專(zhuān)題06 平方差公式 帶解析

2022-2023學(xué)年蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專(zhuān)題06平方差公式一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?磁縣期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的計(jì)算結(jié)果是（）A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332，故選：D．2．（2分）（2021秋?中山區(qū)期末）從前，一位農(nóng)場(chǎng)主把一塊邊長(zhǎng)為a米（a＞4）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對(duì)張老漢說(shuō)：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的另一邊減少4米，變成長(zhǎng)方形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺(jué)得張老漢的租地面積會(huì)（）A．沒(méi)有變化 B．變大了 C．變小了 D．無(wú)法確定解：原來(lái)租的土地面積：a2（平方米）．現(xiàn)在租的土地面積：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴張老漢的租地面積會(huì)減少．故選：C．3．（2分）（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后，將剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗(yàn)證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過(guò)割補(bǔ)拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．4．（2分）（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)月考）如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱(chēng)該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過(guò)200的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A．2700 B．2701 C．2601 D．2600解：∵512﹣492＝（51+49）（51﹣49）＝200，∴在不超過(guò)200的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為：（﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣492+512）＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣492+512＝512﹣12＝（51+1）（51﹣1）＝52×50＝2600，故選：D．5．（2分）（2021秋?新野縣期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，則A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故選：D．6．（2分）（2018秋?大同期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿圖1中的虛線剪開(kāi)后重新拼成一個(gè)梯形（如圖2），利用這兩幅圖形面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解：圖1陰影部分的面積等于a2﹣b2，圖2梯形的面積是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根據(jù)兩者陰影部分面積相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比較各選項(xiàng)，只有D符合題意故選：D．7．（2分）（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）若等式（3x+5）2（3x﹣5）2＝81x4﹣mx2+n2成立，則（）A．m＝﹣30，n＝5 B．m＝﹣30，n＝﹣5或5 C．m＝﹣450，n＝25或﹣25 D．m＝450，n＝25或﹣25解：由于（3x+5）2（3x﹣5）2＝81x4﹣mx2+n2，即[（3x+5）（3x﹣5）]2＝81x4﹣mx2+n2，也就是（9x2﹣25）2＝81x4﹣mx2+n2，所以81x4﹣450x2+625＝81x4﹣mx2+n2，即m＝450，n＝±25，故選：D．8．（2分）（2022春?文山州期末）如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為b，若用x，y表示四個(gè)長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)（x＞y），觀察圖案及以下關(guān)系式：①x﹣y＝b；②x+y＝a；③x2﹣y2＝ab；④；⑤；其中正確的關(guān)系式有（）A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤解：由圖形可知：x﹣y＝b，x+y＝a，因此①②正確；于是有：ab＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此③正確；＝＝＝x2+y2，因此④正確；＝＝＝2xy，因此⑤不正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③④，故選：A．9．（2分）（2022春?榆次區(qū)期中）如圖1，從邊長(zhǎng)為（a+5）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開(kāi)，按圖3方式拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形（無(wú)縫隙不重合）則該長(zhǎng)方形的面積為（）A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2解：根據(jù)題意，長(zhǎng)方形的面積為[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，故選：D．10．（2分）（2022春?合肥期末）如圖1，從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙片中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片后，將其沿實(shí)線裁成兩個(gè)相同的直角梯形，然后拼成一個(gè)等腰梯形（如圖2），則通過(guò)計(jì)算圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）解：∵圖形中陰影部分的面積可表示為a2﹣b2或＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?墾利區(qū)期末）若x2﹣y2＝6，x+y＝3，則x﹣y＝2．解：∵x2﹣y2＝6，∴（x+y）（x﹣y）＝6，∵x+y＝3，∴x﹣y＝2，故答案為2．12．（2分）（2022春?羅湖區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：20212﹣2020×2022＝1．解：20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1）＝20212﹣（20212﹣12）＝20212﹣20212+1＝1．13．（2分）（2020秋?叢臺(tái)區(qū)期末）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是20．解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為b，根據(jù)題意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；∵S陰＝S△ACD﹣S△CDE，∴S陰＝×CD×AB﹣×CD×BE＝（a+b）a﹣（a+b）b＝（a+b）（a﹣b）∵（a+b）（a﹣b）＝40，∴S陰＝×40＝20．故答案為：20．14．（2分）（2020秋?無(wú)棣縣期末）計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝．解：原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝××××××…××＝×＝，故答案為：．15．（2分）（2019秋?奈曼旗期末）如圖1，將邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），將剩下的陰影部分沿圖中的虛線剪開(kāi)，拼接后得到圖2，這種變化可以用含字母a，b的等式表示為a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：左圖中陰影部分的面積＝a2﹣b2，右圖中陰影部分的面積＝×（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．由圖中陰影部分的面積不變，得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．16．（2分）（2018春?溫州期中）如圖是一個(gè)由兩個(gè)相同的大正方形（甲），一個(gè)小正方形（乙）和兩個(gè)相同的直角三角形（丙）無(wú)縫拼接而成的六邊形，已知這個(gè)六邊形的面積為72，則圖中陰影部分面積為24．解：設(shè)大正方形（甲）的邊長(zhǎng)為x，一個(gè)小正方形（乙）的邊長(zhǎng)為y，∵這個(gè)六邊形的面積為72，∴2x2+y2+2×（x+y）（x﹣y）＝72，∴3x2＝72，∴x2＝24，∴兩個(gè)相同的大正方形（甲）的面積＝24×2＝48，∴圖中陰影部分面積為72﹣48＝24，故答案為：24．17．（2分）（2018春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：2008×2010﹣20092＝﹣1．解：原式＝（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092＝20092﹣1﹣20092＝﹣1，故答案為：﹣1．18．（2分）（2018春?柯橋區(qū)期中）我們?cè)谟?jì)算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）時(shí)，發(fā)現(xiàn)直接運(yùn)算很麻煩，如果在算式前乘以（2﹣1），即1，原算式的值不變，而且還使整個(gè)算式是能用乘法公式計(jì)算．即：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1．請(qǐng)用上述方法算出（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）（532+1）的值為．解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）（532+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）（532+1）＝×（564﹣1）＝．故答案為：．19．（2分）（2020?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，將邊長(zhǎng)為a的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形并沿圖中的虛線剪開(kāi)，拼接后得到圖2，這種變化可以用含字母a，b的等式表示為a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：圖1的面積a2﹣b2，圖2的面積（a+b）（a﹣b）由圖形得面積相等，得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．20．（2分）（2017?孝感）如圖所示，圖1是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，圖2是一個(gè)邊長(zhǎng)為（a﹣1）的正方形，記圖1，圖2中陰影部分的面積分別為S1，S2，則可化簡(jiǎn)為．解：＝＝＝，故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?宜黃縣月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，我們新定義這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24這三個(gè)數(shù)都是“神秘?cái)?shù)”．（1）48是“神秘?cái)?shù)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，并猜想“神秘?cái)?shù)”有何特征．（2）若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，試說(shuō)明其周長(zhǎng)一定為“神秘?cái)?shù)”．解：（1）∵48＝169﹣121＝132﹣112，∴48是“神秘?cái)?shù)”；∵8＝8×1，16＝8×2，24＝8×3，48＝8×6，∴“神秘?cái)?shù)”是8的整數(shù)倍；（2）設(shè)長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為（2x+1）和（2x﹣1），則周長(zhǎng)為2（2x+1）+2（2x﹣1）＝8x，∵x為正整數(shù)，∴8x是8的倍數(shù)，∴其周長(zhǎng)一定為“神秘?cái)?shù)”．22．（8分）（2021春?蘆淞區(qū)校級(jí)期末）某同學(xué)在計(jì)算2×（3+1）（32+1）時(shí)，把2寫(xiě)成（3﹣1）后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式，計(jì)算2（3+1）（32+1）＝（3﹣1）（3+1）（32+1）＝（32﹣1）（32+1）＝34﹣1＝80請(qǐng)借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（2）（1+）（1+）（1+）（1+）+．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1＝65536﹣1＝65535；（2）原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）（1+）+＝2（1﹣）（1+）+＝2（1﹣）+＝2．23．（6分）（2021春?東平縣期末）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖2所示是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示S1，S2；（2）請(qǐng)寫(xiě)出上述過(guò)程所揭示的乘法公式；（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．24．（8分）（2020秋?嵩縣期中）從邊長(zhǎng)為a的正方形中減掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）運(yùn)用你從（1）寫(xiě)出的等式，完成下列各題：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．解：（1）圖1陰影部分的面積為a2﹣b2，圖2陰影部分的面積為（a+b）（a﹣b），二者相等，從而能驗(yàn)證的等式為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴21＝（a+b）×3，∴a+b＝7；②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．25．（6分）（2020?海門(mén)市校級(jí)模擬）張老師在黑板上寫(xiě)了三個(gè)算式，希望同學(xué)們認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請(qǐng)你結(jié)合這些算式，解答下列問(wèn)題：請(qǐng)觀察以下算式：①32﹣12＝8×1②52﹣32＝8×2③72﹣52＝8×3（1）請(qǐng)你再寫(xiě)出另外兩個(gè)符合上述規(guī)律的算式；（2）驗(yàn)證規(guī)律：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其中n為正整數(shù)），則它們的平方差是8的倍數(shù)；（3）拓展延伸：“兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”，這個(gè)結(jié)論正確嗎？解：（1）92﹣72＝8×4，112﹣92＝8×5；（2）驗(yàn)證規(guī)律：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其中n為正整數(shù)），則它們的平方差是8的倍數(shù)；（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n故兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．（3）拓展延伸：“兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”，這個(gè)結(jié)論正確嗎？不正確．解法一：舉反例：42﹣22＝12，因?yàn)?2不是8的倍數(shù)，故這個(gè)結(jié)論不正確．解法二：設(shè)這兩個(gè)偶數(shù)為2n和2n+2，（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2﹣2n）（2n+2+2n）＝8n+4因?yàn)?n+4不是8的倍數(shù)，故這個(gè)結(jié)論不正確．26．（8分）（2021秋?康巴什期末）乘法公式的探究與應(yīng)用：（1）如圖甲，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，請(qǐng)你寫(xiě)出陰影部分面積是a2﹣b2（寫(xiě)成兩數(shù)平方差的形式）（2）小穎將陰影部分裁下來(lái)，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖乙，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a+b，寬是a﹣b，面積是（a+b）（a﹣b）（寫(xiě)成多項(xiàng)式乘法的形式）．（3）比較甲乙兩圖陰影部分的面積，可以得到公式（兩個(gè)）公式1：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2公式2：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（4）運(yùn)用你所得到的公式計(jì)算：10.3×9.7．解：（1）陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣小正方形的面積＝a2﹣b2；（2）長(zhǎng)方形的寬為a﹣b，長(zhǎng)為a+b，面積＝長(zhǎng)×寬＝（a+b）（a﹣b）；故答案為：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；公式2：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91．27．（9分）（2021秋?武隆區(qū)校級(jí)期末）從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是B；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A、