一元線性回歸模型的應用 高二下學期數(shù)學湘教版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.2一元線性回歸模型的應用

1.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.2.了解非線性回歸的概念，會將非線性相關關系轉(zhuǎn)化為線性相關關系.例1

一個車間為了估計加工某種新型零件所花費的時間，進行了10次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下：(1)y與x之間是否具有相關關系？(2)如果y與x之間具有相關關系，求回歸直線方程(結果保留三位小數(shù))；(3)據(jù)此估計加工110個零件所有的時間.零件個數(shù)x

102030405060708090100加工時間y

/min626875818995102108115122零件個數(shù)x

102030405060708090100加工時間y

/min626875818995102108115122零件個數(shù)x

102030405060708090100加工時間y

/min626875818995102108115122因此，估計加工110個零件所用的時間為128.44min.一元線性回歸模型解決實際問題的基本步驟：歸納總結(1)確定研究對象，明確自變量，因變量；(2)計算r的值，評估變量間的線性相關程度；(3)用最小二乘法估計回歸直線方程中的系數(shù)，建立方程；(4)根據(jù)一元線性回歸方程進行預測.思考：設某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據(jù)如下表.第x度y/cm0477111213作出這組數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示，點的分布有何特點？此時使用一次函數(shù)近似描述y與x的關系是否合適？該如何更好地描述y與x的關系？與函數(shù)

的圖像很相似則可用

來描述y與x的關系.令

，則上式可變?yōu)?/p>

y=bu+a，即y與u的關系可看成線性相關關系.如何求“最好”曲線對應的未知系數(shù)？令

，構造新的成對數(shù)據(jù)，如下表所示.x149162536491234567y0479111213算得

：通過列表計算得因此故y關于u的回歸直線方程為

，代入

，則這里的y與x的關系，因為不再是線性相關關系，所以稱為非線性相關關系，所得到的方程稱為非線性回歸方程(也簡稱為回歸方程).幼苗第64天的高度為多少？方法歸納非線性回歸模型分析主要步驟：常見非線性模型及其線性化的方法(1)指數(shù)函數(shù)y=αeβx(α>0)β>0β<0處理方法：兩邊取自然對數(shù)，得lny=lnα+βx，令y′=lny，x′=lnx，則y′=lnα+βx′(2)冪函數(shù)y=αxβ(α>0)β>0β<0(3)對數(shù)函數(shù)y=α+βlogax0<β<1β>1-1<β<0β<-1處理方法：兩邊取自然對數(shù)，得lny=lnα+βlnx，令y′=lny，x′=lnx，則y′=lnα+βx′.處理方法：令x′=logax，則y′=α+βx′.

B2.某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y與年次x的試驗數(shù)據(jù)如下表所示:由經(jīng)驗知,年次x與利潤總額y(單位:億元)近似有如下關系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù)，y關于x的回歸方程為

.x123456y11.3511