線性代數教案第一章

PAGEPAGE14線性代數教學教案第一章線性方程組與矩陣授課序號01教學基本指標教學課題第一章第一節(jié)矩陣的概念及運算課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點矩陣的定義、矩陣的線性運算、矩陣的乘法、矩陣的轉置教學難點矩陣的乘法、矩陣的轉置參考教材同濟版《線性代數》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解矩陣的概念； 熟悉零矩陣、單位矩陣、對角矩陣、上（下）三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣等特殊矩陣；熟練掌握矩陣的線性運算、矩陣乘法、矩陣的轉置及相關的運算性質。教學基本內容一、矩陣的定義：1.矩陣的定義：個數排成的行列的數表稱為一個矩陣，簡記為，有時為了強調矩陣的行數和列數，也記為.數位于矩陣的第行第列，稱為矩陣的元素，其中稱為元素的行標，稱為元素的列標.2.矩陣的表示：一般地，常用英文大寫字母或字母表示矩陣，例如，，，等等.3.特殊矩陣：(1)的矩陣，也記為.(2)行矩陣，也稱為維行向量：.(3)列矩陣，也稱為維列向量：.(4)階方陣.(5)下三角矩陣與上三角矩陣.(6)對角陣，或記為.(7)階單位矩陣..4.同型矩陣的定義：兩個矩陣的行數相等、列數也相等，則稱這兩個矩陣為同型矩陣.5.矩陣相等的定義：如果兩個同型矩陣和中所有對應位置的元素都相等，即，其中，則稱矩陣和相等，記為.6.負矩陣的定義：對于矩陣，稱矩陣為矩陣的負矩陣，記為.二、矩陣的線性運算：1.矩陣的加（減）法：設和是兩個同型矩陣，則矩陣與的和為，矩陣與的差為.2.矩陣加法滿足的運算規(guī)律：設是任意三個矩陣，則(1)交換律：；(2)結合律：；(3).3.矩陣的數乘：設矩陣的則.4.矩陣的數乘運算滿足的運算規(guī)律：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).三、矩陣乘法：1.矩陣乘法的定義：設矩陣是一個矩陣，矩陣是一個矩陣，定義矩陣與的乘積是一個矩陣，其中矩陣的第行第列元素是由矩陣的第行元素與矩陣的第列相應元素乘積之和，即2.矩陣乘法滿足的運算規(guī)律（假設運算都是可行的）：(1)結合律：；(2)矩陣乘法對矩陣加法的分配律：，；(3)；(4)；(5)；.3.方陣的方冪滿足的運算規(guī)律（這里均為非負整數）：；.四、矩陣的轉置：1.矩陣轉置的定義：設矩陣，轉置矩陣2.矩陣的轉置滿足的運算規(guī)律（這里為常數，與為同型矩陣）：(1)；(2)；(3)；(4).3.對稱矩陣：階方陣如果滿足，則稱為對稱矩陣.對稱矩陣的元素滿足.4.反對稱矩陣：階方陣如果滿足，則稱為反對稱矩陣.反對稱矩陣的元素滿足，且.五、主要例題：例1設，，求.例2設，為二階單位矩陣，二階矩陣滿足，求矩陣.例3求矩陣與的乘積.例4求矩陣與的乘積及.例5設有線性方程組矩陣稱為該線性方程組的系數矩陣.令，，有：.再根據矩陣相等的定義，該線性方程組可以用矩陣形式來表示：.例6設矩陣，求和.例7設矩陣，，求.例8設矩陣是矩陣，證明：和都是對稱矩陣.隨堂練習：判斷下列說法的正確性：1.已知、是階方陣，則.2.已知、是階對角陣，則必有.3.若方陣滿足，則必有或.4.已知、是階方陣，則.授課序號02教學基本指標教學課題第一章第二節(jié)分塊矩陣課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點分塊矩陣的運算教學難點分塊矩陣的乘法和轉置運算參考教材同濟版《線性代數》作業(yè)布置課后習題大綱要求了解分塊矩陣及其運算規(guī)律，熟悉矩陣的按行分塊和按列分塊。教學基本內容一、基本內容：1.分塊矩陣：對于行數和列數較高的矩陣，運算時常用一些橫線和豎線將矩陣分劃成若干個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.2.分塊矩陣的運算：(1)分塊矩陣加（減）運算：設、都是矩陣，對兩個矩陣的行和列采用相同的分塊方式，不妨設，，其中和的行數相同、列數相同，則有.(2)分塊矩陣的數乘運算：矩陣的分塊方式沒有特別規(guī)定，對任意的分塊，都有.所以在矩陣的數乘運算中，對矩陣的分塊可以根據矩陣本身的特點而定.(3)分塊矩陣的乘法：設為矩陣，為矩陣，要求矩陣的列分塊方式與矩陣的行分塊方式保持一致，而對矩陣的行分塊方式及矩陣的列分塊方式沒有任何要求和限制.不妨設，，其中的列數分別等于的行數，則，其中.(4)分塊矩陣的轉置：設，則(5)分塊對角陣設是階方陣，若的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，且這些非零子塊都是方陣，而其余子塊都是零矩陣，即，其中都是方陣，這樣的分塊陣稱為分塊對角陣.二、主要例題：例1求矩陣與的和.例2設，，求.例3設為第個分量為而其余元素全為的列向量，則階單位矩陣可以分塊為.將矩陣按列分塊為，其中為矩陣的第個列向量，則有，從而有,即為矩陣的第列.同理，是矩陣的第行.易知是的元素.例4設是矩陣，如果對任意的矩陣都有，證明.隨堂練習：設，用分塊的方法求矩陣的轉置矩陣.授課序號03教學基本指標教學課題第一章第三節(jié)線性方程組與矩陣的初等變換課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點矩陣的初等變換、線性方程組求解教學難點矩陣的初等變換參考教材同濟版《線性代數》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解矩陣初等變換的概念、矩陣等價的概念；熟練掌握用矩陣的初等行變換把矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的方法；理解線性方程組無解、有惟一解、有無窮多解的充分必要條件；熟練掌握用矩陣的初等行變換求解線性方程組的方法。教學基本內容一、基本概念：1.初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，用表示交換矩陣的第、兩行；(2)矩陣的某一行乘以非零數，用表示矩陣的第行元素乘以非零數；(3)將矩陣的某一行的倍數加到另一行，用表示將矩陣第行的倍加到第行.2.矩陣的初等列變換：將矩陣初等行變換定義中的“行”換成“列”（記號由“r”換成“c”），就得到了矩陣初等列變換的定義.3.矩陣的初等變換：矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.4.初等變換的逆變換：三種初等行（列）變換都是可逆的，初等行變換的逆變換分別為：變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換是；變換的逆變換是.5.行階梯形矩陣：形如的矩陣，稱為行階梯形矩陣，其特點是：可畫一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行，臺階數就是非零行的行數；每一非零行的第一個非零元素位于上一行第一個非零元的右側.6.行最簡形矩陣：形如的階梯形矩陣，稱為行最簡形矩陣，其特點是：它的非零行的第一個非零元素全為，并且這些非零元素所在的列的其余元素全為零.7.矩陣的等價：若矩陣經過有限次初等行（列）變換化為矩陣，則稱矩陣與矩陣行（列）等價；若矩陣經過有限次初等變換化為矩陣，則稱矩陣與矩陣等價.用表示矩陣與矩陣行等價，用表示矩陣與矩陣列等價，用表示矩陣與矩陣等價.8.用矩陣的初等行變換解線性方程組：(1)寫出元非齊次線性方程組的增廣矩陣；(2)對實施初等行變換，化為行最簡形矩陣；(3)寫出以為增廣矩陣的線性方程組；(4)以第一個非零元為系數的未知量作為固定未知量，留在等號的左邊，其余的未知量作為自由未知量，移到等號右邊，并令自由未知量為任意常數，從而求得線性方程組的解.二、相關結論：定理：(1)任意一個矩陣總可以經過若干次初等行變換化為行階梯形矩陣；(2)任意一個矩陣總可以經過若干次初等行變換化為行最簡形矩陣；(3)任意一個矩陣總可以經過若干次初等變換（行變換和列變換）化為它標準形，其中為行階梯形矩陣中非零行的行數.命題：(1)元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是第一個非零元不出現在的最后一列；(2)元非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是第一個非零元不出現在的最后一列，且第一個非零元的個數等于未知量的個數；(3)元非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是第一個非零元不出現在的最后一列，且第一個非零元的個數小于未知量的個數.三、主要例題：例1求解線性方程組例2判斷下列矩陣是否是階梯形矩陣：(1)(2)(3)(4)例3試用矩陣行的初等變換將矩陣先化為行階梯形矩陣，再進一步化為行最簡形矩陣.例4解方程組例5解方程組例6解線性方程組例7解方程組隨堂練習：設，求的行階梯形矩陣、行最簡形矩陣和標準形.授課序號04教學基本指標教學課題第一章第四節(jié)初等矩陣與矩陣的逆矩陣課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點初等矩陣、逆矩陣的性質和求法教學難點初等矩陣、逆矩陣的性質參考教材同濟版《線性代數》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解初等矩陣的概念和作用；理解矩陣可逆的概念、性質和充分必要條件；熟練掌握用矩陣的初等行變換判斷矩陣是否可逆以及求逆矩陣的方法。教學基本內容一、方陣的逆矩陣：1.逆矩陣的定義：設為階方陣，如果存在階方陣使得，其中為階單位矩陣，則稱矩陣是可逆的，矩陣稱為的逆矩陣；否則稱是不可逆的.2.逆矩陣的性質：(1)若可逆,則也可逆,并且；(2)若矩陣都可逆，則它們的乘積也可逆，并且；(3)若可逆,則也可逆,并且；(4)若可逆并且數,則也可逆,并且.二、初等矩陣：1.初等矩陣的定義：對階單位矩陣實施一次初等變換得到的矩陣稱為階初等矩陣.(1)交換單位陣的第行和第行，或交換的第列和第列，得到初等矩陣.即；(2)用非零的數乘單位陣的第行或第列，得到初等矩陣.即；(3)將單位陣的第行乘以加到第行（或將單位陣的第列乘以加到第列），得到初等矩陣.即.命題1：初等矩陣都是可逆的，并且初等矩陣的逆矩陣仍為同一類型的初等矩陣.即：，，.命題2：設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.三、初等矩陣與逆矩陣的應用：定理1：下面命題互相等價：(1)階方陣可逆；(2)方陣行等價于階單位矩陣；(3)方陣可表為一些初等方陣的乘積.判別矩陣是否可逆，并在可逆時求的一種方法：(1)首先構造分塊矩陣；(2)對矩陣實施初等行變換，將化為行最簡形矩陣；(3)如果不能行等價于，則矩陣不可逆；若能行等價于，則可逆，且就行等價于.解矩陣方程的方法:對于方程，構造分塊矩陣，并對實施初等行變換化為行最簡形矩陣.如果變?yōu)椋瑒t說明可逆，這時就變成