轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用不僅有助于提升學(xué)生的邏輯思維水平，還能培養(yǎng)學(xué)生的問題分析與解決能力。初中數(shù)學(xué)教師需要不斷改進(jìn)教學(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)，從而提高教學(xué)質(zhì)量。在正確的引領(lǐng)和指導(dǎo)下，學(xué)生將對(duì)轉(zhuǎn)化思想有更深入的理解，提高解題效率和能力。【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)思維“轉(zhuǎn)化思想”亦被稱作“化歸思想”。其精髓在于將復(fù)雜煩瑣的問題進(jìn)行簡(jiǎn)化。轉(zhuǎn)化思想是十分常用的數(shù)學(xué)思維方法，也是初中學(xué)生要掌握的一種基本的解題方法。不論是代數(shù)問題還是幾何問題，都常常會(huì)涉及轉(zhuǎn)化思想。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的具體情況，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)其在解題中的實(shí)用性和高效性。采用這種方式，能加深他們對(duì)課程內(nèi)容的理解，讓他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上不斷前行。一、化陌生為熟悉，遷移類比在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的吸收需要經(jīng)歷一個(gè)知識(shí)轉(zhuǎn)化的過程，也就是將新學(xué)的知識(shí)與已有的知識(shí)相聯(lián)系，尋找兩者的相似之處或共通點(diǎn)，進(jìn)行遷移類比，從而更有效地掌握新知識(shí)［1］。在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生需要運(yùn)用遷移類比的思維，將自己不熟悉或覺得復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉或能夠處理的問題。這樣能使他們?cè)诿鎸?duì)新挑戰(zhàn)時(shí)更加游刃有余。以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“1.1一元二次方程”這一節(jié)的教學(xué)為例，教師可以向?qū)W生解釋一元二次方程（一般形式是ax2+bx+c=0）的概念—只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程。在學(xué)生明白這一概念后，教師可以引入轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生通過降次的基本思路將一元二次方程轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)學(xué)過的一元一次方程，從而進(jìn)行求解。教師可以給出以下示例：求解方程x2+4x+5=1。對(duì)于剛開始學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)生來說，直接求解這個(gè)一元二次方程是不容易的。對(duì)此，學(xué)生可以通過移項(xiàng)，使方程變?yōu)椤埃▁+2）2=0”的形式，再對(duì)等式左右兩邊同時(shí)開平方就可以得到x+2=0，即x=-2。接下來，教師可以進(jìn)行拓展，將一元二次方程與一元四次方程類比，讓學(xué)生嘗試求解方程x4-4x2+5=1。這道題看似超出了學(xué)生的能力范圍，實(shí)際上學(xué)生也可以和方才求解的一元二次方程聯(lián)系起來。在解答時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用就體現(xiàn)在將x2設(shè)為一個(gè)新的未知數(shù)t，那么方程可以寫成t2-4t+5=1，根據(jù)上述方法可以求出t=2，即x2=2，x=±。解答這個(gè)拓展的問題還用到了換元法。換元法是將一些復(fù)雜的對(duì)象看作一個(gè)整體，簡(jiǎn)化問題的形式，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生通過這種遷移類比的方式，能夠輕松地求解陌生的題目。初中數(shù)學(xué)學(xué)科的題目是千變?nèi)f化的。要想靈活自如地應(yīng)對(duì)這些題目，學(xué)生要熟練掌握轉(zhuǎn)化思想，將陌生的知識(shí)化為熟悉的知識(shí)，將未知的條件化為已知的條件，將不同形式的復(fù)雜問題與教師在課堂上講解過的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，進(jìn)行遷移類比，使用有效的方法解題。在教學(xué)過程中，教師需要正確引導(dǎo)學(xué)生化陌生為熟悉，從而快速解題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。二、化整體為部分，逐步分解對(duì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用通常是將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題巧妙地分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的小問題，從而簡(jiǎn)化解題過程，有效提升學(xué)生解題的準(zhǔn)確性。在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中，教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，化整體為部分，逐個(gè)解決被分解后的概率問題。這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力，幫助學(xué)生掌握解題技巧，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)［2］。以蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“8.1確定事件與隨機(jī)事件”這一節(jié)的教學(xué)為例，教師為學(xué)生分別介紹什么是不可能事件，什么是必然事件，什么是隨機(jī)事件，讓學(xué)生知道在某些條件下，不可能事件是一定不會(huì)發(fā)生的事件，必然事件是一定會(huì)發(fā)生的事件，隨機(jī)事件則是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。接下來，教師講解學(xué)生后續(xù)需要深入學(xué)習(xí)的概率的定義等知識(shí)，告訴學(xué)生一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率有大有小，但是最大不會(huì)超過1，最小不會(huì)小于0。之后，教師引入以下問題來講解如何求出一個(gè)事件發(fā)生的概率：一個(gè)不透明的布袋中裝有兩個(gè)小球。這兩個(gè)小球上分別標(biāo)有數(shù)字“1”和“2”（這是它們的不同之處）。小明從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下其數(shù)字后將其放回布袋，接著再隨機(jī)摸出一個(gè)小球并記下其數(shù)字。請(qǐng)問“兩次記錄的數(shù)字之和為3”這一事件發(fā)生的概率是多少？為了讓學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，有序解決此問題，教師提問：“同學(xué)們，此問題中的隨機(jī)事件有哪些呢？”學(xué)生A回答：“此問題涉及‘兩次記錄的數(shù)字之和為2’‘兩次記錄的數(shù)字之和為3’‘兩次記錄的數(shù)字之和為4’這三個(gè)隨機(jī)事件?！苯處熢俅翁釂枺骸懊恳粋€(gè)隨機(jī)事件分別對(duì)應(yīng)幾種結(jié)果呢？”學(xué)生B回答：“‘兩次記錄的數(shù)字之和為2’對(duì)應(yīng)一種結(jié)果，‘兩次記錄的數(shù)字之和為3’對(duì)應(yīng)兩種結(jié)果，‘兩次記錄的數(shù)字之和為4’對(duì)應(yīng)一種結(jié)果?！贝藭r(shí)，學(xué)生可以得出事件“兩次記錄的數(shù)字之和為3”的概率是。從上述教學(xué)過程中可以看出，學(xué)生根據(jù)題干，逐步分解這個(gè)問題并進(jìn)行解答，才能得出問題的答案。對(duì)于隨機(jī)事件的概率求解的問題，一般都可以按照這樣的方式來處理。不過值得注意的是，教師在提問時(shí)要循序漸進(jìn)，并在滲透轉(zhuǎn)化思想時(shí)提供正確引導(dǎo)。可見，化整體為部分是將數(shù)學(xué)問題視作一個(gè)整體，再將這個(gè)整體拆分為多個(gè)部分。對(duì)于概率問題、方程的根與系數(shù)問題、圓的問題、函數(shù)問題的解決離不開轉(zhuǎn)化思想。深刻理解并掌握這一思想，對(duì)于提升學(xué)生的解題效率有很大的幫助。三、化抽象為直觀，數(shù)形結(jié)合數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)科中的兩個(gè)基本的研究對(duì)象，它們?cè)谔囟l件下能夠相互轉(zhuǎn)化［3］。在學(xué)生解題的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生化抽象為直觀，同時(shí)運(yùn)用“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”兩種策略，從而提升學(xué)生的解題能力，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。這兩種策略旨在使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得易懂，使題干信息更加明確，降低解題的難度。例如，在教學(xué)完蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“勾股定理”這一章后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧勾股定理的基本內(nèi)容—直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么勾股定理可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為a2+b2=c2。接下來，教師可以以勾股定理為數(shù)形結(jié)合的紐帶，告訴學(xué)生如果已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），那么A、B兩點(diǎn)間距離d=。兩點(diǎn)之間的距離本質(zhì)上就是將抽象的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，將兩點(diǎn)所連成的線段看作對(duì)應(yīng)的直角三角形的斜邊。基于此，教師可以展示以下這道題目供學(xué)生思考：已知x是一個(gè)正實(shí)數(shù)，請(qǐng)求解y=+的最小值。這道題目考查的是二次函數(shù)的知識(shí)，而二次函數(shù)的知識(shí)在九年級(jí)下冊(cè)教材中才會(huì)系統(tǒng)介紹。為了幫助學(xué)生運(yùn)用方才學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)之間的距離公式解答這道題目，教師可以讓學(xué)生將“x2”轉(zhuǎn)化為“（x-0）2”，將“4”轉(zhuǎn)化為“（0-2）2”，將“（2-x）2”轉(zhuǎn)化為“（x-2）2”，將“1”轉(zhuǎn)化為“（0-1）2”，進(jìn)而得到y(tǒng)=+。此時(shí)，問題就變成“求點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（0，2）的距離與到點(diǎn)B（2，1）的距離之和的最小值”（所對(duì)應(yīng)的圖像如圖1所示）。之后，學(xué)生可以利用曾經(jīng)學(xué)過的“將軍飲馬”的模型，作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，求出邊AB'的長(zhǎng)，即。解決這類問題要求學(xué)生扎實(shí)掌握代數(shù)的基本知識(shí)，同時(shí)具備較強(qiáng)的抽象思維能力，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的策略和轉(zhuǎn)化思想?？梢姡橄鬄橹庇^有利于將數(shù)與形相互融合，以圖形的形式直觀展現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生更容易解決相關(guān)問題。教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念與定理的過程中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，以增強(qiáng)學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生構(gòu)建更加完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。四、化含糊為明朗，撥云見日數(shù)學(xué)與實(shí)際生活有著密切的聯(lián)系。初中數(shù)學(xué)課程中有很多應(yīng)用題都與生活中的場(chǎng)景有關(guān)。學(xué)生需要深入理解題目中隱晦的信息，由此聯(lián)想到具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行解題［4］。通過這種將數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)相結(jié)合的訓(xùn)練，學(xué)生會(huì)感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，從而激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。例如，在教學(xué)完蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)“二元一次方程組”這一章后，教師向?qū)W生講述一個(gè)情境：“A市的潤(rùn)有城市建設(shè)有限公司委派甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)一同完成‘修建鮮花小鎮(zhèn)’的項(xiàng)目。若由甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作施工，10個(gè)月后可以完工；若由乙工程隊(duì)先單獨(dú)施工3個(gè)月，再由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作施工，9個(gè)月后可以完工。已知甲工程隊(duì)每月工費(fèi)為5萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每月工費(fèi)為8萬(wàn)元?！苯酉聛?，教師邀請(qǐng)C、D、E三名學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行角色扮演（學(xué)生C扮演甲工程隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，學(xué)生D扮演乙工程隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，學(xué)生E扮演潤(rùn)有城市建設(shè)有限公司負(fù)責(zé)人）。通過這種互動(dòng)式的教學(xué)，教師能夠讓學(xué)生更加快速地梳理題目中的信息，更加深刻地體會(huì)解答題目時(shí)所運(yùn)用的轉(zhuǎn)化思想。根據(jù)以上情境，學(xué)生C和學(xué)生D要求出各自所在的工程隊(duì)若單獨(dú)完成任務(wù)需多少個(gè)月，學(xué)生E要從教師提到的兩個(gè)方案中選擇成本更低的方案。因?yàn)閷?duì)于這種情境復(fù)雜的問題，學(xué)生C和學(xué)生D直接求解比較困難，所以可以利用轉(zhuǎn)化思想，設(shè)甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)分別要x、y個(gè)月，接著根據(jù)已知條件列出兩個(gè)方程“”“”，解二元一次方程組便可算出x=27，y=18，得到“甲工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)要27個(gè)月，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)要18個(gè)月”的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生E就可以算出第一個(gè)方案共花費(fèi)140（=5×12+8×10）萬(wàn)元，第二個(gè)方案共花費(fèi)141（=5×9+8×12）萬(wàn)元，得到“應(yīng)選擇第一個(gè)方案”的結(jié)論。這類計(jì)算量比較大的問題，有利于鍛煉學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系實(shí)際生活解決問題。可見，學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的不少應(yīng)用題的難點(diǎn)在于題目條件比較隱晦。對(duì)此，學(xué)生需要將含糊的題目?jī)?nèi)容轉(zhuǎn)化為明朗的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而厘清題目所考查的知識(shí)點(diǎn)。在教學(xué)過程中，教師需要結(jié)合各種不同的生活場(chǎng)景，提供豐富有