2025年高考數(shù)學專項復(fù)習：概率（4大考向解讀）原卷版

專題10概率

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對概率的考查，重點是2022?新高考I卷，5

古典概型

(1)理解古典概型及其概率計算公式；2024?新高考I卷，14

(2)會計算一些隨機事件所包含的樣2024?新高考I卷，9

正態(tài)分布

本點及事件發(fā)生的概率；2022?新高考n卷，13

(3)理解隨機事件的獨立性和條件概2023?新高考I卷,7

率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概獨立事件的乘法公式2023?新高考n卷，12

率；2024?新高考n卷，18

(4)理解兩點分布、二項分布、超幾

何分布的概念，能解決一些簡單的實際

2022?新高考I卷,20

問題；條件概率、全概率公式

2022?新高考n卷，19

(5)借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布

的概念，并進行簡單應(yīng)用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查了與排列組合綜合的古典概型問題，這也是高考?？键c之一。同時在多選題

中考查了正態(tài)分布及其應(yīng)用。n卷考查了獨立事件的乘法公式，體現(xiàn)在大題中。從今年的考題來看，概率大

題已經(jīng)不是必考了，而且可以用來作填空的壓軸題。這需要大家引起重視，對于概率難題要適當?shù)木毩暎?/p>

說不定在19題中也會出現(xiàn)它的影子。預(yù)計2025年高考還是主要考查古典概型和求隨機變量的分布列與數(shù)

學期望。建議大家要留意一下全概率公式，它將會是一個新的出題點，思維難度會略大。

試題精講

一、多選題

1.(2024新高考I卷-9)為了解推動出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動

出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差$2=o,oi,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布

^v(1.8,0.12),假設(shè)推動出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N(除$2),則()(若隨機變量Z服從正態(tài)分布

N(a,cf2),尸(Z<〃+b)Q0.8413)

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

二、填空題

2.（2024新高考I卷?14）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字

1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己

持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后

各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的

概率為.

三、解答題

3.（2024新高考n卷-18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第

一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一

次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成

績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為0,乙每次投中的概率

為4,各次投中與否相互獨立.

（1）若p=0.4,4=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設(shè)o<p<g,

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

近年真題精選

一、單選題

1.（2022新高考I卷-5）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.—

6323

二、多選題

2.2023新高考n卷?12）在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為以0<?<1）,

收到0的概率為1-a；發(fā)送1時，收到0的概率為4（0<夕<1）,收到1的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案:

單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的

信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)

多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-0（1-￡）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為4（1-4了

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為以1-4）2+（1-尸）3

D.當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

三、填空題

3.（2022新高考II卷?13）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,b2）,且尸（2<XV2.5）=0.36,則

P（X>2,5）=.

四、解答題

4.（2022新高考I卷-20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為

良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該

疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，8表示事件“選到的人患有該疾

P(B\A)P(B\A)

病----I.J------的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為

P(B|A)P(B|A)

R.

尸(4|3)P(A\B)

⑴證明：R=P(A|5)'P(A|B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（43）,尸（4月）的估計值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計值.

附片=n(ad-bc)~

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2023新高考I卷21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若

末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為

0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知：若隨機變量X服從兩點分布，且尸(X,=l)=l-尸(X,=0)=q"=l,2,…“則K=蔣,.記

\Z=1JZ=1

前”次(即從第I次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為y,求E(y).

6.(2022新高考n卷-19)在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下

的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡

位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

必備知識速記

一、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

稱試驗￡為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間。包含"個樣本點，事件/包含其中的左個樣本點，則定義事件/

的概率//)=&=噌.

''nn(Q)

二、概率的基本性質(zhì)

(1)對于任意事件/都有：04P(N)41.

(2)必然事件的概率為1,即P(Q)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件/與事件8互斥，則尸(/U2)=尸(4)+尸(團.

推廣：一般地，若事件4，4，…,4,彼此互斥，則事件發(fā)生(即4，4，…，4,中有一個發(fā)生)的概

率等于這〃個事件分別發(fā)生的概率之和，即：尸(4+應(yīng)+...+4)=尸(4)+尸(4)+…+尸(4)?

(4)對立事件的概率：若事件/與事件8互為對立事件，則次/)=1-尸(2),P(B)=1-P(A),且

P(AU3)=P(A)+P(S)=1.

(5)概率的單調(diào)性：若則尸Q)VP(2).

(6)若N,8是一次隨機實驗中的兩個事件，則尸(/U3)=P(/)+P(8)-P(/n8).

三、條件概率

(一)定義

一般地，設(shè)/,3為兩個事件，且P(/)>0,稱尸(5|4)=今等為在事件/發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的

條件概率.

注意：(1)條件概率P(8|N)中后面就是條件；(2)若尸(N)=0,表示條件/不可能發(fā)生，此時用條件

概率公式計算P(BM)就沒有意義了，所以條件概率計算必須在P(A)>0的情況下進行.

(二)性質(zhì)

(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即04尸(8M)V1.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果8與C互斥，則P(8UC|/)=P(3|，)+P(C|4).

注意：(1)如果知道事件/發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么尸(3)wP(2|Z)；

(2)已知/發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當于N2發(fā)生，要求尸(切⑷，相當于把/看作新的基本事件空間

計算發(fā)生的概率，即P(8M)=半空=二黑=￡

?(Q)

四、相互獨立與條件概率的關(guān)系

(-)相互獨立事件的概念及性質(zhì)

(1)相互獨立事件的概念

對于兩個事件/,B,如果P(8]/)=P(8),則意味著事件/的發(fā)生不影響事件3發(fā)生的概率.設(shè)

P(A)>0,根據(jù)條件概率的計算公式，尸(2)=尸(0/)=名也，從而尸(AB)=尸(⑷尸(3).

尸(⑷

由此我們可得：設(shè)N,8為兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件/與事件3相互獨立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義，對于任意兩個事件4與B,若尸(/)>0,則尸(/8)=尸(/)尸(切)).我們稱上式為概率

的乘法公式.

(3)相互獨立事件的性質(zhì)

如果事件4,8互相獨立，那么/與N與B,彳與月也都相互獨立.

(4)兩個事件的相互獨立性的推廣

兩個事件的相互獨立性可以推廣到eN*)個事件的相互獨立性，即若事件4,4，…，耳相互獨

立，則這，個事件同時發(fā)生的概率尸(44…4)=尸(4X4)…尸(4).

(二)事件的獨立性

(1)事件A與B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)-P(B).

(2)當P(2)>0時，/與B獨立的充要條件是尸Q|2)=尸(4).

(3)如果尸Q)>0,4與B獨立，則尸(引⑷=今篙=T(C=P?成立.

五、全概率公式

(一)全概率公式

(1)P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若樣本空間。中的事件4，4，…，4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即4H=0,z，，/=i,2,…，”，汴八

②4+4+…+4,=。；

③尸(4)>0,7=1,2,…，力.

則對。中的任意事件B,都有8=84+配+…+A4“，且

P(B)=力(BAjfp⑷P(B|4).

Z-lZ-1

注意：(1)全概率公式是用來計算一個復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計

算，即運用了“化整為零”的思想處理問題.

(2)什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中

均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

(二)貝葉斯公式

(1)一般地，當O<P(/)<1且尸⑻>0時，有PQ⑻=4及富。P(A)P(B|4)

P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)

(2)定理2若樣本空間。中的事件4,4,…，4滿足：

①任意兩個事件均互斥，即44=0,i,j=l,2,…，幾，i芋j；

(D4+4—卜4二Q；

③0cp(4)<1,i=L2,…，幾.

貝IJ對Q中的任意概率非零的事件B,都有8=54+叫+…+84，

且P(4忸)=生史⑻4)二等)尸⑷4).

尸⑻￡尸⑷p(刃4)

Z=1

注意：(1)在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致

這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公

式的意義是導(dǎo)致事件8發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率.

(2)貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(4|8),P(A),P(B),P(B|A),P{B\A),尸(48)之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即

P(41B)=,P(AB)=P{A\B)P(B)=P(B\A)P(A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)之間的內(nèi)在聯(lián)

系.

六、離散型隨機變量的分布列

1、隨機變量

在隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示.在這個對應(yīng)關(guān)

系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化.像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量

常用字母X,Y,J,〃，…表示.

注意：(1)一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可

能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之

前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果.這種試驗就是隨機試驗.

(2)有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示.如擲一枚硬幣，X=0表示反面向上,

X=1表示正面向上.

(3)隨機變量的線性關(guān)系：若X是隨機變量，Y=aX+b,a,6是常數(shù)，則F也是隨機變量.

2、離散型隨機變量

對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量.

注意：(1)本章研究的離散型隨機變量只取有限個值.

(2)離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，

這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果,

但離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不能一一列出.

3、離散型隨機變量的分布列的表示

一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為再，馬，…，七，…，，X取每一個值％(i=1,2,…，〃)的概

率P(X=x,.)=q,以表格的形式表示如下:

X玉x2%

PPlPlPiPn

我們將上表稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.有時為了簡單起見，也用等式

P(X=X)=Pj,i=1,2,…，”表示X的分布列.

4、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：

(1)PjNO，z=1,2,-??,?;(2)P]+p,H-----1■=1,

注意：

①性質(zhì)(2)可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù).

②隨機變量/所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關(guān)事件的概率.

七、離散型隨機變量的均值與方差

1、均值

若離散型隨機變量X的分布列為

X玉X2Xi居

PPlPlAPn

稱E(X)=xlPl+x2p2+---+x血+…+xnpn=1為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取

值的平均水平.

注意：(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”，這是隨機變量X的一個重要特征；

(2)根據(jù)均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值.但反過來，兩個不同的分布可以有相同

的均值.這表明分布描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機變量的均值.而均值只是刻畫了隨機變量

取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質(zhì).

2、均值的性質(zhì)

(1)E?=C(C為常數(shù)).

(2)若y=°X+b,其中a,b為常數(shù)，則V也是隨機變量，且E(aX+b)=aE(X)+6.

(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).

(4)如果毛，昭2相互獨立，則以入「占)=頤乂)/(口)?

3、方差

若離散型隨機變量X的分布列為

X玉X2XiXn

PPlPlPiPn

則稱。(X)=￡(±-E(X))2p1為隨機變量x的方差，并稱其算術(shù)平方根Jz)(X)為隨機變量X的標準差.

Z=1

注意：⑴(x,_￡(X))2描述了%0=1,2,…，")相對于均值E(X)的偏離程度，而￡>(X)是上述偏離程度的

加權(quán)平均，刻畫了隨機變量x與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量

取值偏離于均值的平均程度.方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小；

(2)標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方.

4、方差的性質(zhì)

(1)若￥=。萬+6,其中。乃為常數(shù)，則y也是隨機變量，且。(aX+6)=/o(x).

(2)方差公式的變形：O(X)=￡(X2)-[E(X)]2.

八、兩點分布

1、若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為

X01

P1-PP

其中0<0<1,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布.其中P(X=1)稱為成功概率.

注意：

(1)兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，且其概率之和為1;

(2)兩點分布又稱0-1分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛.

2、兩點分布的均值與方差：若隨機變量X服從參數(shù)為0的兩點分布，貝i]E(X)=lxp+0x(l-p)=0,

z)(x)=p(i3

九、"次獨立重復(fù)試驗

1、定義

一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為"次獨立重復(fù)試驗.

注意：獨立重復(fù)試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只

有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.

2,特點

(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的；

(2)每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質(zhì)是相互獨立事件的特例.

十、二項分布

1、定義

一般地，在〃次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件/發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件/發(fā)生的概率為°,不

發(fā)生的概率q=l-p,那么事件⑷恰好發(fā)生人次的概率是P(X=A)=C：plT(左=0,1,2,…，〃)

于是得到X的分布列

X01kn

ck4?n—k

Pc>VC〃PqC：P”q。

由于表中第二行恰好是二項式展開式

(q+p)"=C°poq"+C：piqi+…尸+---+C：p-q°各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機變量X服從

參數(shù)為〃，0的二項分布，記作X?2(",p),并稱p為成功概率.

注意：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即〃=1時的二項分布，所以二項分

布可以看成是兩點分布的一般形式.

2、二項分布的適用范圍及本質(zhì)

(1)適用范圍：

①各次試驗中的事件是相互獨立的；

②每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；

③隨機變量是這九次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù).

(2)本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

3、二項分布的期望、方差

若X?B(n,p),則E(X)="0,D(X)=np(l-p).

4^一、超幾何分布

1、定義

在含有"件次品的N件產(chǎn)品中，任取”件，其中恰有X件次品，則事件｛X=左｝發(fā)生的概率為

「n-k

P(X=k)=M:-M,k=0,],2,m，其中"z=min｛M,n],且M<Nt〃，M,

NeN*,稱分布列為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾

何分布.

X01m

z-?00Z-*1z-rn—1

P

QQ瑪

2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)

(1)適用范圍：

①考察對象分兩類；

②已知各類對象的個數(shù)；

③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)y的概率分布.

(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的.

十二、正態(tài)曲線

1

1、定義：我們把函數(shù)夕”(x)=7-exe(-oo,+oo)(其中〃是樣本均值，。是樣本標準差)的圖

>/2ncr

象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低.

2、正態(tài)曲線的性質(zhì)

⑴曲線位于X軸上方，與X軸不相交;

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線X=〃對稱;

曲線在x=〃處達到峰值(最大值)了二；

(3)

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當。一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖甲所示:

(6)當〃一定時，曲線的形狀由b確定.。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線

越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：

十三、正態(tài)分布

1、定義

隨機變量X落在區(qū)間(“，可的概率為P(a<X46)=J：%,(x)dx,即由正態(tài)曲線，過點(a,0)和點(6,0)的

兩條X軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是X落在區(qū)間(0,可的概率

的近似值.

一般地，如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足尸(a<X4b)=J：%b(x)dx,則稱隨機變量X服

從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)〃，b確定，因此正態(tài)分布常記作"(〃，4).如果隨機變量X服從正態(tài)

分布，則記為X~NQ/,4).

其中，參數(shù)〃是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；b是衡量隨機變量總

體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計.

2、3cr原則

若X~N(/i,o、,則對于任意的實數(shù)。>0,尸(〃-a<X4〃+a)=『夕必其幻心為下圖中陰影部分的面積,

對于固定的〃和。而言，該面積隨著。的減小而變大.這說明。越小，X落在區(qū)間(〃-a,〃+切的概率越大,

即X集中在〃周圍的概率越大

特別地，有P（〃一b<XV〃+b）=0.6826；P（〃一2b<XV〃+2（r）=0.9544；尸（〃一3。<XW〃+3。）

=0.9974.

由P(〃-3b<XW〃+3b)=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(〃-3cr,〃+3(r)之內(nèi).而在此區(qū)間以外

取值的概率只有0.0026,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件.在實際應(yīng)用

中，通常認為服從于正態(tài)分布N(〃，〃)的隨機變量x只取(〃-3b,〃+3b)之間的值，并簡稱之為3b原

則.

【概率常用結(jié)論】

一、古典概型

1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)〃與事件/中所包含的基本事件數(shù).

因此要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗是否具有等可能性；

(2)本試驗的基本事件有多少個；

(3)事件/是什么.

2、解題實現(xiàn)步驟：

(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件/；

(3)分別求出基本事件的個數(shù)〃與所求事件/中所包含的基本事件個數(shù)機；

工"中八小/包含的基本事件的個數(shù)上山擊巾加為

(4)利用公式尸(/)=——甘*一處%*將——求出事件N的概率.

基本事件的總數(shù)

3、解題方法技巧：

(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一隨機事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和.

②求試驗的基本事件數(shù)及事件/包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法.

二、隨機變量的分布列和數(shù)學期望

1、超幾何分布和二項分布的區(qū)別

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；

而二項分布是“有放回”抽取(獨立重復(fù))，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

2、在解決有關(guān)問題時，通常認為服從正態(tài)分布的隨機變量x只取(〃-3°,〃+3G之間的值.如果

服從正態(tài)分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現(xiàn)了意外情況.

3、求正態(tài)變量x在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：

（1）根據(jù)題目中給出的條件確定〃與b的值.

（2）將待求問題向（〃-b,〃+司，（〃-2cr,〃+2b］,（〃-3（7,〃+3cr］這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化；

（3）利用x在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果.

4、假設(shè)檢驗的思想

（1）統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測的

個體的數(shù)值，對事先所作的統(tǒng)計假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè).

（2）若隨機變量。服從正態(tài)分布N（〃,4）,則^落在區(qū)間（〃-3b,〃+3b］內(nèi)的概率為0.9974,亦即落在區(qū)

間（〃-3。，〃+3b］之外的概率為0.0026,此為小概率事件.如果此事件發(fā)生了，就說明J不服從正態(tài)分

布.

（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：

小概率事件是指發(fā)生的概率小于3%的事件.對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗大約33

次，才發(fā)生1次，所以認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的.不過應(yīng)注意兩點：一是這里的“幾乎

不可能發(fā)生”是針對‘一次試驗”來說的，如果試驗次數(shù)多了，該事件當然是很可能發(fā)生的；二是當我們運用，小

概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進行推斷時，也有3%犯錯的可能性.

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古?三模）三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參

加晚會的概率為（）

A.。B.-C.-D.

2738

2.（2024?河北保定?三模）某火鍋店在每周的周一、周三、周五、周日會安排員工跳舞蹈“科目三”，已知

某人在一周的七天中，隨機選擇兩天到該店吃火鍋，則該人能欣賞到舞蹈“科目三”的概率為（）

5643

A.—B.—C.—D.—

7777

3.（2024?湖南長沙?三模）已知隨機變量X服從正態(tài)分布且

尸（X<2-左）=P（X>2+左）=0.3,左>0,貝?。菔?<X42+后）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（2024?安徽?三模）已知正方體的棱長為1,若從該正方體的8個頂點中任取4個，則這4個點可以構(gòu)成

體積為g的四面體的概率為（）

5.（2024?山東日照?三模）從標有1,2,3,4,5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出

現(xiàn)重復(fù)編號卡片的概率是（）

,1213八2223

A.—B.—C.—D.-—

25252525

6.（2024?河南?三模）已知

P（//-cr<X<//+cr）=0.6827,<X<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3crWX<〃+3cr）=0.9973.某體育器材

廠生產(chǎn)一批籃球，單個籃球的質(zhì)量y（單位：克）服從正態(tài)分布N（600,4）,從這一批籃球中隨機抽檢300

個，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個數(shù)約為（）

A.286B.293C.252D.246

7.（2024?江西鷹潭?三模）拋擲一枚骰子兩次，將得到的點數(shù)分別記為6,貝心，46能構(gòu)成三角形的概率

是（）

7521

A.—B.—C.-D.—■

121233

8.（2024?四川內(nèi)江?三模）文明是一座城市最靚麗的底色，也是一座城市最暖的名片.自內(nèi)江市開展“讓文

明出行成為甜城靚麗風景”文明實踐日活動以來，全市廣大學子以實際行動提升城市文明形象，助力全國文

明城市創(chuàng)建工作.在活動中，甲、乙兩名同學利用周末時間到交通路口開展文明勸導(dǎo)志愿服務(wù)工作，他們

可以從四個路口中隨機選擇一個路口，設(shè)事件M為“甲和乙至少有一人選擇了A路口”，事件N為

“甲和乙選擇的路口不相同”，則尸（N|M）=（）

5675

A.-B.—C.-D.—

6789

9.（2024?貴州畢節(jié)?三模）某學生的。。密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數(shù)字

共九個符號組成.該生在登錄。。時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù),

則不超過兩次就輸對密碼的概率為（）

,1121

A.—B.-C.-D.-

10552

10.（2024?四川眉山?三模）四名同學參加社會實踐，他們中的每個人都可以從4瓦c三個項目中隨機選擇

一個參加，且每人的選擇相互獨立.這三個項目中恰有一個項目沒有被任何人選擇的概率為（）

1521八1420

A.—B.~~C.—D.—

16322727

11.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學，小朋友們隨機排成一列隊

伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要

通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為（）

11八11

A.-B.—C.—D.----

63672108

12.（2024?河南南陽?三模）甲袋中有3個紅球，3個白球和2個黑球；乙袋中有2個紅球，2個白球和4

個黑球.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以A,B,C表示事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、

“取出的是黑球“；再從乙袋中隨機取出一球，以。表示事件“取出的是白球“，則下列結(jié)論中不正確的是

（）

A.事件A,B,C是兩兩互斥的事件B.事件A與事件。為相互獨立事件

21Q

C.P[D\A）=-D.P（D）=五

13.（2024?四川涼山?三模）涼山地區(qū)學生中有50%的同學愛好羽毛球，60%的同學愛好乒乓球，70%的同

學愛好羽毛球或乒乓球.在涼山地區(qū)的學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好羽毛球，則該同學也愛好

乒乓球的概率為（）

A.0.4B.0.5C.0.8D.0.9

14.（2024?安徽馬鞍山?三模）甲、乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務(wù)，每個人從“檢錄組”“計分

組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的

概率為（）

二、多選題

15.（2024?浙江紹興?三模）已知隨機變量X~N（4,2）,若尸（X>6）=a,P（4<X<6）=b,則（）

A.a+6=gB.P（X<2）=a

C.E（2X+1）=4D.O（2X+1）=8

16.（2024?湖南長沙?三模）某校在運動會期間進行了一場“不服來戰(zhàn)”對抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組

成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進行對抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學連續(xù)投球3次，

乙組的同學每人各投球1次.若甲組同學和乙組3名同學的命中率依次分別為不不則（）

3256

13

A.乙組同學恰好命中2次的概率為'

B.甲組同學恰好命中2次的概率小于乙組同學恰好命中2次的概率

C.甲組同學命中次數(shù)的方差為:

D.乙組同學命中次數(shù)的數(shù)學期望為II

17.（2024?云南昆明?三模）在一個有限樣本空間中，事件48,C發(fā)生的概率滿足

P（/）=P（8）=尸（C）=g,尸（/U8）=；,/與C互斥，則下列說法正確的是（）

/1

A.尸（NC）=§B./與3相互獨“

1Q

C.P（ABC）=—D.P（^U5UC）＜|

18.（2024?山東青島?三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

產(chǎn)量（萬臺）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

銷量（萬臺）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

記“產(chǎn)銷率”=妥言xl00%,2015-2023年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為%,則（）

產(chǎn)量

A.m=18.7

B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)

2

C.從2015-2023年中隨機取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為§

D.從2015-2023年中隨機取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于加的條件下，這2年中新

能源電車的產(chǎn)銷率都大于70%的概率為，

0

19.（2024?福建三明?三模）假設(shè)甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋

中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是（）

A.從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為g

B.從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為《

C.從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為3孟7

D.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為］

20.（2024?河南?二模）現(xiàn)有編號分別為4。=1，2,3）的三個盒子，其中4盒中共20個小球，其中紅球6個,

4盒中共20個小球，其中紅球5個，4盒中共30個小球，其中紅球6個.現(xiàn)從所有球中隨機抽取一個，記

事件A：“該球為紅球”，事件g：“該球出自編號為41=1,2,3）的盒中”，則下列說法正確的是（）

A.尸（如陽=歷

B.尸（J

c「（瓦M喘

D.若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自4盒的概率最小

三、填空題

21.（2024?上海?三模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為1,2,4,5,6,x,則這

6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.

22.（2024?上海閔行?三模）3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概率為.

23.（2024?山東濟寧?三模）甲和乙兩個箱子中各裝有6個球，其中甲箱子中有4個紅球、2個白球，乙箱

子中有2個紅球、4個白球，現(xiàn)隨機選擇一個箱子，然后從該箱子中隨機取出一個球，則取出的球是白球的

概率為.

24.（2024?北京?三模）在統(tǒng)計調(diào)查中，對一些敏感性問題，要精心設(shè)計問卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮,

使他們能夠如實回答問題.否則，被調(diào)查者往往會拒絕回答，或不提供真實情況.某中學為了調(diào)查本校中

學生某不良習慣N的發(fā)生情況，對隨機抽出的200名中學生進行了調(diào)查.調(diào)查中設(shè)置了兩個問題：

問題1：你的陽歷生日日期是否偶數(shù)？問題2：你是否有/習慣？

調(diào)查者準備了一個不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個白球和5個紅球.每個被調(diào)查

者隨機從袋中摸出1個球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸

到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不

做.已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個小石子.據(jù)此估計此中學學生中有習慣/的人數(shù)的百分比

為.

25.（2024?天津濱海新?三模）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來

天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風景區(qū)、古文化街、意式風情街、海河觀光游船、盤山風

景區(qū)，這6個隨機選擇1個景點游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為.這兩位游客中至

少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點不相同的概率.

26.（2024?廣東廣州?三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選

擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個

箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以

便增加中獎概率.現(xiàn)在已知甲選擇了1號箱，用4表示i號箱有獎品（，=1,2,3,4）,用口表示主持人打開i

號箱子（”2,3,4）,則尸（聞4）=,若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為.

27.（2024?河北張家口?三模）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到10:10時，需要

3

一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束.已知