中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識涉及二次函數(shù)的圖形變化類問題與二次函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新類問題(2種命題預(yù)測+77種題型+專題訓(xùn)練+3種解題方法)含答案及解析

第三章函數(shù)重難點(diǎn)05涉及二次函數(shù)的圖形變化類問題，與二次函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新類問題（2種命題預(yù)測+7種題型匯總+專題訓(xùn)練+3種解題方法）【題型匯總】類型一涉及二次函數(shù)的圖形變化類問題題型01平移變換平移方式（n＞0)一般式頂點(diǎn)式平移口訣向左平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h-n，k)左加向右平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h+n，k)右減向上平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k+n)上加向下平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k-n)下減1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象的對稱軸是直線x=?1，圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為1,0，直線y=x+n經(jīng)過點(diǎn)B，且與y(1)填空：a=____；b=____；n=_____．(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位，使拋物線頂點(diǎn)M落在直線BC上，試求m的值．(3)在（2）的條件下，設(shè)Pt,0是x軸上的一動點(diǎn)，若△MBP外接圓的圓心落在平移后的拋物線內(nèi)部，試求t2．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨OA，OB的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，OA，OB關(guān)于y軸對稱．OC=1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)分別延長AO，BO交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S1，將拋物線向右平移mm>0個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S2．若S3．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C1:y=ax2+43x?4的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線C1(2)將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點(diǎn)P4．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知拋物線Q1:y=?x2+bx+c與x軸交于A

(1)請求出拋物線Q1(2)如圖1，在y軸上有一點(diǎn)D0,?1，點(diǎn)E在拋物線Q1上，點(diǎn)F為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E,F使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點(diǎn)(3)如圖2，將拋物線Q1向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點(diǎn)為K，與x軸正半軸交于點(diǎn)H，拋物線Q1上是否存在點(diǎn)P，使得題型02旋轉(zhuǎn)變換5．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC=OA，AB=4，對稱軸為直線l1:x=?1，將拋物線y1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y2(1)分別求拋物線y1和y(2)如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為?6,0，動點(diǎn)M在直線l1上，過點(diǎn)M作MN∥x軸與直線l2交于點(diǎn)N，連接FM，DN．求(3)如圖2，點(diǎn)H的坐標(biāo)為0,?2，動點(diǎn)P在拋物線y2上，試探究是否存在點(diǎn)P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P7．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)，且與直線l交于A?2,(1)求拋物線C1的解析式和tan(2)若D是拋物線C1上的一個(gè)動點(diǎn)（在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間），作DE⊥l于點(diǎn)E，DF∥y軸交l于點(diǎn)F，在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面積最大？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DEF(3)將拋物線C1繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再平移使其頂點(diǎn)在直線l上，且經(jīng)過點(diǎn)A，得到拋物線C2，試問在拋物線C2上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB8．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M2,?2，與x軸的交點(diǎn)為A和B（其中點(diǎn)A與原點(diǎn)重合），將拋物線y=ax2+bx+c繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)M(1)求拋物線y=ax(2)求證：點(diǎn)A，M，A1(3)若點(diǎn)P是原拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對稱軸上一點(diǎn)，E為線段AM的中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．題型03翻折變換二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值.9．（2023·四川德陽·中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?4)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG=2510．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L1:y=x2?2x?3的頂點(diǎn)為P．直線l過點(diǎn)M0,mm≥?3，且平行于x軸，與拋物線L1交于A、B兩點(diǎn)（B在A的右側(cè)）．將拋物線L1沿直線l翻折得到拋物線L

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接BC、CD、DB，若△BCD為直角三角形，求此時(shí)L2(3)在（2）的條件下，若△BCD的面積為3,E、F兩點(diǎn)分別在邊BC、CD上運(yùn)動，且EF=CD，以EF為一邊作正方形EFGH，連接CG，寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由．

11．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過點(diǎn)B6,0和點(diǎn)D4,?3與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線與y(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為C1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)G'，將曲線C1，沿y軸向下平移n個(gè)單位長度（0<n<6）．曲線C1與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q12．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)13．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y=?x2+4x+5交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)作直線x=t0<t<5，分別交x軸、線段BC、拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，連接CF．若△BDE與△CEF相似，求(3)如圖2，過點(diǎn)C作CG∥x軸，交拋物線C1于點(diǎn)G，將拋物線C1在點(diǎn)G右下方的圖象沿直線CG向上翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，當(dāng)直線y=x+n與新的圖象只有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請求出題型04對稱變換變換方式變換后口訣關(guān)于x軸對稱x不變，y變-y關(guān)于y軸對稱y不變，x變-x關(guān)于原點(diǎn)對稱x變-x，y變-y關(guān)于對稱x變2x1-x，y變2y1-y14．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知拋物線L:y=ax2+bx+6與x軸相交于A(?3,0)和B(?2,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式．(2)若拋物線L'與拋物線L關(guān)于原點(diǎn)O對稱，F(xiàn)是拋物線L'位于第四象限的點(diǎn)，過點(diǎn)F作FE⊥y軸于點(diǎn)E，連接FO．若△AOC與△EOF相似，求點(diǎn)15．（2024·江西吉安·三模）已知拋物線L:y=x2?4mxm≠0，直線x=m將拋物線L分成兩部分，首先去掉其不含頂點(diǎn)的部分，然后作出拋物線剩余部分關(guān)于直線x=m的對稱圖形，得到的整個(gè)圖形L'稱為拋物線L（1）感知特例如圖所示、當(dāng)m=1時(shí)，拋物線L:y=x2?4mx上的點(diǎn)B，C，A，D，E分別關(guān)于直線x=m對稱的點(diǎn)為B'，C'，A…BCADE……

…①補(bǔ)全表格；②在圖中描出表中對稱點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到圖象記為L'③若雙拋圖形L'與直線y=t恰好有三個(gè)交點(diǎn)，則t的值為④若雙拋圖形L'的函數(shù)值隨著x的增大而增大，則x的取值范圍為探究問題（2）①若雙拋圖形L'與直線y=t恰好有三個(gè)交點(diǎn)，則t的值為；（用含m②若雙拋圖形L'的函數(shù)值隨著x的增大而增大，直接寫出x的取值范圍；（用含m16．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：y=?x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A?3,?1，與(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，求CDOD的最大值及此時(shí)點(diǎn)C(3)作拋物線F關(guān)于直線y=?1上一點(diǎn)的對稱圖象F'，拋物線F與F'只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F'對稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H17．（2024·陜西西安·二模）如圖，拋物線L：y=ax2+bx+3經(jīng)過A?1,0，B5,3(1)求該拋物線L的表達(dá)式；(2)拋物線L'與拋物線L關(guān)于直線BC對稱，P是拋物線L的x軸上方且在對稱軸左側(cè)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線L'于點(diǎn)Q，點(diǎn)P、Q關(guān)于拋物線L的對稱軸對稱的點(diǎn)分別為M、N．試探究是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形PQNM為長寬之比是1:2的矩形？若存在，求出點(diǎn)類型二與二次函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新類問題題型01與二次函數(shù)有關(guān)的新定義問題【命題預(yù)測】新定義問題是數(shù)學(xué)考試中必考的題型,無論在哪個(gè)階段,都會出現(xiàn)此類問題,但究其本質(zhì)都是“新瓶裝舊酒”“新瓶”就是新的定義,“舊酒”就是學(xué)過的知識,然后設(shè)計(jì)出具有針對性的考題來考查學(xué)生的知識遷移應(yīng)用能力.18．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)Px1,y1，當(dāng)點(diǎn)Qx2,y①點(diǎn)Q13,8，Q2②若直線y=x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,4③拋物線y=x2?④若點(diǎn)B是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則P1B其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．419．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）我們定義一種新函數(shù)：形如y=ax2+bx+ca≠0,bA．當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最大值是4B．函數(shù)值y隨x的增大而增大，則x≥C．關(guān)于x的方程x2D．當(dāng)直線y=x+m與該圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則m=120．（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)0,1是函數(shù)y=x+1圖象的“近軸點(diǎn)”．（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號）；①y=?x+3；②y=2x；③（2）若一次函數(shù)y=mx?3m圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．21．（2024·四川·中考真題）【定義與性質(zhì)】如圖，記二次函數(shù)y=ax?b2+c和y=?ax?p2定義：若拋物線C1的頂點(diǎn)Qp,q在拋物線C上，則稱C1性質(zhì)：①一條拋物線有無數(shù)條伴隨拋物線；②若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)Pb,c【理解與運(yùn)用】（1）若二次函數(shù)y=?12x?22+m和y=?12【思考與探究】（2）設(shè)函數(shù)y=x2?2kx+4k+5①若函數(shù)y=?x2+dx+e的圖象為拋物線C0，且C2始終是C②若拋物線C2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)x1,0，x2,0

22．（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“倍值點(diǎn)”．例如：“倍值函數(shù)”y=3x+1，其“倍值點(diǎn)”為?1，?2．下列說法不正確的序號為①函數(shù)y=2x+4是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)y=8x的圖象上的“倍值點(diǎn)”是2，③若關(guān)于x的函數(shù)y=m?1x2+mx+1④若關(guān)于x的函數(shù)y=x2+m?k+2x+n4?k2的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”，且當(dāng)23．（2023·江蘇南通·中考真題）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Pa,b，點(diǎn)Qc,d，若c=ka，d=?kb，其中k為常數(shù)，且k≠0，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“k級變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)?4,6是點(diǎn)2,3的“(1)函數(shù)y=?4x的圖象上是否存在點(diǎn)1,2的“k級變換點(diǎn)”?若存在，求出(2)點(diǎn)At,12t?2與其“k級變換點(diǎn)”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點(diǎn)(3)關(guān)于x的二次函數(shù)y=nx2?4nx?5nx≥0的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級變換點(diǎn)”都在直線24．（2022·湖南湘西·中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．

(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25．（2022·貴州遵義·中考真題）新定義：我們把拋物線y=ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y=bx2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線y=2x(1)寫出C2的解析式（用含a(2)若a>0，過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，①當(dāng)MN=6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)a?4≤x≤a?2時(shí)，C2的最大值與最小值的差為2a，求a26．（2021·江蘇南通·中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)(1,1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0),y=?x+b的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為W227．（2020·四川遂寧·中考真題）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，小明是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．請思考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（m+n）2020的值．（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．28．（2024·浙江·模擬預(yù)測）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢之點(diǎn)”．(1)如圖①，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A?1,2，B?1,?1，C3,?1，D3,2，在點(diǎn)M11,1，M2(2)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線y=?12x2+x+92上的“夢之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)．連接AC(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以AB為對角線，以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．29．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）定義：A（1?n，0），B（1+n，0）(1)如圖1，當(dāng)n=1時(shí)，一次函數(shù)y=kx+k是“特別函數(shù)”，求k的取值范圍；(2)如圖2，函數(shù)y=?x2+2x+(3)如圖3，在2的條件下，函數(shù)y=?x2+2x+14與CB交于點(diǎn)D(4)當(dāng)m?1≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y=?x2+2x+1430．（2024·湖南株洲·二模）定義：若直線y=?1與開口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長”．如圖，已知拋物線L1：y=?x2與直線y=?1相交于P(1)填空：拋物線L1的“反碟長”PQ=(2)拋物線L1隨其頂點(diǎn)沿直線y=12①當(dāng)拋物線L1的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)6,3時(shí)，求拋物線L2的解析式以及拋物線②當(dāng)拋物線L2的頂點(diǎn)A和拋物線L2與直線y=?1的兩個(gè)交點(diǎn)B，C構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)（點(diǎn)B在點(diǎn)C左右），求點(diǎn)31．（2024·湖南·模擬預(yù)測）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸有交點(diǎn)的函數(shù)稱為“零點(diǎn)函數(shù)”，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為“零點(diǎn)”，例如：函數(shù)y=x?1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是1,0，所以函數(shù)y=x?1是“零點(diǎn)函數(shù)”，1是該函數(shù)的“零點(diǎn)”．(1)請完成以下兩個(gè)小題：①下列函數(shù)中，是“零點(diǎn)函數(shù)”的為（

）A．y=2x+3

B．y=2x

②請寫出下列函數(shù)的“零點(diǎn)”：一次函數(shù)y=2x+2的“零點(diǎn)”是，二次函數(shù)y=x2?2x+1(2)已知二次函y=ax2+2bx+3c是“零點(diǎn)函數(shù)”（a，b，c①若a=1,b+cb?c=16，函數(shù)的“零點(diǎn)”是x1,②若一次函數(shù)y=2x?2c與二次函數(shù)y=ax2+2b+1x+c相交于點(diǎn)Ax3,y3和題型02與二次函數(shù)有關(guān)的材料閱讀問題【命題預(yù)測】閱讀理解型問題以能力立意為目標(biāo)，綜合考核數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。閱讀理解型問題，可以是閱讀某個(gè)(新)概念、(新)知識或某種(新)方法，理解概念、知識的本質(zhì)或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解決問題；也可以是設(shè)計(jì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上，理解其中的內(nèi)容、方法與思想，然后在把握本質(zhì)、理解實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上作答。這類題目往往可以考察出學(xué)生的閱讀能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)(信息)處理能力、表達(dá)能力、知識遷移能力，綜合性強(qiáng)，靈活度高。因此，近些年來，閱讀理解型問題頻頻出現(xiàn)在全國各地的中考試題中。32．（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程x2?x?6=0的兩根為x1=?2，x2=3，可得函數(shù)y=x2?x?6的圖像與x方法2

不等式x2?x?6<0可變形為x2<x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=x2與y=x+6的圖像關(guān)系．畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)也是方法3

當(dāng)x=0時(shí)，不等式一定成立；當(dāng)x>0時(shí)，不等式變?yōu)閤?1<6x；當(dāng)x<0時(shí)，不等式變?yōu)閤?1>6x．問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)任務(wù)：(1)不等式x2(2)3種方法都運(yùn)用了___________的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項(xiàng)中選1個(gè)序號即可）；A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結(jié)合圖像作出解答．33．（2022·湖南永州·中考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)y=ax(1)若a=1，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,?4和點(diǎn)2,1，求該函數(shù)的表達(dá)式和最小值；(2)若a=1，b=?2，c=m+1時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍．(3)閱讀下面材料：設(shè)a>0，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，若A，B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，探究系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖像，思考以下三個(gè)方面：①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ=②因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，所以x=0對應(yīng)圖象上的點(diǎn)在x軸上方，即c>0；③上述兩個(gè)條件還不能確保A，B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，我們可以通過拋物線的對稱軸位置來進(jìn)一步限制拋物線的位置：即需?b綜上所述，系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件可歸納為：a>0請根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問題：若函數(shù)y=ax2?2x+3的圖象在直線x=1的右側(cè)與x34．（2022·山西·中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識一元二次方程根的情況我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象（稱為拋物線）與下面根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（?b2a，4ac?b24a）和一元二次方程根的判別式△=（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上．①當(dāng)△=b2?4ac>0時(shí)，有4ac?b2<0．∵∴頂點(diǎn)在x軸的下方，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（如圖1）．②當(dāng)△=b2?4ac=0時(shí)，有4ac?b2=0．∵∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（如圖2）．∴一元二次方程ax③當(dāng)△=b……（2）a<0時(shí)，拋物線開口向下．……任務(wù)：(1)上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）；A．?dāng)?shù)形結(jié)合B．統(tǒng)計(jì)思想C．分類討論．D．轉(zhuǎn)化思想(2)請參照小論文中當(dāng)a>0時(shí)①②的分析過程，寫出③中當(dāng)a>0,△<0時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖；(3)實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識，例如：可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識一元一次方程的解．請你再舉出一例為35．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）閱讀與思考下面是小文同學(xué)撰寫的數(shù)學(xué)小論文（部分），請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．探索特殊系數(shù)一元二次方程的解通過學(xué)習(xí)我們知道：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b第一類，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，根據(jù)方程解的概念可知方程必有一個(gè)解為1，那么另一個(gè)解是多少呢？分析如下：∵a+b+c=0，∴b=?a?c．∴a=a=ax(x?1)?c(x?1)=(x?1)(ax?c)．∴方程ax2+bx+c=0∴x?1=0或ax?c=0．∴x1=1，∴當(dāng)a+b+c=0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x我還用求根公式法，證明了以上結(jié)論是正確的．第二類，當(dāng)a?b+c=0時(shí)，同理可以求出這類方程的實(shí)數(shù)根．……任務(wù)：(1)閱讀內(nèi)容中，將方程ax2+bx+c=0變形為(x?1)(ax?c)=0A．配方法

B．公式法

C．因式分解法(2)請直接寫出一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，使其函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)?1,0；(3)請直接寫出當(dāng)a?b+c=0時(shí)，一元二次方程ax(4)請寫出材料中劃線部分小文同學(xué)的證明過程．36．（2022·湖南株洲·中考真題）閱讀材料：十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式△≥0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根x1、x2有如下關(guān)系：(1)若a=1，b=3，且該二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)1,1，求c的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點(diǎn)Ax1,0、Bx2,0，其中x1<0<x2、x1>x2，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、①求關(guān)于x的一元二次方程ax②若NP=2BP，令T=1a237．（23-24九年級下·江西吉安·期中）閱讀下列材料并完成問題．拋物線y=ax2（a>0）的圖象如圖（1）所示，我們把點(diǎn)A0,14a稱為該拋物線的焦點(diǎn)，把拋物線上任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離PA稱為焦半徑，把直線y=?14a[知識感悟]（1）拋物線y=18x2的焦點(diǎn)A的坐標(biāo)是______，若拋物線上點(diǎn)P的坐標(biāo)為4,2，則焦半徑[問題探究]（2）對于拋物線y=ax2（a>0）上點(diǎn)P，試猜想焦半徑PA與準(zhǔn)距[知識應(yīng)用]（3）如圖（2），已知拋物線y=12x2的焦點(diǎn)為A，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作直線y=?12的垂線，垂足為B，直線y=?12與題型03與二次函數(shù)壓軸題有關(guān)的新考法類問題38．（2024·廣東東莞·三模）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對兩點(diǎn)Ax1,y1和B【數(shù)學(xué)理解】(1)①已知點(diǎn)A?2,1，則d0,A=______，②函數(shù)y=?2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，(2)函數(shù)y=4xx>0的圖象如圖②所示，求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C(3)函數(shù)y=x2?5x+7(x≥0)的圖象如圖③所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d39．（2024·廣東深圳·中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x，y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)BD的讀數(shù)為x，CD讀數(shù)為y，拋物線的頂點(diǎn)為C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描點(diǎn)：請將表格中的x,y描在圖2中；（Ⅲ）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax??2+k的頂點(diǎn)為C，該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直直尺測量其水平跨度為AB，豎直跨度為CD，且AB=m方案一：將二次函數(shù)y=ax??2+k平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O①此時(shí)點(diǎn)B'②將點(diǎn)B'坐標(biāo)代入y=ax2中，解得a=________；（用含m方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為?,k①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；②將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=ax??2+k中解得a=________；（用含m(3)【應(yīng)用】如圖4，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中有A，B兩點(diǎn)，AB=4，且AB∥x軸，二次函數(shù)C1:y1=2x+?2+k和C2:y2=ax+?240．（2024·遼寧·中考真題）已知y1是自變量x的函數(shù)，當(dāng)y2=xy1時(shí)，稱函數(shù)y2為函數(shù)y1的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標(biāo)系中，對于函數(shù)y1圖象上任意一點(diǎn)A(m,n)，稱點(diǎn)B(m,mn)為點(diǎn)A“關(guān)于y1的升冪點(diǎn)”，點(diǎn)B在函數(shù)y1的“升冪函數(shù)”y2的圖象上．例如：函數(shù)y1=2x，當(dāng)y2=xy1=x?2x=2x2時(shí)，則函數(shù)(1)求函數(shù)y1=1(2)如圖1，點(diǎn)A在函數(shù)y1=3x(x>0)的圖象上，點(diǎn)A“關(guān)于y1的升冪點(diǎn)”B在點(diǎn)(3)點(diǎn)A在函數(shù)y1=?x+4的圖象上，點(diǎn)A“關(guān)于y1的升冪點(diǎn)”為點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)A①若點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求m的值；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A的上方，過點(diǎn)B作x軸的平行線，與函數(shù)y1的“升冪函數(shù)”y2的圖象相交于點(diǎn)C，以AB，BC為鄰邊構(gòu)造矩形ABCD，設(shè)矩形ABCD的周長為y，求y關(guān)于③在②的條件下，當(dāng)直線y=t1與函數(shù)y的圖象的交點(diǎn)有3個(gè)時(shí)，從左到右依次記為E，F(xiàn)，G，當(dāng)直線y=t2與函數(shù)y的圖象的交點(diǎn)有2個(gè)時(shí)，從左到右依次記為M，N，若EF=MN41．（2024·湖南長沙·中考真題）已知四個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,(1)當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?1,?4，3,4時(shí)，求代數(shù)式2024a+1012b+3(2)當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足a2+2(y(3)當(dāng)a>0時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0，2a242．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)?2,?2．點(diǎn)A、B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m、?m，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?5m，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)AB(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求證：當(dāng)m取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tan∠CAB(3)作AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)D，以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE，連結(jié)DE．①當(dāng)DE與此拋物線的對稱軸重合時(shí)，求菱形ADCE的面積；②當(dāng)此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．43．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為?2時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．(1)直接寫出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．Ⅱ．若關(guān)于x的方程ax2+bx+3?t=0（t為實(shí)數(shù)），在0<x<4Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為?m+1．小明對P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．44．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）探究函數(shù)y=?2x

(1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對應(yīng)值列表如下x???2??1?011325?y??03m303230??其中，m=________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(2)點(diǎn)F是函數(shù)y=?2x2+4x圖象上的一動點(diǎn)，點(diǎn)A2,0，點(diǎn)B(3)在圖2中，當(dāng)x在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線y=?2x2+4x交x軸于O，A兩點(diǎn)（點(diǎn)O在點(diǎn)A的左邊），點(diǎn)P是點(diǎn)Q1,0關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點(diǎn)）于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，45．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線y=x2?x+c與x軸交于點(diǎn)A?1,0和點(diǎn)B，與(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)0<x≤2時(shí)，求y=x(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移34個(gè)單位長度得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，求PA+

第三章函數(shù)重難點(diǎn)05涉及二次函數(shù)的圖形變化類問題，與二次函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新類問題（2種命題預(yù)測+7種題型匯總+專題訓(xùn)練+3種解題方法）【題型匯總】類型一涉及二次函數(shù)的圖形變化類問題題型01平移變換平移方式（n＞0)一般式頂點(diǎn)式平移口訣向左平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h-n，k)左加向右平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h+n，k)右減向上平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k+n)上加向下平移n個(gè)單位，頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k-n)下減1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象的對稱軸是直線x=?1，圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為1,0，直線y=x+n經(jīng)過點(diǎn)B，且與y(1)填空：a=____；b=____；n=_____．(2)將該二次函數(shù)圖象向右平移m個(gè)單位，使拋物線頂點(diǎn)M落在直線BC上，試求m的值．(3)在（2）的條件下，設(shè)Pt,0是x軸上的一動點(diǎn)，若△MBP外接圓的圓心落在平移后的拋物線內(nèi)部，試求t【答案】(1)?1；?2；?1(2)m=6(3)10?【分析】（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線y=x+n中求出n，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和經(jīng)過點(diǎn)1,0得到方程組，解方程即可求出a、b；（2）將拋物線化為頂點(diǎn)式，平移后得到平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線求解y=x+n；（3）先求出平移后的解析式，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，根據(jù)題意易得到△MBP外接圓的圓心必在邊BM的中垂線上，設(shè)該中垂線交拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)，進(jìn)而求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作x軸的垂線，垂足分別為K，Q，得到這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出P1和P2的橫坐標(biāo)，即可求出【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為1,0，直線y=x+n經(jīng)過點(diǎn)B，∴0=1+n，∴n=1．∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3圖象的對稱軸是直線x=?1，B∴?b2a=?1聯(lián)立組成方程組為b=2aa+b+3=0解得a=?1b=?2故答案為：?1；?2；?1．（2）解：由題意知：拋物線解析式為y=?x2?2x+3將y=?(x+1)2+4的圖象向右平移m其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(m?1,4)．∵頂點(diǎn)M恰好落在直線y=x?1上，∴4=m?1?1，∴m=6．（3）解：由題意知：平移后的拋物線解析式為y=?(x?5)2+4設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)N．∵BN=NM=4，∴△BNM為等腰直角三角形．∵P點(diǎn)在x軸上，則△MBP外接圓的圓心必在邊BM的中垂線上．設(shè)該中垂線交拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)．由M(5,4),B(1,0)可知線段MB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，N(5,0)，故可求得該中垂線解析式為yEN∴解方程組y=?解得：x1.2即E，F(xiàn)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為11?17過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作x軸的垂線，垂足分別為K，Q，則K，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為11?17∴KB=11?∴P從而P1點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10?同理QB=11+∴P從而P2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10+∴t的取值范圍是10?17【點(diǎn)晴】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)平移規(guī)律，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．2．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨OA，OB的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，OA，OB關(guān)于y軸對稱．OC=1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)分別延長AO，BO交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S1，將拋物線向右平移mm>0個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S2．若S【答案】(1)y=?0.1x(2)10(3)2或4；【分析】（1）根據(jù)題意得到C(0,1)，A(2,0.6)，B(?2,0.6)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x??)（2）分別求出AO，BO所在直線的解析式，求出與拋物線的交點(diǎn)F，E即可得到答案；（3）求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到S1，表示出新拋物線找到交點(diǎn)得到S【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x??)C(0,1)，A(2,0.6)，B(?2,0.6)，∴?=0，k=1，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入所設(shè)解析式中得：4a+1=0.6，解得：a=?0.1，∴y=?0.1x（2）解：設(shè)AO的解析式為：y=k1x，BO分別將A(2,0.6)，B(?2,0.6)代入y=k2k1=0.6解得：k1=0.3，∴AO的解析式為：y=0.3x，BO的解析式為：y=?0.3x，聯(lián)立直線解析式與拋物線得：0.3x=?0.1x解得x1同理，解?0.3x=?0.1x2+1∴F(?5,?1.5)，E(5,?1.5)，∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離為：5?(?5)=10；（3）解：當(dāng)y=0時(shí)，?0.1x解得：x=±10∴S1∵拋物線向右平移mm>0∴y=?0.1(x?m)當(dāng)x=0時(shí)，y=?0.1m當(dāng)y=0時(shí)，?0.1(x?m)2+1=0∴S2∵S2∴35解得：m1=2，m2=?2（不符合題意舍去），綜上所述：m等于2或4；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法及平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．3．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C1:y=ax2+43x?4的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線C1(2)將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點(diǎn)P【答案】(1)y=(2)C2:y=53x?(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：2,2或?1,3【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識點(diǎn)，靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來成為解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=ax（2）由題意得：C2:y=53x?12+（3）分∠BAP為直角、∠DBP為直角、∠HPD為直角三種情況，分別運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)而確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=ax2+43則拋物線的表達(dá)式為：y=5（2）解：由題意得：C2當(dāng)x=1時(shí)，y=5故點(diǎn)D在拋物線C2（3）解：存在，理由如下：①當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥BD且DE=BE，則△BDE為等腰直角三角形，∵∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠BDG=∠DEH，∵∠DGB=∠EHD=90°，∴△DGB≌△EHDAAS∴DH=BG=1，EH=GD=1+2=3，∴點(diǎn)E2,2當(dāng)x=2時(shí)，y=53x?35∴點(diǎn)P即為點(diǎn)E2,2②當(dāng)∠DBP為直角時(shí)，如圖2，同理可得：△BGE≌△DHBAAS∴DH=3=BG，BH=1=GE，∴點(diǎn)E?1,3當(dāng)x=?1∴點(diǎn)E在拋物線C2∴點(diǎn)P即為點(diǎn)E?1,3③當(dāng)∠HPD為直角時(shí)，如圖3，設(shè)點(diǎn)Ex,y同理可得：△EHB≌△DGEAAS∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1?x，解得：x=0且y=1，∴點(diǎn)E0,1當(dāng)x=0時(shí)，y=5即點(diǎn)E不在拋物線C2綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：2,2或?1,3．4．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知拋物線Q1:y=?x2+bx+c與x軸交于A

(1)請求出拋物線Q1(2)如圖1，在y軸上有一點(diǎn)D0,?1，點(diǎn)E在拋物線Q1上，點(diǎn)F為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E,F使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點(diǎn)(3)如圖2，將拋物線Q1向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點(diǎn)為K，與x軸正半軸交于點(diǎn)H，拋物線Q1上是否存在點(diǎn)P，使得【答案】(1)y=?(2)E?2,3；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(?2,3)【分析】（1）把A?3，0，C（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點(diǎn)E作ER⊥x于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作FI⊥y軸于點(diǎn)I，證明△EAR?△AOD,△FID?△DOA，可得ER=3,AR=1,FI=1,IO=2,故可得E?2,3，（3）先求得拋物線Q2的解析式為y=?(x+1?2)2+4=?(x?1)2+4，得出K(1,4)，H(3,0)，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=?x+3，過點(diǎn)K作KT⊥y軸于點(diǎn)T，連接BC，設(shè)KP交直線BC于M或N，如圖2，過點(diǎn)C作PS⊥y軸交BK于點(diǎn)S，交拋物線Q1于點(diǎn)P【詳解】（1）∵拋物線Q1:y=?x2+bx+c與x軸交于A∴把A?3，0?9?3b+c=0解得，b=?2∴解析式為：y=?x（2）假設(shè)存在這樣的正方形DAEF，如圖，過點(diǎn)E作ER⊥x于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作FI⊥y軸于點(diǎn)I，

∴∠AER+∠EAR=90°,∵四邊形DAEF是正方形，∴AE=AD,∠EAD=90°,∴∠EAR+∠DAR=90°,∴∠AER=∠DAO,又∠ERA=∠AOD=90°,∴△AER?△DAO∴AR=DO,ER=AO,∵A∴OA=3,OD=1,∴AR=1,ER=3,∴OR=OA?AR=3?1=2,∴E?2,3同理可證明：△FID?△DOA∴FI=DO=1,DI=AO=3,∴IO=DI?DO=3?1=2,∴F1,2（3）解：拋物線Q1上存在點(diǎn)P，使得∠CPK=∠CHK∵y=?x∴拋物線Q1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,4)∵將拋物線Q1向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q∴拋物線Q2的解析式為y=?∵拋物線Q2的頂點(diǎn)為K，與x軸正半軸交于點(diǎn)H∴K(1,4)，H(3,0)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，把C(0,3)，H(3,0)代入得n=33k+n=0解得：k=?1n=3∴直線BC的解析式為y=?x+3，過點(diǎn)K作KT⊥y軸于點(diǎn)T，連接BC，設(shè)KP交直線BC于M或N，如圖2，過點(diǎn)C作PS⊥y軸交BK于點(diǎn)S，交拋物線Q1于點(diǎn)P，連接PK則T(0,4)，M(m,?m+3)，N(t,?t+3)，

∴KT=TC=1，∠KTC=90°，∴△CKT是等腰直角三角形，∴∠KCT=45°，CK=2∵OH=OC=3，∠COH=90°，∴△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO=45°，CH=2∴∠KCH=180°?∠KCT?∠HCO=90°，∴tan∵∠CPK=∠CHK，∴tan∵tan∴∠BCO=∠CHK，∵BK∥∴∠CBK=∠BCO，∴∠CBK=∠CHK，即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠CPK=∠CHK，∴P∵SK=1，PS=3，∴tan∴∠CPK=∠CHK，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=∴P(?2,3)；綜上所述，拋物線Q1上存在點(diǎn)P，使得∠CPK=∠CHK，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(?2,3)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．題型02旋轉(zhuǎn)變換5．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(x?1)2+4(2)①m=4，②存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(?4,?21)或(2,3)或(12,?117)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x?1)2+4（2）①過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)∠BAD=∠BEA=90°，又因?yàn)椤螦BE=∠DBA，證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2=BE?BD，將BD=2(m+1)，BE=2，AE=4②根據(jù)上問可以得到C7,?4，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，B?1,0，要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當(dāng)以BC為邊時(shí)，存在平行四邊形為BCMQ；2）當(dāng)以BC為邊時(shí)，存在平行四邊形為BCQM；3）當(dāng)以BC為對角線時(shí)，存在平行四邊形為【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x?1)又∵B(?1,0)，∴0=a(?1?1)解得：a=?1，∴y=?(x?1)2+4（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，∴m>0，∴BP=m+1，由旋轉(zhuǎn)可得：BD=2BP，∴BD=2(m+1)，過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∴BE=2，AE=4，在Rt△ABE中，A當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，AD⊥AB，∴∠BAD=∠BEA=90°，又∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB∴4(m+1)=20，解得m=4；②由題可得點(diǎn)A1,4與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P∴C7,?4∵點(diǎn)M在直線x=4上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，1）、當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCMQ，點(diǎn)C向左平移8個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴將點(diǎn)M向左平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q?4,y1解得：y1∴Q(?4,?21)，2）、當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCQM，點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴將M向右平移8個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q12,y2解得：y2∴Q(12,?117)，3）、當(dāng)以BC為對角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移5個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)C向左平移5個(gè)單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴Q2,y3得：y3∴Q(2,3)，綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為(?4,?21)或(2,3)或(12,?117)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵．6．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線y1=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC=OA，AB=4，對稱軸為直線l1:x=?1，將拋物線y1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y2(1)分別求拋物線y1和y(2)如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為?6,0，動點(diǎn)M在直線l1上，過點(diǎn)M作MN∥x軸與直線l2交于點(diǎn)N，連接FM，DN．求(3)如圖2，點(diǎn)H的坐標(biāo)為0,?2，動點(diǎn)P在拋物線y2上，試探究是否存在點(diǎn)P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P【答案】(1)y1=?(2)2+3(3)存在，P3,0或【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線y1的表達(dá)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線y2的二次項(xiàng)系數(shù)a為原來的相反數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線（2）將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至F'，則FF'=2，F(xiàn)'?4,0，過點(diǎn)D作直線l2的對稱點(diǎn)為D'，連接F'（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l2右側(cè)拋物線上時(shí)，可得∠1=∠2，作H關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)H'，則點(diǎn)H'在直線PE上，可求直線PE的表達(dá)式為y=2x?6，聯(lián)立y=2x?6y2=x2?2x?3，解得：x=3或x=1（舍），故P3,0；當(dāng)點(diǎn)P在直線l2左側(cè)拋物線上時(shí)，延長EP交y軸于點(diǎn)N，作HN的垂直平分線交HE于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，則QM∥EK，可得QH=QN，可證明出NQ=NE，由QM∥EK，得△HMQ∽△HKE，設(shè)HM=2m,MQ=m，則MN=HM=2m，NK=2?4m，在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得m2+2m2=【詳解】（1）解：設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)G，由題意得AG=BG=2，∵對稱軸為直線x=?1，∴B1,0∴OC=OA=3，∴C0,3將A、B、C分別代入y1得：a+b+c=09a?3b+c=0解得：a=?1b=?2∴y1∴y1=?∵拋物線y1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到新拋物線y∴拋物線y2的a=1，頂點(diǎn)為1,?4∴y2的表達(dá)式為：y2（2）解：將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至F'，則FF'=2，F(xiàn)'?4,0，過點(diǎn)D作直線∴ND=ND∵y2∴直線l2為直線x=1∵M(jìn)N∥x軸，∴MN=1??1對于拋物線y2=x2?2x?3∴D0,?3∵點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于直線x=1∴點(diǎn)D'∵M(jìn)N∥x軸，F(xiàn)F∴四邊形FF∴MF=NF∴FM+MN+DN=NF當(dāng)點(diǎn)F'而F'∴FM+MN+DN的最小值為2+35（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在直線l2∵拋物線y2∴E∵l2∴∠DHE=∠1，∵∠PEH=2∠DHE，∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2，∴∠1=∠2，作H關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)H'，則點(diǎn)H'∵點(diǎn)H的坐標(biāo)為0,?2，直線l2：x=1∴H'設(shè)直線PE的表達(dá)式為：y=kx+bk≠0代入H'2,?2，得：2k+b=?2k+b=?4解得：k=2b=?6∴直線PE的表達(dá)式為y=2x?6，聯(lián)立y=2x?6y2=解得：x=3或x=1（舍），∴P3,0②當(dāng)點(diǎn)P在直線l2左側(cè)拋物線上時(shí)，延長EP交y軸于點(diǎn)N，作HN的垂直平分線交HE于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，則QM∥EK∵QM垂直平分HN，∴QH=QN，∴∠QHN=∠QNH，∴∠NQE=2∠NHE，∵∠PEH=2∠DHE∴∠NQE=∠PEH，∴NQ=NE，由點(diǎn)H得：EK=1,KH=2，∵QM∥EK，∴△HMQ∽△HKE，∴HMHK∴HM2設(shè)HM=2m,MQ=m，∴MN=HM=2m，NK=2?4m，在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得∴m2解得：m=511或∴NK=2?20∴ON=4?2∴N0,?設(shè)直線PE表達(dá)式為：y=a代入點(diǎn)N，E，得：a1解得：a∴直線PE表達(dá)式為：y=?2聯(lián)立y=?2得：?2整理得：11解得：x=911或∴P9綜上所述，P3,0或P【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．7．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)，且與直線l交于A?2,(1)求拋物線C1的解析式和tan(2)若D是拋物線C1上的一個(gè)動點(diǎn)（在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間），作DE⊥l于點(diǎn)E，DF∥y軸交l于點(diǎn)F，在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面積最大？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DEF(3)將拋物線C1繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再平移使其頂點(diǎn)在直線l上，且經(jīng)過點(diǎn)A，得到拋物線C2，試問在拋物線C2上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB【答案】(1)y=x2(2)存在，D?1(3)P1,?3或【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，注意不要漏解，與方程相結(jié)合，利用相似三角形解決最值問題；（1）由待定系數(shù)法分別求出拋物線C1的拋物線和直線l的解析式，可求點(diǎn)N坐標(biāo)，即可求∠BAO（2）由題意可以證明△AON∽△DEF，可得S△DEFS△AON=DFAN2（3）由題意先求出C2解析式y(tǒng)=?x+12+1或【詳解】（1）解：設(shè)拋物線C1的解析式為：y=a∵拋物線C1經(jīng)過原點(diǎn)，且與直線l交于A?2,0，∴c=0解得：a=1b=2∴拋物線C1的解析式為：y=設(shè)直線l解析式為：y=mx+n，∴3=m+n解得：m=1n=2∴直線l解析式為：y=x+2，如圖，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為N，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)0,2，且點(diǎn)A?2,0∴ON=OA=2，∴∠BAO的正切值=ON（2）∵ON=OA=2，∴AN=22∴S△ANO∵DF∥y軸，∴DF∥ON，∴∠ANO=∠EFD，且∠AON=∠FED=90°，∴△AON∽△DEF，∴S∴S∴當(dāng)DF最大時(shí)，△DEF的面積最大，設(shè)點(diǎn)Da,a2∴DF=a+2?a∴當(dāng)a=?12時(shí)，DF的最大值為∴點(diǎn)D?△DEF的面積的最大值為：2（3）∵拋物線C1的解析式為：y=∴設(shè)拋物線C2解析式為：y=?∴頂點(diǎn)坐標(biāo)t,?，∵拋物線C2頂點(diǎn)在直線l上，且經(jīng)過點(diǎn)A∴?=t+2解得：t=?1?=1或t=?2∴拋物線C2的解析式為：y=?x+12當(dāng)拋物線C2解析式為y=?∵△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，∴AP⊥AB或BP⊥AB，∵直線AB解析式為：y=x+2，∴直線AP解析式為：y=?x?2，直線BP解析式為：y=?x+4，若點(diǎn)P在拋物線C2上，點(diǎn)P在直線AP∴y=?x?2∴解得：x=?2y=0（不合題意，舍去）x=1∴點(diǎn)P1,?3若點(diǎn)P在拋物線C2上，點(diǎn)P在直線BP∴y=?x+4∴x∵Δ<∴方程無解，當(dāng)拋物線C2解析式為：y=?∵△ABP是以AB為直角邊的直角三角形，∴AP⊥AB或BP⊥AB，∵直線AB解析式為：y=x+2，∴直線AP解析式為：y=?x?2，直線BP解析式為：y=?x+4，若點(diǎn)P在拋物線C2上，點(diǎn)P在直線AP∴y=?x?2解得：x=?2y=0（不合題意，舍去）x=?1∴點(diǎn)P坐標(biāo)?1,?1，若點(diǎn)P在拋物線C2上，點(diǎn)P在直線BP∴y=?x+4∴x∵Δ<∴方程無解，綜上所述：點(diǎn)P1,?3或8．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M2,?2，與x軸的交點(diǎn)為A和B（其中點(diǎn)A與原點(diǎn)重合），將拋物線y=ax2+bx+c繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)M(1)求拋物線y=ax(2)求證：點(diǎn)A，M，A1(3)若點(diǎn)P是原拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對稱軸上一點(diǎn)，E為線段AM的中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)見解析(3)存在，P12+6,1或P【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，平行四邊形等知識：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax?22?2，把A（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A14,?4，求出直線AM的解析式，代入A1的橫坐標(biāo)，求出y=?4（3）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出E1，?1，把原拋物線的對稱軸直線x=2繞B4,0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得直線【詳解】（1）解：由拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M把A0,0代入得：4a?2=0解得a=1∴y=1∴拋物線的解析式為y=1（2）解：∵M(jìn)2,?2∴拋物線的對稱軸為直線x=2,∵A0,0∴B4,0∴AB=4,由旋轉(zhuǎn)得，BA1=AB=4,B∴A1設(shè)直線AM的解析式為y=kx，把M2,?2代入得，∴k=?1,∴直線AM的解析式為y=?x，當(dāng)x=4時(shí)，y=?4，∴點(diǎn)A1在直線y=?x∴A,M,A（3）解：存在，理由如下：∵A0,0，M∴E0+22,原拋物線的對稱軸為直線x=2，繞B4,0逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得直線y=?2設(shè)Pm,12m2①若PQ,BE為對角線時(shí)，則PQ,BE的中點(diǎn)重合，∴解得，m=2+∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2+6②若PB,QE為對角線時(shí)，∴m+4=n+1此方程組無解；③若PE,QB為對角線時(shí)，∴m+1=4+n解得，m=2+∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2+2,?1，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P12+6,1或P題型03翻折變換二次函數(shù)的翻轉(zhuǎn)問題的解題思路：①根據(jù)二次函數(shù)上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)值求得二次函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)翻轉(zhuǎn)后拋物線與原拋物線的圖像關(guān)系，確定新拋物線的表達(dá)式；③在直角坐標(biāo)系中畫出原拋物線及翻轉(zhuǎn)后拋物線的簡易圖，根據(jù)圖像來判斷題目中需要求解的量的各種可能性；④根據(jù)圖像及相關(guān)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，求得題目中需要求解的值.9．（2023·四川德陽·中考真題）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?4)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG=25【答案】(1)y=(2)1或3(3)4,8【詳解】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax∵C(0,?4)，∴c=?4，y=ax把A(?4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c解得：a=1∴拋物線的解析式為y=（2）∵直線表達(dá)式y(tǒng)=kx+6，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)0,6，∴將過點(diǎn)0,6的直線旋轉(zhuǎn)觀察和新圖象的公共點(diǎn)情況∵把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的解析式為y=1∴新圖象表達(dá)式為：?4<x<2時(shí)，y=?12x2?x+4；x≤?4如下圖當(dāng)直線y=kx+6與翻折上去的部分拋物線相切時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

聯(lián)立y=?12x整理得：xΔ=041+k41+k1+k=±2，k=±2?1，k1k2=?2?1=?3時(shí)，如下圖所示，經(jīng)過點(diǎn)

不符合題意，故舍去，如下圖，當(dāng)直線y=kx+6經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，和新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，

把A(?4,0)代入y=kx+6，得：?4k+6=0，解得：k=3綜上所述，當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的值為1或3（3）∵F在拋物線上，∴設(shè)F坐標(biāo)為a,1∵OB=2，OC=4，F(xiàn)G⊥CH，∴tantan∠FHG=2HG:FG=1:2，1∴HG:FG:FH=1:2:5∴DF=a，DO=1DC=DO+OC=1DH=1FH=DH?DF=1HG=5∵DF∴a21a2aa?4a1a2=4，代入∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為4,8【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L1:y=x2?2x?3的頂點(diǎn)為P．直線l過點(diǎn)M0,mm≥?3，且平行于x軸，與拋物線L1交于A、B兩點(diǎn)（B在A的右側(cè)）．將拋物線L1沿直線l翻折得到拋物線L

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)連接BC、CD、DB，若△BCD為直角三角形，求此時(shí)L2(3)在（2）的條件下，若△BCD的面積為3,E、F兩點(diǎn)分別在邊BC、CD上運(yùn)動，且EF=CD，以EF為一邊作正方形EFGH，連接CG，寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由．【答案】(1)D(2)y=?x2(3)10?【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)P1,?4（2）由題意得，L1的頂點(diǎn)P1,?4與L2的頂點(diǎn)D關(guān)于直線y=m對稱，D1,2m+4，則拋物線L2:y=?x?12+2m+4=?x2+2x+2m+3．進(jìn)而得出可得C0,2m+3，①當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，如圖1，過D作DN⊥y軸，垂足為N．求得Bm+3,m，代入解析式得出m=0，求得L2:y=?x2+2x+3．②當(dāng)∠BDC（3）由（2）知，當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，m=?3，此時(shí)△BCD的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，m=0，此時(shí)△BCD的面積為3，符合題意．由題意可求得EF=FG=CD=2．取EF的中點(diǎn)Q，在Rt△CEF中可求得CQ=12EF=22．在Rt△FGQ中可求得【詳解】（1）∵y=x∴拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)P∵m=1，點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于直線y=1對稱．∴D1,6（2）由題意得，L1的頂點(diǎn)P1,?4與L2的頂點(diǎn)D∴D1,2m+4，拋物線L∴當(dāng)x=0時(shí)，可得C0,2m+3①當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，如圖1，過D作DN⊥y軸，垂足為N．∵D1,2m+4∴N0,2m+4∵C∴DN=NC=1．∴∠DCN=45°．∵∠BCD=90°，∴∠BCM=45°．∵直線l∥∴∠BMC=90°．∴∠CBM=∠BCM=45°,BM=CM．∵m≥?3，∴BM=CM=2m+3∴Bm+3,m又∵點(diǎn)B在y=∴m=m+3解得m=0或m=?3．∵當(dāng)m=?3時(shí)，可得B0,?3,C0,?3，此時(shí)B、C將m=0代入L2得L2

②當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，如圖2，過B作BT⊥ND，交ND的延長線于點(diǎn)同理可得BT=DT．∵D1,2m+4∴DT=BT=2m+4∵DN=1，∴NT=DN+DT=1+m+4∴Bm+5,m又∵點(diǎn)B在y=∴m=m+52?2m+5?3∵m≥?3，∴m=?3．此時(shí)B2,?3將m=?3代入L2:y=?x③當(dāng)∠DBC=90°時(shí)，此情況不存在．綜上，L2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=?x2（3）如圖3，由（2）知，當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，此時(shí)B則BC=2，CD=BD=2，則△BCD當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，m=0，則B3,0∴BC=32+∴CD=2依題意，四邊形EFGH是正方形，∴EF=FG=CD=2取EF的中點(diǎn)Q，在Rt△CEF中可求得CQ=在Rt△FGQ中可求得GQ=∴當(dāng)Q,C,G三點(diǎn)共線時(shí)，CG取最小值，最小值為10?【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．11．（2022·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx?3經(jīng)過點(diǎn)B6,0和點(diǎn)D4,?3與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線與y(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為C1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)G'，將曲線C1，沿y軸向下平移n個(gè)單位長度（0<n<6）．曲線C1與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q【答案】(1)①y=14(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（1+17，?5+172【分析】（1）①利用待定系數(shù)解答，即可求解；②利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）過點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)Em,14m2?m?3，則點(diǎn)Gm,?（3）先求出向上翻折部分的圖象解析式為y=?14x?22+4，可得向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y=?14x?22+4?n，平移后拋物線剩下部分的解析式為y=14x?22?4?n，分別求出直線BC和直線C'G'的解析式為，可得BC∥【詳解】（1）解：①把點(diǎn)B6,0和點(diǎn)D36a+6b?3=016a+4b?3=?3，解得：a=∴拋物線解析式為y=1②令y=0，則14解得：x1∴點(diǎn)A（-2，0），設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b∴把點(diǎn)D4,?3和點(diǎn)A4k+b1=?3∴直線AD的解析式為y=?1（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，當(dāng)x=6時(shí)，y=?1∴點(diǎn)H（6，-4），即BH=4，設(shè)點(diǎn)Em,14∴EG=?∵△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，且∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x軸，∴△EFG∽△BFH，∴EGBH∴?14m∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-4）或（0，-3）；（3）解：y=1∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，-4），當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即點(diǎn)C（0，-3），∴點(diǎn)C'∴向上翻折部分的圖象解析式為y=?1∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為y=?14x?2設(shè)直線BC的解析式為y=k把點(diǎn)B（6，0），C（0，-3）代入得：6k2+∴直線BC的解析式為y=1同理直線C'G'∴BC∥C′G′，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為s,1∵點(diǎn)C'∴點(diǎn)C′向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)G′，∵四邊形C'∴點(diǎn)Qs+2,當(dāng)點(diǎn)P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時(shí)，?14s?2當(dāng)點(diǎn)P在向上翻折部分平移后的圖象上，點(diǎn)Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時(shí)，?14s?22+4?n=當(dāng)點(diǎn)P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點(diǎn)Q在向上翻折部分平移后的圖象上時(shí)，14s?22?4?n=1綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+17，?5+172）或（1﹣13，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．12．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)【答案】(1)y=?(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172【分析】（1）先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結(jié)合圖象即可求解；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．【詳解】（1）解：由翻折可知：C0,2令x2?x?2=0，解得：x1∴A?1,0，B設(shè)圖象W的解析式為y=ax+1x?2，代入C0,2∴對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=?x+1x?2=?x（2）解：聯(lián)立方程組y=?x+by=?整理，得：x2由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由圖象可知，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)；（3）解：存在．如圖1，當(dāng)CN∥OB時(shí)，△OBC∽△NMC，此時(shí)，N與C關(guān)于直線x=∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，∴P1,0如圖2，當(dāng)CN∥OB時(shí)，△OBC∽△NMC，此時(shí)，由x2?x?2=2，解得x1∴N的橫坐標(biāo)為1+17所以P1+如圖3，當(dāng)∠NCM=90°時(shí)，△OBC∽△CMN，此時(shí)，直線CN的解析式為y=x+2，聯(lián)立方程組：y=x+2y=x2?x?2，解得∴N的橫坐標(biāo)為1+5所以P1+因此，綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為1,0或1+172,0【點(diǎn)睛】本題