中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)幾何熱考題一相交線與平行線熱考模型(10種題型專題訓(xùn)練+10種模型解析)含答案及解析

第四章三角形重難點(diǎn)07幾何熱考題一相交線與平行線熱考模型（10種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）【題型匯總】題型01三線八角的識(shí)別已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對(duì)頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對(duì)頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解題方法：運(yùn)用平行線的性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)，要正確地辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，同時(shí)結(jié)合平行線的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進(jìn)行計(jì)算.1．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角2．（2023·河北唐山·二模）下列圖中，∠1和∠2不是同位角的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線l1和l2被直線l3和l4所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，則A．75° B．105° C．115° D．130°4．（2024·陜西·中考真題）如圖，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，則A．25° B．35° C．45° D．55°題型02豬蹄模型豬蹄模型豬蹄模型-進(jìn)階（又稱“鋸齒”模型）條件AB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和輔助線作法：過拐點(diǎn)作平行線，有多少拐點(diǎn)就作多少平行線.【補(bǔ)充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在直線b上，若∠2=41°，則∠1的度數(shù)為（

）A．41° B．51° C．49° D．59°2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在圖中，AB//CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？3．（2024撫順市模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點(diǎn)E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+27題型03鉛筆頭模型鉛筆頭模型鉛筆頭模型-進(jìn)階條件AB∥DEAB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[類推]1.如圖，兩直線AB、CD平行，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（

）．

A．630° B．720° C．800° D．900°2.如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是3.如圖①所示，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．如圖②所示，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則

（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是（度）．4.（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．

題型04大腳模型類型大腳模型骨折模型已知AB∥CD圖示結(jié)論∠E=∠1-∠3即：腳尖度數(shù)=大角-小角∠E=∠3-∠11．（20-21八年級(jí)上·貴州六盤水·階段練習(xí)）如圖，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=2（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D3.（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式．4.①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型05蛇形模型條件AB∥CD圖示結(jié)論∠BCD+∠D-∠B=180°∠BCD+∠B-∠D=180°1．（21-22八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、(1)如圖1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度數(shù)；(2)如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD2．如圖，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD

(1)求證：∠B+∠C?∠A=180°：(2)如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點(diǎn)P，QP⊥PB，直接寫出3．（23-24七年級(jí)下·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）如圖，AB∥DC，點(diǎn)E在直線AB，DC之間，連接DE，BE．

(1)寫出∠ABE，∠BED，∠EDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度數(shù)；

題型06平行平分三等角解題大招：平行平分得三等角.1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，則∠D的度數(shù)是（

）A．40° B．36° C．35° 2．（2024·四川·中考真題）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，則∠2=（

A．15° B．30° C．45° D．60°3．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，已知直線AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（

）

A．70° B．50° C．40° D．140°4．（2023·四川資陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，則∠2=題型07平行線折疊問題記住三句話:①折疊前后對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊相等.②折疊不改變?cè)鹊钠叫嘘P(guān)系.③以折線為對(duì)稱軸.1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿AB折疊，量得∠1=∠2=59°；小鐵把紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合．且點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上．則下列判斷正確的是（

）A．紙帶①、②的邊線都平行B．紙帶①、②的邊線都不平行C．紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行D．紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行2．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，四邊形ABCD是一張矩形紙片，點(diǎn)O是BC上一點(diǎn)，將矩形紙片ABCD折疊得到圖2，使得OB與OC重合．若∠2=50°，則∠1的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．55°3．（2023·江蘇鹽城·二模）如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)C'處，∠1=58°，∠2=42°，則∠C的度數(shù)為（

A．100° B．109° C．126.5° D．130°4．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把矩形ABCD紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°

題型08三角板拼接模型常見的三角板與三角板（平行）拼接模型：類型兩條斜邊平行斜邊于直角邊平行兩條直角邊平行圖示頂點(diǎn)在斜邊上頂點(diǎn)在直角邊上頂點(diǎn)在邊上頂點(diǎn)重合【提示】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算，計(jì)算線段長(zhǎng)時(shí)會(huì)用到特殊角的三角函數(shù)值.1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（

A．45° B．60° C．75° D．105°2．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)DF∥AB時(shí)，∠EDB的度數(shù)為（

）

A．10° B．15° C．30° D．45°3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則∠1的大小為（

）

A．100° B．105° C．115° D．120°4．（2023·黑龍江綏化·中考真題）將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，∠1=25°，∠2=30°，則∠3的度數(shù)為（

）

A．55° B．65° C．70° D．75°題型09直尺與三角板拼接模型綜合類型一直尺與30°角的三角板拼接圖示解題方法利用三線八角求解結(jié)論∠1+∠2=90°∠1=∠2∠1+∠2=90°類型二直尺與45°角的三角板拼接圖示解題方法遇拐點(diǎn)作平行線三線八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解結(jié)論∠1+∠2=90°∠1=∠2=75°∠1=105°【提示】直尺本身含平行線，根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算.1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線m∥n，一塊含有30°的直角三角板按如圖所示放置．若∠1=40°，則∠2的大小為（A．70° B．60° C．50° D．40°2．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）將三角尺ABC按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線l1上，頂點(diǎn)B落在直線l2上，若l1∥l2，

A．45° B．35° C．30° D．25°3．（2024·海南·中考真題）如圖，直線m∥n，把一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式放置，點(diǎn)B在直線n上，∠A=90°，若∠1=25°，則∠2等于（A．70° B．65° C．25° D．20°4．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）已知，直線a∥b，把一塊含有30°角的直角三角板如圖放置，∠1=30°，三角板的斜邊所在直線交b于點(diǎn)A，則∠2=（A．50° B．60° C．70° D．80°5．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，頂點(diǎn)A,B分別在l1,6．（2023·江蘇·中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若∠1=56°，則∠2的度數(shù)是（

）．

A．26° B．30° C．36° D．56°7．（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．45° D．55°題型10等積模型條件：AB∥CD圖形：結(jié)論：1)2)1.如圖，P是直線m上一動(dòng)點(diǎn)，A，B是直線n上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線m∥n，對(duì)于下列各值：①點(diǎn)P到直線n的距離；②△PAB的周長(zhǎng)；③△PAB的面積；④∠APB的度數(shù)．

A．①③ B．①② C．②③ D．③④2.（2024·寧夏吳忠·二模）如圖，AD∥BC，AC、BD相交于點(diǎn)E，△ABE的面積等于3，△BEC的面積等于5，那么△BCD的面積是15．（23-24七年級(jí)下·上海松江·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若△ABC的面積為8，△BOC的面積為5，則△COD的面積是3．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，若S△ABDS△BCD=4（23-24七年級(jí)下·湖南永州·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線a∥b，直線a，b的距離為h，則三角形ABC的面積為S△ABC

(1)【問題探究】如圖2，若點(diǎn)C平移到點(diǎn)D，求證：S△AOC(2)【深化拓展】如圖3，記S△AOC=S1、S△BOD=S(3)【靈活運(yùn)用】如圖4，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)O，已知S△ABE=10，且EO:EB=2:5，求四邊形5．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時(shí)，連接AD并延長(zhǎng)交l2于點(diǎn)M證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時(shí)，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC

第四章三角形重難點(diǎn)07幾何熱考題一相交線與平行線熱考模型（10種題型匯總+專題訓(xùn)練+10種模型解析）【題型匯總】題型01三線八角的識(shí)別已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對(duì)頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對(duì)頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.解題方法：運(yùn)用平行線的性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)，要正確地辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，同時(shí)結(jié)合平行線的性質(zhì)及其他有關(guān)角的性質(zhì)、定義進(jìn)行計(jì)算.1．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【答案】D【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．2．（2023·河北唐山·二模）下列圖中，∠1和∠2不是同位角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)同位角的定義(在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角)進(jìn)行判斷．【詳解】A選項(xiàng)：∠1與∠2有一邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，B選項(xiàng)：∠1與∠2的兩條邊都不在同一條直線上，不是同位角，C選項(xiàng)：∠1與∠2有一條邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，D選項(xiàng)：∠1與∠2有一邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角．3．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線l1和l2被直線l3和l4所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，則A．75° B．105° C．115° D．130°【答案】B【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先利用∠1=∠2=130°判定l1【詳解】解：∵∠1=∠2=130°，∴l(xiāng)1∴∠5+∠4=180°,∵∠3=∠5=75°，∴∠4=180°?75°=105°，故選：B．4．（2024·陜西·中考真題）如圖，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，則A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，得到∠C=35°，再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，即可得到答案．【詳解】∵AB∥∴∠B+∠C=180°，∵∠B=145°，∴∠C=180°?∠B=35°，∵BC∥∴∠D=∠C=35°．故選B．題型02豬蹄模型豬蹄模型豬蹄模型-進(jìn)階（又稱“鋸齒”模型）條件AB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠E=∠BCE∠B+∠CMN+∠E=∠BCM+∠MNE左拐角之和=右拐角之和輔助線作法：過拐點(diǎn)作平行線，有多少拐點(diǎn)就作多少平行線.【補(bǔ)充】選、填題結(jié)論直接套用，解答題需寫過程.1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在直線b上，若∠2=41°，則∠1的度數(shù)為（

）A．41° B．51° C．49° D．59°【答案】C【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)B作BE∥a，得到BE∥a∥b，推出∠ABC=∠1+∠2，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，過點(diǎn)B作BE∥a，∵a∥b，∴BE∥a∥b，∴∠1=∠ABE,∠2=∠CBE，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠1+∠2，∵∠2=41°，∴∠1=90°?41°=49°；故選C．2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）在圖中，AB//CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？【答案】∠E+∠G=∠B+∠F+∠D【分析】此類題要過各個(gè)分點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．【詳解】分別過E，F(xiàn)，G作AB的平行線，∵AB//CD,∴AB//則∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D，即，∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．【點(diǎn)睛】此類題主要注意構(gòu)造輔助線：平行線，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明．3．（2024撫順市模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時(shí)，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫出的證明過程如下:證明：過點(diǎn)E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+27【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EM∥AB∥FN∥（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H=51【詳解】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∵∠BEF=60∴∠B+∠CFE+∠C=60（2）如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABE=12∠ABG∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∴∠BHC=180∠BGC=∴∠BGC=360∵∠BGC=∠BHC+27∴180°∴∠BHC=51【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．題型03鉛筆頭模型鉛筆頭模型鉛筆頭模型-進(jìn)階條件AB∥DEAB∥DEa∥b圖示結(jié)論∠B+∠BCE+∠E=360°∠B+∠BMN+∠MNE+∠E=540°[類推]1.如圖，兩直線AB、CD平行，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（

）．

A．630° B．720° C．800° D．900°【答案】D【詳解】分別過E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵2.如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，則∠AGC的度數(shù)是【答案】80°/80度【分析】過點(diǎn)F作FM∥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FM∥∵AB∥∴AB∥∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，∵CG∥EF，∴∠AGC=∠EFA=80°．故答案為80°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．3.如圖①所示，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．如圖②所示，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則

（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是（度）．【答案】360540720180n【分析】過點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的（1）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（2）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的四倍；（3）根據(jù)前三問個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】過E作EH∥∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴AB∥又∵EH∥∴CD∥∵EH∥∴∠BAE+∵CD∥∴∠2+∴∠BAE+又∵∠1+∴∠BAE+

（1）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得∠BAE+（2）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得∠BAE+（3）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：360；540；720；180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．4.（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．

【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）圖（3）∠BPD=∠D?∠B，圖（4）∠BPD=∠B?∠D【分析】（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，得到∠B+∠BPE=180°，由AB∥CD，EF∥AB，得到EF∥CD，得到∠EPD+∠D=180°，由此得到∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）過點(diǎn)P作PE∥AB，由PE∥AB∥CD，得到∠1=∠B，∠2=∠D，從而得到結(jié)論（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、【詳解】（1）解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°．理由：過點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖，過點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）如圖（3）：∠BPD=∠D?∠B．理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠P，∴∠D=∠B+∠P，即∠BPD=∠D?∠B；如圖（4）：∠BPD=∠B?∠D．理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠P，∴∠B=∠D+∠P，即∠BPD=∠B?∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型04大腳模型類型大腳模型骨折模型已知AB∥CD圖示結(jié)論∠E=∠1-∠3即：腳尖度數(shù)=大角-小角∠E=∠3-∠11．（20-21八年級(jí)上·貴州六盤水·階段練習(xí)）如圖，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=【答案】40°/40度【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)．過點(diǎn)C作CF∥【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF∥∵∠ABC=80°，∴∠BCF=∠ABC=80°，又∵AB∥∴DE∥∴∠DCF+∠CDE=180°，∴∠DCF=40°，∴∠BCD=∠BCF?∠DCF=80°?40°=40°．故答案為：40°．2（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D【答案】見解析【分析】過點(diǎn)E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠B=∠BOD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】證明：過點(diǎn)E作EF∥CD，如圖∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（輔助線），∴∠BOD=∠BEF（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代換），∴∠BOD=∠E+∠D（等量代換），即∠B=∠E+∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補(bǔ)的角．3.（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式．【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可．【詳解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，即∠2+∠3﹣∠1=180°．故答案為：∠2+∠3﹣∠1=180°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4.①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】①過點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．題型05蛇形模型條件AB∥CD圖示結(jié)論∠BCD+∠D-∠B=180°∠BCD+∠B-∠D=180°1．（21-22八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、(1)如圖1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度數(shù)；(2)如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD【答案】(1)∠APD=80°(2)∠PAB+∠CDP?∠APD=180°(3)∠AND=45°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）過點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°?150°=30°，即可求出（2）過點(diǎn)P作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDP=∠DPF，（3）PD交AN于點(diǎn)O，由AP⊥PD，得出∠APD=90°，由∠PAN+12∠PAB=90°得出∠PAN+12∠PAB=∠APD，由∠POA+∠PAN=90°，得出∠POA=12∠PAB，由對(duì)頂角相等得出∠NOD=【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD=180°，∵∠D=150°，∴∠EPD=180°?150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（2）如圖2，過點(diǎn)P作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF?∠APD，∴∠DPF?∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB?∠APD=180°，故答案為：∠CDP+∠PAB?∠APD=180°；（3）如圖3，設(shè)PD交AN于點(diǎn)O，∵AP⊥PD，∴∠APD=90°，∵∠PAN+∴∠PAN+1∴∠POA+∠PAN=90°，∴∠POA=1∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=1∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=1∴∠AND=180°?∠NOD?∠ODN=180°?1由（2）得：∠CDP+∠PAB?∠APD=180°，∴∠CDP+∠PAB=180°+∠APD，∴∠AND=180°?=180°?=180°?=45°．2．如圖，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AD

(1)求證：∠B+∠C?∠A=180°：(2)如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究(3)如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直線AQ、BC交于點(diǎn)P，QP⊥PB【答案】(1)見解析(2)2∠AQB+∠C=(3)1【分析】（1）過點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出（2）過點(diǎn)Q作QM∥AD，則QM∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出（3）由（2）的結(jié)論可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，聯(lián)立①②可求出∠CAD、∠CBE【詳解】（1）在圖①中，過點(diǎn)C作CF∥AD，則

∵CF∥∴∠ACF=∠A，∴∠ACB+∠B?∠A=∠ACF+∠BCF+∠B?∠A=∠A+180°?∠A=180°．（2）在圖2中，過點(diǎn)Q作QM∥AD，則

∵QM∥∴∠AQM=∠NAD，∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=1∴∠AQB=∠BQM?∠AQM=1∵∠C=180∴2∠AQB+∠C=180°．（3）∵AC∥∴∠AQB=∠CAP=1∴∠ACB=180°?∠ACP=180°?1∵2∠AQB+∠ACB=180°，∴∠CAD=1又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，∴∠CAD=60°，∴∠ACB=180°?(∠CBE?∠CAD)=120°，∴∠DAC：故答案為：1：【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．3．（23-24七年級(jí)下·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）如圖，AB∥DC，點(diǎn)E在直線AB，DC之間，連接DE，BE．

(1)寫出∠ABE，∠BED，∠EDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B，求∠B的度數(shù)；【答案】(1)∠BED+∠ABE?∠EDC=180°，證明見解析(2)∠B=67°【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥CD，利用平行線的判定及性質(zhì)即可得解；（2）由（1）得∠BED+∠ABE?∠EDC=180°，將∠BED=2∠B代入即可得解．本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∠BED+∠ABE?∠EDC=180°，理由如下：過點(diǎn)E作EF∥CD，如圖，

∴∠EDC=∠DEF，∵AB∥CD，∴AB∥∴∠ABE+∠BEF=180°，∴∠BEF=180°?∠ABE，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠EDC+180°?∠ABE，∴∠BED+∠ABE?∠EDC=180°；（2）解：由（1）得∠BED+∠ABE?∠EDC=180°，∴2∠B+∠B?∠EDC=180°，∴3∠B?21°=180°，解得∠B=67°．題型06平行平分三等角解題大招：平行平分得三等角.1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，則∠D的度數(shù)是（

）A．40° B．36° C．35° 【答案】C【分析】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ABC=180°?∠A=180°?110°=70°，∠D=∠DBC；∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∴∠D=35°．故選：C2．（2024·四川·中考真題）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，則∠2=（

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)求角，根據(jù)∠BAD=∠1、∠2=∠BAD即可求解.【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAD=∠1=30°∵AD平分∠BAC，∴∠2=∠BAD=30°故選：B3．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，已知直線AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（

）

A．70° B．50° C．40° D．140°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFG=∠1=40°，∠EFG+∠BEF=180°，∠EGF=∠BEG，推得∠BEF=140°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出∠BEG的度數(shù)，即可求得∠2的度數(shù)．【詳解】∵AB∥CD，∴∠EFG=∠1=40°，∠EFG+∠BEF=180°，∠EGF=∠BEG，∴∠BEF=180°?40°=140°，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=1∴∠2=∠BEG=70°故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023·四川資陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，則∠2=【答案】72°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟悉掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠CBA=54°，由角平分線得到∠CBD=∠CBA=54°，即可運(yùn)算求解．【詳解】解：∵AB∥∴∠1=∠CBA=54°，∵BC平分∠ABD，∴∠CBD=∠CBA=54°，∴∠2=∠CDB=180°?∠1?∠CBD=180°?54°?54°=72°，故答案為：72°．題型07平行線折疊問題記住三句話:①折疊前后對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊相等.②折疊不改變?cè)鹊钠叫嘘P(guān)系.③以折線為對(duì)稱軸.1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿AB折疊，量得∠1=∠2=59°；小鐵把紙帶②沿GH折疊，發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合．且點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上．則下列判斷正確的是（

）A．紙帶①、②的邊線都平行B．紙帶①、②的邊線都不平行C．紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行D．紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行【答案】D【分析】對(duì)于紙帶①，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠1=∠ADB=59°，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠DBA=62°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ABC=∠DBA=62°，由平行線的判定即可判斷；對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，由平角的定義從而可得∠EHG=∠FHG=90°，∠CGH=∠DGH=90°，再根據(jù)平行線的判定即可判斷．【詳解】解：對(duì)于紙帶①，∵∠1=∠2=59°，∴∠1=∠ADB=59°，∴∠DBA=180°?59°?59°=62°，由折疊的性質(zhì)得，∠ABC=∠DBA=62°，∴∠2≠∠ABC，∴AD與BC不平行，對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，∠CGH=∠DGH，∠EHG=∠FHG，又∵點(diǎn)C，G，D在同一直線上，點(diǎn)E，H，F(xiàn)也在同一直線上，∴∠CGH+∠DGH=180°，EHG+∠FHG=180°，∴∠EHG=∠FHG=90°，∠CGH=∠DGH=90°，∴∠EHG+∠CGH=180°，∴CD∥綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，四邊形ABCD是一張矩形紙片，點(diǎn)O是BC上一點(diǎn)，將矩形紙片ABCD折疊得到圖2，使得OB與OC重合．若∠2=50°，則∠1的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．55°【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠2=∠3，∠4=∠5，根據(jù)平角的定義可得∠2+∠3+∠4+∠5=180°，從而得出∠2+∠4=90°，求出∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：如圖根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠2=∠3，∠4=∠5∵∠2+∠3+∠4+∠5=180°∴2∴∠2+∠4=90°∵∠2=50°∴∠4=90°?50°=40°∵矩形的對(duì)邊平行∴∠1=∠4=40°故選：B．3．（2023·江蘇鹽城·二模）如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)C'處，∠1=58°，∠2=42°，則∠C的度數(shù)為（

A．100° B．109° C．126.5° D．130°【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C'EC的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠CEF【詳解】解：設(shè)折痕與平行四邊形ABCD交點(diǎn)為E,F，如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∠C根據(jù)折疊可得∠CEF=1∴∠C=180°?∠CEF?∠2=180°?29°?42°=109°．故選：B．4．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把矩形ABCD紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°

【答案】115°/115度【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠D'EF=∠DEF=180°?∠AED'2，從而求得∠AEF=∠AE【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，四邊形EFC'D∴∠D'EF=∠DEF∵∠AED∴∠D∴∠AEF=∠AED∵AD∥BC，∴∠EFC=∠AEF=115°，故答案為：115°．題型08三角板拼接模型常見的三角板與三角板（平行）拼接模型：類型兩條斜邊平行斜邊于直角邊平行兩條直角邊平行圖示頂點(diǎn)在斜邊上頂點(diǎn)在直角邊上頂點(diǎn)在邊上頂點(diǎn)重合【提示】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算，計(jì)算線段長(zhǎng)時(shí)會(huì)用到特殊角的三角函數(shù)值.1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（

A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AGF=∠F=45°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖：設(shè)AB、FD交于點(diǎn)G，

∵AB∥∴∠AGF=∠F=45°，∵∠A=60°，∴∠1=180°?∠A?∠AGF=180°?60°?45°=75°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)DF∥AB時(shí)，∠EDB的度數(shù)為（

）

A．10° B．15° C．30° D．45°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．證明∠AED=∠FDE=30°，再利用∠EDB=∠ABC?∠AED，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：∠EDF=30°，∵DF∥∴∠AED=∠FDE=30°，∴∠EDB=∠ABC?∠AED=45°?30°=15°；故選B．3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）將一副三角尺如圖擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則∠1的大小為（

）

A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】B【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問題，由題意得∠3=∠2=30°，根據(jù)∠1=180°?∠3?45°即可求解．【詳解】解：如圖所示：

由題意得：∠3=∠2=30°∴∠1=180°?∠3?45°=105°故選：B．4．（2023·黑龍江綏化·中考真題）將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，∠1=25°，∠2=30°，則∠3的度數(shù)為（

）

A．55° B．65° C．70° D．75°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解．【詳解】解：依題意，∠1+90°=∠3+45°，∵∠1=25°，∴∠3=70°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．題型09直尺與三角板拼接模型綜合類型一直尺與30°角的三角板拼接圖示解題方法利用三線八角求解結(jié)論∠1+∠2=90°∠1=∠2∠1+∠2=90°類型二直尺與45°角的三角板拼接圖示解題方法遇拐點(diǎn)作平行線三線八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解結(jié)論∠1+∠2=90°∠1=∠2=75°∠1=105°【提示】直尺本身含平行線，根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和進(jìn)行角度計(jì)算.1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，直線m∥n，一塊含有30°的直角三角板按如圖所示放置．若∠1=40°，則∠2的大小為（A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】A【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．利用對(duì)頂角相等求得∠3的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)求得∠4的度數(shù)，最后利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠3=∠1=40°，∴∠4=∠3+30°=70°，∵m∥∴∠2=∠4=70°，故選：A．2．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）將三角尺ABC按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線l1上，頂點(diǎn)B落在直線l2上，若l1∥l2，

A．45° B．35° C．30° D．25°【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，有關(guān)三角板中角度的計(jì)算．由平行線的性質(zhì)可求出∠3=∠1=25°，又由三角板中∠CAB=60°，根據(jù)角的和差即可求出∠2．【詳解】解：如圖，∵l

∴∠3=∠1=25°，∵在三角板ABC中，∠CAB=60°，∴∠2=∠CAB?∠3=60°?25°=35°．故選：B3．（2024·海南·中考真題）如圖，直線m∥n，把一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式放置，點(diǎn)B在直線n上，∠A=90°，若∠1=25°，則∠2等于（A．70° B．65° C．25° D．20°【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)．如圖，過點(diǎn)C作直線CD平行于直線m，易得m∥CD∥n，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1=25°，由∠ACB=45°可求出【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作直線CD平行于直線m，∵直線m∥∴m∥∴∠3=∠1=25°，∠4=∠2，由題意可得∠ACB=45°，∴∠4=45°?25°=20°，∴∠2=∠4=20°，故選：D．4．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）已知，直線a∥b，把一塊含有30°角的直角三角板如圖放置，∠1=30°，三角板的斜邊所在直線交b于點(diǎn)A，則∠2=（A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠CAD=∠ACB=90°，即可解答．【詳解】解：∵a∥∴∠CAD=∠ACB=90°，∴∠2=180°?∠1?∠CAD=60°，故選：B．5．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，頂點(diǎn)A,B分別在l1,【答案】65°/65度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠3=∠1，等邊對(duì)等角，得到∠ABC=45°，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠2的度數(shù)即可．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵l1∴∠3=∠1=70°，∴∠2=180°?∠3?∠ABC=65°；故答案為：65°．6．（2023·江蘇·中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若∠1=56°，則∠2的度數(shù)是（

）．

A．26° B．30° C．36° D．56°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠3=∠1=56°，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵直尺的兩邊平行，∴∠3=∠1=56°，又∵∠3=30°+∠2，∴∠2=∠3?30°=56°?30°=26°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外交的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（

）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】B【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3=∠1=55°，再利用平角的定義即可求出∠2的度數(shù).【詳解】解：如圖，∵∠1=55°，AB∥CD∴∠3=∠1=55°，∴∠2=180°?∠2?∠3=35°，故選：B題型10等積模型條件：AB∥CD圖形：結(jié)論：1)2)1.如圖，P是直線m上一動(dòng)點(diǎn)，A，B是直線n上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線m∥n，對(duì)于下列各值：①點(diǎn)P到直線n的距離；②△PAB的周長(zhǎng)；③△PAB的面積；④∠APB的度數(shù)．

A．①③ B．①② C．②③ D．③④【答案】A【分析】本題考查了平行線間的距離，解題關(guān)