四川省宜賓市敘州區(qū)2025屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高2022級(jí)高三上期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至4頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，又因?yàn)?，則.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的定義即可求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義即可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，故選：A.3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則（）A.51 B.102 C.119 D.238【答案】B【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出公差，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】等差數(shù)列中，，，即，所以，則.故選：B.4.如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，且，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的中線公式，得到，再利用向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，又，，所以故選：C.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值“”分析大小即可.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，則，即；又因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞減，則，即；可得，且在0,+∞上單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：.故選：D.6.“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解，再根據(jù)推出關(guān)系判斷必要不充分條件可得.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”.又，且，故“對(duì)任意實(shí)數(shù)都有”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.若正實(shí)數(shù)滿足，不等式有解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求最小值，再由不等式有解得，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，要使不等式有解，只需，所以.故選：B8.如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f(x)為“穩(wěn)定型函數(shù)”.則下列函數(shù)中是“穩(wěn)定型函數(shù)”的有()個(gè)①；②；③；④.A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，逐項(xiàng)依次驗(yàn)證時(shí)，是否有(a)(b)(c)即可.【詳解】設(shè)，且(*)，對(duì)于①，設(shè)，此時(shí)只需證，即證，即證，取，，但，即ab＜c，故不是“穩(wěn)定型函數(shù)”；對(duì)于②，只需證明，即說(shuō)明是“穩(wěn)定型函數(shù)”，只需證即可，即證，結(jié)合(*)，顯然成立，∴是“穩(wěn)定型函數(shù)”；對(duì)于③，取，，此時(shí)，∴不是“穩(wěn)定型函數(shù)”；對(duì)于④，，(a)，(b)，(c)，則有(a)(b)(c)，故(a)，(b)，(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，f(x)是“穩(wěn)定型函數(shù)”；綜上，其中②④為“穩(wěn)定型函數(shù)”.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且（，），則，的值可能為（）A， B.， C.， D.，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，所以由平面向量基本定理可知：，化簡(jiǎn)得：，顯然有，而，所以有，當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)A不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)B不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)C可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)D可能，故選：CD10.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列 B.C.既無(wú)最大值也無(wú)最小值 D.【答案】BD【解析】【分析】首先利用賦值，求首項(xiàng)和第二項(xiàng)，再利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系，判斷選項(xiàng)A；再根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，判斷B；寫(xiě)出的表達(dá)式，求取值范圍，判斷C；利用等比數(shù)列求和判斷D.【詳解】解：列的前項(xiàng)和為，若，，令，知，結(jié)合，知，，，所以，但，，，當(dāng)，，，故A錯(cuò)誤，B正確；由于，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；所以無(wú)最小值，有最大值，，故D正確．故選：BD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，的圖象關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的周期為4 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱C. D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】【分析】由已知可得，結(jié)合，可求周期判斷A；由已知可得的圖象關(guān)于2,0對(duì)稱，結(jié)合對(duì)稱性與周期性可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，判斷B；由已知可得，，結(jié)合已知可求判斷C；利用對(duì)稱性可求當(dāng)時(shí)，的解析式判斷D.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，又，所以fx=?fx+2，所以所以的周期為4，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于2,0對(duì)稱，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，又的周期為4，所以可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，，又，所以，解得,所以當(dāng)時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，則，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題解題思路在于利用函數(shù)的對(duì)稱性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的特征，再利用對(duì)稱性推斷結(jié)論，得到相關(guān)點(diǎn)的函數(shù)值，確定參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)對(duì)稱性求出相應(yīng)解析式.第II卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無(wú)效．（2）本部分共8個(gè)小題，共92分．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)_____【答案】【解析】【分析】先求出的值，設(shè)為，判斷是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解．【詳解】=，，函數(shù)是奇函數(shù)，所以的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算．13.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.14.已知數(shù)列和滿足，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，整理得．因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．故答案為:四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）極小值為，極大值為（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；（2），對(duì)分，和討論單調(diào)性即可小問(wèn)1詳解】.所以x<1或x>2時(shí)，，時(shí)，，則在上遞減，在遞增，所以的極小值為，極大值為.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以上遞增，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，所以在上遞增；在上遞減．16.已知．（1）若，，求的值；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式求得，利用平方的方法求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，進(jìn)而求得的值.（2）利用分析法，結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】．，，．.【小問(wèn)2詳解】要證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，證畢．17.已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，．（1）若，求的面積；（2）若是銳角三角形，為的中點(diǎn)，求長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可得，故可求三角形面積.（2）根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)銳角三角形可得，故可求長(zhǎng)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，故，又，故，因?yàn)?，而為三角形?nèi)角，故，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由；在中，由；而，所以，故，而是銳角三角形，故，即，故，故即.18.已知數(shù)列中，，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，數(shù)列是等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為.【解析】【分析】（1）由關(guān)系證明數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)數(shù)列的公比為，由條件列方程求，，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論.（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】由已知當(dāng)，時(shí)，，，所以，又，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，又，所以，所以當(dāng)，時(shí)，，又，所以，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，【小?wèn)2詳解】由（1），所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.19.對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求證；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)，證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)最小值即可證明；（2）將代入函數(shù)解析式，得方程解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值，求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）結(jié)合（1）換元后，再由待證式子，設(shè)，結(jié)合結(jié)論恰當(dāng)變形，利用相加相消即可證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，有，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，f′x≥0，所以，所以得證.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意可知：方程解的個(gè)數(shù)即為