2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中線段數(shù)量關(guān)系

二次函數(shù)中線段數(shù)量關(guān)系

方法突破練

1.如圖直線y=2x+3經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2,,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，

第1題圖

2.如圖，已知拋物線y=-Y+2久+3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)B,連接AB,點(diǎn)P為線段AB

上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ1%軸于點(diǎn)Q,交AB于點(diǎn)H,當(dāng).PH=2HQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第2題圖

3.如圖，已知拋物線y=-Y+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,連接B

C,點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段BC的垂線，垂足為點(diǎn)M.若.PM="。8,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

O

第3題圖

設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，拋物線y=-：/+：x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為

o4

直線1,作直線BC.

⑴設(shè)點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)CE=BE時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑵設(shè)點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn),且在點(diǎn)B左側(cè)，當(dāng)sin^FCB=^sin/FBC時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（設(shè)問源自2022南充中

考）

例題圖②

⑶若點(diǎn)Q是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線QQ，||y軸交直線BC于點(diǎn)（Q'交x軸于點(diǎn)Z,當(dāng)點(diǎn)Q/

為線段QZ的三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

1.創(chuàng)新題?閱讀理解題如圖，拋物線(：y=af+bx+c(a)O)與y軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為F,與直線1:y=%+2

交于A,B兩點(diǎn)，直線1與y軸交于點(diǎn)G,與拋物線C的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E.若記K(1,C)=EF-AB,,則稱K(1,C)是直

線1與拋物線C的“截積”.

(1)若a=1,,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,00=4,,求此時(shí)K的值；

⑵在⑴的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)F作直線1的平行線11,現(xiàn)將拋物線C進(jìn)行平移，使得平移后的拋物線C'的頂點(diǎn).F'落

在直線1,±,拋物線C'的對(duì)稱軸與直線1交于點(diǎn).E',試探究K?L)是否為定值?若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)

說明理由；

(3)設(shè)拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-/i)2+k若KQ，C)=8五,AB=4vx且點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方，求a的

值.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

2.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)與x軸交于A(-1,O),B(3,O)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,H(OB=OC.點(diǎn)P為拋

物線y=ax2+bx+c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD1x軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)E.

⑴求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)DE=赳。時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)第一象限拋物線上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線BC的距離是點(diǎn)D到直線BC的距離的5倍?若存在,求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

備用圖②

線段數(shù)量關(guān)系

一階方法突破練

1.解:如解圖，過點(diǎn)A作ADllx軸，過點(diǎn)B作BD±AD于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE±AD于點(diǎn)E,則CEllBD,

.1.△ACE-,AABD,

.再一些一工\/B

"ADAB3'y\

?.?點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,ch\

..AD=3,AE=LAMi~?

，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2+l=-l.第:匕

由CElly軸可得，點(diǎn)C與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同.

當(dāng)x=-l時(shí),y=2x+3=l.

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

2.解：；拋物線的解析式為y=-久2+2x+3與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)B,

.-.A(0,3),B(3,0),

，直線AB的解析式為:y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(如一機(jī)2+2m+3)(0<m<3),則H(m,-m+3),Q(m,0)(設(shè)點(diǎn)坐標(biāo))，

PH=—m2+2m+3—(―m+3)=-m2+3m,HQ=-m+3(表示線段長(zhǎng)),

PH=2HQ,

???~m^+3m=2(-m+3)(根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程求解)，

解得m=2或m=3(舍去)，

.,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).

3.解:如解圖，過點(diǎn)P作PElly軸交BC于點(diǎn)E(作y軸的平行線構(gòu)造相似三角形)，

令-刀2+2x+3=0,解得X=-l或X=3,y

一.點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，

；.A(-L0),B(3,0),令x=0狷y=3,；.C(0,3),

，OB=OC=3,BC=3V2,/0[^\x

..PE||y軸，第3題解圖

.-.zPEM=zOCB,

X-.zPMB=zCOB=90°,

.".APME-ABOC,.-.PM=BE,

PE=x3V2=1(求出轉(zhuǎn)化后的線段長(zhǎng))，

o

?.C(0,3),B(3,0),

，直線BC的解析式為y=-x+3,設(shè)點(diǎn)P(m>-m2+2m+3)(0<m<3),,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-m+3)(設(shè)點(diǎn)坐

標(biāo))，

PE=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+37n(表示線段長(zhǎng))，

.?.-》+3m=1(根據(jù)已知線段長(zhǎng)列方程求解),解得m=等或m=竽,

,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為誓$萼.

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：(1)令—|/+卜+3=0,解得x=-2或x=4,

?.?點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，

.■,A(-2,0),B(4,0),

.?拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,令x=0得y=3,，C(0,3),如解圖，作線段BC的垂直平分線EG交直線I于點(diǎn)E,交

BC于點(diǎn)G,連接BE,CE,此時(shí)CE=BE,

.B(4,0),C(0,3),怦C，

6(2,|),直線8(：的解析式為)7=-3乂+3,

,.設(shè)直線EG的解析式為y=(久+仇將G點(diǎn)坐標(biāo)代入得[x2+b=|,解得b=

,.直線EG的解析式為y=—,/\\\

.?點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，例題解圖①

二點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1,

.,.將x=l代入y=-(得y=：,

???MW)；

(2)如解圖②，過點(diǎn)F作FD±BC于點(diǎn)D,

vsin^FCB=-sin^FBC,

5CF5BF

CF55

：.-=-CF=-BF

BF8f8f

,?,點(diǎn)F是x軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)B左側(cè)，

二設(shè)F（t,O）,

???CF=Vt2+32,BF=4—t,

V32+t2=|（4—t）,

解得t=-4或t=-葛

旺式-4,0）或F2（W，。）；例題解圖②

⑶由（1）知，直線BC的解析式為y=-江+3,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（（中一次+支+3）,其中（0<q<4,則點(diǎn)Q'的坐

標(biāo)為（q，—|q+3）,點(diǎn)Z的坐標(biāo)為（q,0）,二QZ——^q2+^q+3,QZ——^q+3,

1.點(diǎn)Q'為線段QZ的三等分點(diǎn)，

，需要分兩種情況討論：

①當(dāng)QZ=《QZ時(shí)，即一初+3=X-療+"+3),解得qi=q2=4(舍去);

②當(dāng)QZ=|QZ時(shí)，即一為+3=|(—片+,+3),解得q3=4(舍去),q&=L

當(dāng)q=l時(shí),y=_：xI?+|x1+3

.?點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，羨).

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q'為線段QZ的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，羨).

三階綜合強(qiáng)化練

1.解：(1)1?直線I的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2①,a=L0D=4,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l,

c=-4,-=-]"?b=2,

2a

，拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=*+2%-4②，

,拋物線的頂點(diǎn)F(-l,-5),聯(lián)立①②，解得Z二；寸Zj,

.-.A(-3,-l),B(2,4),

..將x=-l代入y=x+2得y=l,/.E(-l,l),

；.EF=6,

.-.K（l，C）=EF-AB=6j[2-（-3）]2+[4-=30V2；

（2）K（I：C）是定值，其值為6V2.

理由如下:由⑴知,F(-l,-5),

???IIIr〃?直線r的解析式為y=x-4③，

???設(shè)平移后的拋物線C'的頂點(diǎn)坐標(biāo)為F(m,m-4),

:平移后的拋物線C的解析式為y=(x-my+m—4④,E'(m,m+2)/EF=6,

聯(lián)立③④，得((％-Hl)2+TH-4=%-4,

?,?%2+m2—2xm+m—x=0,

???(%—m)2—(%—m)=0,

：x二m或x=m+l,

..A(m,m+2),B(m+l,m+3),

???AB=yj\m—l)]2+[(m+2)—(m+3)]2=y[2,

.??=E'F'-AB=642,

即K(I,C)是定值，其值為(6V2；

(3)v拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y=a1一)2+k⑤,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)F(h,k),

.?.E(h,h+2),.".EF=h+2-k,

??1K(l'C)=8V2,EF==露=2,

「.2二h+2-k,「.h=k,

2

,「直線I的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2①，聯(lián)立①⑤，整理得ax-(2aA+1)%+成之+々-2=0,設(shè)A(xlly1)/B(x2zy

2)/

2

2a/+lcch+/c—2

??十%2-a，%1%2-a>

22

???AB=(也_%2)+[yi-32

=g-%2)2+(均+2__2)2

=2《工-物)2

=2g+%2)2—4亞孫]

(2a"lj4m+1-2)

a2a

8a(%-Zc+2)+2

―a2

16u+2

=T,

???AB=4V2,

■■■=(4V2)2=32,???16a2-8a-1=0,

解得。=等或。=廠(舍去).

44

.-.a的值為竽.

2.解：Q).拋物線y=。運(yùn)+bx+?(a豐0)分別與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),C,HOB=OC,

..C(0,-3),

二拋物線的解析式為y=ax2+bx-3,

，將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,

得（a-b-3=0解得（a=l

1守（9a+36-3=0'蝌守lb=-2,

，該拋物線的解析式為y=*2—2尤—3；

(2)【思路點(diǎn)撥】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)E,點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P與A,B間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，由

DE=［PD列方程求解即可.

■.B(3,0),C(0,-3),

直線BC的解析式為y=x-3,

設(shè)點(diǎn)2t-3),則.E(t,t-3),D(t,0),

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A,B之間的拋物線上時(shí)

貝［IDE=0—(t—3)=3—t,PD=0——2t—3)——t^+2t+3,

DE——PDf3—t=—(—I?+2t+3),

解得t=2或t=3(舍去)，

.?.P(2,-3)；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)