2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 奔馳定理與四心問(wèn)題（五大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：奔馳定理...............................................................3

題型二：重心定理...............................................................5

題型三：內(nèi)心定理...............................................................6

題型四：外心定理...............................................................6

題型五：垂心定理...............................................................7

03過(guò)關(guān)測(cè)試.....................................................................8

亡法牯自與.柒年

//\\

技巧一.四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理…解決面積比例問(wèn)題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知A4BC的頂點(diǎn)4X,%)，B(X2,%)，C(x3,y3),貝IJAABC的重心坐標(biāo)為

.\+x2+x3%+%+%)

3，3

注意：(1)在"BC中，若。為重心，則。4+O2+OC=0.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,則以以、AAOC、ABOC的面積之比等于

4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令4。4=。4，&OB=OB[,^oc=oq,即滿足OA+OB+oc=o

技巧三.三角形四心與推論：

(1)。是AABC的重心：SAB0C:SACOA:SAA0B-1:1:1OA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的內(nèi)心：SAB0C:SACOA:S.AOB=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=0.

(3)O是△ABC的外心：

S:SMCA：S4cA=sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

ZAARofUtCrZACCZALAXAOD

(4)。是的垂心：

SARnr:SMCA：SMCR=tanA:tan3:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見(jiàn)結(jié)論

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量區(qū)+當(dāng)所在的直線上.

網(wǎng)KI

\A^-PC+\BC\-PC+\C^-PB=Oo尸為ZWC的內(nèi)心.

（2）外心：|尸4卜=P為△ABC的外心.

（3）垂心：尸==o尸為△ABC的垂心.

（4）重心：FA+P3+PC=0oP為△ABC的重心.

題型一：奔馳定理

【典例1-1】已知。為“BC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OA+/OB+（；l-l）OC=0,若的面積與.Q4c的面積的比值

為了，則4的值為（）

4

341

A.—B.—C.-D.2

432

19

【典例1-21點(diǎn)。在的內(nèi)部，且滿足：AO=-AB+-AC,則的面積與的面積之比是

（）

75

A.—B.3C.—D.2

22

【變式1■。設(shè)M是1ABC內(nèi)一點(diǎn)，且A3-AC=2百,NR4C=30,定義/（M）=（以〃,）），其中桃〃,分

14

別是一M3C,.MCVM4B的面積，若〃則一+一的最小值是（）

A.9（73+1）B.18C.16D.9

【變式1-2］設(shè)AG=g（A3+AC）,過(guò)G作直線/分別交AB,AC（不與端點(diǎn)重合）于P,。，^AP=AAB，

uuutuuct2

AQ=〃AC,若A/XG與AQAG的面積之比為§,則〃=

5

ABD.

-I-t6

【變式1-3］（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是

ABC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AMC,AMB的面積分別為臬，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC=O.以下命題正確的有（）

A.若幻：品：S’=1:1:1,則M為/AMC的重心

B.若M為ABC的內(nèi)心，貝i」BC-K4+AC-M3+ARMC=0

C.若4c=45。，ZABC=60°,M為41BC的外心，則邑：邑：S°=g:2:l

D.若M為一ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0>則cos/AM3=-如

6

【變式1-4］（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車(chē)的logo很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是.ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,_AOC,

的面積分別為為SB，SC，則有SA?a4+SB03+Sc-OC=0.設(shè)0是銳角一ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ZBAC,

ZABC,—AC3分別是,ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

B.若OA+2O2+3OC=0，則%::S。、=1:2:3

UUUUU5719

C.若|。4|=|。8|=2,^AOB=—,20A+30B+40C=0，貝1sAc=彳

6's2

D.若。為一ABC的垂心，貝UtanNBAC-Q4+tan/ABC-02+tan/AC2-OC=0

題型二：重心定理

【典例2-1】已知。是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

（___.、

AC

OP=OA+A-~?——+|~?——，X?0,+s）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)一MC的.（選填：外心、內(nèi)

ABsinBACsinC

心、垂心、重心）

【典例2-2】（2024.高三.陜西渭南?期末）如圖所示，ABC中G為重心，尸。過(guò)G點(diǎn)，AP=mAB，

AQ=nAC,則'+'=

~mn

【變式2-1］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，AG=xAB+yAD,

則3x+y=

【變式2-2］（2024?高三.上海普陀?期中）在.ABC中，過(guò)重心G的直線交邊A3于點(diǎn)尸，交邊AC于點(diǎn)Q

（P、。為不同兩點(diǎn)），且那=4^AQ=JuAC,則％+〃的取值范圍為一.

【變式2-3】在ABC中，角ABC所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=l,A=60,設(shè)O,G分別是

ABC的外心和重心，貝UAO.AG的最大值是（）

【變式2-4］（2024?全國(guó)?二模）點(diǎn)。，尸是_ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP=Q4+QB+OC，則直

線OP經(jīng)過(guò),ABC的（）

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

題型三：內(nèi)心定理

【典例3-1】已知。為一A6C的內(nèi)心，cosZABC=^,且滿足B。=xBA+yBC,則x+y的最大值為.

【典例3-2】在AA8C中，cosZBAC=1,若。為內(nèi)心，且滿足A。=xAB+yAC,貝Ix+y的最大值為.

【變式3-1］已知點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為卡的等邊"BC的內(nèi)心，則（如+。4》（。4+。3）=_.

【變式3-2］（2024?高三?山東聊城?期中）已知。是ABC的內(nèi)心，AB=9,3c=14,CA=13,貝U

AOAB=.

【變式3-3】已知RtABC中，AB=3,AC=4,8c=5,/是_ABC的內(nèi)心，尸是/BC內(nèi)部（不含邊界）

的動(dòng)點(diǎn).若/=2蕊+〃42（丸，〃?R），則2+〃的取值范圍是—.

題型四：外心定理

【典例4-1】已知點(diǎn)O在JLBC所在平面內(nèi)，滿足|0A|="q=|0c］,則點(diǎn)O是鉆0的（

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【典例4-2】。為AfiC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（0A+08）.BA=（08+0C>CB=（0C+0A）-AC,則。是

ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【變式4-1］（2024.天津北辰.三模）在-ABC中，,目=2百，。為_(kāi)ABC外心，且AO.AC=1，貝I

/A5c的最大值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式4-2］在ABC中，AC=2幣,。是ABC的外心，/為BC的中點(diǎn)，ABAO=8>N是直線

UUIULILm

上異于M、0的任意一點(diǎn)，則AN-BC=（）

A.3B.6C.7D.9

?num?

【變式4-3】己知。為ABC的外心，陷=4,則AO.AB=()

A.8B.10C.12D.1

【變式4-4】在.ABC中，AB=y/2,ZACB=45°,。是ABC的外心，則AC2C+O。AB的最大值為

【變式4-5】已知ABC內(nèi)一■點(diǎn)。是其外心，sinA=^0<A<-,且AO=MAB+〃AC，則相+”的最

大值為?

【變式4-6】在.MC中，ZA=6O°,BCf,。為.MC的外心，D,E,尸分別為A5,BC,C4的

2223

中點(diǎn)，且OD+OE+OF=-,貝I|OA-O3+OROC+OC-OA=—.

4

題型五：垂心定理

【典例5-1】已知一ABC的垂心為點(diǎn)。，面積為15,且NA5C=45。，則8Z）.BC=—；若=

則陽(yáng)卜一

【典例5-2］若”是ABC的垂心，且2/￡4+2/ffi+38C=0，則tanC的值為—.

【變式5-1］在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,AB=4,AC=3,BC=2,反為_(kāi)48。的垂心.若

AH=xAB+yAC,則上=—.

X

12

【變式5-2］已知H為二ABC的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），^AH=-AB+-AC,則

sinZBAC=___.

【變式5-3】已知在..ABC中，AB=AC,3c=6,點(diǎn)H為ABC的垂心，則8”.BC=.

1.已知。是..ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，OA+Q8+3OC=0，貝的面積與ABC的面積之比是（）

Ar1AnDA

2.（2024?四川南充三模）已知點(diǎn)P在ABC所在平面內(nèi)，若尸4（--------------）=PB-（----------------）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

則點(diǎn)P是.至。的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

3.已知G,O,"在.ABC所在平面內(nèi)，滿足GA+GB+GC=0,\OA\=\OB\=\OC\,

AHBH=BHCH=CHAH，則點(diǎn)G,O,H依次為一MC的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心、內(nèi)心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

4.。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+2（A2+AC）,

2>0,則直線A尸一定通過(guò)」1BC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5.已知點(diǎn)A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)。為一ABC的外心，動(dòng)點(diǎn)尸滿足條件：

OP=1[(1-A)OA+(1-2)05+(1+2A)OC](2eR,幾#0),則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)二抽。的().

A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.邊的中點(diǎn)

6.（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)。是一的重心，過(guò)點(diǎn)。的直線與邊A仇AC分別交于兩點(diǎn)，。為

ULIIUUULlUUIU

邊3C的中點(diǎn).^AD=xAM+yAN(x,yeR)，貝ijx+y=()

A-IB-tC.2D-I

7.已知。，A,B,C是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，A,B,C不共線,若點(diǎn)P滿足。月=。4+〃&月+AC）,其

中;leR,則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)ABC的（）

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

8.已知ABC的重心為O,則向量月。=（）

2uuniuum

A.-AB+-ACB.——AB+-AC

3333

|*AC

C.--AB--ACD.

33

9.已知ABC的重心為O,若向量BO=xAB+yAC,則x+y=（）

2

A-Bc.D.

-3-1-3

10.已知在A5C中，”為JRC的垂心，。是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且04+03=。"，則以下正確的

是（）

A.點(diǎn)。為.45。的內(nèi)心B.點(diǎn)。為..ABC的外心

C.ZACB=9QD._ABC為等邊三角形

11.已知。是平面上一定點(diǎn)，A，B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸=0A+2（A5+AC）,

4e（0,+8）,則尸的軌跡一定通過(guò)」1BC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

12.在一ABC中，動(dòng)點(diǎn)尸滿足2ASCP，則尸點(diǎn)軌跡一定通過(guò)ABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

13.（多選題）（2024?高三?江西新余?期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中

一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)

容是：已知M是ABC內(nèi)一點(diǎn)，MMC,AMC,AMB的面積分別為梟，SB,Sc,且

SAMA+SBMB+SCMC^O.以下命題正確的有（）

A.若SJSB：SC=1：1：1,則/為一ABC的重心

B.若M為/ABC的內(nèi)心，貝i」BC-M4+AC-M8+AB-MC=0

C.若M為‘ABC的垂心，3M4+4MB+5MC=0，貝!Itan/BAC:tan/ASC:tan/BC4=3:4:5

D.若44c=45。，ZABC=60°,M為ASC的外心，則邑：邑：&■=有：2:1

14.（多選題）（2024?江蘇南京?二模）已知..ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,。為，ABC的

重心，cosA=-,AO=2,則（）

A.AO=|AB+1ACB.ABAC<3

C.ABC的面積的最大值為3#D.。的最小值為26

15.（多選題）（2024?遼寧?二模）ABC的重心為點(diǎn)G,點(diǎn)。，P是ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足

OP=OA+OB+OC，貝I（）

A.0,P,G三點(diǎn)共線B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.點(diǎn)P在，ABC的內(nèi)部

A

22.我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若。是一ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC、AOC,..AO3的面積分別為梟、SBySc,

則存在結(jié)論SA-Q4+S/O8+SC-OC=0,這位同學(xué)利用這個(gè)結(jié)論開(kāi)始研究：若。為ABC內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)

心，ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且COSB=3，若BO=xBA+yBC,則x+V的最大

值為.

23.已知點(diǎn)尸為.ABC內(nèi)一點(diǎn)，2PA+3PB+5PC=0，貝!1APB,APC,.BPC的面積之比為_(kāi).

24.已知點(diǎn)P在.ABC所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是—.

①若P為一ABC的垂心，ABAC=2.則APAB=2

②若為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則PA-（PB+PC）的最小值為一1

（\、

③若AP=卜:+：AB+-~p—+1AC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)_ASC的外心

【標(biāo)嬴2j^c|eosC2）

④若P為ABC的重心，過(guò)點(diǎn)尸的直線/分別與AB、AC交于E、尸兩點(diǎn)，^AE=AAB,AF=pAC,

則J+^=3

/t〃

25.點(diǎn)。是平面a上一定點(diǎn)，A,B,C是平面a上_筋。的三個(gè)頂點(diǎn)，NB,NC分別是邊AC,AB的對(duì)

角.有以下四個(gè)命題：

①動(dòng)點(diǎn)P滿足0P=0A+P3+PC，貝!1ABC的外心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中;

②動(dòng)點(diǎn)尸滿足。2=。4+2］網(wǎng)+何］（2>。），則A3C的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中;

uunuur

③動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=Q4+4（2>0）,則一至C的重心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中；

ARAC

④動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=OA+%?~i——+i~i——（A>0）,則，ABC的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.

|AB|cosB|AC|cosC

其中正確命題的個(gè)數(shù)為一.

26.點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A、8、C是平面上ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，/B、NC分別是邊AC、A3的對(duì)角,

以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫(xiě)上）.

①動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸=0A+P2+PC，則一ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；

ARAC

②動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=OA+〃而+而）（2>0）,貝/ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中；

AD

③動(dòng)點(diǎn)P滿足。尸=OA+”.0+/（I>。）,則ABC的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；

|AB|sin6IAC|sinC

AD4r

④動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸=OA+〃有3--+——-）a>0）,貝的垂心一定在滿足條件的尸點(diǎn)集合中；

⑤動(dòng)點(diǎn)尸滿足。尸="產(chǎn)J./。/口>0）,貝hMC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.

27.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）在—ABC中，點(diǎn)。、點(diǎn)X分別為，.ABC的外心和垂心，IAB|=5,|AC|=3,

則.

28.設(shè)//是—ABC的垂心，S.4HA+5HB+6HC=0^貝UcosNAHB=—.

4

29.在_46。中，AB^AC,tanC=-,“為二ABC的垂心，JLAH=mAB+nBC，貝!]m+〃=.

30.（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知-ABC的外心、垂心分別為0,H,AH=AOB+OC則2=—.

重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：奔馳定理...............................................................3

題型二：重心定理...............................................................5

題型三：內(nèi)心定理...............................................................6

題型四：外心定理...............................................................6

題型五：垂心定理...............................................................7

03過(guò)關(guān)測(cè)試.....................................................................8

亡法牯自與.柒年

//\\

技巧一.四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理…解決面積比例問(wèn)題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知A4BC的頂點(diǎn)A（玉，%），8（無(wú)2,%），Cd，%），貝UAABC的重心坐標(biāo)為

3，3

注意：（1）在"BC中，若。為重心，則。4+O2+OC=0.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA+SBOB+SCOC=Q,則以以、AAOC、ABOC的面積之比等于

4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令40B=0B[,^OC=OCt,即滿足OA+OB+OG=0

S/\AOB_]S^AOC_]

,^AAOB|AA^A^OC,44

技巧三.三角形四心與推論:

(1)。是AABC的重心：SABOC:SACOA:SAAOB=1:1:1<^OA+OB+OC=0.

(2)。是AABC的內(nèi)心：SAsor:S.COA:SAAOB=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=0.

(3)。是△ABC的外心：

SAsoc:SMOA:SAAOB=sin2A:sin2B:sin2Cosin2A0A+sin2B0B+sin2C0C=0.

（4）。是△ABC的垂心:

SARnr:SMCA：SMCR=tanA:tan3:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見(jiàn)結(jié)論

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量區(qū)+當(dāng)所在的直線上.

網(wǎng)KI

\A^-PC+\BC\-PC+\C^-PB=Oo尸為ZWC的內(nèi)心.

(2)外心：|尸4卜=P為△ABC的外心.

(3)垂心：尸==o尸為△ABC的垂心.

(4)重心：FA+P3+PC=0oP為△ABC的重心.

題型一：奔馳定理

【典例1-1】已知。為—ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足。4+/1。8+(2-1)<%?=0,若的面積與OAC的面積的比值

為:，則4的值為()

4

A.-B.-C.；D.2

432

【答案】B

【解析】由04+203+(/T)℃=0，^A(,OB+OC)=OC-OA=AC,

如圖，2E分別是8C,AB的中點(diǎn)，

貝!I22OD=AC,

所以。在線段。E上，且2〃2D=AC=2Z)E,

力斤

^A=—,設(shè)。。=1,則。石=4，所以箋二丸一1，

Lt、rSCAROE2-11-1廠

因?yàn)閊-=~DF=~T'SOAC=S.ADC=-S.ABC>SABD=~SABC

DABDUCjA22

c2_11A

所以s01c=5鉆“，貝個(gè)=：，解得2=?.

OACZ43

故選：B

1?

【典例1-21點(diǎn)。在.ABC的內(nèi)部，且滿足：AO=-AB+-AC則,ABC的面積與AO5的面積之比是

）

A-IB.3C-1D.2

【答案】C

r\

所以A（?T

OB-OA）+-（OC-OA）,即O8+2OA+20c=0,

取AC中點(diǎn)為點(diǎn)。，

ULIUUIUUUIU

則OA+OC=2OD，即4OD=-OB，

4

所以0在中線30上，且OB=gBD

過(guò)0,0,分別作邊AB上的高，垂足為Af,N,

OMOB4

貝nI」［——=—=:

DNBD5

所以S405二gSABD,SA3。=耳SABC,

2

所以SAOB=MSMC，

二匚［、l°ABC_

所以7-----不，

故選：c.

【變式1-1］設(shè)〃是-ABC內(nèi)一點(diǎn)，S.ABAC=2y/3,ZBAC=3Q,定義/（"）=（7%〃,。），其中分

別是一MBC,_MC4,JWAB的面積，若/（M）=（g,x,y14

則一+一的最小值是（）

xy

A.9（V3+1）B.18C.16D.9

【答案】B

【解析】設(shè),ABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為〃也c,

ZBAC=30，由A3?AC=Z?ccosN5AC=^/?c=20,得6c=4,

2

S.ABC=；bcsinNBAC=l,f(Af)=f—,x,,貝lJ；r>0,J>0,

SABC=SMBC+SMCA+SMAB=~+X+y=^9得%+>=/，

2乙

-+-=2（x+y）f-+-l=2fl+4+^+—1>2f5+2,把］=2（5+2x2）=18,

y）<xy）\\xy）

Y4x11

當(dāng)且僅當(dāng)上=一,即X==；時(shí)等號(hào)成立，

X>63

14

則一+一的最小值是18.

無(wú)y

故選：B

【變式1-2］設(shè)AG=g（A2+AC）,過(guò)G作直線/分別交A&AC（不與端點(diǎn)重合）于尸,。，若”=彳",

uucruuur2

AQ=〃AC,若AR4G與AQAG的面積之比為則〃=

1235

A.—B.—C.—D.一

3346

【答案】D

【解析】連接AG并延長(zhǎng)，則通過(guò)5c的中點(diǎn)M,過(guò)尸，。分別向AG所在直線作垂線，垂足分別為。，

E,

如圖所示

7

.G與△QAG的面積之比為;

PD_2

"QE~3

根據(jù)三角形相似可知黑=|,則PG=^PQ

35

AG=AP+PG=AP+^AQ-AP）

3232

即AG=^AP+-AQ=-XAB+-piAC

由平行四邊形法貝IJ得AG=gAM=g（AB+AC）

根據(jù)待定系數(shù)法有:9〃=i：,則〃=s=

536

故選。

【變式1-3］（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是

ABC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AMC,A7WB的面積分別為臬，SB,Sc,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC^O.以下命題正確的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,則M為一AMC的重心

B.若M為，ABC的內(nèi)心，貝i」8C-M4+AC-MB+AHMC=0

C.若4c=45。，ZABC=60°,/為「ABC的外心，則臬:S0=白:2:1

D.若M為.ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,則cos/AMB=-"

6

【答案】ABD

【解析】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)镾A：SB：SC=1：1：1,所以M4+MB+MC=0，

取3C的中點(diǎn)D,則+=所以2MD=-MA，

故A,",。三點(diǎn)共線，且|他4|=2慳。|,

同理，取中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)尸，可得B,M,尸三點(diǎn)共線，C,M,E三點(diǎn)共線,

所以M為_(kāi)ABC的重心，A正確；

對(duì)B選項(xiàng)，若M為.ABC的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為

則SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

所以工+=

222

即3c?MA+AC-Affi+AHMC=O，B正確；

對(duì)C選項(xiàng)，若44C=45。，ZABC=60°,〃為；ABC的外心，則NACB=75。，

設(shè)_ABC的外接圓半徑為R,故/3MC=2/B4C=90。，ZAMC=2ZABC=120°,

ZAMB=2ZACB=150°,

2222

故'=[4仃1190。=!&，SB=-Rsinl200=^7?,Sc=^7?sinl500=l/?,

22B2424

對(duì)D選項(xiàng)，若“為」IBC的垂心，3MA+4M5+5MC=0,

則與：品：品=3：4:5,

如圖，AD1BC,CE±AB,BF1AC,相交于點(diǎn)M,

又SABC=$A+‘8+’

S31

sA=~=~,即AM:MD=3:1,

)ABC1，斗

S4[

=—=即MF:3M=1:2,

3ABC1Z)

Sr5

------=TT,即ME:MC=5:7,

ABC1，

設(shè)MD=m，MF=n，ME=5t,則AM=3m,BM=2n,MC=7t，

rj777

因?yàn)镹CWnNCBT7,sinACAD=——,sinZCBF=——,

3m2n

所以畀合’即八爭(zhēng)，

旦(n-NBMD)=-f,D正確;

cosNBMD=*』=④貝hos/AMB=cos

2n2n6

故選：ABD.

【變式1-4]（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車(chē)的logo很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是.ABC內(nèi)的一點(diǎn)，,BOC,AOC,

的面積分別為%，品&,則有邑=0?設(shè)。是銳角ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ZBAC,

ZABC,—ACB分別是_至。的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若Q4+OB+OC=0，則。為.ABC的重心

B.若OA+2O2+3OC=0，則%:Sc=1：2：3

UUULIU5兀9

C.若|ft4|=|OB|=2,^AOB=—,20A+308+40C=0，貝1sAc=彳

6's2

D.若。為ABC的垂心，貝hanQ4+tan/ABC-02+tan/ACHOC=0

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A：如下圖所示,

假設(shè)。為AB的中點(diǎn)，連接。。，則0A+0月=20力=。0，故C,0,0共線，即。在中線CO上,

同理可得。在另外兩邊5cAe的中線上，故。為ABC的重心，即A正確;

對(duì)于B：由奔馳定理。是，A6C內(nèi)的一點(diǎn)，30<?,“&0。,以。8的面積分別為名,58,5C,

則有邑-。4+5葭。8+51。。=0可知，

若。4+2O2+3OC=0，可得SA：%:SC=1：2：3,即B正確；

ULIUUU5兀15兀

對(duì)于C：由|（MHOB|=2，=w可知Sc=]x2x2xsin7=1,

又20A+308+40C=0，所以%:S8:Sc=2:3:4,

由Sc=l可得梟=134=：3；

139

所以SABC=SA+SB+SC=]+Z+1=W，即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由四邊形內(nèi)角和可知，NBOC+NBAC=TI,

則OBOC=\OB\\OC\cosNBOC=-1OB110C|cosABAC,

同理03?OA=|081|OA|cosZBOA=-1OB|OA|cosZBCA,

因?yàn)?。?ABC的垂心，貝IJOB-AC=OR（OC-OA）=O2,OC-O2-OAA=0,

所以|OC|cosZBAC=\OA\cosZBCA,

同理得\OC\cosZABC=\OB|cosZBCA,\0A\cosZABC=\0B\cosZBAC,

則|OA。61:|OC\=cosZBAC:cosZABC:cosZBCA,

令10A|=mcosZBAC,|OB|=mcosZABC,|OC\=mcosZBCA,

由S.--|OB||OC|sinZBOC,

2

1加2

則梟=]|051|OC|sinZBAC=—cosZABCcosZBCAsinZBAC,

2

t,Jm

同理：SB=-\OA\\OC\sinZABC=—cosZBACcosZBCAsinZABC,

1rn^

Sc=~\OA||OB|sinZBCA=-^-cosZBACcosZABCsinZBCA,

..co。sinABACsinZABCsinZBCA小人

綜上t，S:S:S=-------------:--------------:-------------=tanABAC-tanZABC-tanZBCA

ABRr。cosZBACcosZABCcosZBCA

根據(jù)奔馳定理得tanZ8AC-OA+tan/ABC-OB+tan/ACB-OC=0，即D正確.

故選：ABD.

題型二：重心定理

【典例2-1】已知。是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足

AH4r

OP=OA+A|―i——+)—7i——，丸￡[0,+8),則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定過(guò)一ABC的.(選填：外心、內(nèi)

ABsinBACsinC

心、垂心、重心)

【答案】重心

【解析】過(guò)A作AH_L3C,垂足為H,取8c中點(diǎn)為。，連接AD,如下所示:

A

（\（.__\

rsn八/。ABAC,.ABAC

貝UOP—OA+21iHii，貝nUAP=4r~1T\，

IJA理sinB|AC|sinCjl叫sinB|AC|sinCj

AP=2［（邛\AH\+，\AH\］）=4（AB+AC>）=A\AH\A。，人又仙為引非，"負(fù)卜人實(shí)頭奴數(shù),，

故AP,AD共線，也即AP,。三點(diǎn)共線，又AD為三角形ABC中線，故尸的軌跡過(guò)三角形A3C的重心.

故答案為：重心.

【典例2-2］（2024?高三?陜西渭南?期末）如圖所示，中G為重心，尸。過(guò)G點(diǎn)，AP=mAB，

【答案】3

【解析】設(shè)A3=〃,AC=b

221111

木艮據(jù)題意，-AD=—(―A6+—AC)=+—Z?；

jj《jj

AP=mAB,AQ=nAC,P,G,。三點(diǎn)共線，則存在X,使得尸。=4PG,