高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）13集合的基本運(yùn)算（六大題型）

1．3集合的基本運(yùn)算目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：集合的交集運(yùn)算 4題型二：并集運(yùn)算 5題型三：補(bǔ)集運(yùn)算 7題型四：集合的交集、并集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算 8題型五：已知集合的交集、并集、補(bǔ)集求參數(shù) 10題型六：韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用 12

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：集合的運(yùn)算1、并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．（2）兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復(fù)元素只出現(xiàn)一次）．2、交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是．（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于A∩B”．（3）兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合．3、補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集（plementaryset），簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：，即補(bǔ)集的Venn圖表示：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）理解補(bǔ)集概念時(shí)，應(yīng)注意補(bǔ)集是對(duì)給定的集合和相對(duì)而言的一個(gè)概念，一個(gè)確定的集合，對(duì)于不同的集合U，補(bǔ)集不同．（2）全集是相對(duì)于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí)，則為全集，這時(shí)就不是全集．（3）表示U為全集時(shí)的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合（如）時(shí)，則記號(hào)中“U”也必須換成相應(yīng)的集合（即）．4、集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論，若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x（A∩B），則xA且xB若x（A∪B），則xA，或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法．【典型例題】題型一：集合的交集運(yùn)算【典例11】（2024·高二·河北石家莊·期末）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，，所以，故選：D．【典例12】（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】求集合A∩B的步驟與注意點(diǎn)（1）步驟：①弄清兩個(gè)集合的屬性及代表元素；②把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來，寫成“A∩B”的形式；③把化簡(jiǎn)后的集合A，B的所有公共元素都寫出來即可（相同元素只寫一個(gè)）．（2）注意：若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．【變式11】（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C． D．{，1，3}【答案】D【解析】根據(jù)題意可得只能表示奇數(shù)，又，可得．故選：D．【變式12】（2024·高二·北京海淀·期末）設(shè)集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，，所以.故選：A【變式13】（2024·高三·四川遂寧·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，可得.故選：B.題型二：并集運(yùn)算【典例21】（2024·高三·黑龍江伊春·開學(xué)考試）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.【典例22】（2024·高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，所以，故選：B【方法技巧與總結(jié)】求集合并集的兩個(gè)方法（1）若集合元素個(gè)數(shù)有限，可根據(jù)定義直接寫出并集．（2）若集合元素個(gè)數(shù)無限，可借助于數(shù)軸分析，求出并集，但應(yīng)注意端點(diǎn)是否能取得．【變式21】（2024·高三·北京房山·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，所以.故選：A【變式22】（2024·高二·廣東湛江·期中）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意,故選：A.【變式23】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得.故選：A.【變式24】（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，無解；由，解得；由，解得，所以,所以.故選:C.題型三：補(bǔ)集運(yùn)算【典例31】（2024·高三·北京海淀·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】.故選：C【典例32】（2024·高一·福建莆田·階段練習(xí)）已知全集，集合或，，那么陰影部分表示的集合為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】因?yàn)槿匣?，所以，陰影部分表示的集合為，故選：.【方法技巧與總結(jié)】補(bǔ)集的求解步驟及方法（1）步驟：①確定全集：在進(jìn)行補(bǔ)集的簡(jiǎn)單運(yùn)算時(shí)，應(yīng)首先明確全集；②緊扣定義求解補(bǔ)集．（2）方法：①借助Venn圖或數(shù)軸求解；②借助補(bǔ)集性質(zhì)求解．【變式31】（2024·高二·山東青島·期末）設(shè)全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，所以.故選：B.【變式32】（2024·高一·河北·期末）設(shè)全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槿?，根?jù)元素與集合的關(guān)系可知，ABD錯(cuò)誤，C正確．故選：C．【變式33】（2024·高二·云南紅河·期末）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】集合，，故.故選：C題型四：集合的交集、并集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算【典例41】（2024·高一·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)全集，若，，，則．【答案】【解析】全集，作出韋恩圖如下圖所示：由圖形可知集合，，因此，.故答案為.【典例42】（2024·高一·山東濟(jì)寧·期中）已知全集，，．(1)求集合M，N；(2)求；(3)求；(4)求．【解析】（1），；（2）；（3）∵，全集，∴；（4）∵，，∴．【方法技巧與總結(jié)】求解與不等式有關(guān)的集合問題的方法解決與不等式有關(guān)的集合問題時(shí)，畫數(shù)軸（這也是集合的圖形語言的常用表示方式）可以使問題變得形象直觀，要注意求解時(shí)端點(diǎn)的值是否能取到．【變式41】（2024·高一·廣東中山·開學(xué)考試）已知全集，集合，，求：(1)，；(2)【解析】（1）由交集的定義可知，；由并集的定義可知，；（2）由補(bǔ)集定義可知，，.【變式42】（2024·高一·廣西北?！て谀┰O(shè)集合.求：(1)；(2).【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以或，?故或.【變式43】（2024·高一·寧夏吳忠·期中）已知集合或，全集.(1)求；(2)求.【解析】（1）或，，或；（2）或，所以，所以；題型五：已知集合的交集、并集、補(bǔ)集求參數(shù)【典例51】（2024·高一·浙江·期中）已知全集，集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，，所以，?）由得，得解得，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為【典例52】（2024·高二·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知集合或x>7，．(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由題意知：；因?yàn)?，故；①?dāng)，即時(shí)，滿足，此時(shí)；②當(dāng)，若，則，解得；綜上所述：m的取值范圍為（2）因?yàn)?，且，故，即，解得，則，；①當(dāng)，即時(shí)，；故，解得；②當(dāng)，即時(shí)，；故，解得；③當(dāng)，即時(shí)，，不合題意；綜上所述，m的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)（1）方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等這類問題，解答時(shí)常借助交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，如A∩B=A?A?B，A∪B=B?A?B．（2）關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合A?B時(shí)，若集合A不確定，運(yùn)算時(shí)要考慮A=?的情況，否則易漏解．【變式51】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合．(1)若，求;(2)若中只有一個(gè)元素，求的取值集合．【解析】（1）時(shí)，，因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，所以．故．（2）當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)．故的取值集合為．【變式52】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知集合，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），∵，∴．∴，且即，∴（2）∵，∴若，即，則．若為單元素集，即，則．當(dāng)時(shí)，，滿足．當(dāng)時(shí)，，不滿足．若，則由韋達(dá)定理知，無解，綜上的取值范圍為．題型六：韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用【典例61】（2024·高一·北京·階段練習(xí)）學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，則只參加游泳比賽的人數(shù)是，只參加田徑一項(xiàng)比賽的人數(shù)是.【答案】92【解析】如圖所示：設(shè)U={參加比賽的學(xué)生}，A={參加游泳比賽的學(xué)生}，B={參加田徑比賽的學(xué)生}，C={參加球類比賽的學(xué)生}，依題意，，，于是，解得，所以只參加游泳比賽的人數(shù)為，只參加田徑比賽的人數(shù).故答案為：9，2【典例62】（2024·高一·湖北武漢·期中）某學(xué)校高一年級(jí)一班48名同學(xué)全部參加語文和英語書面表達(dá)寫作比賽，根據(jù)作品質(zhì)量評(píng)定為優(yōu)秀和合格兩個(gè)等級(jí)，結(jié)果如下：優(yōu)秀合格合計(jì)語文202848英語301848若在兩項(xiàng)比賽中都評(píng)定為合格的學(xué)生最多為10人，則在兩項(xiàng)比賽中都評(píng)定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為人．【答案】12【解析】設(shè)集合表示語文寫作優(yōu)秀的學(xué)生，集合表示英語書面表達(dá)優(yōu)秀的學(xué)生，全班學(xué)生用集合表示.則表示語文寫作合格的學(xué)生，表示英語書面表達(dá)合格的學(xué)生，作出圖.如圖，設(shè)兩項(xiàng)寫作都優(yōu)秀的人數(shù)為，兩項(xiàng)寫作都合格的人數(shù)為.由圖可得,即因?yàn)椋?，即兩個(gè)項(xiàng)目中都優(yōu)秀的同學(xué)最多為12.故答案為：12.【方法技巧與總結(jié)】韋恩圖在集合運(yùn)算中扮演著重要角色，它通過圖形化方式直觀展示集合之間的交集、并集和補(bǔ)集等關(guān)系。具體來說，韋恩圖使用圓形或橢圓形表示集合，重疊部分表示集合的交集，而兩個(gè)集合的全部區(qū)域（包括重疊和非重疊部分）則表示并集。此外，韋恩圖還能清晰地展示一個(gè)集合在全集中的補(bǔ)集。這種可視化方法不僅簡(jiǎn)化了集合運(yùn)算的理解過程，還有助于解決復(fù)雜的邏輯問題，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。【變式61】（2024·高二·陜西咸陽·階段練習(xí)）“掃碼支付”“高鐵”“網(wǎng)購(gòu)”與“共享單車”被稱為中國(guó)的“新四大發(fā)明”.某中學(xué)為了了解本校學(xué)生中“新四大發(fā)明”的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過“掃碼支付”或“共享單車”的學(xué)生共有90位，使用過“掃碼支付”的學(xué)生共有80位，使用過“共享單車”且使用過“掃碼支付”的學(xué)生共有60位，則這100位學(xué)生中使用過“共享單車”的學(xué)生共有位.【答案】70【解析】根據(jù)題意使用過“掃碼支付”、“共享單車”的人數(shù)用Venn圖表示如圖，使用過“共享單車”或“掃碼支付”的學(xué)生共有90位，使用過“掃碼支付”的學(xué)生共有80位，則可得：只使用過“共享單車”但沒使用過“掃碼支付”的學(xué)生有人，又使用過“共享單車”且使用過“掃碼支付”的學(xué)生共有60位，則使用過“共享單車”的學(xué)生人數(shù)為，故答案為：70．【變式62】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96名學(xué)生喜歡足球或游泳，60名學(xué)生喜歡足球，82名學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)為．【答案】46【解析】設(shè)喜歡足球的學(xué)生、喜歡游泳的學(xué)生形成的集合分別為，，由題意可知，，，則，即該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)為46，故答案為：46【變式63】（2024·高一·江蘇常州·期中）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，第三天售出14種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有5種，則該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有種.【答案】【解析】由題意，第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，前兩天都售出的商品有3種，所以第一天售出但第二天未售出的商品有種，第二天售出但第一天未售出的商品有種，所以前兩天共售出的商品有種，第三天售出14種商品，后兩天都售出的商品有5種，所以第三天售出但第二天未售出的商品有種，因?yàn)?，所以這種商品都是第一天售出但第二天未售出的商品時(shí)，該網(wǎng)店這三天售出的商品種類最少，其最小值為.故答案為：.【變式64】（2024·高一·江西南昌·階段練習(xí)）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出18種商品，第二天售出14種商品，第三天售出19種商品；前