專項(xiàng)08 特殊四邊形的特殊解題技巧

專項(xiàng)08特殊四邊形的特殊解題技巧類型一巧添對角線將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題1.在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們思考如下問題：如圖1，把一個(gè)四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H依次連接起來，得到四邊形EFGH，這個(gè)四邊形是平行四邊形嗎?小敏在思考問題時(shí)，有如下思路：連接AC.(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2)，則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?證明你的結(jié)論.(2)如圖2，若連接AC，BD.①當(dāng)AC與BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形，并給出證明.

②當(dāng)AC與BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形.(填空即可，無需證明)

2.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、EH.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形.(2)再加上條件后，能使得四邊形EFGH是矩形.請從①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD是矩形這兩個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填空(寫序號)，重新畫圖并寫出證明過程.

類型二巧用旋轉(zhuǎn)得全等三角形求線段長度如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，且∠EDF=45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.(1)求證：△EDF≌△MDF.(2)若正方形ABCD的邊長為5，AE=2，求EF的長.類型三巧作垂線得全等三角形探究線段之間的關(guān)系4.將一把直角三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動(dòng)，一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B.(1)如圖所示，當(dāng)另一條直角邊與CD交于點(diǎn)Q時(shí)，線段PB與PQ之間有怎樣的大小關(guān)系?試說明你的理由.(2)若另一條直角邊與DC的延長線交于點(diǎn)Q，(1)中的結(jié)論還成立嗎?為什么?類型四巧借助特殊四邊形的對稱性解題5.如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AG、AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+ED的最小值是()A.2 B.5 C.3 D.2.4

專項(xiàng)08特殊四邊形的特殊解題技巧答案全解全析1.解析(1)四邊形EFGH是平行四邊形.證明：如圖，連接AC，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=12AC同理HG∥AC，HG=12AC∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)①當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形.證明：由(1)得HG=12AC，四邊形EFGH是平行四邊形同理可得，F(xiàn)G=12BD當(dāng)AC=BD時(shí)，F(xiàn)G=HG，∴四邊形EFGH為菱形.②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形.證明：由(1)得四邊形EFGH是平行四邊形，GH∥AC，又∵GF∥BD，AC⊥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四邊形EFGH為矩形.2.解析(1)證明：如圖1，連接BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，∴EH=12BD，EH∥BD，F(xiàn)G=12BD，F(xiàn)G∥∴EH=FG，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)加上條件①后，能使得四邊形EFGH是矩形.證明：如圖2，連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF為△ABC的中位線，∴EF∥AC，EF=12AC同理可得：HG∥AC，HG=12AC，EH∥BD∴EF∥HG，EF=HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°，∴四邊形EFGH是矩形.中點(diǎn)四邊形模型依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形.在平行四邊形的基礎(chǔ)上加上限制條件就可得到矩形、菱形或者正方形.中點(diǎn)四邊形的面積為原四邊形面積的一半.3.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠DCF=90°，AD=AB=BC，由旋轉(zhuǎn)得∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠DCF+∠DCM=180°，∴F、C、M三點(diǎn)在同一條直線上，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDM-∠EDF=45°，∴∠EDF=∠FDM，又∵DF=DF，∴△EDF≌△MDF(SAS).(2)設(shè)CF=x，則BF=BC-CF=5-x，由旋轉(zhuǎn)得AE=CM=2，由題意得BE=AB-AE=3，F(xiàn)M=CF+CM=2+x，∵△EDF≌△MDF，∴EF=FM=2+x，在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2，∴9+(5-x)2=(2+x)2，∴x=157∴EF=2+x=297，∴EF的長為294.解析(1)結(jié)論：BP=PQ.理由：如圖1，過點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，延長NP交CD于點(diǎn)M，在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°，易知∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，∴四邊形CBNM是矩形，△CMP是等腰直角三角形，∴PM=CM=BN，∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，∴∠MPQ=∠PBN，在△PMQ和△BNP中，∠MPQ=∠NBP,∴△PMQ≌△BNP(ASA)，∴BP=PQ.(2)成立.理由：如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，延長NP交CD于點(diǎn)M，在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°，易知∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，∴四邊形CBNM是矩形，△CMP是等腰直角三角形，∴PM=CM=BN，∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，∴∠MPQ=∠PBN，在△PMQ和△BNP中，∠MPQ=∠NBP,∴△PMQ≌△BNP(ASA)，∴BP=PQ.5.C如圖，連接EC、FC，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，