2025年高考數學一輪復習：拓展之分離變量法解決導數問題（解析版）

第08講：拓展一：分離變量法解決導數問題

目錄

類型一：恒成立（存在問題）求解參數。范圍..................1

角度1：完全分離參數法................................1

角度2：部分分離參數法................................7

類型二：已知零點個數求解參數。范圍.......................11

角度1：完全分離參數法...............................11

角度2：部分分離參數法...............................16

高頻考點

類型一：恒成立（存在問題）求解參數。范圍

角度1：完全分離參數法

典型例題

例題1.（23-24高二下?四川廣元?階段練習）已知函數/（x）=lnx—依，其中xe[l,+s）,若

不等式/（“〈。恒成立，則實數。的取值范圍為.

【答案】[（+8）

【分析】

恒成立求參數的取值范圍，分離參數轉化為求函數的最值問題求解即可.

【詳解】函數〃x）=lnx-?x,因為在xe[l,+8）恒成立，

所以Inx-orWO,在xw[,+<?）恒成立，

a>在xe[1,+°0）恒成立，

令〃（無）=皿，所以〃（x）=上及，

XX

//(力=0,得'=e,

所以當X￡(l,e)時，/zr(x)>0,當%￡(e,+oo)時，

所以可力在(1,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

所以//(冗\?=%(&)=:,所以"Ng,

所以實數。的取值范圍為[，+8).

故答案為：1+°°)

例題2.(23-24高二下?河北張家口?階段練習)已知函數/(x)=xe*,g(尤)=x+lnx+〃7.

⑴求函數〃x)的極值；

⑵若g(x)V〃x)恒成立，求實數加的取值范圍.

【答案】⑴函數的極小值為-L無極大值；

e

(2)m￡l

【分析】(1)利用導數，先判斷函數的單調區(qū)間，再求函數的極值；

(2)首先不等式化簡為x+lnx+m4x1恒成立，再利用參變分離，轉化為最值問題，即可

求解.

【詳解】(1)r(x)=(x+l)e=令洋(x)=0,得x=-l,

x,廣⑺和〃x)的關系，如下表所示，

X-1(-l,+oo)

((X)—0+

/W單調遞減極小值」單調遞增

e

所以函數的極小值為-工，無極大值；

e

(2)不等式g恒成立,即％+lnx+機W恒成立，

即?。t―%—In%,%>0,恒成立，所以根4(屁"一九—Inx%，%>。，

設/z(x)=xe，-x-]nx,x>0,

=(x+l)e"—1=(x+l)[e*),其中x+]>0,

設加(％)=e"-L,mr(x)=ex+-^->0,所以機(x)在(0,+。)單調遞增，

因為“；［<0，加⑴>0,所以存在尤…U，使=即〃(％)=0,即eW=J,

當xe(0,飛)時,〃⑺<0,Zz(x)單調遞減,

當時,%'(X)>O,/?(元)單調遞增，

所以當x=x0時，函數/z(x)取得最小值/1(%)=書&-%-In5,

由e*°=,,可得Xo=-lnxo，所以-=1-%+%=1,

xo

所以相￡1.

例題3.(23-24高二下?重慶?階段練習)已知函數〃力=依-1-Inx(aeR).

⑴若a=l,求/(x)在(e,〃e))處的切線方程;

⑵討論函數〃尤)的單調性；

⑶若函數〃尤)在x=l處取得極值，且對Vx40,y),恒成立，求實數b的取

值范圍.

【答案】⑴(e-l)x-ey-e=O

(2)答案見解析

【分析】

(1)先求出函數〃x)的導函數(⑺，進而得出〃e),/'(e)；再根據點斜式方程即可求

解.

(2)先求出函數/'(尤)的導函數十(力；再分aWO和。>0兩種情況，在每一種情況中借助

導數即可解答.

(3)先根據函數""在x=1處取得極值得出a=1；再將問題"對Vxe(0,田)，/(x"-2

恒成立"轉化為"對),人恒成立，，；最后構造函數g(x)=TU,并利

用導數求出且⑴血即可解答.

【詳解】(1)當“=1時，/(x)=x-l-lnx,/,(x)=l-1,

1p_1

貝！J/(e)=e-l-lne=e-2,/'(e)=l——=---.

所以“X)在(e，〃e))處的切線方程為y_(e-2)=?(x-e),即(e—l)x—ey-e=O.

(2)由〃力=依-1-111尤(4€1<)可得：函數定義域為(0,+e),尸(x)=”1.

當aWO時，/'(力<0,此時函數/(x)在定義域(O,+“)上單調遞減；

當a>0時，令/(“<0,解得0<x<：；令用x)>0,解得x>:，

此時函數〃尤)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間，,上單調遞增.

綜上可得：當時，函數/(尤)在定義域(0,+8)上單調遞減；

當a>0時，函數/(X)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間+8)上單調遞增.

(3)因為函數/(x)在x=l處取得極值，

所以/'(1)=0，即。一1=0,解得a=L

1X—1

此時/'("=1一一=——，

X尤

令制勾>0,解得X>1；令尸(x)<0,解得0<x<l,

所以函數"可在x=l處取得極值，

故。=1.

所以/(x)=x—l-In尤.

因為對Vxw(0,+oo),/(x)26x-2恒成立，

所以對Vrc(O,y),6_心上詈恒成立.

令g(x)=T，

則g〈x)=R」.

令g，(x)>0,解得x>/；令g'(x)<0,解得0<x<e\

所以函數g(x)=T"在區(qū)間(od)上單調遞減，在區(qū)間?,+動上單調遞增，

所以g(x)mm=g(e2)=-

則6-14y,解得：b<1-4；-.

ee

所以實數b的取值范圍為，應1-5

練透核心考點

1.(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習)若不等式a+2元+|ln尤1-12。恒成立，則。的取值范

圍是.

【答案】［-In2,+oo)

【分析】分類討論去解析式中的絕對值，利用導數研究函數的單調性，根據單調性求函數的

最大值，從而即可得解.

【詳解】若不等式。+2x+|ln尤|-120恒成立，也就是2x-|ln4恒成立，

函數〃x)=l-2x-|lnx|,定義域為(0,+8),

當時，f(x)—1—2x—lux,廣(x)=-2—<0,

\在［1,+8)為減函數，此時/(X)1Mx=〃1)=—1；

當0<%<1時，/(x)=l-2x+lnx,r(x)=_2+.=2.+1,

二當xe(。，［時，f^)>0,當xe(；,“時，r(x)<0,

\/(x)在/J上單調遞增，在上單調遞減，

Itk0t/Wraax=f［^=ln1=-In2,

綜上可知，則。的取值范圍是［-In2,+8).

故答案為：［-In2,+oo).

2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(尤)=ov+xln尤(aeR),當a=l且上eZ時，不

等式后(x-l)</(x)在無€(1,+8)上恒成立，求上的最大值.

【答案】3

【分析】

Yyip?y/x~\~xInxi

依題意參變分離可得左<，在xe(l,+8)上恒成立,則左<———，令

V—1\X—1/.

g(x)=x+xl：x,無e(l,+8),利用導數求出函數的單調性，即可求出函數的最小值，從而

x-1

求出參數％的取值范圍，即可得解.

【詳解】

當a=l時，，(無)=尤+尤In尤，又不等式左(x-l)</(x)在xe(l,+oo)上恒成立，

則k<x+xXax在xe(1,+s)上恒成立，

x-1

?，7(x+xlnx^l

所以左<——「，

I1Jmin

.,、x+.rlnx八、.,/\x-ln%-2

令g(無)=.1-，xe(l,+oo),則ng")=dp，

令用⑺=%-lnx-2,xe(l,+oo),

ir_i

則勿⑺=1>0,Mx)在(1,+8)上單調遞增,

/?(3)=1-ln3(0,/?(4)=2-21n2)0,存在唯一不?3,4),使力(5)=0,

所以，當l<x<尤0時人(“<0即g[x)<0,當X〉毛時從x)>0即5(無)>0,

所以g(元)在(1，X。)上單調遞減，在(玄+力)上單調遞增，

又%)=M_lnXo—2=0,即111%=毛_2,

所以g(尤需=g5)「。0+1：。)「。0十%一可=X"(3,4),

尤xo

所以左<g(x)1nm=玉)e(3,4),又keZ,

?,"max=3.

3.(2024高三?全國?專題練習)已知函數"X)=lnx+1,V(x)>在(l,+oo)上恒成

立，求整數上的最大值.

【答案】3

【分析】

分離參數，問題轉化為1〈,In*+。(%>1).設g(x)「(lnx+l)(%>1)；利用導數求出

x-1x-1

g(x)的最小值,得解.

【詳解】由題意，x(lnx+l)>Mx-1)在(1,+8)上恒成立，

rrX(lnX+l)

BPZ:<--------(x>l).

x-1

(、x(lnx+l)

設g(x)=—-------(元>1),

x—1

./、x_Inx_2

則g(*)=方一行，

(1)

令力(x)=x-lnx-2(x>l),貝!J/z'(x)=l—工>0,

所以，力(%)在(l,+8)上為增函數.

ep2

因為/z⑵=-ln2vO,/i(3)=l-ln3=ln-<0,//(4)=2-ln4=ln—>0,

所以Mx)在(1,+8)上有唯一實數根rn?3,4),

使得帆—In帆―2=0.

當無時,/z(x)<0,即g'(%)<0；

當了￡(m,+oo)時，/z(x)>0,即g'(x)>0.

即g(%)在(1,㈤上單調遞減，在(加,+oo)上單調遞增,

所以g(力在尤=相處取得最小值，

m(lnm+l)

n.g[m\=--------------=m,

m—1

所以左〈必由〃??3,4),得整數人的最大值為3.

角度2：部分分離參數法

典型例題

例題1.(23-24高二上?福建福州?期末)已知關于》的不等式2x--x+l)e，>0解集中恰有3

個不同的正整數解，則實數上的取值范圍為()

3

A.B.C.‘商

【答案】D

【分析】由題意可得上(x+l)<2xe-，的解集中恰有3個不同的正整數解，設/(x)=-x+l),

g(x)=2xeT,作出兩函數的圖象，結合圖象分上V0,左>0分別求解即可.

【詳解】因為2x-A:(x+l)e*>0,所以％(x+l)<2xe-*.

設/(x)=L(元+1),g(x)=2xe-*,則8'0)=2b-2屁「*=2(1-彳)小，

所以當時，g'(x)>0,g(無)單調遞增；

當xe(l,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；

又因為Ax)是過點(-1,0)的直線，如圖所示：

由此可得當％W0時，左5+1)<2疣-，的解集中有若干個不同的正整數解，不滿足題意;

當上>0時，要使不等式2x-左(x+l)e*>。的解集中恰有3個不同的正整數解，

當y=/(x)過點(4,g(4))時，％取最小值,

Qp-4_nQ

因為g⑷―此時人E=下,

當y=/(x)過點(3,g(3))時，上取最大值,

因為g(3)=6e-,此時左=|13=*,

3-(-1)2e

83)

所以的取值范圍為

故選：D.

例題2.(22-23高二下?浙江杭州?階段練習)若關于左的不等式左(/+2x)<lnx+l的解集中

恰有2個整數，則上的取值范圍是()

ln2+l71

A.-<^<1B.----<k<-

38--------3

In3+1.In2+1ln4+l/7/n3+l

C.--------<k<----D.----<k<----

1582415

【答案】C

V史上，構建八工)=電土乂，利用導數判斷其單調性和

【分析】將不等式轉化為左(％+2)

XX

最值，根據題意利用數形結合，列式求解即可.

【詳解】因為x>0,且左(爐+2%)=區(qū)(％+2)?1111+1,可得+

構建/(力=電子，貝I」/'(1)=—Inx

令/<勾>0,解得0<x<l；令r(x)<0,解得尤>1;

則f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，可得/?(x)W/(l)=l,

且〃2)=匕相,〃3)=匕?

4,7k<-l+--ln-2

2In3+17/n2+1

由題意可得1，解得----<k<----

-1+In3

5k>----158

3

所以上的取值范圍是絲口<左4空把.

158

1.(23-24高二上?湖南長沙?階段練習)已知函數/(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0),若有

且只有兩個整數為,三使得/&)>。，且/(々)>0,則。的取值范圍是

【答案】0<a<2-ln3

【分析】

將不等式/(x)>。等價變形，構造函數，借助導數探討函數性質，作出函數圖象，結合已知

列出不等式組，求解即得.

【詳解】當〃>0時，由/(%)>。，^#lnx+((2-2)x-2(2+4>0<^ax-2a>2x-lnx-4,

設7i(x)=ax—2a,g(x)=2x-lnx-4,求導得g'(%)=2二在一由g'(%)=0,得％=—，

xx2

當xe(0,〈)時，g'(x)<0,g(x)為減函數，當xe(；,+8)上，g'(x)>0,g(x)為增函數，

/7(x)=ax-2a(a>0)的圖象恒過點(2,0),在同一坐標系中作出函數y=g(尤)，y=〃(x)的圖

象,

顯然/?(2)>g⑵，即/(2)>0,由于有且只有兩個整數%%,使得/'a)>0J(w)>0,

則這兩個整數要么是2,3,不是1,要么是1,2,不能是3,

當/(1)<0時,即2-aVO,解得aN2,此時,/(3)=ln3+a-2>0,/(4)=ln4+2a-4>0,

顯然至少有3個整數使得對應的函數值大于0,不符合題意，因此這兩個整數是1,2,不能

是3,

a>0

于是"⑴=2-a>0,解得0<aW2-ln3,

/(3)=ln3+a-2<0

所以。的取值范圍是0<aW2—ln3.

故答案為：0<a<2-ln3

2.(22-23高二下?遼寧沈陽?階段練習)已知不等式xlnx+G+1欣<2xln2的解集中有且只

有2個整數，則實數k的取值范圍是.

【…答案…】上「3,嗎4，亍21n2］、

【分析】因為九111%+(%+1)左<2%ln2=(x+l)左v2%ln2—xlnx,設/(x)=2xln2—xlnx,

g(x)=MX+l),本題轉化為函數在直線g⑴上方的范圍中有且只有2個整數.先利用

導數確定函數“X)的圖像，再與直線g(x)的圖像結合列出不等式組求解即可.

［詳解】xlnx+(x+l)A:<2xln2=>(x+l)A:<2xln2—xlnx,

^/(x)=2xln2-xlnx,

,4

貝ljf(x)=21n2-lnx-l=ln——Inx,

e

當f(x)>Onlna-lnx>OnO<x<±即當時，函數為增函數；

ee、e，

當/3<00111：-111》<0=了>：即當)€［3，+1|時涵數〃句為減函數；

當X.0時0；當久f+8時,Xf-8,

則滿足題意的函數“X)的圖像與直線g(x)=Mx+l)圖像如圖：

g⑴<〃1）2/<21n2

所以g⑵</（2）,即<3人<41n2-21n2,

g（3）“（3）4^>61n2-31n3

左力,日314,72In2

解得.

故答案為:匕1”,丁)

類型二：已知零點個數求解參數“范圍

角度1:完全分離參數法

典型例題

例題1.(23-24高二下?廣東廣州?階段練習)若函數=恰有2個零點，則實數。

的取值范圍是()

A.B.(0,1)C.卜°°，jD.(-8,0)

【答案】A

XX

【分析】令〃勸=。，得到。=三，令g(x)=F，利用導數與函數單調性間的關系，求出

ee

xx

ga)=W的單調區(qū)間，進而得出冢龍)=5函數值的變化，即可求出結果.

ee

【詳解】令〃x)=ae'-尤=0,得到a=3,令g(x)=W，則g'(x)=W，

eee

由g'(%)>。得至!］尤<1,由g'(%)<。，得到Ql,

所以g(x)=F在區(qū)間(-*1)上單調遞增，在區(qū)間(1,+⑹上單調遞減，

又g6=!，當x->-8時，g(x)T,-00,當xf+8時，g(x)f0,且x>0時，g(x)>0,

e

所以，當函數/(無)=ae*-尤恰有2個零點時，0<a<-,

e

故選：A.

例題2.(23-24高二下?湖南長沙?開學考試)已知函數/(x)=e=4.

⑴求函數在點(0J(0))處的切線方程；

(2)若。=1,證明：當xNO時，/(x)>l;

⑶若/")在(0,+8)有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】(l)I=x+l

⑵證明見解析

(3)a>—

4

【分析】(1)根據條件，利用導數的幾何意義，即可求出結果；

(2)利用導數與函數的單調性間的關系，求出/(x)=e'-x2在區(qū)間［0,+到的單調性，再求

出了(x)的最小值，即可證明結果;

(3)通過分離常量，得到斗=°,構造函數g(x)=。通過求導得到g(x)=1的單調性,

XXX

即可求出結果.

【詳解】(1)因為f(x)=e'-混,所以/，(x)=e'_2以，所以尸(O)=e°=l,

又〃O)=e0=l,所以函數在點(0"(0))處的切線方程為y-l=x,即y=x+L

(2)當a=l時，/(x)=eA-x2,則((x)=e*-2x,

令/i(x)=e*-2x,貝lj/f(x)=e*-2,由〃'(無)=0,得到x=ln2,

當xe(y,ln2)時，h'(x)<0,當xe(ln2,+oo),h'(x)>0,

所以h(x)>/z(ln2)=2-21n2>0,即f(x)>0恒成立，

所以/(x)=e-Y在區(qū)間［0,+勾上單調遞增，故〃方"0)=」=1,命題得證.

(3)因為/(x)=e，-o?,令/(無)=0,得到e，=ox2,又xe(0,+8),所以

尤~

令g(x)==，則g'(x)=e(t~2),當了€(0,2)時，g'(x)<0,當xe(2,”)時，g'(x)>0,

xx

2

所以g(尤)28出=一e，又當X-0時，g(X)f+CO,X-+8時，g(x)f+8,

4

z

又/(x)在(0,+8)有兩個零點，所以。>e

4

例題3.(23-24高三上?陜西安康?階段練習)已知函數/(x)=e-加+X-1.

⑴當。=1時，求曲線y=〃x)在x=l處的切線方程；

(2)若〃力=0有兩個不等的實根，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴(eT)x_y=0

⑵(一8，。)口］—［

【分析】(1)求導，得到〃l)=e-lJ'(l)=eT進而求出切線方程；

(2)"0)=0,故只需當無力0時，〃同=0有且僅有一個實根，參變分離，轉化為兩函數

只有1個交點，求導，得至18(尤)=至31口片0)的單調性，畫出其圖象，數形結合得到參

數的取值范圍.

【詳解】(1)當a=l時，/(x)=er-x2+x-l,/,(x)=er-2x+l,

/(l)=e-l，r(l)=eT

所以曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y—(e—l)=(e—gp(e-l)x-j=0.

(2)顯然”0)=0,要使方程〃x)=0有兩個不等的實根,

只需當XH0時，〃x)=0有且僅有一個實根，

當x#0時，由方程〃尤)=0,得。=

X

令g(x)=+：(xw0),則直線y=。與g(x)=+：(xw0)的圖象有且僅有一個交點.

XX

,()(e"+l)x2-2x(e-r+x-l)(x-2)(e"-l)

又當x<0時，g'(x)<O,g(x)單調遞減,

當0cx<2時，g'(x)<O,g(x)單調遞減,

當x>2時,g<x)>O,g(x)單調遞增，

所以當x=2時，g(x)取得極小值g(2)=一,

又當x<0時,ex<l,所以e，+x—l<0,即g(x)<0,

當X>0時，ex>l,ex+x-l>0,即g(x)>。，

所以作出g(x)的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線丁=。與g(x)=e，：：T(x豐0)的圖象有且僅有一個交點,

、e2j-1

只需a<0或〃=----.

4

綜上，若/'(x)=0有兩個不等的實根，則。的取值范圍為(-

練透核心考點

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=aex—無，aGR.若兀v)有兩個不同的零點，則

實數a的取值范圍是.

【答案】[。，￡]

【詳解】(解法1)因為了(x)=aex—1.

①當如。時，/u)<o,/U)在R上單調遞減，不可能有兩個零點，舍去；

②當〃>0時，令/(x)=00元=—ln

且當X￡(—8,—In〃)時，/(x)V0,此時，函數/(x)單調遞減；

當x￡(—|n〃，+°°)時，/(力>0,此時，函數/W單調遞增.

因為/W有兩個不同的零點，所以/Wmin=/(—In〃)=l+ln〃V0,解得。v〃<工.

綜上所述，實數。的取值范圍是(0,：).

V

(解法2)由/(x)=aex—x=O,貝U

所以g(x)在(-8,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

所以g(X)max=g(l)=N

當光玲一8時，g(x)<0；

當％f+8時，g(x)>0,

根據函數的圖象，若方程有兩個不同的解，則aG(0,；).

2.(23-24高二下?陜西西安?階段練習)已知函數〃力=呼+6在x=l處的切線方程為

2x—y—2=0.

⑴求“X)的解析式;

(2)若方程/(%)=根(根為常數)有兩個根，求實數根的范圍.

【答案】⑴"%)=亞

X

【分析】(1)求得函數的導數((X),根據切線方程為2x-y-2=0,得到切點坐標(1,0),

列出方程組，求得的值，即可求得函數的解析式；

(2)根據題意轉化為，=加與吧圖象有兩個交點問題，利用導數求得函數的單調

X

性和最值，即可求解.

【詳解】(1)因為/(%)=但+般所以解(無)=""二+6,

XX

又因為已知函數“力在x=l處的切線為2x-y-2=o,即切點為(1,0),

⑴=〃+匕=2

所以Jn,解之得。=2,b=0,

[f(l)=b=O

所以函數的解析式為”X)=*，In.Y

(2)因為〃龍)=汕，所以尸(力=上*

X%

令/'(司=0,解得x=e,

當xe(O,e),>0,在xe(0,e)為增函數，

且xe(0,l)時，/(x)<0,xe(l,e)時，/(x)>0,

當xe(e,+8),尸(x)<0,在xe(e,+8)為減函數，

且X-y時，/(x)->0,當X=e時，y=/(e)=—=-

maxee

2

若方程/(X)="2(加為常數)有兩個根，則?！锤匆?

e

故實數m的范圍為

3.(23-24高三上?重慶南岸?階段練習)已知函數/(%)=(%+1)爐

(1)求函數〃x)的單調區(qū)間；

(2)若方程/⑺=。(。eR)有兩個實數解，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)減區(qū)間是(-8,-2),增區(qū)間是(—2,+8)

(2)一一7<?<0

e

【分析】(1)求出導函數/(X),由廣(無)>0得增區(qū)間，由r(x)<o得減區(qū)間；

(2)由(1)得出了(X)的極值及變化趨勢，利用了(X)的圖象與直線X=〃有兩個交點可得參

數范圍.

【詳解】(1)由已知尸(x)=e*+(尤+l)e*=(x+2)e”,

x<-2時，f'(x)<0,尤>-2時，f\x)>0,

所以/(x)的減區(qū)間是(---2),增區(qū)間是(-2,+⑼；

(2)由(1)知x=-2時，/*)取得極小值也是最小值/(-2)=-曉=一3，

顯然x<-l時，〃x)<0,f(-D=O,尤>一1時，/(無)>0,

/(尤)在-2)上遞減，在(-2,+oo)上遞增，

當x-—8時，/(x)0,

作出>=/(x)的大致圖象及直線y=。，如圖，

當-3<”0時，函數y=/(x)的圖象與直線x=a有兩個交點，即方程〃力=。有兩個解.

角度2：部分分離參數法

典型例題

Inx

例題1.(2024高三上?河南?專題練習)己知函數/(彳)=-丁.

⑴求曲線>=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若函數g(x)=/(x)-土上2+2e有且只有一個零點，求。的值.

X

【答案】(i)y=xT

(2)e3+l

InV

【分析】(1)求得/'(x),可得切線的斜率，從而得到切線方程；(2)將問題轉為坂》)=出

X

與雙陽=/_25+1。只有一個交點，利用導數求出〃(X)的單調區(qū)間和最值，利用二次函數

圖像性質求出加(x)的最值，從而得到。的值

【詳解】(1)由題意得函數/⑴的定義域為(0,+8),

L尤2-2xlnx

l-21n尤.

八1）=半=0,r（1）=lz|l￡l=i,

所以曲線>=/(尤)在x=l處的切線方程為y-0=lx(x-l),即y=x-l

(2)由題意得函數g(x)的定義域為(0,+s),令g(x)=0,得坐_￥+廠。

+2e=0,

x

即---=x2-2ex+e~1a,

x

令h(x)=(x>0),m(x)=x2-2ex+e-1tz(x>0),貝|hf(x)=--.

xx

由〃(%)=。,得％=e,

由/(%)>0,得0<x<e,

由成?<0,得元>e,

所以h(x)在區(qū)間(0,e)上單調遞增，在區(qū)間(e,+8)上單調遞減.

所以當x=e時，/7(x)取得最大值Mx)=Me)=-.

1mxe

又函數m(x)=x2-2ex+e~la=(x-e)2+e-1?-e2,

所以