2xI,所以，R+Z2|=2㈤=2x；=l.

故答案為：1.

例題2.（2024?全國?高三專題練習）滿足z2eR,|z-i|=l的一個復數(shù)z=.

【答案】0（0或2i中的一個，答案不唯一）

【分析】設z=a+bi（a,beR）,根據(jù)z?eR可得出。=0或6=0，分。=0、6=0兩種情況討論，結合復數(shù)

的模長公式可求得復數(shù)z的值.

【詳解】設2=。+歷（a,beR）,則z?=（a+歷丫="一/+2°歷，

因為Z2ER,則而=0,即a=?；騜=。.

當〃=0時，即z=Z?i,由|z-i|二|他一1川二也一1|=1,解得人=0或2,此時，z=0或2i；

當〃=0時，即z=a,由|z-i|=—i|=Ja、+1=1,解得a=0,止匕時，z=0.

綜上所述，z=?；?i.

故答案為：0（0或2i中的一個，答案不唯一）

練透核心考點

1.（2024?全國?高一假期作業(yè)）若復數(shù)4和復數(shù)Z?滿足㈤=1,閭=1,|z+z2|=l,則一.

412

【答案】昱R也

33

【分析】設Z]=a+bi,(〃,b￡R),Z2=C+di,(C,d￡R),根據(jù)復數(shù)的運算及模的公式即可求解.

【詳解】設Z]=〃+bi,(〃,/?￡R)/2=c+di,(c,dER),且/+〃=1,/+/=],

貝ljz+z2=(Q+c)+(b+d)i,

又k+Z2|=l,所以(a+cy+S+d)2=1,

即a2+lac+c1+b2+2bd+/=1,貝!J2ac+2bd=-1,

因為Z]—z2=(a—c)+S—d)i,

所以JZ1一Z2J=y](a-c)2+(b-d)2=yja2+c2+b2+d2-2ac-2bd=^3，

故答案為：心.

3

2.(2024?全國?高三專題練習)在復平面內(nèi)，已知復數(shù)z滿足|z|=l,i為虛數(shù)單位，貝U|z-3-4i|的最大值

為.

【答案】6

【分析】將問題化為定點(3,4)到圓/+產(chǎn)=1上點距離的最大值，即可求解.

【詳解】々z=x+yi且無,yeR,則/+丁=1,即復數(shù)z對應點在原點為圓心，半徑為1的圓上，

而|z-3-4i|=J(x-3)2+(y-4)2，即點(羽>)到定點(3,4)距離的最大值，

所以|z-3-4i|的最大值為J(0-3f+(0-4)2+1=6.

故答案為：6

高頻考點六：復數(shù)的四則運算

典型例題

例題1.(2024?湖南邵陽?統(tǒng)考一模)下列各式的運算結果不是純虛數(shù)的是()

A.(1+i)2B.(1-i)2

1—i

C.--rD.(1+i)4

l+i

【答案】D

【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算對選項一一化簡即可得出答案.

【詳解】對于A,(l+i)2=l+i2+2i=2i,故A正確；

對于B,(1—i)2=1+i2—2i=—2i,故B正確；

1-i(1)2

對于c,—=-i,故C正確;

i+T(l+i)(f2

對于D,(l+i)4=(l+i)2(l+i)2=2i-2i=4i2=-4,故D錯誤.

故選：D.

例題2.(2024上?貴州遵義?高二統(tǒng)考期末)若z=l+i,則|z+hi|=()

A.2B.1C.72D.272

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的共朝復數(shù)的概念，乘法、加法運算，復數(shù)模得解.

［詳解］|z+z-i|=|(l+i)+(l-i)i|=|l+i+i+l|=|2+2i|=VF+2?=2^.

故選：D

例題3.(2024?全國?高一假期作業(yè))設復數(shù)4、z2,滿足聞=閭=1,z「zz=?則B+z?k

【答案】1

【分析】設4=%+卯，z2=x2+＞2i(A,,x2,y?y26R),利用復數(shù)的模長公式、復數(shù)的運算以及復數(shù)相等可

得出%、%以及無；的值，再利用復數(shù)的加法以及復數(shù)的模長公式可求得B+Z2I的值.

【詳解】設4=%+卯，z?=七+%《玉,孫%,%?R)，

因為閡=卜|=1,則丈；+y；=x；+y；=1,

又因為Z-z?=(%+卯)一(々+%。=(占一*2)+(%—%)i=?，

x,-xQ=0fx=x9

所以，6，即6，

〔弘一％=，3〔必一％=，3

1y+%=o

由%；+弁=君+乂，可得(y—%)(x+%)=。，故＜n，解得＜2

1％一%=。3

%=

31

由+=%2+1=i,可得了；=“

所以，Z1+Z?=2芯+(乂+%]=2不，所以，R+Z2|=2卜卜2x；=l.

故答案為：1.

練透核心考點

1.(2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末)已知復數(shù)z滿足(z-l)i=4+3i(i為虛數(shù)單位)，貝Ijz+N=()

A.8B.6C.-6D.-8

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共輾復數(shù)的概念求解即可.

【詳解】因為（z—l）i=4+3i,

解得z-l=——=3-4i,即z=4-4i,

1

所以z+5=4—4i+4+4i=8,

故選：A

2.（2024?全國?模擬預測）若2=二^,貝岐等于（）

1-1+1

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

【答案】B

【分析】由復數(shù)的乘法和除法運算化簡復數(shù)z,再由共輾復數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】因為z=H=二—=4+3i,所以5=4—3i.

l-i+i-1

故選：B.

3.（2024?全國?高三專題練習）Mlfcz=1+2i+3i2+.??+2O22i2021+2023i2022.

【答案】1012

【分析】根據(jù)錯位相減法求和，復數(shù)乘除法，i乘方的周期性等相關知識直接求解.

【詳解】由題意得z=1+2i+3,+…+2022產(chǎn)+2023i2022,

所以z-i=i+2i?+3i3+…+2O22i2022+2O23i2023,

j5Jf^(l-i)z=l+i+i2+---+i2O22-2O23i2023

1_：2023]j

-------2O23i2023=——+2023i=i+2023i=2024i，

1-i1-i

2024i=(2024iMl±i)

1-i(l-i)(l+i)

2024i-2024

=-1012+1012i

2

所以復數(shù)z的虛部為1012.

故答案為：1012

高頻考點七：共物復數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）已知復數(shù)z滿足（z-l）i=4+3i（i為虛數(shù)單位），則z+5=（）

A.8B.6C.-6D.-8

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共輾復數(shù)的概念求解即可.

【詳解】因為（z—l）i=4+3i,

4+3i

解得z-1=-^=3-4i,即z=4—4i,

i

所以z+5=4—4i+4+4i=8,

故選：A

例題2.（2024上?四川成都?高三樹德中學?？计谀┰趶推矫鎯?nèi)，復數(shù)Z],Z2對應的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

則久的模是（）

4

A.5B.75C.2D.72

【答案】D

【分析】由復數(shù)對應的點求出復數(shù)的代數(shù)形式，利用共輾復數(shù)和復數(shù)的除法化簡，模長公式求模.

【詳解】復平面內(nèi)，復數(shù)4，Z2對應的點分別是（2,-1）,（1,-3）,

工l+3i(l+3i)(2+i)17.

則有4=2—i,z=1—3i,z=1+3i>--=-----=-----------------1--1

22Z12-i(2-i)(2+i)55

故選：D

2+4i

例題3.（2。24上?天津?高三校聯(lián)考期末）設z=0+則z的共輾復數(shù)為一

【答案】3-2i

【分析】由復數(shù)的運算化簡％再求共輾復數(shù).

【詳解】因為z=+i=3+2i,

l+i(l+i)(l-i)2

故W=3-2i.

故答案為：3-2i.

練透核心考點

1.（2024?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）己知復數(shù)2=匕*，N為z的共輾復數(shù)，則|z|在復平面表示的點在（）

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】首先利用除法運算化簡復數(shù)z,并求2和忖，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】z=^^=-2-2/_1V3.

=

:一二1，

1+V3i0+何(］一網(wǎng)422

在第四象限.

故選：D

1-

2.（2024?全國?模擬預測）已知復數(shù)z=1-i,貝!J——z)

z

A正M3叵n3M

DR.-----------ru.----

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算以及模