2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷說明：本試卷21道題，共150分；考試時(shí)間120分鐘；請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填寫個(gè)人信息，并將條形碼貼在答題卡的相應(yīng)位置上．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，在定義域上為奇函數(shù)，且在上遞減的是（）A. B. C. D.3.已知，以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）A.b B. C. D.4.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的一個(gè)可能值為（）A B. C. D.5.已知函數(shù)，則的解集為（）A. B. C. D.6.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列各數(shù)一定是零點(diǎn)的是（）A.2019 B.2022 C.2025 D.20287.深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型之一是指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型：，其中，L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知，某個(gè)指數(shù)衰減學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為．經(jīng)過輪迭代學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.8.已知均為正實(shí)數(shù)．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件9.音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“葫蘆曲線”.它的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時(shí)間間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某一條葫蘆曲線的方程為，其中x表示不超過x的最大整數(shù).若該條曲線還滿足，經(jīng)過點(diǎn).則該條葫蘆曲線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.10.如圖所示，直線與曲線y=fx相切于兩點(diǎn)，其中．若當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在0,+∞上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____12.函數(shù)的值域?yàn)開_____．13.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，寫出一組滿足條件的______．14.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______．15.已知函數(shù)fx=x+1+ax?2①的最小值為1；②的最大值為3；③在上單調(diào)遞減；④a只有唯一值使得y=fx的圖象有一條垂直于x其中所有正確結(jié)論的是：______．三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上的相應(yīng)位置作答．）16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）若等比數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．17.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知在上單調(diào)遞減，，從以下三個(gè)條件中選一個(gè)作為已知，使得函數(shù)唯一確定，求值．①是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心；②；③在上單調(diào)遞增；18.已知函數(shù)（1）若，求曲線的斜率為的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，直接寫出a的取值集合．19.海水受日月引力會(huì)產(chǎn)生潮汐．以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時(shí)水面升高，退潮時(shí)水面降低．現(xiàn)測(cè)得某港口某天的時(shí)刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時(shí)即為凌晨3點(diǎn)06分）時(shí)刻：x（時(shí)）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)來近似描述這一天內(nèi)港口水深與時(shí)間的關(guān)系，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米．安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？繒r(shí)，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時(shí)間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r(shí)長．20.已知函數(shù)，記其在點(diǎn)處切線方程為：．定義關(guān)于x的函數(shù)．（1）求解析式；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并說明理由；（3）若a滿足當(dāng)時(shí)，總有成立，則稱實(shí)數(shù)a為函數(shù)一個(gè)“Q點(diǎn)”，求的所有Q點(diǎn)．21.已知集合，對(duì)于任意，操作一：選擇中某個(gè)位置（某兩個(gè)數(shù)之間或第一個(gè)數(shù)之前或最后一個(gè)數(shù)之后），插入連續(xù)個(gè)或連續(xù)個(gè)，得到；操作二：刪去中連續(xù)個(gè)或連續(xù)個(gè)，得到；進(jìn)行一次操作一或者操作二均稱為一次“月變換”，在第次“月變換”的結(jié)果上再進(jìn)行次“月變換”稱為第次“月變換”．（1）若對(duì)進(jìn)行兩次“月變換”，依次得到，．直接寫出和的所有可能情況．（2）對(duì)于和至少要對(duì)進(jìn)行多少次“月變換”才能得到？說明理由．（3）證明：對(duì)任意，總能對(duì)進(jìn)行不超過次“月變換”得到．

2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷說明：本試卷21道題，共150分；考試時(shí)間120分鐘；請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填寫個(gè)人信息，并將條形碼貼在答題卡的相應(yīng)位置上．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先求出集合，將其中非負(fù)整數(shù)代入，即可判斷是否屬于集合，進(jìn)而結(jié)合交集的定義求解即可.【詳解】根據(jù)題意，，則集合中的整數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D2.下列函數(shù)中，在定義域上為奇函數(shù)，且在上遞減的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義、單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．fx=1xB．為偶函數(shù)，不符合題意；C．，函數(shù)為奇函數(shù)，在上遞減，符合題意；D．，函數(shù)為奇函數(shù)，在上遞增，不符合題意；故選：C．3.已知，以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）A.b B. C. D.【正確答案】D【分析】首先得，而、都是正數(shù)，故只需讓它們的平方作差與0比較大小即可.【詳解】由題意，所以，由基本不等式可得，同時(shí)注意到，所以，a2而、都是正數(shù)，所以.故選：D.4.已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的一個(gè)可能值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可求得，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以角的一個(gè)可能值為.故選：B.5.已知函數(shù)，則的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求導(dǎo)后可得單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?,+∞，，當(dāng)時(shí)，f'x>0；當(dāng)時(shí)，f'∴fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，即的解集為.故選：B.6.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列各數(shù)一定是零點(diǎn)的是（）A.2019 B.2022 C.2025 D.2028【正確答案】B【分析】由已知條件確定函數(shù)周期，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以且，令，可得：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，所以，所以，所以定義域?yàn)镽的函數(shù)一個(gè)周期為8，所以無法判斷，，，無法判斷.，無法判斷.故選：B7.深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型之一是指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型：，其中，L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知，某個(gè)指數(shù)衰減學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為．經(jīng)過輪迭代學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由于，所以，依題意，則，則，由，得到，所以，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次，故選：D.8.已知均為正實(shí)數(shù)．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由均為正實(shí)數(shù)，得，則，即；當(dāng)時(shí)，即，而均為正實(shí)數(shù)，則有或，即或，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A9.音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“葫蘆曲線”.它的性質(zhì)是每經(jīng)過相同的時(shí)間間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某一條葫蘆曲線的方程為，其中x表示不超過x的最大整數(shù).若該條曲線還滿足，經(jīng)過點(diǎn).則該條葫蘆曲線與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)曲線方程上的點(diǎn)可得，將代入計(jì)算可得縱坐標(biāo).【詳解】將點(diǎn)代入葫蘆曲線的方程可得，即，由可得，因此曲線方程為，當(dāng)時(shí)，可得，所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故選：C10.如圖所示，直線與曲線y=fx相切于兩點(diǎn)，其中．若當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在0,+∞上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)斜率為的切線條數(shù)，結(jié)合圖象直接判斷即可.【詳解】根據(jù)圖象，可分別作出斜率為的另外三條切線：，切點(diǎn)分別為，如圖所示：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有，和三個(gè)極大值點(diǎn).故選：D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)為正和二次根號(hào)下非負(fù)可求定義域.【詳解】由題設(shè)有，故，故函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案?12.函數(shù)的值域?yàn)開_____．【正確答案】【分析】分別求出每一段函數(shù)的值域，再求并集即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以；綜上所述，，故答案為.13.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，寫出一組滿足條件的______．【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式變形即可求解.【詳解】注意到，故可以直接讓，事實(shí)上，根據(jù)函數(shù)周期性可知.故（答案不唯一）.14.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______．【正確答案】【分析】令，得到，構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合得到，從而有，通過換元，得到，再求出在的取值范圍，即可求解.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得到，令，，圖象如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖易知，，且，得到，所以，令，則，又易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍為，故答案為.15.已知函數(shù)定義域?yàn)镽，最小值記為，給出以下四個(gè)結(jié)論：①的最小值為1；②的最大值為3；③在上單調(diào)遞減；④a只有唯一值使得y=fx的圖象有一條垂直于x其中所有正確結(jié)論的是：______．【正確答案】②③④【分析】分類討論后可得，故可求，故可判斷①②的正誤，結(jié)合的形式可判斷C的正誤，對(duì)于④，結(jié)合解析式的形式可得若對(duì)稱則，可證明此時(shí)圖像對(duì)稱.【詳解】由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)故的值域?yàn)?，故①錯(cuò)誤，②正確；當(dāng)時(shí)，，因，故在上單調(diào)遞減，故③正確；因?yàn)榛ゲ幌嗟?，若y=fx的圖象有一條垂直于x軸的對(duì)稱軸，則即，此時(shí)，，故為的圖象的對(duì)稱軸，故④正確；故②③④.三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上的相應(yīng)位置作答．）16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）若等比數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）借助關(guān)系式，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可求出等比數(shù)列bn中的，進(jìn)而求出公比，代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求出.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)?，符合，所以an的通項(xiàng)公式為：，.【小問2詳解】設(shè)等比數(shù)列bn的公比為.因?yàn)榈缺葦?shù)列bn滿足，即，，所以，所以，所以bn的前n項(xiàng)和.17.已知函數(shù)．（1）若，求值；（2）已知在上單調(diào)遞減，，從以下三個(gè)條件中選一個(gè)作為已知，使得函數(shù)唯一確定，求的值．①是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心；②；③在上單調(diào)遞增；【正確答案】（1）；（2）選擇條件，答案見解析.【分析】（1）逆用差角的正弦公式化簡函數(shù)，借助特殊角的三角函數(shù)值求出.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合單調(diào)區(qū)間及最小值可得，且，選擇①結(jié)合對(duì)稱中心求出；選擇②結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求出值，矛盾；選擇③，由最大值點(diǎn)求出.【小問1詳解】依題意，函數(shù)，由，得，即，而，解得，所以的值是.【小問2詳解】由在上單調(diào)遞減，得函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，又，而，即，，因此，選擇①，是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，而，則函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，函數(shù)唯一確定，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.選擇②，，即，化簡得，又，，，于是，聯(lián)立，解得，不符合題意，函數(shù)不能確定.選擇③，在上單調(diào)遞增，，則函數(shù)的最小正周期，解得，由，得，函數(shù)唯一確定，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.18.已知函數(shù)（1）若，求曲線的斜率為的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，直接寫出a的取值集合．【正確答案】（1）和；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)斜率為的直線與y=fx相切于，求導(dǎo)得，令，解得或，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式即可得切線方程；（2）求導(dǎo)得，令f'x（3）將問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間、最值，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，，設(shè)斜率為的直線與y=fx相切于，令，解得或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為,此時(shí)切線方程為：，即；綜上，所求切線方程為：和；【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，令f'x>0，得或所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問3詳解】解：令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，又，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，即直線與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：由此可得或，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值集合為19.海水受日月引力會(huì)產(chǎn)生潮汐．以海底平面為基準(zhǔn)，漲潮時(shí)水面升高，退潮時(shí)水面降低．現(xiàn)測(cè)得某港口某天的時(shí)刻與水深的關(guān)系表如下所示：（3.1時(shí)即為凌晨3點(diǎn)06分）時(shí)刻：x（時(shí)）03.16.29.312.415.518.621.724水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以用函數(shù)來近似描述這一天內(nèi)港口水深與時(shí)間的關(guān)系，求出這個(gè)函數(shù)的解析式；（2）某條貨船的吃水深度（水面高于船底的距離）為4.2米．安全條例規(guī)定，在本港口進(jìn)港和在港口?？繒r(shí)，船底高于海底平面的安全間隙至少有2米，根據(jù)（1）中的解析式，求出這條貨船最早可行的進(jìn)港時(shí)間及這條貨船一天最多可以在港口中?？康目倳r(shí)長．【正確答案】（1）（2）最早可行的進(jìn)港時(shí)間為1時(shí)2分，5時(shí)10分出港；這條貨船一天中最多可以在港口中?？康目倳r(shí)長為8小時(shí)16分.【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，進(jìn)而求，代入最高點(diǎn)可求；（2）由題意可知進(jìn)港條件為，解不等式即可.【小問1詳解】由表格可知y的最大值為7.4，最小值為2.6，所以，由表格可知，所以，所以，將點(diǎn)代入可得：，所以，解得，因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】貨船需要的安全水深為米,所以進(jìn)港條件為.令,即,所以,解得,因?yàn)?，所以時(shí)，,k=1時(shí)，因?yàn)椋〞r(shí)）=1時(shí)2分,（時(shí)）時(shí)10分.（時(shí)）時(shí)26分，（時(shí)）時(shí)34分.因此，貨船可以在1時(shí)2分進(jìn)港，早晨5時(shí)10分出港；或在下午13時(shí)26分進(jìn)港，下午17時(shí)34分出港.則該貨船最早進(jìn)港時(shí)間1時(shí)2分，?？靠倳r(shí)長為8小時(shí)16分鐘.20.已知函數(shù)，記其在點(diǎn)處的切線方程為：．定義關(guān)于x的函數(shù)．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性并說明理由；（3）若a滿足當(dāng)時(shí)，總有成立，則稱實(shí)數(shù)a為函數(shù)的一個(gè)“Q點(diǎn)”，求的所有Q點(diǎn)．【正確答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（3）的所有Q點(diǎn)為或【分析】(1)先求出的導(dǎo)函數(shù)f'x，然后求出的值，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線方程；(2)求出的導(dǎo)函數(shù)，判斷在時(shí)的符號(hào)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，總有成立，即與同號(hào)，即可找到滿足條件的值.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，，故在處的切線方程為：，即，；【小問2詳解】由知：，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，φ'x<0，當(dāng)時(shí)，φ'x>0，故，，∴ea+即恒成立，即?'x即?x在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，總有成立，故與同號(hào)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，即在上單調(diào)遞增，即恒成立，由知：，即，故當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：或，當(dāng)時(shí)，恒成立，解得：，故或，故的所有Q點(diǎn)為或.方法點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．21.已知集合，對(duì)于任意，操作一：選擇中某個(gè)位置（某兩個(gè)數(shù)之間或第一個(gè)數(shù)之前或最后一個(gè)數(shù)之后），插入連續(xù)個(gè)或連續(xù)個(gè)，得到；操作二：刪去中連續(xù)個(gè)或連續(xù)個(gè)，得到；進(jìn)行一次操作一或者操作二均稱為一次“月變換”，在第次“月變換”的結(jié)果上再進(jìn)行次“月變換”稱為第次“月變換”．（1）若對(duì)進(jìn)行兩次“月變換”，依次得到，．直接寫出和的所有可能情況．（2）對(duì)于和至少要對(duì)進(jìn)行多少次“月變換”才能得到？說明理由．（3）證明：對(duì)任意，總能對(duì)進(jìn)行不超過次“月變換”得到．【正確答案】（1），，或，，或，.（2）（3）證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)定義得到所有可能的情況即可；（2）先對(duì)段落數(shù)估計(jì)，證明一定需要次操作，然后構(gòu)造次操作的例子，即可說明至少需要的操作次數(shù)為；（3）先給出具體的操作方式，然后證明該操作方式下操作的總次數(shù)不會(huì)超過.【小問1詳解】由于對(duì)進(jìn)行一次“月變換”后就得到了，說明一定含有個(gè)相同且相鄰的數(shù)，從而只可能是，，，對(duì)應(yīng)的分別是，1,0，0,1.【小問2詳解】對(duì)每個(gè)中的元素，將其所有連續(xù)的和連續(xù)的各自記為一個(gè)段落，則容易得到：若對(duì)某個(gè)進(jìn)行一次操作一得到，則的段落數(shù)或者和的段落數(shù)相等，或者比的段落數(shù)多，或者比的段落數(shù)多；若對(duì)某個(gè)進(jìn)行一次操作二得到，則的段落數(shù)或者和的段落數(shù)相等，或者比的段落數(shù)少，或者比的段落數(shù)少.這表明，每次“月變換”下，變換前后元素的段落數(shù)之差的絕對(duì)值不超過.現(xiàn)在，的段落數(shù)為，的段落數(shù)為.故若對(duì)