2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 線(xiàn)性代數(shù)背景下新定義（四大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破02線(xiàn)性代數(shù)背景下新定義

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：行列式背景.............................................................2

題型二：矩陣背景...............................................................4

題型三：向量組背景.............................................................7

題型四：特征向量背景...........................................................9

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

線(xiàn)性代數(shù)中處理新定義問(wèn)題時(shí)，首要任務(wù)是準(zhǔn)確理解新定義的本質(zhì)。方法技巧上，可以采取以下步驟:

一、深入剖析新定義，明確其內(nèi)涵與外延，把握關(guān)鍵要素。

二、嘗試將新定義與已知概念、定理或性質(zhì)建立聯(lián)系，利用已有知識(shí)體系進(jìn)行推理。

三、在解題過(guò)程中，靈活運(yùn)用矩陣運(yùn)算、線(xiàn)性變換、特征值與特征向量等工具，以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或幾

何方法。

四、注重驗(yàn)證結(jié)果的正確性，確保解題步驟和答案無(wú)誤。

總結(jié)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)新定義在解題中的關(guān)鍵作用，回顧解題過(guò)程中用到的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)和技巧。同時(shí)，總結(jié)

新定義問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型和解題思路，以便在遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能迅速找到解決方法。通過(guò)不斷練習(xí)和總結(jié)，

可以逐漸提高解決線(xiàn)性代數(shù)新定義問(wèn)題的能力，加深對(duì)線(xiàn)性代數(shù)學(xué)科的理解和掌握。

題型一：行列式背景

【典例1-1】（2024?河北保定.三模）對(duì)于任意給定的四個(gè)實(shí)數(shù)為,陽(yáng)，%i，我們定義方陣

A=,方陣A對(duì)應(yīng)的行列式記為det（A）,且det（A）=4%2-，方陣A與任意方陣

8=僅的乘法運(yùn)算定義如下：Ax8=C,其中方陣C=g:],且％“=￡。/"（九心｛1,2｝）.設(shè)

cosa-sinacos夕sin尸10

M=，N=,E=

sinacosa一sin4cos/701

(1)證明:det(MxN)=det(E).

（2）若方陣A,5滿(mǎn)足Ax6=石，且det（A）,det（B）￡Z,證明：|det（A）+det（B）|=det（M）+det（A^）.

【典例1-2】（2024.江蘇南通.模擬預(yù)測(cè)）解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能.設(shè)有滿(mǎn)足條件

anx{+anx2=l\

“11"22*的—^兀一^次方程組

〃2i玉+22%2二%?

（1）用消元法解此方程組，直接寫(xiě)出該方程組的兩個(gè)解;

⑵通過(guò)求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)解的分母是由方程組中石，%的系數(shù)61、%2、〃12、%所唯一確定的一個(gè)數(shù)，按

照它們?cè)诜匠探M中的位置，把它們排成一個(gè)數(shù)表:由此可以看出如出2是這個(gè)數(shù)表中左上到

右下對(duì)角線(xiàn)上兩個(gè)數(shù)的乘積減去右上到左下對(duì)角線(xiàn)上兩個(gè)數(shù)的乘積的差，稱(chēng)勺。22-為該數(shù)表的二階

"CL一.x.的22=h1有唯一一組解同樣的，行列式

行列式，記為.當(dāng)9時(shí)，二元一次方程組

。2西+22%2=b?

abab

mn稱(chēng)為三階行列式，且mn=amz+bnx+cly—cmx-biz—any.

%VzXyz

勺%+42芯2="

（i）用二階行列式表示方程組的兩個(gè)解;

“21萬(wàn)+〃22“2=b?

〃11石+anx2+ai3x3=4

（ii）對(duì)于三元一次方程組的凸+“22%+%七=62,類(lèi)比二階行列式，用三階行列式推導(dǎo)使得該三元一次

〃31'1+^32,^2+。33"^3—"3

方程組有唯一一組解的條件（結(jié)論不得使用行列式表達(dá)），并用三階行列式表示該方程組的解.

sinx—m

⑶若存在xe［0,兀］,使得>sin2尤+2,求加的取值范圍.

cosxm

【變式1-1］（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）行列式是代數(shù)學(xué)中線(xiàn)性代數(shù)的重要分支，是一個(gè)方陣所對(duì)應(yīng)的一

個(gè)標(biāo)量值.行列式具有簡(jiǎn)潔、對(duì)稱(chēng)、優(yōu)美的特點(diǎn)，可以用來(lái)求直線(xiàn)方程，求三角形的面積，解線(xiàn)性方程組等.

利用行列式進(jìn)行求解，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：

42—17人，一\、,022”23”21”23,”21”22

xax

=ana22—al2a2i；二階仃列式定義為：4243-~n+/x,

12一一/、

例如：35"lx"2x3=-1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知VA5C的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（%，x）,

石M1

1

5（工2，為），°（犬3，%），則VA5c的面積公式可表示為：S.ABC—x“%1

2

七%1

⑴已知0（0,0）,M（—3,—2）,N（l,-6）,求△胸的面積.

⑵已知點(diǎn)A（-2,0）,3（0,2）,若點(diǎn)C是圓/-21+;/=0上的動(dòng)點(diǎn)，求VABC面積的最小值.

22

（3）已知橢圓\+:=1（。>6>0）,它的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜26,0）,右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

（2,1）,過(guò)原點(diǎn)。的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)瓦/，求ADEF面積的最大值.

題型二：矩陣背景

【典例2-1】（2024?廣東.一模）數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)又稱(chēng)矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)

象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量a=（x,y）,其模定義為|洲=舊+葉.類(lèi)似地,對(duì)于〃行，列的矩陣

/、

ai2"13…a\n

1（HH、2

2

A,?=2223"，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂?=VVa^（其中%?為矩陣中第，行第?;列的數(shù),

“31。32“33…&3n:''

\[=1J=i

\****）

2為求和符號(hào)），記作我們稱(chēng)這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣

[3其矩陣模4=住為”=亞中方^=3折弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)

I2122?k）1f旦，

習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.

勺00…0、

0V20...0

(1)V〃EN*,n>3,矩陣紇〃二00G...0,求使％>36的”的最小值

(000…亞

(2)Vn€N*，n>3,,矩陣。即二

’1cos8cos。cos3?cos。cos6'

0-sin。-sinScos。一sin8cos6?-sin8cos6-sin8cos8

00sin20sin28cos8-sin2OcosOsin2OcosO

..求G

0000?-(-I)"-2sin"-26(-I)"-2sin-2夕cos6

、00000(-1嚴(yán)sin”—6,

n

(3)矩陣。證明：￡N*，n>3,D>

F3n+9

【典例2?2】行列式是線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象，本質(zhì)上，行列式描述的是〃維空間中，一個(gè)線(xiàn)性變

換所形成的平行多面體的體積，它被廣泛應(yīng)用于解線(xiàn)性方程組，矩陣運(yùn)算，計(jì)算微積分等.在數(shù)學(xué)中，我

-11「441「—2311[abl

們把形如,，cr，ocO這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱(chēng)作矩陣.我們將二階矩陣/

3J|_27J|_35-3J[_ca_

??ab

兩邊的"r'改為"|I"，得到二階行列式°d，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值(或多項(xiàng)式)，記為

ab

=ad-bc.

cd

35

(1)求二階行列式的值；

-2—1

1-A/3

(2)求不等式的解集；

cosxsmx

sinx—nt

⑶若存在xe[0,可，使得>sin2x+2,求機(jī)的取值范圍.

cosxm

x!=ax+by_

【變式2-1](2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式y(tǒng)，=cx+dy①（其中°,如

c,d為常數(shù))，將點(diǎn)尸(x,y)變換為點(diǎn)P'(Ky')的坐標(biāo)，我們稱(chēng)該變換為線(xiàn)性變換，也稱(chēng)①為坐標(biāo)變換公式,

(ab\(ab\

該變換公式①可由。，b,c,d組成的正方形數(shù)表』唯一確定，我們將』稱(chēng)為二階矩陣，矩陣

ycajyca)

通常用大寫(xiě)英文字母A,B,…表示.

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0V中，將點(diǎn)P（x,y）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到點(diǎn)P'（Ky'）（到原點(diǎn)距離

不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣A;

TT

⑵在平面直角坐標(biāo)系g中，求雙曲線(xiàn)孫=1繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)彳（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線(xiàn)

方程C；

（3）已知由（2）得到的雙曲線(xiàn)C,上頂點(diǎn)為直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的兩支分別交于A,8兩點(diǎn)（8在第一象

限），與無(wú)軸交于點(diǎn)T,0.設(shè)直線(xiàn)ZM,D3的傾斜角分別為B,求證:a+4為定值.

…ain

【變式2?2】有》（九力4）個(gè)正數(shù)，排成""矩陣（〃行〃列的數(shù)表）：????，旬表示位于第

%…ann,

，行，第/列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知

_1_3

%4-1，〃42=7?

816

⑴求公比.

（2）用左表示〃A4.

（3）求知+%+…+%”的值.

【變式2-3］（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，由機(jī)個(gè)數(shù)為1=1,2,…，噂）=1,2,…⑼排列成的相行

a\\anain

ai\a\2ain

"列的數(shù)表稱(chēng)為〃zxw矩陣，其中均稱(chēng)為矩陣A的第，行第j列的元素.矩陣乘法是指對(duì)于兩

am\am2amn

Iy

個(gè)矩陣A和8,如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和8相乘，具體來(lái)說(shuō)：若

/C

屋11??1J

工“12…“J

%…btj.??九、

^21??匕

A=%ai2.??ain,B=,則C=A5=%…Cij,,Cin,其中

4…bnj'

am2…Cmj,?^mn,

0=4也+%%+…+a,"%i=l，2,…，九）=1,2,…,”.已知:[7=1''函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若玉,々(玉<毛)是〃尤)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：Vx0e(^,x2),/(^0)+/(%,)+6^+^11116<0.

題型三：向量組背景

【典例3-1】(2024.貴州黔東南.二模)一般地，“個(gè)有序?qū)崝?shù)卬，生，L,組成的數(shù)組，稱(chēng)為〃維向量,

記為日=?類(lèi)似二維向量，對(duì)于w維向量，也可以定義向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、

數(shù)量積運(yùn)算、向量的長(zhǎng)度(模)、兩點(diǎn)間的距離等，如萬(wàn)=(%,%,3,%),則同=Ja；+a"..+a：；若存在

不全為零的r個(gè)實(shí)數(shù)h,k],L,(使得勺7+左2%+…+d=6，則向量組q，Z，L,7是線(xiàn)性相關(guān)

的向量組，否則，說(shuō)向量組或，Z，L,，是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.

⑴判斷向量組Z=。，3,1)，Z=(-1,L3),Z=(-5,-7,3)是否線(xiàn)性相關(guān)?

⑵若1%,出,…,。,)，《=ln(l+J,k=l,2,3,---,n,當(dāng)“22且〃?N*時(shí)，證明：〈問(wèn)

【典例3-2】對(duì)于一組向量4，出，/，1(?eN+,JLn>3),令s.=q+g+%+L+為，如果存在

%(〃7e{l,2,3,L,〃}),使得14以士-4|,那么稱(chēng)％是該向量組的“H向量”.

⑴設(shè)=(x+",〃)(〃eN+),若%是向量組用,務(wù),4的“"向量”，求實(shí)數(shù)尤的取值范圍；

rrj7rriTT111i

⑵若見(jiàn)=(cos萬(wàn),sin5X〃eN+),向量組?！钡?，41“是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，

若不存在說(shuō)明理由；

(3)已知4%,4均是向量組4萬(wàn)2,4的向量"，其中4=(sinx,cosx),a2=(3cosx,3sinx),設(shè)在平面直角

uuur

坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列席6，G，L,P?,L(〃eN+)滿(mǎn)足月為坐標(biāo)原點(diǎn)，P^=\,且與&關(guān)于點(diǎn)月對(duì)稱(chēng)，

%M與&+2(%?，)關(guān)于點(diǎn)外對(duì)稱(chēng)，求|瓦再嬴的最小值.

【變式3-1】對(duì)于一組向量晨月，生,…,〃〃，(〃EN且〃之3),令5〃=4+%+%…，如果存在

可(p￡{1,2,3,…，叫，使得同2國(guó)-肅，那么稱(chēng)可是該向量組的“長(zhǎng)向量”.

(1)設(shè)屋=(〃,兄+2〃)，且〃>0,若工是向量組的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若?！?卜由胃,85/'],〃￡1^且〃>0,向量組4，%,%,…,。2024是否存在“長(zhǎng)向量E”?若存在，求出正整

數(shù)4；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶已知鼠Z，Z均是向量組■腐,Z的“長(zhǎng)向量”，其中4=(sinx,cosx),tz2=(2cosx,2sinx).設(shè)在平面直角坐

標(biāo)系中有一點(diǎn)列66,號(hào)…，匕滿(mǎn)足，《為坐標(biāo)原點(diǎn)，6為2的位置向量的終點(diǎn)，且旦口與之關(guān)于點(diǎn)4對(duì)

稱(chēng),+2與之+1(左￡N且左>0)關(guān)于點(diǎn)與對(duì)稱(chēng),求區(qū)023Etj的最小值.

【變式3?2]若C'二{4]=(4，。2,…，4,…,%)，4￡R,i=l,2,,則稱(chēng)Q〃為九維空間向量集,

0={0,0,…,0}為零向量，對(duì)于ZwR,任意2=。％,…M)B=(4也,…,2)，定義：

①數(shù)乘運(yùn)算：ka=(癡1,癡2，…，她)；

②加法運(yùn)算：々+石=(々1+4,々2+〃2L，，1〃+2)；

③數(shù)量積運(yùn)算：a,/?=卬4+%%+…+%/?〃；

④向量的模：,卜Q(chēng)a；+詼H---，

對(duì)于。"中一組向量ZU=L2,…,回，若存在一組不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)冗。=1,2,…,m)使得

匕1+勺2+―+幻乙=6,則稱(chēng)這組向量線(xiàn)性相關(guān)，否則稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)，

(1)對(duì)于”=3,判斷下列各組向量是否線(xiàn)性相關(guān)：

①Z=(-U,l),石=(-2,2,2)；

②2=(-1,1,1)3=(-2,2,2)工=(3,1,-4)；

⑵已知%線(xiàn)性無(wú)關(guān)，試判斷%—%2%—3%,3a3-4%,4%-%是否線(xiàn)性相關(guān)，并說(shuō)明理由;

(3)證明：對(duì)于?！敝械娜我鈨蓚€(gè)元素Z,瓦均有|2+4242],

題型四：特征向量背景

【典例4-1】已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(x)=asinx+bcos^,稱(chēng)向量的'=(a,6)為函數(shù)“尤)的相伴特

征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)“X)為向量時(shí)的相伴函數(shù).

⑴記向量麗=(1,6)的相伴函數(shù)為若〃力=*且百卜/。，求sinx的值；

(2)設(shè)g(x)=cos[x+：]+3cost-x](xeR),試求函數(shù)g(x)的相伴特征向量加，并求出與兩方向相

反的單位向量；

⑶已知A(-2,3),3(2,6),OT=(-A/3,1),為函數(shù)"(x)=msin(x-0(meR)的相伴特征向量，

°(尤)=〃仁-3，請(qǐng)問(wèn)在y=0(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得而？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，說(shuō)明理由.

【典例4-2】已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)〃x)=asinx+bcos^,稱(chēng)向量的'=(“/)為函數(shù)〃尤)的相伴特

征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)“X)為向量?jī)傻南喟楹瘮?shù).

⑴記向量?jī)?(1,@的相伴函數(shù)為〃元)，求當(dāng)〃X)=|且引時(shí)，sinx的值；

⑵設(shè)函數(shù)g⑴=/cos"胃+cos『d，試求g⑴的相伴特征向量加，并求出與麗?共線(xiàn)的單位向

量；

(3)已知A=(—2,3),3=(2,6),萬(wàn)=卜?1)為〃(尤)=msin[-胃的相伴特征向量，。(上心4；

請(qǐng)問(wèn)在y=O(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得而.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.

【變式4-1】我們學(xué)過(guò)二維的平面向量，其坐標(biāo)為屋&，幻4=1,2),那么對(duì)于M”eN*,〃》2)維向

量，其坐標(biāo)為。=&冉，1,0)&wR左=L2,L設(shè)〃(〃€-〃22)維向量的所有向量組成集合

z.xm

4=同比=(廿2,…eR，左=1,2,…，力.當(dāng)a=(M2，L,、)(/e{0,l}#=l,2,L時(shí)，稱(chēng)為A”的“特征向

量"，如&={&忸=(4出),心氏k=1,2}的“特征向量”有名=(0,0),%=(0,1),?3=(1,0),。4=(1,1).設(shè)

a=(%,孫L,%)和尸=(%*%，1,%)為4的"特征向量”,定義

inHi21-1

0=/[(占+M_N_MI)+(尤2+%-卜-%I)+L+(x?+yn-\xn-y?|)J.

uuu|U<I|illU|

(1)若Z，Be%且a=(l,l,o),￡=(O/,l),計(jì)算,回，卜,司的值；

⑵設(shè)8口4且8中向量均為人的“特征向量”，且滿(mǎn)足：V：，鼠B，當(dāng)上》時(shí)，|常為奇數(shù)；當(dāng)

時(shí)，卜,4為偶數(shù).求集合3中元素個(gè)數(shù)的最大值；

⑶設(shè)Ba4("eN*,〃、2),且8中向量均為A”的“特征向量”，且滿(mǎn)足：\/?)且Z片萬(wàn)時(shí)，

向4=0.寫(xiě)出一個(gè)集合3,使其元素最多，并說(shuō)明理由.

【變式4-2】已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(x)=asinx+)cosx,稱(chēng)向量麗=(a,力為函數(shù)/(x)的相伴

特征向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)/'(x)為向量?jī)傻南喟楹瘮?shù).

⑴記向量麗=(1,6)的相伴函數(shù)為/(x),若當(dāng)/(x)=g且尤1-J,/]時(shí)，求sinx的值;

⑵已知4—2,3),3(2,6),Of=(-后1)為砥)=〃4中一日的相伴特征向量，°(x)=/zU請(qǐng)問(wèn)在

y=雙尤)的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得亦，麗.若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

⑶記向量的=(1,若)的相伴函數(shù)為/(x),若當(dāng)xe。，皆時(shí)不等式/(x)+妙卜+?>0恒成立，求實(shí)數(shù)

上的取值范圍.

1.給出以下關(guān)于線(xiàn)性方程組解的個(gè)數(shù)的命題.

++qz=&a^x+b1y=q

a{x+bxy=qaix++biy+ciz=di

①,<a2x+b2y+c2z=d2@,③,<a2x+b2y=J④，

a2x+b2y=c2a2x++b2y+c2z=d2

a3x+b3y+c3z=d3a3x+b3y=c3

(1)方程組①可能有無(wú)窮多組解；

(2)方程組②可能有且只有兩組不同的解；

(3)方程組③可能有且只有唯一一組解；

(4)方程組④可能有且只有唯一一組解.

其中真命題的序號(hào)為.

2.(2024.上海閔行.二模)平面上有一組互不相等的單位向量西，....砥，若存在單位向量而

滿(mǎn)足麗?西+而?砥+…+而?西=0,則稱(chēng)而是向量組西，砥，…，西的平衡向量.已知

(函，砥)=1,向量9是向量組次，砒，西的平衡向量，當(dāng)方?%取得最大值時(shí)，西?砥的值

為一

ab

3.(2024?高三?廣東?開(kāi)學(xué)考試)已知二階行列式j(luò)ad—bc,三階行列式

ca

a{bxq

/

a2b2。2=%叫-%色+%%，其中叫，加2,用分別為％，的,生的余子式(某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)

a34c3

所在的行和列后剩下的行列式).

123

⑴計(jì)算312

231

00%2x

(2)設(shè)函數(shù)/(%)=。10+32x2

00113x

3。”+1

①若人龍)的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列何｝的前兩項(xiàng)，且｛4｝的公差大于o,求￡%；

i=l

②若/(不)=0，。€(-2,-1)且心不，函數(shù)g(x)=/'(?(。一動(dòng)一/⑷，證明：g(?)g(x0)<0.

4.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線(xiàn)性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)

“11”12

算定義如下:

X-2023

(1)在等比數(shù)列｛%｝中，q,%045是=-3的兩個(gè)實(shí)根，求“2021,“2022-。2023,“2024,。2025的值；

X

-5〃

2〃+1—+1

若c—"

2,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和;

(2)已知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為％,且雹=，右〃213〃

-1——1

2

(3)已知是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù).設(shè)函數(shù)*x)=/(x)+g(x),且存在實(shí)數(shù)使得

F(x+4)1

=M對(duì)于任意的xeR都成立，若"2)=1,求/'(1234)的值.

尸(x)1

小%,X.sin(〃>x+0)coscox,,TT一

5-定義行列式運(yùn)算：鼻z=司-“，右函數(shù)〃x)=o1(。>。，時(shí)<萬(wàn))的最小正

周期是萬(wàn)，將其圖象向右平移1個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)增區(qū)間;

⑵數(shù)列他“｝的前〃項(xiàng)和S“=A〃2,且人=/(言)，求證：數(shù)列]-一|的前"項(xiàng)和(<].

12[a?an+1J

A

^3Acosx

~2

6.行列式2Asinx0(A>0)按第一列展開(kāi)得后%+2此1+陷1，記函數(shù)〃%)=必1+%1，且

11COSX

"%)的最大值是4.

(1)求A；

⑵將函數(shù))=/(%)的圖像向左平移合個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不

變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，求g(x)在，存巖]上的值域.

7.(2024?高三?海南省直轄縣級(jí)單位.開(kāi)學(xué)考試)由“X”個(gè)數(shù)排列成〃行〃列的數(shù)表稱(chēng)為〃行〃列的矩陣，簡(jiǎn)

稱(chēng)“X"矩陣，也稱(chēng)為〃階方陣，記作：4(〃,")=生1。32?33???a3?其中為(云可)飛江工/飛,表示

〃13,..a\n

a23a2n

矩陣A中第，行第，列的數(shù).已知三個(gè)〃階方陣分別為4〃,〃)=。32。33a3n,B(n,n)=

\anlan2%3…ann>

\

%

C2n

?，其中%.一(力j￡N*/,分別表示

中第1行第/列的數(shù).若與=(1—+,則稱(chēng)C(〃,〃)是生成

的線(xiàn)性矩陣.

(24、--1

⑴已知42,2)=1(2,2)=4,若以2,2)是A(2,2)1(2,2)生成的線(xiàn)性矩陣，且7=3,求

U1J12

\1乙/

C(2,2)；

(4J(Ai如■■■bj

3323"12,?,n

(2)已知3,矩陣A(〃,〃)=...,B(n,n)=...,矩陣是

b2n…%,

A（七項(xiàng)5（〃,〃）生成的線(xiàn)性矩陣，且%=2.

⑴求。23，4（左6N*,左

加）已知數(shù)列也｝滿(mǎn)足數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足幺=廠(chǎng)丁，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和記為T(mén).，是否存在正整

“2n〃

b

數(shù)私〃，使北=千旦成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)（犯"）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.（2024.安徽?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用公式"叱①（其中。，b,c,d為常數(shù)），

[y=cx+dy

將點(diǎn)尸（陽(yáng)y）變換為點(diǎn)P'（只y）的坐標(biāo)，我們稱(chēng)該變換為線(xiàn)性變換，也稱(chēng)①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①

（ab\（ab\

可由。，b,c,d組成的正方形數(shù)表/唯一確定，我們將」稱(chēng)為二階矩陣，矩陣通常用大寫(xiě)英

\^cajaJ

文字母A,4,…表水.

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P（3,4）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?得到點(diǎn)尸，（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)P，

的坐標(biāo)；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P（x,y）繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到點(diǎn)P（?,y）（到原點(diǎn)距離

不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；

(2)若［=向量組g,a2,a3,...,0,是否存在“九向量”？給出你的結(jié)論并說(shuō)

明理由；

(3)已知4、42、2均是向量組4，22，2的“力向量”，其中4=(sinx,cos九)，不=(2cosx,2sinx).設(shè)在平面直

角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列。，。2，Q…?！M(mǎn)足：Q1為坐標(biāo)原點(diǎn)，。2為Z的位置向量的終點(diǎn)，且。21與因關(guān)

于點(diǎn)Q1對(duì)稱(chēng)，圓+2與酸+1(林N*)關(guān)于點(diǎn)02對(duì)稱(chēng)，求|。2021。2022|的最小值.

12.對(duì)于一■組向量,。2，。3，L，%(根EN*且加23),令￡=4+。2+/"I-卜,如果存在

%(p41,2,3,…,砌,使得同之反一',那么稱(chēng)3是該向量組的“1向量”.

6設(shè)?！?(",%+〃)，〃€］＞{*,若Z是向量組■，Z，Z的"1向量”，求實(shí)數(shù)X的取值范圍；

⑵若a,=卜in^l^cos/1,neN*,則向量組q,a2,a3,L,?！?3(丹N)是否存在“1向量”？若存在,

求出“1向量”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知7，z，Z均是向量組，，W，4的“1向量"，其中加=(sinx,cosx),%=(2cosx,2sinx).設(shè)在

平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列4，鳥(niǎo)，鳥(niǎo)，L,4JeN*且壯4)滿(mǎn)足：片為坐標(biāo)原點(diǎn)，蔗=%,且

七+peN*)與&關(guān)于點(diǎn)［對(duì)稱(chēng)，%+2與&+i關(guān)于點(diǎn)尸2對(duì)稱(chēng)，求恒西的最大值.

13.〃元向量(nTuplevector)也叫“維向量，是平面向量的推廣，設(shè)"為正整數(shù)，數(shù)集P中的"個(gè)元素

構(gòu)成的有序組(6,外，…，％)稱(chēng)為P上的〃元向量，其中%(，=1，2,L為該向量的第，個(gè)分量.〃元向量通

常用希臘字母2,瓦，等表示，如花=4),尸上全體〃元向量構(gòu)成的集合記為尸對(duì)于

訪(fǎng)￡eP”,〃eN*,記"=(%,的,…,%),或=(4也，…也)，定義如下運(yùn)算：加法法則

及+/=(4+4，。2+仇,…,4+2)，模公式憫Jq+④+..?+《,內(nèi)積

i=l

——J、0L,0

a,下=自岫=岫+a2b”…+a,R,設(shè)2,耳的夾角為6,則儂。=同憫.

⑴設(shè)aEeP",〃N3,〃eN*,法=（1,一1,1』,…』）,￡=（-W,…』），解決下面問(wèn)題:

①求卜+用；

②設(shè)Z與日+萬(wàn)的夾角為，，求cosd；

⑵對(duì)于一個(gè)〃元向量訝=3若同=1（，=1,2,…稱(chēng)￡為〃維信號(hào)向量.規(guī)定

a邛=Goa］。,已知左個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量藥,或滿(mǎn)足它們的前加個(gè)分量都相同，證明:

4km<11.

重難點(diǎn)突破02線(xiàn)性代數(shù)背景下新定義

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：行列式背景.............................................................2

題型二：矩陣背景...............................................................4

題型三：向量組背景.............................................................7

題型四：特征向量背景...........................................................9

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

//\\

線(xiàn)性代數(shù)中處理新定義問(wèn)題時(shí)，首要任務(wù)是準(zhǔn)確理解新定義的本質(zhì)。方法技巧上，可以采取以下步驟:

一、深入剖析新定義，明確其內(nèi)涵與外延，把握關(guān)鍵要素。

二、嘗試將新定義與已知概念、定理或性質(zhì)建立聯(lián)系，利用已有知識(shí)體系進(jìn)行推理。

三、在解題過(guò)程中，靈活運(yùn)用矩陣運(yùn)算、線(xiàn)性變換、特征值與特征向量等工具，以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或幾

何方法。

四、注重驗(yàn)證結(jié)果的正確性，確保解題步驟和答案無(wú)誤。

總結(jié)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)新定義在解題中的關(guān)鍵作用，回顧解題過(guò)程中用到的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)和技巧。同時(shí)，總結(jié)

新定義問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型和解題思路，以便在遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能迅速找到解決方法。通過(guò)不斷練習(xí)和總結(jié)，

可以逐漸提高解決線(xiàn)性代數(shù)新定義問(wèn)題的能力，加深對(duì)線(xiàn)性代數(shù)學(xué)科的理解和掌握。

題型一：行列式背景

【典例1-1】(2024?河北保定?三模)對(duì)于任意給定的四個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，3出1，42,我們定義方陣

A=""/],方陣A對(duì)應(yīng)的行列式記為det(A),且det(A)=q1%2-方陣A與任意方陣

ya21“227

8=的乘法運(yùn)算定義如下：AX8=C,其中方陣C=(U且“(見(jiàn)”e{1,2}),設(shè)

〃(cosa-sina)(cos'sin'[fl0]

(sinacosa)(—sin/cos//(01j

⑴證明：det(MxN)=det(E).

(2)若方陣A,區(qū)滿(mǎn)足Ax6=石，且det(A),det(B)￡Z,證明：|det(A)+det(3)|=det(M)+det(N).

【解析】(1)設(shè)方陣K=MxN=t"M,

則％=coscifcosy0+(-sina)(-siny0)=cos(cr-7?),

勺2=cosasin/7+（-sina）cos〃=sin（6一a）,

左21=sinacos,+cosa（-sin/7）=sin（a—，

右2=sinasin,+cosacos夕=cos（a-,

HWK="s（"0sin（p-a）、

、[sin（a-0cos（a-/7）J?

所以det（MxN）=det（K）=cos2（q_,）—sin（a_/?）sin（/7_a）=cos2（6Z-/?）+sin2（cr-/?）=1.

因?yàn)閐et（E）=lxl—0x0=1,所以det（〃xN）=det（￡）,證畢.

可得％141+。12021=1'①

011bl2+q2b22=°，②

々2141+〃22b21=°，（3）

a21bl2+%2力22=1，④

由①X④,得力也1。2也2+%141%2d2+%2b21。21九+62匕21。22力22=1，⑤

由②x③，^aubl2a2lbn+aubna22b2i+anb22a2lbu+anb22a22b2i=0,（6）

由⑤一⑥，可得知41。22旬2+%2821。2也2-422b21-。12b22。2141=1,

整理得（41%-％2%）（偽也2-3%）=1，即det（A）xdet（B）=L

det（A）=-1,

由det（A）,det（5）cZ,可得則|det（A）+det⑻=2.

det（B）=-l,

又det（Af）=cos2a+sin2a=1,det（N）=cos2（3+sin2）3=1,

所以|det（A）+det⑻|=det（M）+det（N）,證畢.

【典例1?2】（2024.江蘇南通.模擬預(yù)測(cè)）解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能.設(shè)有滿(mǎn)足條件

如出2片％2%的二元一次方程組1.…，.

[〃2]兀[+。22“2—02

（1）用消元法解此方程組，直接寫(xiě)出該方程組的兩個(gè)解；

（2）通過(guò)求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)解的分母是由方程組中國(guó),9的系數(shù)%、%2、％2、%所唯一確定的一個(gè)數(shù)，按

照它們?cè)诜匠探M中的位置，把它們排成一個(gè)數(shù)表4%,由此可以看出-牝%是這個(gè)數(shù)表中左上到

Cl/?]Cl??

右下對(duì)角線(xiàn)上兩個(gè)數(shù)的乘積減去右上到左下對(duì)角線(xiàn)上兩個(gè)數(shù)的乘積的差，稱(chēng)勺%-%%為該數(shù)表的二階

d\1c1dicI1IcX">C^i

行列式，記為對(duì)"2.當(dāng)"%知時(shí)，二元一次方程組“?];有唯一一組解.同樣的，行列式

^^21^^22^^21^^22I^^21*^1+^^22

ababc

Im〃稱(chēng)為三階行列式，且/mn=amz+brvc+cly—cmx-biz—any.

xyzxyz

勺%+42芯2="

(i)用二階行列式表示方程組的兩個(gè)解;

%玉+%2%2=02

anxx+al2x2+ai3x3=bx

(ii)對(duì)于三元一次方程組的凸+42%+%七=62,類(lèi)比二階行列式，用三階行列式推導(dǎo)使得該三元一次

〃3i%i+。32%2+。33%3=瓦

方程組有唯一一組解的條件(結(jié)論不得使用行列式表達(dá))，并用三階行列式表示該方程組的解.

sinx—m

⑶若存在山。,可，使得8sx>sin2x+2求加的取值范圍.

m

"i〃22—b2a12

【解析】(1)該方程組的兩個(gè)解為

b2alib]%

、_bxa22—b2al2

"1一二

〃11〃22——2〃21

(2)(i)由(1)得〈

b2ali-bxa2i

4]]^^22

4〃12

b2

X\二

“11〃12

〃21。22

所以該方程組的兩個(gè)解為

a21

。12

%1。22