數(shù)學(xué)物理方法(第3版)課件：復(fù)變函數(shù)引論

《數(shù)學(xué)物理方法》(第3版)

2

復(fù)變函數(shù)引論本章對(duì)復(fù)變函數(shù)作了概論式的介紹。首先在1.1中對(duì)高中所學(xué)過的復(fù)數(shù)作了簡(jiǎn)單的回顧和拓展，介紹了復(fù)變函數(shù)概念、復(fù)冪級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性；接著在1.2討論了初等復(fù)變函數(shù)、反函數(shù)；然后在1.3和1.4中引入復(fù)變函數(shù)的分析運(yùn)算，即導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算，重點(diǎn)放在解析函數(shù)的求導(dǎo)方法與積分求解；從1.5開始討論復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)，包括如何將復(fù)變函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)、羅朗級(jí)數(shù)，并且引入了留數(shù)的概念。本章內(nèi)容是針對(duì)如何將復(fù)變函數(shù)應(yīng)用到工程和物理問題中

而寫的，省略了復(fù)變函數(shù)中的很多精彩內(nèi)容，為了敘述的簡(jiǎn)潔和連續(xù)，對(duì)部分定理和結(jié)論的證明過程作了簡(jiǎn)化。對(duì)這方面有興趣的讀者，可以進(jìn)一步閱讀復(fù)變函數(shù)的專著。4

復(fù)變函數(shù)引論§

1.1

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

§

1.2

初等復(fù)變函數(shù)與反函數(shù)

§

1.3

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)

§

1.4

復(fù)變函數(shù)的積分

§

1.5

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)

§

1.6

羅朗級(jí)數(shù)與留數(shù)

§

1.7

留數(shù)在定積分中的應(yīng)用51.1

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§

1.1.1

復(fù)數(shù)表示法

§

1.1.2

復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則

§

1.1.3

復(fù)變函數(shù)的概念

§

1.1.4

復(fù)多項(xiàng)式與復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)6復(fù)數(shù)定義：z

=x

+jy為復(fù)數(shù)，其中j

=一1是虛數(shù)單位，x

和y都是實(shí)數(shù)。x

是復(fù)數(shù)z

的實(shí)部，記為x

=Rez

；y是復(fù)數(shù)Z

的虛部，記為y

=Imz

。當(dāng)x

=0時(shí)，z

=jy稱為純虛數(shù)；稱z

=x

一jy是x

+jy的共軛復(fù)數(shù)。相等定義：兩個(gè)復(fù)數(shù)只有它們的實(shí)部、虛部分別相等時(shí)才相等。復(fù)數(shù)的向量表示法：圖1.1的復(fù)平面上M

點(diǎn)對(duì)應(yīng)了復(fù)數(shù)z

，橫軸稱為實(shí)軸，縱軸稱為虛軸。復(fù)數(shù)z

=x

+jy與向量OM

互相對(duì)應(yīng)。注意：

復(fù)數(shù)

0

與零向量對(duì)應(yīng)。1.1.1

復(fù)數(shù)表示法7z

的輻角:Argz

=

9主輻角arg

z

:z

的所有輻角中介于與之間(包括)的那一個(gè)，記作1.1.1

復(fù)數(shù)表示法

yr

9復(fù)數(shù)z

的模:z

=r

=

<arg

z

22圖

1.1

復(fù)平面示意圖(1.1-1)(1.1-2)xxx

+

yM(z)8y一個(gè)不為0的復(fù)數(shù)z

=x

+jy，它的主輻角可用下式表示

"

x

arg

z

=〈

arctan

+

",

x

<

0,

y

>

0

復(fù)數(shù)z

=0對(duì)應(yīng)零向量，它沒有確定的方向，其輻角9是不確定的。-ar||yxararararararararct,>0,>0,>0,xy,yn2ctctar0數(shù)y意0任,a1.1.1

復(fù)數(shù)表示法9Argz與arg

z

的關(guān)系是Argz

=arg

z+2k

(k是任意整數(shù))復(fù)數(shù)的三角表示式：z

=x

+jy

=r

(cos9+jsin9)ej9

=cos9+jsin9代入式(1.1-4)，可以得到復(fù)數(shù)z

的指數(shù)表達(dá)式為z

=r

(cos9+jsin9)

=rej9

=z

ej9由于一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無窮多，所以復(fù)數(shù)的三角表示式不唯一。復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式：歐拉公式：1.1.1

復(fù)數(shù)表示法(1.1-3)(1.1-4)例1.1(1.1-5)(1.1-6)101.1.2

復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則兩個(gè)復(fù)數(shù)z1

=x1

+jy1

、z2

=x2

+jy2

的復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則如下：

加法規(guī)則：z1

士z2

=(x1

士x2

)+j

(y1

士y2

)乘法規(guī)則：z1

.z2

=(x1

+jy1

).(x2

+jy2

)=(x1x2

-y1y2

)+j

(y1x2

+x1y2

)z1

.z2

=(r1ej91

)(r2

ej92

)

=r1r2

ej(91

+92

)

=r1r2

cos

(91

+92

)+jsin

(91

+92

)

除法規(guī)則：

=

=

+

j

(z2

才

0)222

=ej(91

-92

)

=cos

(91

-92

)+jsin

(91

-92

)11乘方運(yùn)算：zn

=(rej9

)n

=rn

ejn9

=rn

(cos

n9+jsin

n9)

(1.1-7)開方運(yùn)算：記n

為正整數(shù)，在z

豐0時(shí)wn

=z

，開方后1

1w

=

z

n

=

rej(2k"+9)

nw

=

r

cos

+

jsin

，(k

=

0,1,

2,

…

,

n-

1)

(1.1-8)1.1.2

復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則例1.2例1.312復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)的定義：對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)c

>0，總存在正數(shù)6，只要0<z

一z0

<6，就有f

(z)一w

<c，則稱w是z

趨近于z0

時(shí)f

(z)的極限，記為lz

f

(z)=

w或簡(jiǎn)記為z

)z0

時(shí)，f

(z))w

。若w=f

(z0

)，即lz

f

(z)=

f

(z0

)就說f

(z)在z0

處連續(xù)。)z0im)z0im復(fù)變函數(shù)定義：設(shè)在復(fù)平面上任意點(diǎn)集G

中的一點(diǎn)z

=x

+jy，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w

與之對(duì)應(yīng)，就說在G

上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)。此定義可用公式表示為w=f

(z)=u

+jv式中的u和v

均為實(shí)值函數(shù)。1.1.3

復(fù)變函數(shù)的概念例1.5例1.4(1.1-11)13復(fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則：當(dāng)lz

f

(z

)=A

，lz

g

(z

)

=B，有加法運(yùn)算規(guī)則：lz

f

(z

)土

g(z

)=

A土

B，乘法運(yùn)算規(guī)則：lz

f

(z

)g

(z

)=AB，除法運(yùn)算規(guī)則：lz

(B

豐

0))z0im)z0im)z0im)z0im)z0im1.1.3

復(fù)變函數(shù)的概念141.1.3

復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的含w的極限：lz

f

1(z

)

=

0

一

lz

f

(z

)

=

w

f

(

t

)

=

0

一

lz

f

(z

)

=

wf

))|

=

a

一

lz

f

(z

)=

a

(a

為有限復(fù)數(shù))w相當(dāng)于一個(gè)特殊復(fù)數(shù)，與“”相當(dāng)。但是，w土w、0.w

、w.0、、都無意義。在一點(diǎn)z0

(或在一個(gè)點(diǎn)集G

內(nèi))連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f

(z

)和Q(z

)的和、差、積在這一點(diǎn)(或在這個(gè)點(diǎn)集G

內(nèi))仍然是連續(xù)的；在Q(z0

)士0時(shí)(或在點(diǎn)集G

內(nèi)Q(z

)士0)，f

(z

))wim)0imtl)wim11)0imtl)z0im)z0imQ(z

)

也是連續(xù)的，即商是連續(xù)的。151.1.3

復(fù)變函數(shù)的概念擴(kuò)充的復(fù)平面：從幾何觀點(diǎn)來看，普通復(fù)平面上并沒有與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。但是，可以設(shè)想普通復(fù)平面上附加了一個(gè)理想點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，此點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。普通的復(fù)平面加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)合在一起稱為擴(kuò)充的復(fù)平面，擴(kuò)充復(fù)平面上的每一條直線都經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。16定理

1.1

設(shè)z0

=x0

+jy0

，w0

=u0

+jv0

，f

(z

)=u

(x,y

)+jv

(x,y

)，則lz

f

(z

)=w0

的充要條件是lx

u

(x,y

)=

u0

，lx

v

(x,y

)=

v0

。y

y0

y

y0特別是u0

=u

(x0

,

y0

)，v0

=v

(x0

,y0

)時(shí)，上兩式也是f

(z

)在z0

點(diǎn)連續(xù)的充要條件。

x0im

x0im

z0im1.1.3

復(fù)變函數(shù)的概念例1.8例1.6例1.717復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)定義式是

cn

(z

-

z0

)(z

-

z0

<

R

)

(1.1-12)n=0式中系數(shù)cn

、z0

都是復(fù)常數(shù)，z

是一個(gè)復(fù)變量。冪級(jí)數(shù)的收斂和sn

(z

)=c0

+c1

(z

-z0

)+c2

(z

-z0

)+…

+cn

(z

-z0

)n

,(n

=1,2,3,…)

即s

(z

)=ln

sn

成立。定理

1.2

級(jí)數(shù)收斂的必要條件：ln

cn

(z

-z0

)n

=0。

im

imn

1.1.4

復(fù)多項(xiàng)式與復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)18冪級(jí)數(shù)的收斂性判斷：

cn

(z

z0

)=

un

(x,

y

)+j

vn

(x,

y

)(1.1-13)n=0n=0

n=0若上式右邊的兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂，cn

(z

zn

)n

一定收斂；n=0并且

un

和

vn

收斂時(shí)，

cn

(z

z0

)也是絕對(duì)收斂的。n=0n=0

n=0nwwwwwwnw復(fù)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域：是z

z0

<R的一個(gè)圓，圓的半徑稱為收斂半徑R。(1)當(dāng)R

=0時(shí)，冪級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上發(fā)散；(2)當(dāng)R

=w時(shí)，冪級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上收斂。1.1.4

復(fù)多項(xiàng)式與復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)191.1.4

復(fù)多項(xiàng)式與復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)(3)冪級(jí)數(shù)在復(fù)平面上既有收斂的點(diǎn)，也有發(fā)散的點(diǎn)。假設(shè)zc

是離z0

距離是最遠(yuǎn)的收斂點(diǎn)，這種情況如圖1.3所示。這時(shí)，所有的收斂點(diǎn)都在半徑R

=zc

一z0

的圓內(nèi)，而圓外所有的點(diǎn)都發(fā)散。

zc

Rz圖

1.3

冪級(jí)數(shù)收斂圓示意圖0

x20y0z

-z0

=R上的點(diǎn)，它的收斂性要另外判定。復(fù)冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行加、減、乘的運(yùn)算。雖然冪級(jí)數(shù)的這些運(yùn)算與多項(xiàng)式的加、減、乘類似，但是合成后的冪級(jí)數(shù)收斂半徑可能改變，應(yīng)當(dāng)取參加運(yùn)算的冪級(jí)數(shù)的最小收斂半徑作為運(yùn)算結(jié)果的收斂半徑。1.1.4

復(fù)多項(xiàng)式與復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)達(dá)朗貝爾判定方法和柯西判定法：wR

=

ln

n

cn

。而對(duì)于在1--1)wim(1)達(dá)朗貝爾判定法：設(shè)冪級(jí)數(shù)為xcn

(z

-z0

)n

，收斂半徑R

=limcn

；w(2)柯西判定法：設(shè)冪級(jí)數(shù)為xcn

(z

-z0

)n

，收斂半徑n=0n=0

n+1例1.9例1.10例1.11n)w

c21§

1.2.1

初等復(fù)變函數(shù)的定義§

1.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

§

1.2.3

反函數(shù)1.2

初等復(fù)變函數(shù)與反函數(shù)22指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的冪級(jí)數(shù)定義式是2

n

n2!n!

n=0

n!sin

z

=

z

+

+

…

=

)

cos

z

=

1

+

+

…

=

z)!

352n+1242n2n2n1n(1.2-1)(1.2-2)(1.2-3)(1.2-4)(1.2-5)sinh

z

=

z

+

+

+

…

=

(2

+

1)!nzcosh

z

=

1

+

+

+

…

=

(

n)!2z上述5個(gè)式子所定義的初等函數(shù)在全復(fù)平面上收斂且絕對(duì)收斂。1.2.1

初等復(fù)變函數(shù)的定義ez

=1+z

+

z

+…

+

z

+…

=

z

23歐拉公式的導(dǎo)出：將式(1.2-1)中z

用jz

代入，得到234n2!3!4!

n!注意到j(luò)4n

=1，j4n+1

=j

，j4n+2

=-1，j4n+3

=-j，這些代入上式后，得到e

=

1-

+

+

…

+

j

z

-

+

+

…))|=

(-

1)

(

)!

+

(-

1)

(

)!nnnnnnnnnnnnnnnnn2nz2n2n2zjzjz=cosz

+jsinz類似有e-jz

=cos

z

-

jsinz式(1.2-6)和(1.2-7)是著名的歐拉公式。1.2.1

初等復(fù)變函數(shù)的定義ejz

=1+jz

+j2

z

+j3

z

+j4

z

+…+jn

z

+…(1.2-6)(1.2-7)241.

指數(shù)的運(yùn)算法則將ez1

和ez2

直接相乘，得到e

.

e

=

.

=1+(z1

+z2

)+

1

(z1

+z2

)2

+…+

1

(z1

+z2

)n

+

…=ez1+z2

(1.2-8)z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z2z2z1z11.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)式(1.2-8)和(1.2-9)說明復(fù)指數(shù)函數(shù)保持了實(shí)指數(shù)函數(shù)的乘法與除法規(guī)則。=e一z2

.ez1

=ez1一z2

(1.2-9)2!

n!z2

ez1

e252.

指數(shù)函數(shù)的特性(1)復(fù)指數(shù)函數(shù)有周期性：設(shè)k為任意整數(shù)，對(duì)于z

=x

+jy，有

ez+2k

j

=ez

.e2k

j

=ez

(cos2k

+j

sin2k

)

=ez故ez

是以2k

j

(k

=

1,

2,

…)為周期的函數(shù)，該性質(zhì)是實(shí)變量指數(shù)函數(shù)沒有的。(2)ez

的模是ez

=

ex+jy

=

ex

cos

y

+

jsin

y

=

ex1.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)26由式(1.2-10)和(1.2-11)很容易導(dǎo)出三角函數(shù)如下性質(zhì)(1)sin

z

和cos

z

均是以2為周期的周期函數(shù)；(2)sin

z

為奇函數(shù)，cos

z

為偶函數(shù)；3.

三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則可由指數(shù)函數(shù)得到式(1.2-6)和(1.2-7)

聯(lián)立后，可以解出cos

z

=(ejz

+e

jz

)sin

z

=(ejz

e

jz

)1.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)(1.2-10)(1.2-11)27(3)實(shí)變量的三角公式對(duì)于復(fù)變量的三角函數(shù)也成立，例如

sin2

z

+cos2

z

=1，sin(z1

+z2

)=sin

z1

cos

z2

+cos

z1

sin

z2(4)sin

z

和cos

z

的無界性。令z

=x

+jy，可以導(dǎo)出：cos

z

=由于coshy和sinhy是無界的，所以cos

z

是無界的。同理可以證明sin

z

也是無界的。(5)其它復(fù)變量三角函數(shù)定義如下：tan

z

=，cot

z

=，sec

z

=，cscz

=1.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)sin

z

cos

z

1

1 cos

z

sin

z

cos

z

sinz28在sin

z

和cos

z

的表達(dá)式(1.2-10)和(1.2-11)中，用jz

代替z

可得cos

jz

=(ej.jz

+e

j

.jz

)

=(ez

+e

z

)

=coshzsin

jz

=(ej.jz

e

j.jz

)=(ez

e

z

)=jsinhz上面兩式說明雙曲函數(shù)也是周期函數(shù)，cosh

y和sinhy周期都是2j

。而且coshy與sinhy分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)。4.

雙曲線函數(shù)cosh

z

=(ez

+

e

z

)sinh

z

=(ez

e

z

)1.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)(1.2-12)(1.2-13)29可以導(dǎo)出tanh

z

===j

tan

jzcosh

z

ez

+e

z

1.2.2

指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)coth

z

=

sinh

z

=

ez

e

z

=

jcot

jz例1.14例1.13例1.12301.2.3

反函數(shù)復(fù)變函數(shù)與實(shí)函數(shù)一樣，每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)。但是，有的反函數(shù)是多值函數(shù)。1.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)ez

的反函數(shù)，是一個(gè)基本初等函數(shù)。先分析ez

的幾何特性。設(shè)z

=x

+jy

，w

=u

+jv

=pejQ

，有w

=ez

=ex+jy

=ex

(cosy

+jsiny

)

=pejQQ

=2k冗

+arctany(1.2-14)(1.2-15)22u

+vx=

ep

=31考慮k

=0，對(duì)于z

=x

+jy

，一冗

<y

=Im

(z

)<冗

。z

取圖1.6(a)上條形區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)時(shí)，p

=ex

，Q

=arctan

y相當(dāng)于一根半徑p

=w的極徑繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,得到了除了坐標(biāo)正實(shí)軸以外的w

平面上的所有點(diǎn)，如圖1.6(b)所示；當(dāng)k士0時(shí)，每增加2冗，相當(dāng)于圖1.6(c)中增加一個(gè)條形區(qū)域gi

，而w

平面上多旋轉(zhuǎn)了一圈。這樣看來，圖1.6(c)中的每個(gè)區(qū)域gi

，都映射成了圖1.6(b)所示w

平面。w

平面上的一個(gè)點(diǎn)wi

對(duì)應(yīng)了z

平面上的…z一

1

,z0

,z1

,z2

…無窮多個(gè)點(diǎn)，是一對(duì)多的關(guān)系。即wi

為自變量時(shí)，因變量zi

有多個(gè)，所以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是多值函數(shù)，稱這個(gè)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，用Lnz表示。1.2.3

反函數(shù)32

1.2.3

反函數(shù)圖

1.6

ez

與反函數(shù)的圖像g0g

1

g

22

g2Z1

g

10 1 2wiZZ33ZZ1.2.3

反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式因?yàn)閣

=

ez

=

ex+jy，而x+jy

x

jy

jArgw所以ex

=w,x

=ln

w;y

=Argw。這樣就有z

=Lnw

=x

+jy

=ln

w

+

jArgw按照以往約定，用z

表示自變量，w表示因變量，上式可改寫成w

=Lnz

=ln

z

+jArgz

=ln

z

+j

arg

z

+2k幾j,(k

=0,1,

2,3,…)k

=0時(shí)w

的值稱為對(duì)數(shù)主值，用ln

z

表示，根據(jù)式(1.2-16)得到ln

z

=ln

z

+j

arg

z注意：

ln

z

是一個(gè)復(fù)值函數(shù)，并且是單值的。e

=e

.e

=w

=w

e(1.2-17)(1.2-16)34對(duì)數(shù)函數(shù)有下列運(yùn)算性質(zhì)：Ln

(z1

.z2

)=Lnz1

+Lnz2122Lnzn

豐nLnz,(n

=2,3,…),Lnz

豐Lnz,(n

=2,3,…)1.2.3

反函數(shù)一般對(duì)于復(fù)變函數(shù)有Ln

z1

=Lnz

一Lnz例1.15例1.16(1.2-18)(1.2-19)35z1.2.3

反函數(shù)2.冪函數(shù)復(fù)冪函數(shù)用下式定義z以

=e以Lnz

(1.2-20)式中以為復(fù)常數(shù)，且z

才0；在z

=0且以為正實(shí)數(shù)時(shí)，規(guī)定z以

=0。很明顯，由于Lnz

是一個(gè)多值函數(shù)，所以冪函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)。

下面討論以取不同值時(shí)冪函數(shù)取值。(1)

以

=0,z以

=z0

=e0.Lnz

=1。(2)設(shè)以

=n

，n

=1,2,…為正整數(shù)，有zn

=

enLnz

=

en

ln

z

+jarg

z+j2kT

=

en

ln

z

.

ejn

arg

z

=

z

n

ejnargz上式表明zn

是一個(gè)單值函數(shù)。361.2.3

反函數(shù)(3)議

=(n

=1,2,3,…)，則有

1

1

ln

z

1

j

2k幾+arg

zz

n

=

en

=

z

n

e

n1k

=0,1,2,…

,n一1，z

n

有不同值。11但k取n,n

+1,n

+2,…

時(shí)，z

n

必定和前面Bn

個(gè)值相同，因此z

n

是Bn

值函數(shù)。(4)議

=,其中B,n

.B,,n和q為互質(zhì)的整數(shù)，且q

>0，此時(shí)有z

=

e

=

e

(ej

2kp幾

)

k為整數(shù)設(shè)ej

2kp幾

=

w為一復(fù)數(shù)，則有p

p

ln

z

1q

q

q1

p根據(jù)(3)的討論可知wq

是q值函數(shù)，所以z

q

是q值函數(shù)。LnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzzlnLnzLnzz

=e

w37(5)為無理數(shù)或者復(fù)數(shù)時(shí)，

ln

z

j2k

由于k在(k

=0,1,2,…)中無論取什么值，ej

2k

都不會(huì)重復(fù)，因此z

是一個(gè)無窮多值函數(shù)。冪函數(shù)的主值P.V.z

=

e

ln

zP.V.z

表示z

的主值支，它是一個(gè)單值函數(shù)。1.2.3

反函數(shù)例1.18例1.17(1.2-21)z

=e

.

e38w

=Arcsin

z可以導(dǎo)出w

=

Arc

sin

z

=

jLn

(jz

+

)由于對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)，所以反三角函數(shù)也是多值函數(shù)。1.2.3

反函數(shù)3.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)三角函數(shù)的反函數(shù)稱為反三角函數(shù)。例如sin

w

=z

，反正弦函數(shù)記作注意式(1.3-23)中

前沒有

號(hào)，

從指數(shù)函數(shù)一節(jié)中可知，

是一個(gè)二值函

數(shù)，所以無須加

號(hào)。例1.19例1.20(1.2-22)(1.2-23)39類似可以導(dǎo)出其它的反三角函數(shù)，例如Arccos

z

=

-jLn

(z

+

)Arc

tan

z

=

jLnArc

coth

z

=Ln

(1.2-29)2z

-1等式右端中對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性和方根的二值性導(dǎo)致了這些反函數(shù)是多值函數(shù)。Arc

sinh

z

=

Ln

(z

+

)

Arc

cosh

z

=

Ln

(z

+

)1

1+z21-z反雙曲函數(shù)也可以用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)出來，它們的推導(dǎo)過程與式(1.2-23)的推導(dǎo)過程類似，從定義式中可以解相應(yīng)的反函數(shù)。部分公式列舉如下：(1.2-26)(1.2-27)(1.2-28)1.2.3

反函數(shù)(1.2-24)(1.2-25)1

z

+j2j

-

zArc

tanh

z

=

Ln1

1+z40§

1.3.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義§

1.3.2

柯西－黎曼方程

§

1.3.3

多值函數(shù)的解析延拓1.3

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)41復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是增量比的極限，其定義與高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)定義相似。復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)f

(z

)在點(diǎn)z0

及鄰域內(nèi)有定義，z

是一個(gè)復(fù)變量，且設(shè)z0

+z

仍在f

(z

)的定義域內(nèi)，若極限f

(z0

)

=

=

i存在，則稱此極限為f

(z

)在z0

點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，也稱該點(diǎn)是可微的。z=z0z=z0z=z0z=z0zz=z0z=z0z=z0z=z0

0m

l1.3.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義42復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)求法與高等數(shù)學(xué)中的單變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法相同。例如在n

為自然數(shù)時(shí)，zn

的導(dǎo)數(shù)是(z

)

=

iz

=

lim=iz

(C

zn

1

+C

zn

2

z

+…

+C

1z

zn

2

+C

zn

1

)=

C1zn

1

=

nzn

1

n類似上面方法可以求出其它的復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。nnnnn2n1

0m

lnn

0m

l1.3.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義zn

+

C

zn

1

z

+

C

zn

2

z2

+

…

+

C

1z

zn

1

+

C

zn

znnnnnn2n1

z

0

z(1.3-1)431.3.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義解析函數(shù)定義

若復(fù)變函數(shù)f(z

)在它的定義域G

內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)存在，就稱f

(z

)為G內(nèi)的解析函數(shù)；如果在z0

點(diǎn)不解析，則稱z0

點(diǎn)為f

(z

)的奇點(diǎn)。解析函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)也是解析函數(shù)。解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的

運(yùn)算法則如下：[f(z)士g(z)]，=f

，(z)士g，(z)；[f(z)g(z)]，=f

，(z)g(z)+f(z)g，(z)；「f(z)

]，

f

，(z)g(z)-f(z)g，(z)若w(z)=g

[f(z)]，則有w，(z)=g，[f(z)]f

，(z)；若f

，(z)

豐

0,

z

=

f

(w)存在且連續(xù)，則有

f

(w)

，=

f

，(f

1-1

(w))-1-1--1|L

g(z)

」|

=

[g

(z)]2

；441.3.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義注意：若解析函數(shù)可導(dǎo)，也一定是連續(xù)的；但是，函數(shù)的連續(xù)性不能保證函數(shù)的可導(dǎo)和解析。一些復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和求導(dǎo)運(yùn)算法則求解。所得到的結(jié)果列舉如下：(ez

)=ez

(tan

z)=(zn

)=nzn

1

(sin

z)

=cosz(cosz)=sinz(sinhz)=cosh

z(cosh

z)=sinh

z(tanh

z)=

451.3.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

多值函數(shù)不能求極限，因此導(dǎo)數(shù)不存在，但是

它們的主值是單值的，因此主值的導(dǎo)數(shù)是存在的。對(duì)數(shù)函數(shù)的主值是w

=ln

z

=ln

z

+j

arg

z,(<arg

z

)在區(qū)域<arg

z

<內(nèi)ln

z

是單值有定義的，根據(jù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到(ln

z

)

=

=

=

例1.22例1.21(1.3-4)46證

先證必要性.因?yàn)閒(x)在z

點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，所以極限f

(z

)

=

i存在。由于在求極限時(shí)，z

可以以任意方式趨近于零，取兩種z

0

的方式：第一種如圖1.7的AB直線。z

0m

l1.3.2

柯西－黎曼方程定理

1.4

函數(shù)f

(z

)=u

(x,y

)+jv

(x,y

)在z

=x

+jy處可導(dǎo)的充要條件是u

(x,y

)和v

(x,y

)在點(diǎn)(x,y

)處可微，并且滿足柯西－黎曼方程?u

?v?x

?y式(1.3-5)又稱為CR方程。?u

?v?y

?x(1.3-5)=

47=,1.3.2

柯西－黎曼方程圖

1.7

z0的兩種不同方式z

+

zA(x,y

+y)''0

xz

+

z

(x

+x,y)A48By這時(shí)編y

=

0

，因此有f

，(z

)

=

lim

f

(x

+

編x

+

jy

)

-

f

(x

+

jy

)=

lim

u

(x

+

編x

,

y

)

+

jv

(x

+

編x

,

y

)-

u

(x

,

y

)-

jv

(x

,

y

)=

li

u

(x

+

編x

,

)x

-

u

(x

,

y

)

+

j

li

v

(x

+

編x

,

)x

-

v

(x

,

y

)

?u

?vx編x編編y)0m編y)0m1.3.2

柯西－黎曼方程編x)

0

編x編x)

0

編x=+

j?x

?x491.3.2

柯西－黎曼方程第二種方式是z

+編z

與T(x

)恒在一條垂線上，如圖1.7的A，B直線，編x

=0，有f

，(z

)

=

lim

f

(x

+

jy

+

j編y)

-

f

(x

+

jy)lim「u

(x,

y

+編y

)

-

u

(x,

y

)]

lim「v

(x,

y

+

編y

)

-

v

(x,

y

)]比較f

，(z)

的兩次結(jié)果，

可以得到au

av

au

avax

ay

ay

ax=

編y)0

|L

j編y

」|

+

編y)0

|L編y

」|

au

av=

-j

ay

+

ay編y)0

編x=，=-50充分性證明如下.由于u

(x,y

)和v

(x,y

)在(x,y

)處可導(dǎo)，且(1.3-5)式成立，按二元函數(shù)全微分的存在性，并且應(yīng)用CR方程，可以得到編u

=

編x

+

編y

=

編x

+

-

))|編y編v

=

?v

編x+

?v

編y

=

?v

編x+

?u

編y1.3.2

柯西－黎曼方程?x

?y

?x

?x51而f

(z

)的增量Aw為Aw

=f

(z

+Az

)-f

(z

)=Au

+jAv(au

av

)(av

au

)=

(Ax

+

jAy)+j

(Ax

+

jAy)=

+

j

))|(Ax

+

jAy)(au

av

)f

，(z

)

=

lAiz

=

lAiz

+

j

=

+

j)0m)0m=

|\ax

Ax

-

ax

Ay)|+

j

|\ax

Ax

+

ax

Ay)|1.3.2

柯西－黎曼方程=

|\ax

+

j

ax

)|

Az[證畢]521.3.2

柯西－黎曼方程定理1.4的證明過程也表明，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)，f

(z

)的導(dǎo)數(shù)為f

(z

)=

+

j

=

+

j

=

-

j

=

-

j

(1.3-6)必須注意的是此充要條件包含了CR方程和u

(x,y

)、v

(x,y

)在點(diǎn)(x,y

)可微兩個(gè)條件。如何判斷函數(shù)的解析性呢？請(qǐng)見下面的定理1.5。定理

1.5

函數(shù)f

(z

)=u

(x,y

)+jv

(x,y

)在區(qū)域G

內(nèi)解析的充要條件是u

(x,y

)和v

(x,y

)在區(qū)域G內(nèi)處處可微，并且滿足CR方程。例1.23531.3.3

多值函數(shù)的解析延拓這里以對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz為例，介紹解析延拓的概念。設(shè)z

=x

+jy

=rej9

，對(duì)數(shù)函數(shù)為w

=Lnz

=lnr

+j

(2k幾

+9),(k

=0,1,2,...)從1.2.3可知，對(duì)應(yīng)于z

平面上一點(diǎn)z0

(r

,90

)

，w

平面上的對(duì)應(yīng)值是...w一2

=ln

r

+j

(一4幾

+90

)、

w一

1

=lnr

+j

(一2幾

+90

)、w0

=lnr

+j90

、w1

=ln

r

+j

(2幾

+90

)...，有無窮多個(gè)對(duì)應(yīng)值。為了把z

與w

的映射成一對(duì)一的，引入黎曼曲面描述z

平面。將z

平面上不是Lnz

的定義域原點(diǎn)和正實(shí)軸剪開，形成上岸和下岸，再把無窮張這樣剪開的上岸和下岸依次粘貼起來，就形成了對(duì)數(shù)函數(shù)的黎曼曲面。54圖1.9(a)是一張這樣剪開的平面，圖1.9(b)是許多張平面粘貼后的黎曼曲面。當(dāng)r

在z

平面上旋轉(zhuǎn)時(shí)，z0

點(diǎn)在黎曼曲面上進(jìn)入了不同的頁面...D

1、D0

、D1、D2

,...，形成了...G

1、G0、G1、G2

,

...

等不再重合的

1.9(b)和圖1.9(c)顯示了這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是一個(gè)單值函數(shù)。...1,0,1,2,...

點(diǎn)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)到w平面上就形成了w

w

w

w

等諸多映射點(diǎn)，圖1.3.3

多值函數(shù)的解析延拓55圖

1.9

(a)一張有上岸和下岸的坐標(biāo)平面；(b)對(duì)數(shù)函數(shù)的黎曼曲面，D

1

、D0

、D1

、D2

是曲面的頁面編號(hào)，

1，G0

，G1

，G2

是圖(a)中的點(diǎn)在極徑轉(zhuǎn)動(dòng)不同圈數(shù)時(shí)留

下的位置，注意此時(shí)它們不再重合；(c)與Gi

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的wi

點(diǎn)。

G1.3.3

多值函數(shù)的解析延拓

Z0

(r,90

)

w210

w

w2G0G210 1DDDD56

w

1GG 11黎曼曲面上的對(duì)數(shù)函數(shù)的定義式是

")

,

((r

,

))

n

r

j

(9-

"

,

(

>

-3

<

9

<

-")r-：lw

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

=w

="0,)r3"3"〈=LnzLnzLnzw

=w

=9",30,9,(9(9jjjrrrnnnlll：這里選定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，輻角增加；反之為負(fù)，輻角減小。上述過程稱為解析延拓，它將z

與w

映射成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，w

是

z

的單值函數(shù)。1.3.3

多值函數(shù)的解析延拓(1.3-7)57Lnz

的導(dǎo)數(shù).設(shè)極坐標(biāo)中x

=rcos9，y

=r

sin

9，不難證明它的導(dǎo)數(shù)公式是d

ln

z

1

j9

1dz

r

z即函數(shù)的各個(gè)分支的導(dǎo)數(shù)相等。11

Lnz冪函數(shù)n

也是一個(gè)多值函數(shù)，有n

個(gè)分支。根據(jù)定義式z

n

=en

，解析延拓后n

的導(dǎo)數(shù)是(n

)

=

z

1

11.3.3

多值函數(shù)的解析延拓例1.24=e

=58§

1.4.1

復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算§

1.4.2

柯西－古薩定理

§

1.4.3

復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)與積分1.4

復(fù)變函數(shù)的積分59復(fù)變函數(shù)積分定義

設(shè)f(z

)是一個(gè)定義在分段光滑曲線AB上的復(fù)變函數(shù)，如圖1.10所示。n

個(gè)分點(diǎn)z0

、z1、…zi、…zn

把弧AB分為若干段，每段n=1當(dāng)弧長(zhǎng)As

)0，分點(diǎn)n

)w時(shí)，若和式的極限存在，其值就是復(fù)積分，若是閉曲線積分，曲線C

正向取為逆時(shí)針方向，記作C

f

(z

)dz；曲線C的反向取為順時(shí)針方向，記作

C-

f

(z

)dz。記作jAB

f

(z

)dz

=

lin)mw

f

(毛i

)Azi0)AsAsi弧長(zhǎng)為ASi

，記Azi

=

zi

-

zi-1

。在zi-1

和zi

中任取一點(diǎn)毛i

，做和式xf

(毛i

)Azi

。1.4.1

復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算(1.4-1)601.4.1

復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算

2

n

1z

1

z1z

n

1z0

=

A圖

1.10

復(fù)積分定義示意圖C

nz

=

Bn61yxz21.4.1

復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算從定義式(1.4.1)可見，設(shè)積分變量z

=x

+jy，函數(shù)f

(z)=u(x,y)+jv(x,y)，有復(fù)變函數(shù)的積分公式：jAB

f

(z)dz

=

jAB

u

(x,y)+jv(x,y)(dx+

jdy)=

jABu

(x,y)dx

一v(x,y)dy+jjAB

v(x,y)dx+u

(x,y)dy

(1.4-2)存在，有jAB

f

(z

)dz

=

j

a

懇u

x,

f

(x

)一

v

x,

f

(x

)f

,(x

)}dx+

jj

a

懇v

x,

f

(x

)+

u

x,

f

(x

)f

,(x

)}dxbb有兩種方法計(jì)算式(1.4-2)的積分：(1)若曲線AB可以由方程y

=f

(x

),(a

共x

共b)表示，f

(x

)的導(dǎo)數(shù)f

,(x

)(1.4-3)62(2)曲線AB

由參數(shù)方程x

=x(t

)，y

=y

(t

)，t1

三t

三t2

表示。z

(t

)=x(t

)+jy(t

)，有jAB

f

(z

)dz

=

j

f

z

(t

)x，(t

)+

jy，(t

)dt=

j

懇u

x

(t

),

y

(t

)x，(t

)-

v

x

(t

),

y

(t

)y，(t

)}dt+

jj

懇v

x

(t

),

y

(t

)x，(t

)+

u

x

(t

),

y

(t

)y，(t

)}dt1.4.1

復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算(1.4-4)631.4.1復(fù)變函數(shù)積分的概念和計(jì)算復(fù)積分的一些基本性質(zhì)與線積分的基本性質(zhì)類似：(1)

jC

kf

(z

)dz

=

kjC

f

(z

)dz

,k

=

復(fù)常數(shù)(2)

jC

f

(z

)dz

=

-jC-

f

(z

)dz(3)

jC

[f

(z

)土g(z

)]dz

=jC

f

(z

)dz

土jC

g

(z

)dz(4)

jC

+C

f

(z

)dz

=

jC

f

(z

)dz+jC

f

(z

)dz(5)

jC

f

(z

)dz

共

jC

f

(z

)dz

=

jC

f

(z

)ds

(ds是弧微元)1111111111111111111122121例1.25例1.26例1.2764柯西－古薩定理

1.6

若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域G內(nèi)解析，則函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)的任何分段光滑封閉曲線上的積分為零，即c

f

(z

)dz

=

0。

C

f

(z

)dz

=

c

(udx

-

vdy)+

j

C

(vdx

+