2025年小學(xué)數(shù)學(xué)《幾何》曲線(xiàn)型-弓形-0星題（含解析）全國(guó)版

幾何-曲線(xiàn)型幾何-弓形-0星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

弓形B1.認(rèn)識(shí)弓形圖少考

2.掌握弓形圖計(jì)算面積的方法

知識(shí)提要

弓形

概念

由弦及其所對(duì)的弧所組成的圖形叫做弓形。

?一般公式

弓形面積=扇形面積-三角形面積

精選例題

弓形

1.如下圖所示的半圓的直徑BC=8厘米，AB=AC,。是4C的中點(diǎn)，則陰影部分的面積

是.（n取3.14）

A

【答案】12.56

【分析】sAABD=^sAABC,所以陰影部分的面積為

11/8\2

4圓=4712=4tt=12.56（平方厘米）.

2.下圖中，是圓。的直徑，長(zhǎng)6厘米，正方形BCQE的一個(gè)頂點(diǎn)E在圓周上，乙ABE=

45°,那么圓。中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差等于平方

厘米（取ir=3.14）.

【答案】10.26

【分析】經(jīng)過(guò)分析可以得到：圓。中非陰影部分面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的

差，就是大圓的面積減去正方形的面積.正方形的面積可以用對(duì)角線(xiàn)x對(duì)角線(xiàn)+2得到.

2

3x3.14-6x6+2=10.26.

3.如右圖所示，這是由一個(gè)半徑為4的圓把四分之一的圓周翻折而得的圖形，此圖形的面積

為(取7T=3.14)

【答案】41.12

【分析】詳解：如圖1所示，陰影部分面積等于直角三角形4BC。的面積加上一個(gè)半圓即

12

4x84-2+2X47T=877-+16=41.12.

4.如圖所示，求各圖中陰部部分的面積.（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，IT取3.14）

47

【答案】2.28(:62；4.56cm2；13.965cm2.

【分析】(1)

S陰=2xx22-2x2+2)

=2TT-4

=2.28?n2);

(2)

S陰=2x(|nx22-^x42)

=4TT-8

2

=4.56(cm);

(3)

1212

S陰=rX7-2X7

=38.465-24.5

2

=13.965(cm).

5.請(qǐng)按照?qǐng)D中尺寸求出兩圖中陰影部分的面積分別為多少.(IT取3.14)

【答案】4.56；28.5

【分析】(1)4x^XTrx22-1x2x2)=4ir-8=4.56；

(2)

1/10\2[145

-XTTX---X10X10--XTTX102

L\Z/[z36U

=25n-50

=28.5.

6.已知三角形Z8C是直角三角形，AC=4厘米，BC=2厘米，求陰影部分的面積.（n取

3.14）

If

【答案】3.85平方厘米.

【分析】設(shè)兩個(gè)半圓的交點(diǎn)為0,接CD,

S陰影=5大半圓-544。。+$小半圓-543。。

=S大半圓+S小半圓-S△ABC,

所以，

1/4\21（2\21

S陰影=選＞0+天加-2X2X4

=2.5*4

=3.85（平方厘米）.

7.在下圖所示的正方形4BCD中，對(duì)角線(xiàn)4C長(zhǎng)2厘米，扇形4DC是以。為圓心，以為

半徑的圓的一部分.求陰影部分的面積.（兀=3.14）

【答案】1.14平方厘米.

【分析】如下圖所示:

加212

S1=彳xm-5加，

2

1(AC\1?1?1?

S2+S3=^7rxl—I--AD=-^XAC--AD.

因?yàn)?/p>

27

AC=2AD=4,

所以陰影部分的面積為：

n111

-XAD7--AD7+二x力一7-AD7

11

=-7TxAC2--AC2

=n-2

=1.14.

8.如圖，4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每個(gè)圓的

半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？

【答案】8

可以將每個(gè)圓內(nèi)的陰影部分拼成一個(gè)正方形，每個(gè)正方形的面積為:

(1x1-2)x4=0.5x4=2(平方厘米),

所以陰影部分的總面積為

2X4=8（平方厘米）.

9.大正方形的面積是400平方厘米，被平均分成4個(gè)相同的小正方形.請(qǐng)依次求出四個(gè)陰影

部分的面積？（it取3.14）

S,

S,

&

【答案】21.5平方厘米；28.5平方厘米；57平方厘米；28.5平方厘米.

【分析】大正方形的面積是400平方厘米，所以小正方形的面積是100平方厘米，邊長(zhǎng)是

10厘米.

陰影部分像鐮刀，面積為小正方形減扇形

212

S1=io--XTTX10=21.5（平方厘米）；

陰影部分即弓形，面積為扇形減等腰直角三角形

1212

S2=7XTTX10--X10=28.5（平方厘米）；

陰影部分像種子，面積為2倍的弓形

S3=2S2=2x28.5=57（平方厘米）;

陰影部分像魚(yú)的形狀，右上角像魚(yú)頭，左下角為魚(yú)尾，將魚(yú)頭一分為二分別補(bǔ)到魚(yú)尾處，陰影

部分就變成一個(gè)弓形，即

S4=S2=28.5（平方厘米）.

10.求圖中陰影部分的面積.

【答案】36

【分析】

如圖，連接BD,可知陰影部分的面積與三角形BCD的面積相等，即為

11

—X—x12x12=36.

11.在一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形內(nèi)，分別以它的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓，則圖中陰影

部分的面積是多少平方厘米？

【答案】2

【分析】采用割補(bǔ)法.如果將陰影半圓中的2個(gè)弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就

形成兩個(gè)相同的等腰直角三角形，所以陰影部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積和，即

正方形面積的一半，所以陰影部分的面積等于22x?=2平方厘米.

12.如圖，已知三角形GH/是邊長(zhǎng)為26厘米的正三角形，圓。的半徑為15厘米.

乙40B==NEOF=90°.求陰影部分的面積.

AGF

【答案】221.625平方厘米.

【分析】

總陰影面積=每塊陰影面積x3=（大弓形-小弓形）x3.

關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積，設(shè)/為弧G/的中點(diǎn)，則可知G?！ㄊ橇庑?，GQ/是正三角形,

所以，三角形G。。的面積

115

—xx26.

所以大弓形的面積：

1115

S=rnx157--X—X26=235.5-97.5=138.

以rn322

小弓形的面積：

1212

SFJE=^rrx15--X15=176.625-112.5=64.125.

所以，總陰影面積

（138-64.125）x3=221.625（平方厘米）.

13.圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，兀取3.14）

【答案】12平方厘米

【分析】陰影部分可以合成三個(gè)斜邊是4的等腰直角三角形，面積是3x4x4+4=12平

方厘米.

14.圖中陰影部分的面積是多少.（兀取3.14）

3

【答案】1.92

【分析】如右上圖，虛線(xiàn)將陰影部分分成兩部分，分別計(jì)算這兩部分的面積，再相加即可得

到陰影部分的面積.

,1/3\211199

所分成的弓形的面積為：產(chǎn)X（2）-37X.x2=16lr~8'

177I99

另一部分的面積為：砂X3-3*.=評(píng)-不

99992727

所以陰影部分面積為：le71-§+8Tr-4==1671--8-=1-92375?1.92.

15.如圖，兩個(gè)半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過(guò)豎放半圓的圓心，求圖中兩塊

陰影部分的面積之差.（n取3）

【答案】0.5

【分析】本題要求兩塊陰影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計(jì)算

它們的差，但是這樣較為繁瑣.由于是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與

面積較小的陰影相同的圖形，再求剩余圖形的面積.如下圖所示，可知弓形BC或C。均與弓

形4B相同，所以不妨割去弓形BC.剩下的圖形中，容易看出來(lái)4B與CO是平行的，所以

△BCD與△AC。的面積相等，所以剩余圖形的面積與扇形4C0的面積相等，而扇形AC。的

面積為7Tx乎x券=0.5,所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為0.5.

16.如下圖，兩個(gè)半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，弦約等于17厘米,

半徑為10厘米，求陰影部分的面積.

【答案】12尺平方厘米

【分析】陰影部分由兩個(gè)相等的弓形組成，所以只需要求出一個(gè)弓形的面積就可以了.

由已知條件，若分別連結(jié)/。1，AOVBO】,BOVON2,如圖所示，就可以得到兩個(gè)等邊三

角形（各邊長(zhǎng)均等于半徑），則乙4。2。1=48。2。1=60°,即乙4。28=120°.

這樣就可以求出以。2為圓心的扇形4。3。2的面積，然后再減去三角形』。28的面積，就得

到弓形的面積，三角形/。2鳥(niǎo)的面積可采用面積公式直接求出，其中底是弦48,高是01%的

一半.

所以，陰影部分面積=2X（S扇形

/120110\

=2x3.14xlO7X---X17X—

\360z2）

=209；85=12心平方厘米）.

22

17.如圖，四分之一大圓的半徑為7,求陰影部分的面積，其中圓周率兀取近似值斤.

【答案】14

【分析】原題圖中的左邊部分可以割補(bǔ)至如右上圖位置，這樣只用先求出四分之一大圓的面

積，再減去其內(nèi)的等腰直角三角形面積即為所求.因?yàn)樗姆种淮髨A的半徑為7,所以其面積

為：

11222

7x72x7T《彳x7x-=-=38.5.

1

四分之一大圓內(nèi)的等腰直角三角形4BC的面積為2X7X7=24.5,所以陰影部分的面積為

38.5-24.5=14.

18.求圖中陰影部分的面積（單位：czn）.

2

4

【答案】9cm2

【分析】從圖中可以看出，兩部分陰影的面積之和恰好是梯形的面積，所以陰影部分面積為

12

-x(2+4)x3=9\rmcm.

19.如下圖所示，48為圓。的直徑，點(diǎn)。在圓。上.在梯形中，線(xiàn)段與線(xiàn)段DC

都分別垂直于BC；AB=2CD,弧。MB是以點(diǎn)C為圓心的圓弧.請(qǐng)問(wèn)下圖中陰影部分的面積

22

與圓。的面積之比是多少？(取11=了)

13

【答案】石

22

【分析】不妨設(shè)兩圓的半徑為1,則圓。的面積為了，陰影部分的面積等于梯形/BCD的面

積減去弓形DMB的面積的2倍：

112221213

-x(l+2)xl-2x-x—xl4-2x-x1,

所以面積比為

132213

14：T=44'

20.如圖，等腰直角三角形的一腰的長(zhǎng)是8厘米，以它的兩腰為直徑分別畫(huà)了兩個(gè)半圓，那么

陰影部分的面積共有多少平方厘米？(兀取3.14)

【答案】18.24

【分析】如下圖，我們將原題中陰影部分分成①、②、③、④4個(gè)部分，并且這4個(gè)部

分的面積相等.

有②、③部分的面積和為二分之一圓的面積與其內(nèi)等腰直角三角形的面積差.

二分之一圓的面積為

1

-X4X4XTT~8X3.14=25.12.

其內(nèi)等腰直角的底為8,高為4,所以其面積為

1

-x8x4=16,

所以②、③部分的面積和為

25.12-16=9.12（平方厘米）.

而①、②、③、④四部分的面積和為②、③部