中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)等腰三角形(練習(xí))含答案及解析

第四章三角形第18講等腰三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用??題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明??題型03根據(jù)三線合一求解或證明??題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形??題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長??題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明??題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)??題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合??題型09利用等邊三角形的性質(zhì)求解??題型10等邊三角形的判定??題型11等邊三角形性質(zhì)與判定綜合??題型12手拉手模型??題型13與等腰三角形有關(guān)的折疊問題??題型14與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題??題型15與等腰三角形有關(guān)的新定義問題??題型16與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問題??題型18探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系??題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2?6x+8=0的兩根，則該等腰三角形的周長為2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)m，n滿足|m?7+3?n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）學(xué)完等腰三角形的性質(zhì)后，小麗同學(xué)將課后練習(xí)“一個(gè)等腰三角形的頂角是36°，求底角的度數(shù)”改為“等腰三角形的一個(gè)角是36°，求底角的度數(shù)”．下面的四個(gè)答案，你認(rèn)為正確的是（

）A．36° B．144° C．36°或72° D．72°或144°4．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，若∠BDB'=120°，則BD的長為5．（22-23八年級(jí)上·河南南陽·期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40°，則腰上的高與底邊的夾角為．??題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明6．（2024·陜西渭南·三模）如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，連接OA、OB，若OA=2，則該正八邊形的面積為．（結(jié)果保留根號(hào)）7．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在正五邊形ABCDE中，AD,CE相交于點(diǎn)F，連接BF，則∠CFB的度數(shù)是．8．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，且AC=CP，連接AP，則∠BAP的度數(shù)是（

）A．45° B．135° C．45°或135° D．30°或135°9．（2024·廣東河源·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．(1)求證：AB∥(2)若AD=1，求四邊形ABCD的面積．10．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，過點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長線于點(diǎn)H，連接AF交EH于點(diǎn)G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4??題型03根據(jù)三線合一求解或證明11．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC．若AE=4，則BD的邊長為（A．2.5 B．3.5 C．2 D．312．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(k>0，x>0)的圖象上，點(diǎn)B、C在x軸上，BC=4OC，若△ABC13．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，若BD=8，DC=2，則DE的長為．14．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在勞動(dòng)課上，小華同學(xué)所在小組進(jìn)行了風(fēng)箏框架設(shè)計(jì)比賽(1)小華設(shè)計(jì)的風(fēng)箏框架平面圖如圖1，已知.AB=AD，CB=CD，AC與BD交于點(diǎn)O(2)小明提出了改進(jìn)建議：制作風(fēng)箏框架只需要兩個(gè)支架AC和BD(如圖2)，當(dāng)AC垂直平分BD時(shí)即可固定風(fēng)箏.現(xiàn)在有總長度為120cm的細(xì)木條用于制作該風(fēng)箏框架，小明同學(xué)想做面積最大的風(fēng)箏，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)：當(dāng)AC15．（2024·山東聊城·三模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接EF，并延長EF交AB于點(diǎn)(1)連接DG，求證：四邊形AGDE是平行四邊形．(2)若使四邊形AGDE是菱形，△ABC應(yīng)為什么特殊三角形？點(diǎn)D在BC的什么位置？證明你的猜想．??題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形16．（2024·貴州貴陽·二模）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點(diǎn)C有個(gè)．17．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是2×2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、C均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作格點(diǎn)圖形，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，以AC為中線作△ABD，使AB=AD；(2)在圖②中，以AC為中線作Rt△AEF，使∠AEF=90°(3)在圖③中，以AC為中線作△AMN，使∠AMN為鈍角且tan∠MAC=18．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個(gè)小方格的邊長為1，已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求完成以下問題．

(1)在圖中畫一個(gè)格點(diǎn)等腰三角形PEF，使得底邊長為2；(2)在圖中再找一個(gè)格點(diǎn)G，使得P，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為__________．19．（2024·河北邯鄲·三模）如圖中的點(diǎn)都在格點(diǎn)上，使△ABPn（n為1~4的整數(shù)）不是軸對(duì)稱圖形的點(diǎn)是（

A．P1 B．P2 C．P3??題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長20．（2024·廣西桂林·一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠E=30°，則CE的長為．21．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB上，AD=4，CD=10，則BD的長為

22．（2024·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則點(diǎn)E到AB的距離為，DEEF的值是23．（2024·陜西·模擬預(yù)測）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是高錳酸鉀制取氧氣的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的13處BE=13AB，已知試管AB=24cm，試管傾斜角α為10°，實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管BF交CD的延長線于點(diǎn)F，且ED⊥CF，測得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的長度．（參考數(shù)據(jù)：24．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，則△ABD與△ACD的面積比為（

）A．5：4 B．4:5 C．16:2525．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，且AB=5，AE=BC=4，則CD的長為．??題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明26．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，O是AB邊的中點(diǎn)，D是CO上一點(diǎn)，AE∥BD交CO的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：AE=BD；(2)若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的長．27．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)：正方形對(duì)角線上任意一點(diǎn)與正方形其他兩個(gè)頂點(diǎn)相連形成的線段一定相等．該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若過該點(diǎn)作其中一條線段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長線段和前面形成的兩條線段也有關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)下列探究思路完成作圖和解答：(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)E作EF⊥AE．分別交邊AD、BC于點(diǎn)G、F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：EC=EF=AE．??題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)28．（2023九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)．(1)從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；(2)從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．29．（2023蘭州市模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上，∠ABO=60°，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得ΔPAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．830．（2020·江蘇泰州·一模）已知點(diǎn)A(2，m)，點(diǎn)P在y軸上，且△POA為等腰三角形，若符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)，則m=．31．（2024君山區(qū)一模）已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(1,1)，試在x軸上找到一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)??題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合32．（2024通遼市模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面積是10．AB的垂直平分線ED分別交AC,AB邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBF周長的最小值為

33．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，則34．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到△AB'C'，連接CC'，交AB于點(diǎn)P35．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，將等腰Rt△ABC的斜邊BC向上平移至AD（點(diǎn)B和A重合），連接CD，M為線段CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AM并將其繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AN，連接MN交BC于點(diǎn)E，連接BN(1)求證：△ABN≌△ACM；(2)求證：EN=EM；(3)如圖2，分別取AM,CE的中點(diǎn)P,Q,連接PQ，試探究線段PQ和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．??題型09利用等邊三角形的性質(zhì)求解36．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，連接AO，DO，已知△AOD是等邊三角形，DO是∠ADC的平分線，則∠ABC=（）

A．30° B．40° C．60° D．80°37．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）如圖，等邊△OAB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，OA=2，將等邊△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△OA'B'的位置，則點(diǎn)38．（2024·安徽合肥·三模）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在BC，AB上，連接AE，CF，兩線交于點(diǎn)G，連接BG，DG，∠FGB=∠CGD，CE=1．(1)求AE的長；(2)求證：BG=2GD；(3)求AG的長39．（2024·湖南·模擬預(yù)測）平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長相等的正六邊形與正三角形進(jìn)行的無縫隙、不重疊的平面鑲嵌．我們選取其中一個(gè)正六邊形和三個(gè)與之相鄰（正上方、左下方和右下方）的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標(biāo)系中．如圖2，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形和正三角形的頂點(diǎn)．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)B，C，連接OB，OC，則△BOC??題型10等邊三角形的判定40．（2023·江西贛州·一模）在學(xué)習(xí)《2.1圓》時(shí)，小明遇到了這樣一個(gè)問題：如圖1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．試證明A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上．小明想到了如下證法：在圖1（1）、1（2）中取BC中點(diǎn)M，連接AM,DM，則有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四點(diǎn)在以M為圓心，MB為半徑得圓上，根據(jù)以上探究問題得出的結(jié)論，解決下列問題：(1)如圖2，在△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，若∠BAC=64°，則∠EDF=°．(2)如圖3，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，G為CD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求證：CD=141．（2023·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)時(shí)遇到了∠ACB=∠AED=90°下面的問題：如圖1，在△ABC和△ADE中，，∠CAB=∠EAD=60°，點(diǎn)E，A，C在同一直線上，連接BD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，連接EF，CF，試判斷△CEF的形狀并說明理由．問題探究（1）小婷同學(xué)提出解題思路：先探究△CEF的兩條邊是否相等，如EF=CF．以下是她的證明過程：請(qǐng)根據(jù)以上證明過程，解答下列兩個(gè)問題：①在圖1上作出證明中所描述的輔助線．②在證明的括號(hào)中填寫理由（請(qǐng)?jiān)赟AS，ASA，AAS，SSS中選擇）．證明：延長線段EF交CB的延長線于點(diǎn)G．∵F是BD的中點(diǎn)，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（

）．∴EF=FG，∴CF=EF=1問題拓展在（1）在探究結(jié)論的基礎(chǔ)上，請(qǐng)你幫助小婷求出∠CEF的度數(shù)，并判斷△CEF的形狀．??題型11等邊三角形性質(zhì)與判定綜合42．（2023·廣東深圳·三模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、B、C在半徑為1的⊙O上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻P在⊙O上的移動(dòng)，并始終保持∠APC=∠CPB=60°．(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：△ABC是______三角形；(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在⊙O上的移動(dòng)時(shí)，線段PA、PB、PC三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻P的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段BM的長度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段BM的最小值是______（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）．43．（2024·貴州·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分別交BC，CD于點(diǎn)M，N．(1)【動(dòng)手操作】如圖①，若M是邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫出∠MAN，則∠BAM=________度；(2)【問題探究】如圖②，當(dāng)M為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí)，求證：AM=AN；(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P，N分別在邊BC，CD上，在菱形內(nèi)部作∠PAN=∠B，連接AP，若AP=13，求線段DN44．（2024·黑龍江雞西·二模）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE，AB，(2)如圖2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB，BD，DE，AE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；(3)如圖3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，則線段AE長度的最大值是．45．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證DE=EB；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，猜想ED和EB數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí)，EH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作GE∥AB，交線段AC的延長線于點(diǎn)G，AG=5CG，BH=1．求CG的長．46．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，⊙O為五邊形ABCDE的外接圓，AB=BC，AE=DE，連接其對(duì)角線，交于點(diǎn)F，G，H，N，M．(1)求證：∠AFG=∠AGF；(2)當(dāng)∠CAD=時(shí)，△NED是等邊三角形，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，若AF=4，tan∠BAF=33??題型12手拉手模型47．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE，進(jìn)而判斷出AB與CE的位置關(guān)系是___________(2)類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC=60°，試說明點(diǎn)B，D，E在同一直線上；(3)解決問題：如圖③，已知點(diǎn)E在等邊△ABC的外部，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，請(qǐng)求出BE的長．48．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)操作判斷

已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<a<360°，連接BD，AE，如圖1，若△ABC和△CDE①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是________；②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是________；(2)遷移探究

如圖2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長．49．（2024·山東泰安·二模）【建立模型】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，且它們的們頂角∠BAE=∠DAC，連接BD，CE，試猜想BD與【模型應(yīng)用】（2）如圖2，△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=30°，AC為邊向外作等邊△ACD，連接BD，求【模型變式】（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC為腰在線段AC的左側(cè)作等腰△ACD，AD=AC，∠CAD=120°，直接寫出BD的長．50．（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測）如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，連接BC，DE交于點(diǎn)F，且B，A，E三點(diǎn)共線．【模型建立】（1）如圖①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，①求證：△ABC≌②判斷∠BAD與∠BFE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【模型應(yīng)用】（2）如圖②，△ABD和△ACE都是等邊三角形，連接AF，求證：FA平分∠BFE；【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若AB=2AE=2，求AF的長．51．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）幾何探究與實(shí)踐(1)【模型認(rèn)識(shí)】如圖1所示，已知在△ABC中，∠BAC>90°，分別以AB、AC為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形ABD和ACE，連接BE、CD，則BE與CD的關(guān)系是：；(2)【初步應(yīng)用】如圖2所示，連接DE，求證：S四邊形(3)【深入研究】在（2）的條件下，試判斷△ABC和△ADE的面積有何關(guān)系，并加以證明；(4)【拓廣探索】如圖3，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=42，AC=2，以BC為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形BCP，且∠PBC=90°，連接AP，試直接寫出AP??題型13與等腰三角形有關(guān)的折疊問題52．（2024·湖北十堰·一模）如圖，已知△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，F(xiàn)，G分別為邊AB，AC邊上的點(diǎn)，將△AFG沿FG折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在53．（2024·山東日照·二模）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，D為邊AC的中點(diǎn)，E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'．當(dāng)A'E⊥AC時(shí)，

54．（23-24九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折：把邊長為6的正△AND三角形紙片，其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'填一填，做一做：(1)圖①中陰影部分的周長為.(2)圖①中，若∠A'GN=80°，則(3)圖①中的相似三角形(包括全等三角形)共有對(duì)；(4)如圖②，點(diǎn)A'落在邊AD上，若A'N55．（2024·河南周口·二模）綜合與實(shí)踐如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)BD<1(1)操作發(fā)現(xiàn)按下列步驟操作：第一步：將△BCD沿CD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，CG與AB相交于點(diǎn)O；第二步：取AD上一點(diǎn)E，連接CE，將△ACE沿CE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)G重合．根據(jù)以上操作，∠DCE與∠DGE之間的數(shù)量關(guān)系為__________；線段DE與BD,AE之間的數(shù)量關(guān)系為__________．(2)深入探究如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)D作DF∥BC交CG于點(diǎn)F，連接EF．試判斷△DEF的形狀，并說明理由．(3)問題解決在（2）的條件下，當(dāng)AB=12,CF:FG=5:7時(shí)，請(qǐng)直接寫出折痕CD的長．??題型14與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題56．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)填空：∠AEB的度數(shù)為______；②線段AD，(2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，(3)如圖3，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6，平面上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為4，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連DA，DB，57．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且滿足AD=CE，連接AE，BD，當(dāng)線段CF的長度最小時(shí)，S△ABFS△ABC58．（2024·吉林長春·一模）【感知】如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連結(jié)BE．由ED=AD，∠ADC=∠EDB，

【遷移】如圖②，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，AE=EF，求證：AC=BF．下面是小明同學(xué)的部分證明過程，請(qǐng)補(bǔ)全余下的證明過程．證明：延長AD至點(diǎn)M，使DM=FD，連結(jié)MC．【拓展】如圖③，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連結(jié)AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，連結(jié)BE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連結(jié)DF、AF．若AD=6，則??題型15與等腰三角形有關(guān)的新定義問題59．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）定義：若兩個(gè)三角形中，有兩組邊對(duì)應(yīng)相等且其中一組等邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個(gè)三角形為“融通三角形”，相等的邊所對(duì)的相等的角稱為“融通角”．(1)①如圖1，在△ABC中，CA=CB，D是AB上任意一點(diǎn)，則△ACD與△BCD“融通三角形”；（填“是”或“不是”）②如圖2，△ABC與△DEF是“融通三角形”，其中∠A=∠D，AC=DF，BC=EF(2)若互為“融通三角形”的兩個(gè)三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度數(shù)．(3)如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=4，∠CAB=30°，∠B=105°，∠D+∠B=180°，且△ACD與60．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)M和四邊形的一組對(duì)邊組成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊為斜邊的等腰直角三角形，那么定義該四邊形ABCD為蝴蝶四邊形．例如，如圖1，在四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB，MC=MD【概念理解】如圖2，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M．判斷正方形ABCD是否為蝴蝶四邊形，說明理由．【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°【拓展應(yīng)用】在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=2,MC=MD=1，當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)61．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長的比叫做頂角的正對(duì)sad．在△OMN中，OM=ON，頂角O的正對(duì)記作sad∠O=底邊腰=MNON．由此可知一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)也是相互唯一確定的，所以我們可按上述方式定義的正對(duì)，例如，sad60°=1,sad90°=2，請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問題：如圖1，P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），點(diǎn)C,D分別是線段AP,BP的中點(diǎn)，以AC,CD，(1)【閱讀應(yīng)用】①若等邊三角形△ACE,△CDF,△DBG的邊長分別為a,b,c，則a,b,c三者之間的關(guān)系為______；②sad∠EPG=(2)【猜想證明】如圖2，連接EF,FG，猜想sad∠EFG(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，連接EF,EG，若AB=12,EF=27，則△EPG的周長是多少？此時(shí)AP??題型16與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題62．（2022·寧夏銀川·一模）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A63．（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB=90°，直角邊OA在x軸正半軸上，且OA=1，將Rt△OBA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)擴(kuò)大邊長的1倍，得到等腰直角三角形OB1A1（即A1O=2AO），同理，將Rt△OB1A

A．?22023,22023 B．2202364．（2024·山東濟(jì)寧·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點(diǎn)A2；將OA2繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥O

A．22020π B．22021π C．65．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，所有三角形均為等邊三角形，已知點(diǎn)A13,0，A32,0，A54,0，A7

??題型17與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問題66．（2024·吉林長春·二模）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△DAC、△ECB都是等邊三角形，AE、DC交于點(diǎn)M，DB、EC交于點(diǎn)N，DB、AE交于點(diǎn)P，連結(jié)MN，給出下面四個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N∥AB；②∠DPM=60°；③∠AEB=90°67．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長AM交BC于點(diǎn)N，連接FN，NE．下列結(jié)論：①AE=AF；②AB2=BM?BE；③△AEF是等邊三角形；④BF=AN；⑤四邊形AENFA．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤68．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直角邊AB，AC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且保持BE=AF，連接DE，DF，EF．設(shè)BE=a，CF=b，EF=c．在點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)過程中，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b>c；②a2+b2=A．①② B．②③ C．①③ D．①②③69．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，等邊△ABC的邊長為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，PQ=12，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為31316；④四邊形??題型18探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系1．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC邊上的一點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，思考提出新的問題：如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F(xiàn)為邊BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°．用等式寫出線段【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在△ABC中，∠BAC為直角，∠ABC=45°，平面內(nèi)存在一點(diǎn)D，使CD⊥BD．若AD=42，CD=2，求△ABC2．（2024·貴州黔南·模擬預(yù)測）已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，C，E在同一條直線上時(shí)，AE與CD的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【問題探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，C，E在同一條直線上時(shí)，BE，CD交于點(diǎn)F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求【拓展延伸】（3）如圖3，連接CE，AD，G是線段CE的中點(diǎn)，連接BG，求BGAD3．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知點(diǎn)D是等邊三角形△ABC邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．動(dòng)手操作：第一步：連接AD，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE；第二步：以D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DF，連接BF，交DE于點(diǎn)M．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好在AB上，請(qǐng)寫出線段EM與DM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D不是BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)BC=6，CD=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出AM的長．4．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測）在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分別為AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)且滿足AD=BE，連接DE，AE(1)如圖1，AD<DB，當(dāng)DE=5，AC=32時(shí)，求(2)如圖2，AC上有一點(diǎn)F滿足∠EDF=45°時(shí)，試探究DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，連接CD，AE交于點(diǎn)O，當(dāng)AE+CD取最小值時(shí)，直接寫出S△AOC1．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D在邊AC上，BD=BC=AD．以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并分析1BM2．（2024·江蘇南通·中考真題）在△ABC中，∠B=∠C=α0°<α<45°，AH⊥BC，垂足為H，D是線段HC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)H，C重合），將線段DH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學(xué)經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時(shí)，點(diǎn)D為HC的中點(diǎn)；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，當(dāng)AE的長最小時(shí)，AH2A．小明正確，小麗錯(cuò)誤 B．小明錯(cuò)誤，小麗正確C．小明、小麗都正確 D．小明、小麗都錯(cuò)誤4．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BC?CA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停止，連接DP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，DP2為y．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿BC勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y①AB=3；②當(dāng)t=5時(shí)，y=1；③當(dāng)4≤t≤6時(shí)，1≤y≤3；④動(dòng)點(diǎn)P沿BC?CA勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻t1，t2t1<t2分別對(duì)應(yīng)y1和A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④4．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的表達(dá)式為y=x，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0)，以O(shè)為圓心，OA1為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)B1，過點(diǎn)B1作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)A2；以O(shè)為圓心，OA2為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)B2，過點(diǎn)B2作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)A3；以O(shè)為圓心，OA3為半徑畫弧，交直線l5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為3,0，△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是1,0，△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M→?）做無滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是2,0；第二次滾動(dòng)后，A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是2,0；第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3，A1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數(shù)是（A．45° B．39° C．29° D．21°3．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD=3，BC=1，則AD的長為（

）A．5 B．10 C．2 D．24．（2024·河南·中考真題）如圖，⊙O是邊長為43的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（

A．8π3 B．4π C．165．（2024·福建·中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°6．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對(duì)角線BD，AC的三等分點(diǎn)，連接AE并延長交CD于點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，若∠AGF=α，則∠FAG用含A．45°?α2 B．90°?α2 C．45°+α27．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B及AC的中點(diǎn)M，BC∥x軸，AB與y軸交于點(diǎn)N．則ANA．13 B．14 C．158．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖1，△ABC與△A1B1C1滿足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1CA．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)9．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=°．10．（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，則該直線的解析式可能為（寫出一個(gè)即可）．11．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個(gè)全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個(gè)大等邊三角形ABC．連接BD并延長交AC于點(diǎn)G，若AE=ED=2，則：（1）∠FDB的度數(shù)是；（2）DG的長是．12．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分線．（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（2）以點(diǎn)A為圓心，BE長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)G．（3）以點(diǎn)G為圓心，EF長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點(diǎn)H．（4）畫射線AH．（5）以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交射線AH于點(diǎn)M．（6）連接MC，MB，MB分別交AC，AD于點(diǎn)N，P．根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是．（只填序號(hào)）①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=313．（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD=a，AB=10．以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作圖，與BC相交于點(diǎn)E，連接AE．以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別與EA，EC相交于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AEC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線EP，與AD相交于點(diǎn)F，則FD的長為14．（2024·湖北·中考真題）△DEF為等邊三角形，分別延長FD，DE，EF，到點(diǎn)A，B，C，使DA=EB=FC，連接AB，AC，BC，連接BF并延長交AC于點(diǎn)15．（2024·山東東營·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是______，AD與BE的位置關(guān)系是______；(2)類比探究將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與（1）中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點(diǎn)N，請(qǐng)結(jié)合圖2說明理由；(3)遷移應(yīng)用如圖3，將△CAB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CDE，當(dāng)點(diǎn)D落到AB邊上時(shí)，連接BE，求線段BE的長．16．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，AC、DE相交于點(diǎn)G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求證：△GEC是等腰三角形；(2)連接AD，則AD與l的位置關(guān)系是________．17．（2024·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實(shí)踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問題，如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別為AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AN=BM．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，連接BD，則MN=DB，請(qǐng)思考并證明：【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥MN于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，連接DA，DB．試猜想四邊形AFBD的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，連接BN，CM，請(qǐng)直接寫出BN+CM的最小值．18．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α0°<α<45°．將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，求證：△ABC≌△CED；(2)如圖2，∠ACD的平分線與AB的延長線相交于點(diǎn)F，連接DF，DF的延長線與CB的延長線相交于點(diǎn)P，猜想PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，在（2）的條件下，將△BFP沿AF折疊，在α變化過程中，當(dāng)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置時(shí)，連接EF．①求證：點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)；②若CD=20，求△CEF的面積．第四章三角形第18講等腰三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用??題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明??題型03根據(jù)三線合一求解或證明??題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形??題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長??題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明??題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)??題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合??題型09利用等邊三角形的性質(zhì)求解??題型10等邊三角形的判定??題型11等邊三角形性質(zhì)與判定綜合??題型12手拉手模型??題型13與等腰三角形有關(guān)的折疊問題??題型14與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題??題型15與等腰三角形有關(guān)的新定義問題??題型16與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問題??題型18探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系??題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2?6x+8=0的兩根，則該等腰三角形的周長為【答案】10【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵．求出一元二次方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即可得出答案．【詳解】解：xx?2解得：x=2或x=4，當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)不能組成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)能組成三角形，周長為2+4+4=10，所以三角形的周長為10，故答案為：10．2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)m，n滿足|m?7+3?n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC【答案】17【分析】根據(jù)偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性可得：m?7=0，3?n=0，從而可得【詳解】解：∵|m?7+∴m?7=0，解得：m=7，分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為7，底邊長為3時(shí)，∴△ABC的周長=7+7+3=17；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3，底邊長為7時(shí)，∵3+3=6<7，∴不能組成三角形；綜上所述：△ABC的周長是17，故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，偶次方，算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）學(xué)完等腰三角形的性質(zhì)后，小麗同學(xué)將課后練習(xí)“一個(gè)等腰三角形的頂角是36°，求底角的度數(shù)”改為“等腰三角形的一個(gè)角是36°，求底角的度數(shù)”．下面的四個(gè)答案，你認(rèn)為正確的是（

）A．36° B．144° C．36°或72° D．72°或144°【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180度是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分以下兩種情況，當(dāng)36°是等腰三角形的底角，以及當(dāng)36°是等腰三角形的頂角，討論求解，即可解題．【詳解】解：當(dāng)36°是等腰三角形的底角，則底角的度數(shù)為36°；當(dāng)36°是等腰三角形的頂角，則底角的度數(shù)為180°?36°2綜上所述，等腰三角形的一個(gè)角是36°，其底角的可以是36°或72°．故選：C．4．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，若∠BDB'=120°，則BD的長為【答案】433【分析】本題考查等腰三角形中的翻折問題，當(dāng)∠BDB'=120°時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B'在BC下方；②當(dāng)點(diǎn)【詳解】解：當(dāng)∠BDB①當(dāng)點(diǎn)B'在BC設(shè)AB'與BC的交點(diǎn)為∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，由折疊得，∠∵∠BDB∴∠∴∠DOB∴DO=1∴BO=BD+DO=BD+1在Rt△ABO中，BO=AB?∴3解得，BD=4②當(dāng)點(diǎn)B'在BC由折疊得，∠ADB∵∠B=30°，∴∠BAD=90°，∵AB=4，∴BD=AB綜上所述，BD的長為433故答案為：4335．（22-23八年級(jí)上·河南南陽·期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40°，則腰上的高與底邊的夾角為．【答案】20°或50°【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計(jì)算．【詳解】當(dāng)40°角為底角時(shí)，如圖，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=40°，過點(diǎn)A作AD⊥CB，交BC的延長線于點(diǎn)D，∴∠ADC=90°，∴∠DAB=90°?∠B=50°；

當(dāng)40°角為頂角時(shí)，如圖，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=180°?40°過點(diǎn)A作AG⊥CB，交BC于點(diǎn)G，∴∠AGB=90°，∴∠GAB=90°?∠B=20°；故答案為20°或50°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的角的計(jì)算，熟練掌握分類思想是解題的關(guān)鍵．??題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明6．（2024·陜西渭南·三模）如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，連接OA、OB，若OA=2，則該正八邊形的面積為．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】8【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，先求出∠AOB=360°8=45°，作AH⊥OB于點(diǎn)H，構(gòu)造等腰直角△OHA，求出AH【詳解】解：如圖，作AH⊥OB于點(diǎn)H，∵該多邊形為正八邊形，OA=2，∴OB=OA=2，∠AOB=360°又∵AH⊥OB，∴△OHA是等腰直角三角形，∴AH=2∴S△AOB∴該正八邊形的面積=8S故答案為：827．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在正五邊形ABCDE中，AD,CE相交于點(diǎn)F，連接BF，則∠CFB的度數(shù)是．【答案】54°/54度【分析】根據(jù)五邊形ABCDE是正五邊形，求出∠CDE=∠DEA=108°，再根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理求出∠EDA=∠DAE=36°，同理得∠DEC=36°，再求出∠DFE=108°，證明△AFE≌△CFD，得到AF=CF，再證明△ABF≌【詳解】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE=∠DEA=5?2∵DE=AE，∴∠EDA=∠DAE=1同理∠DEC=36°，∴∠DFE=180°?∠DEF?∠EDF=180?36°?36°=108°，∵∠DEF=∠EDF,∠EDF=∠EAD，∴∠DEF=∠EAD，∵∠DEF=∠DCE，∴∠DCE=∠EAD，∵∠AFE=∠CFD,CD=AE，∴△AFE≌∴AF=CF，∵∠BAE=∠BCD,∠DAE=∠DCE，∴∠BAE?∠DAE=∠BCD?∠DCE，即∠BAF=∠BCF，∵BF=BF，∴△ABF≌∴∠CFB=∠AFB=1故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，且AC=CP，連接AP，則∠BAP的度數(shù)是（

）A．45° B．135° C．45°或135° D．30°或135°【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．注意點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，分別作圖，運(yùn)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角性質(zhì)分別列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：如圖所示：以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧，分別交直線BC于兩點(diǎn)，即P1，∵AB=AC，∠B=30°∴∠BCA=30°∵AC=C∴∠∴∠∵AB=AC，∠B=30°∴∠BCA=30°∵AC=C∴∠CA∴∠故選：C9．（2024·廣東河源·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．(1)求證：AB∥(2)若AD=1，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題主要考查了平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形三線合一、等邊對(duì)等角、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定、含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，得出∠BAC=∠B=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算求出∠ACD的度數(shù)，得出∠BAC=∠ACD，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，即可證明AB∥（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一，結(jié)合勾股定理，求出AC、CE、AB的長，根據(jù)S△4CD=12×AC×AD【詳解】（1）證明：∵∠B=30°，AC=BC，∴∠BAC=∠B=30°，∵∠CAD+∠D+∠ACD=180°，∠CAD=90°，∠D=60°，∴∠ACD=180°?∠CAD?∠D=180°?90°?60°=30°，∴∠BAC=∠ACD，∴AB∥（2）解：∵∠CAD=90°，AD=1，由（1）得∠ACD=30°，∴CD=2，BC=AC=C∴S△4CD如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，∴∠AEC=90°，∵∠B=30°，∴CE=1∴AE=BE=B∴AB=AE+BE=3∴S△ABC∴S四邊形10．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，過點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長線于點(diǎn)H，連接AF交EH于點(diǎn)G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4【答案】6【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，先由矩形的性質(zhì)得到CD⊥BC，CD=AB，BC=AD=4，∠ABC=∠DCB=90°，再證明△DCE∽△HFE得到CDFH=ABFH=56；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到GE=GF=GH，則∠GFE=∠E，進(jìn)而證明△ABF≌△DCEAAS，推出BE=CF．設(shè)BE=CF=x，則CE=x+4，【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC，CD=AB，BC=AD=4，∠ABC=∠DCB=90°，∵FH⊥EF，∴CD∥∴△DCE∽△HFE，∴ECEF∴CDFH∵FH⊥EF，GE=GH，∴GE=GF=GH，∴∠GFE=∠E，∴△ABF≌△DCEAAS∴BF=CE，∴BF?BC=CE?BC，即BE=CF．設(shè)BE=CF=x，∵BC=AD=4，∴CE=x+4，EF=2x+4，∴x+42x+4解得x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原方程的解，∴EF=6．故答案為：6.??題型03根據(jù)三線合一求解或證明11．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC．若AE=4，則BD的邊長為（A．2.5 B．3.5 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．過點(diǎn)E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出BF=12BE=3.5，于是CF=BC?BF=1.5，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出【詳解】解：過點(diǎn)E作EF⊥BC于F．在Rt△BEF中，∵∠BFE=90°，∠B∴∠BEF=30°，∵AE=4，AB=3，BE=AE+AB，∴BF=1∴CF=BC?BF=5?3.5=1.5．∵ED=EC，EF⊥BC于F，∴DC=2CF=3，∴BD=BC?DC=5?3=2．故選：C．12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(k>0，x>0)的圖象上，點(diǎn)B、C在x軸上，BC=4OC，若△ABC【答案】12【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例圖象上點(diǎn)的特征、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、三角形的面積．要求學(xué)生掌握設(shè)而不求的方法解題．設(shè)OC=a，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，表示出BC、AE，結(jié)合△ABC的面積即可求出k的值．【詳解】解：設(shè)OC=a，則Ca,0∵BC=4OC，∴OB=5a，CB=4a，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∵AB=AC，∴CE=EB=2a，∴OE=3a，∵OE·AE=k，∴AE=k∵S∴k=12．故答案為：12．13．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，若BD=8，DC=2，則DE的長為．【答案】13【分析】作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足為點(diǎn)M、N．先由勾股定理求得BC的長，再由等腰三角形“三線合一”與三角形中位線的逆定理可求得BM、MN的長，從而可知BN的長，最后利用△BNE∽△BDC可求得DE的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A、點(diǎn)E分別作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足為點(diǎn)M、N．則AM∥EN，

∵∠BDC=90°，BD=8，∴BC=B∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=CM=1∵E為AC的中點(diǎn)，AM∥EN，∴MN=CN=1∴BN=BM+MN=3設(shè)DE=x，則BE=BD?DE=8?x．∵∠BNE=∠BDC=90°，∠EBN=∠CBD，∴△BNE∽△BDC，∴BEBC=BN∴88?x解得：x=13即：DE=13故答案為：138【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵作出恰當(dāng)?shù)妮o助線．14．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在勞動(dòng)課上，小華同學(xué)所在小組進(jìn)行了風(fēng)箏框架設(shè)計(jì)比賽(1)小華設(shè)計(jì)的風(fēng)箏框架平面圖如圖1，已知.AB=AD，CB=CD，AC與BD交于點(diǎn)O(2)小明提出了改進(jìn)建議：制作風(fēng)箏框架只需要兩個(gè)支架AC和BD(如圖2)，當(dāng)AC垂直平分BD時(shí)即可固定風(fēng)箏.現(xiàn)在有總長度為120cm的細(xì)木條用于制作該風(fēng)箏框架，小明同學(xué)想做面積最大的風(fēng)箏，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)：當(dāng)AC【答案】(1)見解析(2)AC為60cm時(shí)，風(fēng)箏的面積最大，面積最大值為【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：（1）先證△ABC≌△ADCSSS，推出∠BAC=∠DAC，根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明BO=DO（2）設(shè)AC=x，則BD=120?x，列出風(fēng)箏的面積S關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，變形為頂點(diǎn)式，求出最值即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AD，CB=CD，∴△ABC≌△ADCSSS∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，又∵AB=AD，∴BO=DO；（2）解：設(shè)AC=xcm，則BD=∵AC垂直平分BD，∴OB=OD=12BD∴風(fēng)箏的面積S=S∴S=1∵?1∴當(dāng)x=60時(shí)，S取最大值1800，即AC為60cm時(shí)，風(fēng)箏的面積最大，面積最大值為180015．（2024·山東聊城·三模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接EF，并延長EF交AB于點(diǎn)(1)連接DG，求證：四邊形AGDE是平行四邊形．(2)若使四邊形AGDE是菱形，△ABC應(yīng)為什么特殊三角形？點(diǎn)D在BC的什么位置？證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)△ABC為等腰三角形時(shí)，AGDE是菱形；點(diǎn)D為BC中點(diǎn)【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，其中證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）證明△AGF≌△DEF，得DE=AG；再由DE∥AB即可證明四邊形（2）當(dāng)△ABC為等腰三角形且AB=AC時(shí)，由D是中點(diǎn)，則∠EAD=∠EDA，從而得AE=DE，即四邊形AGDE是菱形．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴AF=DF；∵DE∥∴∠GAF=∠EDF，∵∠AFG=∠DFE，∴△AGF≌△DEF(ASA∴DE=AG；∵DE∥∴四邊形AGDE是平行四邊形；（2）解：當(dāng)△ABC為等腰三角形且AB=AC時(shí)，且D中點(diǎn)，四邊形AGDE是菱形；∵AB=AC時(shí)，且D是中點(diǎn)，∴∠GAD=∠EAD；∵DE∥∴∠GAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，即平行四邊形AGDE是菱形．??題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形16．（2024·貴州貴陽·二模）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點(diǎn)C有個(gè)．【答案】8【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)△ABC是直角三角形得出多種情況解答．【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)C1其中AC12=1由勾股定理得：AC故△ABC同理：AC2=12由勾股定理得：AC故△ABC網(wǎng)格中其他點(diǎn)C如圖所示，所以格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8，故答案為：8．17．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是2×2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、C均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作格點(diǎn)圖形，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，以AC為中線作△ABD，使AB=AD；(2)在圖②中，以AC為中線作Rt△AEF，使∠AEF=90°(3)在圖③中，以AC為中線作△AMN，使∠AMN為鈍角且tan∠MAC=【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線的定義以及題意要求畫出圖形；（2）根據(jù)直角三角形的判定三角形中線的定義畫出圖形；（3）根據(jù)三角形中線的定義以及題意要求畫出圖形；【詳解】（1）解：使AB=AD，即讓△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，過C點(diǎn)作AC的垂線，使C為BD中點(diǎn)即可；（2）解：在A點(diǎn)正下方與C點(diǎn)對(duì)齊的地方找到E點(diǎn)，過點(diǎn)E、C畫直線使C為BD中點(diǎn)即可得到點(diǎn)F；（3）解：過點(diǎn)C畫斜線使C為中點(diǎn)找到M、N，連接起來即可使tan∠MAC=18．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個(gè)小方格的邊長為1，已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求完成以下問題．

(1)在圖中畫一個(gè)格點(diǎn)等腰三角形PEF，使得底邊長為2；(2)在圖中再找一個(gè)格點(diǎn)G，使得P，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為__________．【答案】(1)見解析(2)1或3【分析】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，理解相關(guān)圖形的性質(zhì)．（1）底邊長為2即底邊為小方格的對(duì)角線，根據(jù)要求畫出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰△PEF，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，找到點(diǎn)G的位置，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

等腰三角形PEF，即為所求；（2）當(dāng)PE=EF=1，PF=2時(shí)，點(diǎn)G此時(shí)該平行四邊形的面積為1×1=1；當(dāng)PE=EF=5，PF=2時(shí)，點(diǎn)此時(shí)該平行四邊形的面積為2×1故答案為：1或3．19．（2024·河北邯鄲·三模）如圖中的點(diǎn)都在格點(diǎn)上，使△ABPn（n為1~4的整數(shù)）不是軸對(duì)稱圖形的點(diǎn)是（

A．P1 B．P2 C．P3【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，等腰三角形的定義，勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得△ABP1、△AB【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得△ABP△ABP故選：B．??題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長20．（2024·廣西桂林·一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠E=30°，則CE的長為．【答案】3【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等角對(duì)等邊，由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AB=6，∠ACB=60°，CD=12AC=3，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CDE=∠ACB?∠E=30°【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，AB=6，∴AC=AB=6，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴CD=1∵∠E=30°，∴∠CDE=∠ACB?∠E=60°?30°=30°，∴∠CDE=∠E，∴CE=CD=3．21．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB上，AD=4，CD=10，則BD的長為

【答案】2【分析】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，過D作DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，得四邊形DECF是矩形，根據(jù)性質(zhì)可知CF=DE，再由等角對(duì)等邊得DE=BE，AF=DF，最后由勾股定理即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，

∴∠DEB=90°，∠AFD=∠CFD=90°，∵∠ACB=90°，∴四邊形DECF是矩形，∴CF=DE，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠B=∠EDB=45°，∠A=∠ADF=45°，∴DE=BE，AF=DF，則由勾股定理得：BD=2DE=2∴AF=DF=22在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=∴DE=CF=2∴BD=2故答案為：2．22．（2024·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則點(diǎn)E到AB的距離為，DEEF的值是【答案】45【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．先根據(jù)勾股定理求出AB，即可分別用三角形面積公式推得點(diǎn)C到AB的距離和點(diǎn)E到AB的距離，再根據(jù)DF∥AB判定△CDF∽△CAB即可推得相似比，從而由相似三角形的性質(zhì)得到CDCA=DFAB=23，由AE平分∠BAC【詳解】解：∵Rt△ABC中，∴點(diǎn)C到AB的距離?=AC×BC∵S∴點(diǎn)E到AB的距離?1∴點(diǎn)C到DF的距離?2∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，且相似比為?2∴CD∴CD=23×4=∴AD=AC?CD=4∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE，∵DF∥AB，∴∠BAE=∠AED，即∠DAE=∠AED，∴DE=AD=4∴EF=DF?DE=10∴DE故答案為：45；223．（2024·陜西·模擬預(yù)測）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是高錳酸鉀制取氧氣的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的13處BE=13AB，已知試管AB=24cm，試管傾斜角α為10°，實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管BF交CD的延長線于點(diǎn)F，且ED⊥CF，測得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的長度．（參考數(shù)據(jù)：【答案】33.84【分析】本題考查解直角三角形，矩形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定．過點(diǎn)B分別作BH⊥DE于點(diǎn)H，BP⊥FC于點(diǎn)P，則四邊形BPDH是矩形，得到BH=DP，BP=HD，在Rt△BEH中，HE=BE?sin∠EBH≈1.36，BH=BE?cos∠EBH≈7.84，從而DP=BH=7.84，BP=HD=DE?HE=26【詳解】解：如解圖，過點(diǎn)B分別作BH⊥DE于點(diǎn)H，BP⊥FC于點(diǎn)P，∵ED⊥CF∴四邊形BPDH是矩形，∴BH=DP，BP=HD∵AB=24，BE=13AB=8∴在Rt△BEH中，HE=BE?BH=BE?cos∴DP=BH=7.84，HD=DE?HE=27.36?1.36=26，∴BP=HD=26，∵∠PBF=145°?90°?10°=45°，∴∠FBP=180°?∠BPF?∠PBF=45°，∴PF=BP=26∴DF=DP+PF=7.84+26=33.84，答：DF的長度約為33.84cm24．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，則△ABD與△ACD的面積比為（

）A．5：4 B．4:5 C．16:25【答案】A【分析】過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA的延長線于點(diǎn)E，利用平行線分線段成比例定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，三角形面積特點(diǎn)解答即可．本題考查了平行線分線段成比例定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，三角形面積，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE∥AD，交BA的延長線于點(diǎn)E，則BDDC=BA∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，∵AB=5，AC=4，∴AE=4，∴BDDC∴S△ABD故選A．25．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，且AB=5，AE=BC=4，則CD的長為．【答案】4179【分析】過點(diǎn)C作AB的平行線，交BD的延長線于點(diǎn)E，利用△ABD∽△CFD結(jié)合等腰三角形CBF求出結(jié)果．【詳解】解∶過點(diǎn)C作AB的平行線，交BD的延長線于點(diǎn)E．在直角△ABE中，∠AEB=90°BE=A∴CE=BC?BE=4?3=1，在直角△AEC中，由勾股定理得AC=A∵CF∥∴△ABD∽△CFD，∴ADDC∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2，∵CF∥∴∠1=∠F，∴∠2=∠F．∴CF=