二次函數(shù)壓軸題-2023年北京中考復(fù)習(xí)試題分類匯編（解析版）

專題26二次函數(shù)壓軸題

解答題（共38小題）

1.（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系％0中，點(diǎn)（1,加），（3,〃）在拋物線y="2+6X+°（Q〉o）上，設(shè)拋物線

的對(duì)稱軸為直線I

（1）當(dāng)c=2,加=〃時(shí)，求拋物線與〉軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及，的值；

（2）點(diǎn)（%,冽）（%wl）在拋物線上.^m<n<c,求，的取值范圍及與的取值范圍.

【詳解】（1）將點(diǎn)（1,機(jī)），（3/）代入拋物線解析式，

fm=a+b+c

[n=9a+3b+c

'：m—n,

a+b+c=9a+3b+c,整理得，b=-4a,

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=--==2；

lala

.,.t=2j

?「c=2,

?.拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）.

（2）,：m<n<c,

a+b+c<9a+3b+c<c,

解得-4〃<b<-3a,

3a<-b<4a,

3ab4a3

——<---<——，R即n一</<2.

2a2a2a2

當(dāng)，=—時(shí)，x=2；

2Q°

當(dāng)￡=2時(shí)，/=3.

.*.x0的取值范圍2<%o<3.

2.（2021?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1,加）和點(diǎn)（3/）在拋物線歹=M+-m〉o）上.

（1）若加=3,〃=15,求該拋物線的對(duì)稱軸；

（2）已知點(diǎn)（-1,%），（2,%）,（4,為）在該拋物線上.若加〃<0,比較%，%,%的大小，并說明理由.

【詳解】（1）,加=3,〃=15,

.?.點(diǎn)(1,3),(3,15)在拋物線上,

將(1,3),(3,15)代入y=o?+6x得:

J3=Q+6

[15=9。+3廠

.0.y—工？+2,x-(x+1)?—1,

???拋物線對(duì)稱軸為直線X=-1.

(2),/y=ax2+bx(a>0)，

???拋物線開口向上且經(jīng)過原點(diǎn)，

當(dāng)6=0時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，x〉0時(shí)〉隨x增大而增大，〃>加>0不滿足題意,

當(dāng)6>0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在〉軸左側(cè)，同理，〃〉冽>0不滿足題意，

:.b<0,拋物線對(duì)稱軸在歹軸右側(cè)，X=1時(shí)機(jī)<0,x=3時(shí)〃>0,

即拋物線和x軸的2個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)為(0,0),另外一個(gè)在1和3之間，

二.拋物線對(duì)稱軸在直線x=士3與直線x=上1之間，

.?.點(diǎn)(2,力)與對(duì)稱軸距離-<2-(-—)<

點(diǎn)(-1,必)與對(duì)稱軸距離—<-----(―1)<—,

點(diǎn)(4,y3)與對(duì)稱軸距離—<4-(-<—

解法二：?.?點(diǎn)(1,⑼和點(diǎn)(3,〃)在拋物線y=ax2+bx(a>0)±,

:.a+b=m,9。+36=幾,

*/mn<0,

(q+b)(9a+3b)<0,

。+b與3。+b異號(hào),

丁Q〉0,

:.3a+b>a+b，

Q+6<0,3Q+6>0,

???（—1,必），（2,%）,（4,%）在該拋物線上，

yx=a-b,y2=4a+2b,%=16。+46,

?/y3~yx=（16Q+4b）-{a-b）=5（3Q+b）>0,

?■-%>必，

?/yl-y2=（a-b）~（4tz+2b）=—3（a+b）>0，

必〉%，

%<%<%?

3.（2020?北京）在平面直角坐標(biāo)系x/中，M{xx,必），NH，%）為拋物線歹="2+及+°（〃〉0）上任

意兩點(diǎn)，其中占<%2.

（1）若拋物線的對(duì)稱軸為X=1，當(dāng)玉，馬為何值時(shí)，%=%=。；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x若對(duì)于玉+%>3,都有必<%,求，的取值范圍.

【詳解】（1）由題意必=%=。，

..X]=0,

?.?對(duì)稱軸為直線X=1,

:.M,N關(guān)于x=l對(duì)稱，

%2=2,

X]—0,x?—2日寸，—y2~c?

（2）①當(dāng)否時(shí)，恒成立.

②當(dāng)王<%2，，/時(shí)，恒不成立.

③當(dāng)再<"%2時(shí)，:拋物線的對(duì)稱軸為直線X若對(duì)于石+々>3,都有必<為，

當(dāng)再+%2=3，且必=為時(shí)，對(duì)稱軸為直線X=/，

.?.滿足條件的值為：/,,3.

2

解法二：

aXy+bxx+c<ax；+bx2+c,

Q(X；-xf)<-b(x1-x2),

b.

X]+々>—=2t，

a

當(dāng)項(xiàng)+%2>3時(shí)，都有再+%2>2,，

2t?3,

3

,?'，，二

2

.?.滿足條件的值為：/,,3.

2

4.(2019?北京)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線y="?+與y軸交于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向右平移2個(gè)

a

單位長度，得到點(diǎn)8,點(diǎn)3在拋物線上.

(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo)(用含a的式子表示)；

(2)求拋物線的對(duì)稱軸；

(3)已知點(diǎn)尸已，-1),2(2,2).若拋物線與線段尸0恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范

2a

圍.

【詳解】(1)^(0,--)

a

點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)5(2,--)；

a

(2)4與8關(guān)于對(duì)稱軸x=l對(duì)稱，

二.拋物線對(duì)稱軸％=1;

(3)?.?對(duì)稱軸x=l,

b=-2a，

.2°1

..y=ax-2ax--，

a

①a>0時(shí)，

當(dāng)x=2時(shí)，y=—■-<2,

a

當(dāng)》=—■^時(shí)，x=0或x=2,

a

.?.函數(shù)與尸。無交點(diǎn)；

②a<0時(shí)，

觀察圖象可知，-±,2,

a

解得，a?,

2

:.當(dāng)a,,-g時(shí)，拋物線與線段尸0恰有一個(gè)公共點(diǎn).

5.(2018?北京)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)/,B,拋物線

＞=0?+阮-30經(jīng)過點(diǎn)工,將點(diǎn)3向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的對(duì)稱軸；

(3)若拋物線與線段8C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

【詳解】(1)與y軸交點(diǎn)：令x=0代入直線y=4x+4得＞=4,

.-.5(0,4)，

?.?點(diǎn)8向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C,

C(5,4)；

(2)與％軸交點(diǎn)：令＞=0代入直線y=4x+4得、=一1,

將點(diǎn)4-1,0)代入拋物線＞="2+&—3〃中得0=q—6—3。，即6=—2。,

.?.拋物線的對(duì)稱軸X==-3=1；

2a2a

(3)?.■拋物線〉=辦2+區(qū)一3。經(jīng)過點(diǎn)/(一1,0)且對(duì)稱軸;(:=1,

由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線也一定過/的對(duì)稱點(diǎn)(3,0),

①a＞0時(shí)，如圖1,

將x=0代入拋物線得y=-3a,

拋物線與線段8c恰有一個(gè)公共點(diǎn),

—3ci<4,

4

CI>--，

3

將1=5代入拋物線得y=12a,

12a...4,

解得a...-；

3

②Q<0時(shí)，如圖2,

將％=0代入拋物線得歹=-3〃，

v拋物線與線段5C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

—3。>4,

4

解得a<—；

3

③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段上時(shí)，則頂點(diǎn)為(1,4),如圖3,

將點(diǎn)(1,4)代入拋物線得4=a-2a-3a,

解得a=-1.

、…、14

上所述，ci...—或(ci<—或(a-—1.

33

6.(2022?海淀區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系X/中，二次函數(shù)〉=0?-2如(0片0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(-1,3).

(1)求該二次函數(shù)的解析式以及圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)一次函數(shù)y=2x+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)/,點(diǎn)(私必)在一次函數(shù)y=2x+6的圖象上，點(diǎn)(加+4,%)在二次

函數(shù)y=or2-2辦的圖象上.若必＞必，求m的取值范圍.

【詳解】(1)將點(diǎn)/(-1,3)代入y=a?-2"得：a+2a=3,

解得：＜2=1,

y=x2—2,x=(x-1)--1,

圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1)；

(2)?.,一次函數(shù)y=2x+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)/,

-2+6=3,

:.b=5，

y=2x+5,

?.?點(diǎn)(m,耳)在一次函數(shù)y=2x+5的圖象上,

yx-2m+5，

???點(diǎn)(冽+4,%)在二次函數(shù)歹二%2—2x的圖象上，

22

y2=(m+4)-2(m+4)=m+6m+8,

???必>%，

2m+5>m2+6m+8,BPm2+4m+3<0,

令y=加2+4加+3,

當(dāng)>=0時(shí)，m2+4m+3=0,

解得：X]=-1,x2=—3J

/.拋物線與x軸交點(diǎn)為(-1,0)和(-3,0),

???拋物線開口項(xiàng)上，

.,.加2+4冽+3<0的解為：-3<m<-1,

/.m的取值范圍是-3<加<-1.

7.(2022?朝陽區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(-2,0),(-1,%)，(1,%),(2,%)在拋物線

y=x2+bx+c上.

(1)若必=為，求%的值；

(2)若%<必<為，求為的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)必=為時(shí)，(T/J，(L%)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

則拋物線對(duì)稱軸為丁軸，

.?.(-2,0),(2,%)關(guān)于歹軸對(duì)稱，

%=0.

(2)將(一2,0)代入>=>?+樂+。得4—2b+c=0,

將(1,%)代入>=Y+樂+0得歹2=1+6+°,

將(一1,必)代入>=12+6%+0得必=1-6+0,

???％<必，

l+6+c<l—6，

，6<0,

將（2,y3）代入歹uM+bx+c得為=4+2b+c,

???必<%，

1—b+c<4+2b+c,

b>—1?

,二4一2b+c=0,

/.y3=4+2b+c=46,

-4<<0,即—4<為<0.

8.（2022?順義區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,-2）在拋物線了="2+區(qū)-2伍<0）上.

（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；

2

（2）已知點(diǎn)（〃-2,%），（M-l,y2）,（〃+1,%）在拋物線y=ax+bx-2（a<0）上.若比較％,

力，%的大小，并說明理由.

【詳解】（1）將（2,-2）代入>=辦2+左一2得一2=4。+26-2,

b——2。，

.??拋物線對(duì)稱軸為直線%=--=1.

2a

（2）,/tz<0,

「?拋物線開口向下，與拋物線對(duì)稱軸距離越近的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，

0<w<1,

:.n—2<n—l<l<n+l,

v1—（w-2）=3-H,1一（九一1）=2—及,〃+1—1=0<〃<1,

:.3-n>2-n>n，

-"?%<%<%?

9.（2022?通州區(qū)一模）已知拋物線》二辦？-4QX+2（Q。0）過4（一1,加），8（2,〃），。（3,夕）三點(diǎn).

（1）求〃的值（用含有［的代數(shù)式表示）；

（2）若mnp<。,求Q的取值范圍.

%

6-

5-

4-

3-

2-

1-

???［1A

T

-6-5-4-3-2-4123456

［詳解］(1)將(2,n)代入y=ax2-4ax+2得幾=4。一8a+2=-4a+2.

(2),/y=ax2-4ax+2,

，拋物線對(duì)稱軸為直線X=--=2,

2a

二.拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4〃+2),

將(-1,m)代入y-ax2-4ax+2得冽=Q+4Q+2=5Q+2,

將'(2,n)彳弋入?y=—Aux+2n=-4Q+2,

將(3,p)代入y=ax2-4ax+2得p=-3a+2,

當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開口向下，

若mnp<0，

貝p>0,m<0,

5。+2<0,

解得Q<_4,

5

當(dāng)〃>0時(shí)，拋物線開口向上，

若mnp<0，

則〃<0,p>0,m>0,

一4。+2<0

—3。+2>0

17

解得上<Q<J

23

綜上所述，a<--^-<a<-.

523

10.(2022?豐臺(tái)區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系宜方中，點(diǎn)河(2,加)，N(4/)在拋物線歹=4=2+加；(4>0)上.

(1)若冽=〃，求該拋物線的對(duì)稱軸；

(2)已知點(diǎn)尸(-l,p)在該拋物線上，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為、=%.若加〃<0,且加<〃<〃，求才的取值范

圍.

【詳解】(1),?,點(diǎn)Af(2,M，N(4/)在拋物線>=辦2+bx(a>0)上，m=n,

4a+2b=m

<16a+4b=n，

m=n

解得：b=—6a,

拋物線對(duì)稱軸為直線%==3；

2a2a

(2)y=ax2+bx(a>0),

???拋物線開口向上且經(jīng)過原點(diǎn)，

,/mn<0,且初<夕<〃,

:.m<0,〃>0,

.?.拋物線和x軸的2個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)為(0,0),另外一個(gè)點(diǎn)為(2/,0),

/.2<2/<4,

:A<t<2,

???點(diǎn)尸(一l,p),

點(diǎn)尸關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2才+1,夕),

m<p<nf

2<2/+1<4,

13

I<，<一.

2

ll.(2022?房山區(qū)一模)已知二次函數(shù)了=/+/+以6,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(1,0)與點(diǎn)C(0,-3),其

頂點(diǎn)為尸.

(1)求二次函數(shù)的解析式及尸點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)“X”加+1時(shí)，y的取值范圍是-4”為2加，求加的值.

5-

4-

3-

2-

??___??___??

12345”

【詳解】(1)???點(diǎn)/、C在二次函數(shù)的圖象上,

Jl+b+c=0

,jc=-3

b=2

解得

c=-3

.??二次函數(shù)的解析式為：y=x2+2x-3,

:歹=X?+2x—3=(X+Ip—4,

,,.頂點(diǎn)尸為(-1,-4)；

（2）加”工”加+1時(shí)，y的最小值為-4,

m?—1”加+1,BP—2?ITI?—1,

3

①-2?機(jī)<一］■時(shí)，V最大值=冽2+2加一3,

由加之+2加—3=2加，解得：m=V3（舍去），m=—V3>

3

②當(dāng)一犯，一1時(shí)，丁最大值=（冽+1）2+2（冽+1）—3,

由(加+1)2+2(m+1)-3=2m，

解得：m=0(舍去)，m=—2(舍去),

綜上：冽的值為-G.

12.(2022?平谷區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系xp中，拋物線>=2&r.

(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)(2,0)時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸(用含6的式子表示)；

(3)若拋物線上存在兩點(diǎn)/(b-1/J和5(6+2,%),當(dāng)乂?％<()時(shí)，求b的取值范圍.

【詳解】(1)將(2,0)代入歹=/—2及得0=4—46,

解得6=1,

y=x2-2x.

(2)y=x2-2bx,

???拋物線對(duì)稱軸為直線x=--=b.

2

(3)y-x2-2bx,

拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=6,

■：b-(b-l)<b+2-b,

.?.點(diǎn)A與對(duì)稱軸距離小于點(diǎn)B與對(duì)稱軸距離,

>弘，

?.?必?”<0,

，%>o，M<0，

將(b—l/J代入y=x2_26x得必=(6_1)2_2仇6_1)=_/+]<0,

解得b<-l或b>l,

將3+2,%)代入〉=/-2樂得力=(6+2)2-26(6+2)=-/+4>。，

—2vbv2,

-2<b<-1或1<6<2滿足題意.

13.(2022?北京一模)在平面直角坐標(biāo)系X0中，拋物線j=af+6x+3a(aw0)與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)/(1,0)

和點(diǎn)8.

(1)用含a的式子表示6；

(2)求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)3的坐標(biāo)；

(3)分別過點(diǎn)P(/,0)和點(diǎn)?！?2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M和點(diǎn)N,記拋物線在M,N之間的部

分為圖象G(包括M,N兩點(diǎn)).記圖形G上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是m,最小值為〃.

①當(dāng)4=1時(shí)，求"7-”的最小值；

②若存在實(shí)數(shù)人使得機(jī)-"=1,直接寫出。的取值范圍.

【詳解】(1)把點(diǎn)/(1,0)代入了=爾+6x+3a得：

Q+6+3。=0,

b=-4a；

(2)由(1)知拋物線為歹二辦？一4。%+3〃，

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線%=--=2,

2a

而4(1,0)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)是(3,0),

由拋物線對(duì)稱性得：點(diǎn)3坐標(biāo)(3,0)；

(3)①如圖：

.?.拋物線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(3,0),與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),

由圖象知：當(dāng)圖象G為對(duì)稱圖形時(shí)7〃-"有最小值，

又尸0)。?+2,0),

「.2—￡=(，+2)—2,

t=19

■■過點(diǎn)P(/,0)和點(diǎn)。(f+2,0)作X軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)/和點(diǎn)N,

.?.M(l,0),N(3,0),

,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),

：.m-n的最小值為0-(-1)=1；

②:點(diǎn)尸00)和點(diǎn)。(/+2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M和點(diǎn)N,

由（1）知拋物線為y=ax?-4ox+3a,

M(f,at"—Aut+3a),N(t+2,u(t+2)2-4a(7+2)+3a),

又?.?拋物線對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-a),

根據(jù)M、N點(diǎn)的相對(duì)位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論。的取值:

(I)當(dāng)a>0,且f+2,,2時(shí)，即圖象G在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，

此時(shí)〃點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，N點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，

cit~—+3a—\ci(t+2)~—4a(t+2)+3a]=1?

解得f

4。

又??",，0,a>0,

0且。＞0,

4。

0<ct?—；

4

(ID當(dāng)〃〉0,且加2時(shí)，即圖象G在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，

此時(shí)N點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，

a(t+2)2—+2)+3a—(at?—4Q￡+3a)=1?)

解得/=i+_L,

4。

又,/1...2,a>0,

1H-----...2且a>0,

4。

0<a,,—?)

4

(III)當(dāng)a>0,且0<%”l時(shí)，即最低點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)且M點(diǎn)縱坐標(biāo)大時(shí),

止匕時(shí)機(jī)=Q/一4成+3Q,n--a,

a/—4a/+3Q—(—a)=1,

解得y2土也，

a

X0</?1,a〉0,

1=2一位，

a

.-.0<2-—?1,

a

11

一<CL?I；

4

(IV)當(dāng)a>0,且2時(shí)，即最低點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)時(shí)且N點(diǎn)縱坐標(biāo)大，

止匕時(shí)機(jī)=Q?+2)2-4a?+2)+3a,n=—a,

a(t+2>—4tz(/+2)+3a-Q)=I,

解得

a

X-/I<t?2,a>0,

綜上所述，當(dāng)Ova”l時(shí)，m-n=\,

同理可得：當(dāng)。<0時(shí)，也符合條件，

:.a的取值范圍為0<a”1或-1”〃<0.

14.（2022?門頭溝區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=-%2+2加x-加之+加一2（加是常數(shù)）.

（1）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含冽代數(shù)式農(nóng)示）；

（2）如果該拋物線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線歹=1的距離為1,直接寫出機(jī)的取值范圍；

（3）如果點(diǎn)4（%必），5（。+2,%）都在該拋物線上，當(dāng)它的頂點(diǎn)在第四象限運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有必>%,求。的

取值范圍.

【詳角軍】（1）,/y--x2+2mx-m2+m-2=-（x-m）2+m-2,

/.拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（私冽-2）.

（2）???拋物線開口向下，

/.當(dāng)拋物線與直線>=0有兩個(gè)交點(diǎn)且與直線>=2無交點(diǎn)時(shí)滿足題意,

,/拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（冽，冽-2）,

0<m—2<2,

解得2<m<4.

（3）,拋物線頂點(diǎn)（加，加-2）在第四象限，

m>0

m-2<0

解得0<m<2,

???拋物線開口向下，

%...m時(shí)，y隨l增大而減小，

.?.點(diǎn)4,3在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，滿足題意，即以.加，

當(dāng)點(diǎn)/在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)4（應(yīng)必）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)4坐標(biāo)為（2m-必），

.?.點(diǎn)3在H右側(cè)時(shí)，滿足題意，即2加-Q<Q+2,

解得a>m-1f

a>m-\,

0<m<2,

/.a...1.

15.（2022?海淀區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（冽-2,乂），（加,％）,（2-機(jī),%）在拋物線

y=x2-2ax+1上，其中加wl且加w2.

（1）直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸的表達(dá)式（用含。的式子表示）；

（2）當(dāng)加=0時(shí)，若必=%,比較必與力的大小關(guān)系，并說明理由；

（3）若存在大于1的實(shí)數(shù)機(jī)，使外〉歹2〉％，求a的取值范圍.

［詳解］（1）,/y=x2-2ax+1,

.??拋物線對(duì)稱軸為直線x=--=a.

2

（2）?.?冽=0,Pi=%，

.?.（-2,%），（2,%）關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

.?.拋物線關(guān)于歹軸對(duì)稱，即。=0,

y=x2,

二.拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

.?/=1為函數(shù)最小值，

（3）將（冽一2,M），（加,％），（2—加,%）代入y=、2-2〃、+1得必=加？一4加一2a加+4〃+5,

2

y2=m-2am+1,

2

y3=m-4m+2am-4。+5,

,?>%%>為，

m2-4m-2am+4tz+5>m2-2am+1>m2-4m+2am-4a+5，

解得m-\<a<\,

m>l,

0<Q<1.

16.(2022?西城區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xp中，拋物線了=磔2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),(2,-2).

(1)直接寫出c的值和此拋物線的對(duì)稱軸；

(2)若此拋物線與直線》=-6沒有公共點(diǎn)，求。的取值范圍；

(3)點(diǎn)億乂)，?+在此拋物線上，且當(dāng)-2,",,4時(shí)，都有必直接寫出a的取值范圍.

【詳解】(1),拋物線歹=Q%2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),(2,-2),

c=-2

4a+2b+c=—2

c=-2

解得:

b=-2a

拋物線解析式為y=ax2-2ax-2,

.??拋物線對(duì)稱軸為直線x=--=1,

2a

故C的值為-2,拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=1；

(2)才巴y=—6彳弋y—ax?—2QX—2,：tzx2—2ax—2=—6,

整理得：ax2-2ax+4=0,

v拋物線與直線歹=-6沒有公共點(diǎn),

△=(-2a)2—4ax4<0,

即a(a-4)<0,

aw0,

.,.當(dāng)a<0時(shí)，〃一4>0,即a〉4,

此時(shí)，無解；

當(dāng)〃>0時(shí)，。一4<0,即。<4,

0<?<4,

綜上所述，。的取值范圍為0<。<4；

(3)?.?點(diǎn)(f,%)，(f+1,%)在此拋物線上,

jVj=at—2at—2,%=a(%+D—2Q(/+1)—2=Q,—Q—2,

%—%1=1*—Q—2)—(a/-2at—2)|=|tz(2/-1)|,

7

當(dāng)4時(shí)，都有|—必|<5，

77

—-<Q(2,-1)<—,

a7a7

-------<at<—l—，

2424

aw0,

、匕c口注1717

24。24a

-17

-+<-

2一

4a7

-1

_一>4

2-

4a

解得：<Q<0；

2

1717

當(dāng)4>0時(shí)，-----<t<—+—，

24〃24。

7

一

4a7

一

4a

解得：0<a<—；

2

綜上所述，a的取值范圍是一［<。<0或

22

17.(2022?昌平區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線了=辦2+6x-l(a>0).

(1)若拋物線過點(diǎn)(4,-1).

①求拋物線的對(duì)稱軸；

②當(dāng)T<x<0時(shí)，圖象在x軸的下方，當(dāng)5Vx<6時(shí)，圖象在x軸的上方，在平面直角坐標(biāo)系中畫出符合

條件的圖象，求出這個(gè)拋物線的表達(dá)式；

(2)若(-4,乂)，(-2,%)，(1,%)為拋物線上的三點(diǎn)且%>乂>力，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=f,直接

寫出/的取值范圍.

yi

3-

2-

—3—2j.Pl234567x

-2-

-3-

【詳解】(1)①若拋物線過點(diǎn)(4,-1),

—1—16。+4b—1,

b=-4a,

對(duì)稱軸為x=一一—二——二2；

2a2a

②???當(dāng)-l<x<0時(shí)，圖象在x軸的下方，當(dāng)5<x<6時(shí)，圖象在軸的上方,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,且2-(-1)=5-2,

.??拋物線必過點(diǎn)(-1,0)和(5,0).

.?.把(5,0)，(-1,0)代入歹="2+樂_15>0)得:

\a-b-l=0

[25?+56-1=0

.1

a二-

解得5,,

拋物線的表達(dá)式為^=|x2-|x-l,

b=-2at，

/.解析式變形為y=ax2-2atx-1（。>0）,

把（-4,必），（-2,%）,（1,%）的坐標(biāo)分別代入解析式，得:

y3=a-2at-1,必=16。+Sat-1,%=4。+Aat-1，

u—2at—1>16。+Sat—1

/.<ci—2at—1>4Q+4Q/—1，

16。+Sat-1>4。+4at-1

3

t<——

2

解得：

t>-3

3

.一的取值范圍是-3</<-2.

2

18.(2022?朝陽區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線>=*+(Q+2)x+2a.

(1)求拋物線的對(duì)稱軸(用含。的式子表示)；

(2)若點(diǎn)(-1,%)，(a,%),(1,%)在拋物線上,且必<%<%,求a的取值范圍.

【詳解】(1),拋物線y=爐+(Q+2)X+2Q,

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線X=--=---1,

22

即直線x=—q―1；

2

(2)y=x2+(a+2)x+2a,

整理得：y=(X+2)(X+Q),

當(dāng)x=-1時(shí)，%=(-1+2)(-1+〃)=〃-1,

當(dāng)％=a時(shí)，歹2=(〃+2)(a+a)=2a2+4a,

當(dāng)x=1時(shí)，y3=(1+2)(1+Q)=3a+3,

??.必<%,

ci—1<2。2+4Q,

解得：a>--^a<-\,

2

???％<%,

/.2Q2+4。<3。+3,

解得：一一<a<\,

2

必<%<%，

3—I1

—<。<一Isk—<q<l,

22

,3i

:.a的取值范圍為：一一<。<一1或一一<a<l.

22

19.（2022?豐臺(tái)區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系％/中，已知拋物線y=2"-3.

（1）求該拋物線的對(duì)稱軸（用含。的式子表示）；

（2）/（芭，必），B（x2,?2）為該拋物線上的兩點(diǎn)，若再=1-24,工2=。+1，且必>V2，求。的取值范

圍.

【詳解】（1）???拋物線尸/_2辦—3,

該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=--=a;

2x1

（2）①當(dāng)Q<%2<再時(shí)，%>為，

貝!jQ+1<1—2。，即Q<0；

（2）當(dāng)石—a>a—x?時(shí)，%>%，

2

貝1-2a—Q>Q—（Q+1）,即Q<1；

③當(dāng)為一Q<Q一時(shí)，%>%，

2

貝1-2。-Q<Q—（a+1）,即Q>1,

A,、2

綜上，。<0或〃>一.

3

20.（2022?東城區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系宜內(nèi)中，拋物線>=/-2加X+/+i與歹軸交于點(diǎn)人.點(diǎn)次國，

必）是拋物線上的任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)/重合，直線>=區(qū)+〃（左。0）經(jīng)過/,5兩點(diǎn).

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含冽的式子表示）；

（2）若點(diǎn)。（冽-2,q）,。（加+2/）在拋物線上，則q_=_b（用"=”或“〉"填空）；

（3）若對(duì)于再<-3時(shí)，總有左<0,求冽的取值范圍.

【詳解】（1）,/y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1,

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（加,1）;

（2）由（1）知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（加,1）,

拋物線的對(duì)稱軸為x=m,

*/|冽+2一機(jī)|=2,|m—2—m|=2,

.?.點(diǎn)C和點(diǎn)點(diǎn)D到拋物線的對(duì)稱軸的距離相等，

..a=bt

故答案為：=；

（3）針對(duì)于拋物線y=、2—2〃u+加2+1①，

令％=0,貝!J歹=加？+1,

A（0,m2+1）,

???點(diǎn)4在直線歹=近十〃（左wO）上，

:.n=m2+1,

二.直線AB的解析式為＞=點(diǎn)+加2+1②，

聯(lián)立①②整理得，x2-2mx+m2+l=Ax+m2+l,

/.x[x—（2m+k）]=0，

,/y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1，

??,點(diǎn)5（項(xiàng)，必）是拋物線上的任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)/重合,

玉w0,

西=2m+k,

,?,對(duì)于王＜一3時(shí)，總有左＜0,

，2加+左＜一3,總有左＜0,

:.k＜—2m—3,總有k＜0,

/.—2m—3”0,

3

m...--.

2

21.（2022?東城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y二辦?+6x+i（q，0）的對(duì)稱軸是直線％=3.

(1)直接寫出拋物線與V軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含。的式子表示)；

(3)若拋物線與x軸相交于8兩點(diǎn)，且/用4,求。的取值范圍.

【詳解】(1)針對(duì)于拋物線y=辦2+6x+l,

令x=0,貝y=1,

.?.拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)；

(2)V拋物線y=ax2+bx+l(ow0)的對(duì)稱軸是直線x=3,

=3,

2a

b=-6a,

拋物線的解析式為y=a%2-6ax+l,

當(dāng)x=3時(shí)，y=9。-18。+1=-9a+1,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-9a+1)；

(3)①當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開口向下，不妨設(shè)點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)，

由(1)知，拋物線了=52+云+1與y軸的交點(diǎn)為(0,1),

???拋物線y=ax1+bx+\的對(duì)稱軸為直線x=3,

/.xA<0yxB>6

AB=\xB-xA\>6,

?/AB?4,

.?.此種情況不符合題意，

②當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，

由(2)知，拋物線的解析式為了=ax：2-6辦+1,

在x軸上關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=3對(duì)稱且距離為4的兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),(5,0),

AB?4,

.,.當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2-6ax+1=a-6。+1...0，

a1

?.?拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

>頂點(diǎn)=一90+1<°>

22.(2022?順義區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=/+加x+”.

(1)當(dāng)加=-3時(shí)，

①求拋物線的對(duì)稱軸；

②若點(diǎn)/(1,乂)，B(X2,%)都在拋物線上，且必<弘，求馬的取值范圍；

(2)已知點(diǎn)尸(-1,1),將點(diǎn)尸向右平移3個(gè)單位長度，得到點(diǎn)0.當(dāng)”=2時(shí)，若拋物線與線段尸0恰有一

個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求機(jī)的取值范圍.

【詳解】(1)①當(dāng)機(jī)=-3時(shí)，y=x2-3x+n,

對(duì)稱軸是：直線x=---=-；

2x12

②???拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3,且開口向上，

2

則點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離越大函數(shù)值越大，

?.?點(diǎn)4(1,%),B(X2,%)都在拋物線上，且外<%，

33.

-22-1''

/.1<x2<2；

(2)?.?點(diǎn)P(-1,1),將點(diǎn)。向右平移3個(gè)單位長度，得到點(diǎn)0,

「?0(2,1),

=2,

y=x2+mx+2,

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)尸(-1,1)時(shí)，1=1-次+2,

:.m=2,

22

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在尸。上時(shí)，x=_gy=（"+2,貝匕=1,

解得：叫=2,m2=—2,

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，4+2冽+2=1,

解得：m=--,此時(shí)與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)加<-』時(shí)，符合題意,

22

綜上所述，結(jié)合函數(shù)圖象，得加...2或機(jī)<-*或僅=-2.

2

23.（2022?門頭溝區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線y=加犬-2mx+加-4（加20）.

（1）求此拋物線的對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)加=1時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；

（3）如果將（2）中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到的圖象與剩余的圖象組成新圖形

M.

①直接寫直線y=x+l與圖形〃公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②當(dāng)直線y=左0+2）-1（左豐0）與圖形M有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出左的取值范圍.

Ay

5-

4

3

2

1

?????,

-5-4-3-2-1012345H

-1

-2

-3

-4

【詳解】(i)對(duì)稱軸為直線x=-2=-左=1；

2a2m

(2)相=1時(shí)，拋物線的解析式為尸f-2x-3；

(3)畫出了=X2-2》-3的圖象，把無軸下方的部分沿x軸向上翻折，得到圖象如圖,

①y=x+l與圖形M公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)；

@k＞2,或［＜左＜1.

5

24.（2022?石景山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知拋物線y=f-2/%+/

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含/的代數(shù)式表示）：

（2）點(diǎn)尸（西，乂），Q（X2,%）在拋物線上，其中/-I”X],,f+2,x2=i-t.

①若%的最小值是-2,求為的最大值；

②若對(duì)于國，X],都有％<%,直接寫出/的取值范圍.

【詳解】(1)y=x2-2tx+t2-t=(x-t)2-t,

：.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（f,T）;

(2)Q_)y-x?—2tx+廣一t-(x——t,

拋物線的對(duì)稱軸為X=g

--?1>0,

拋物線開口向上，

t—1?Xj?，+2,

.,.當(dāng)x=%時(shí)，%的最小值為-t,

「必的最小值是-2,

:.t=2,

t—1—/1—1,|Z+2—￡|=2,

.,.當(dāng)x=￡+2時(shí)，%最大=。+2—￡)2—，=4—￡=4—2=2,

即必的最大值為2；

②?.?點(diǎn)尸（士,乂），Q（X2,%）在拋物線.=（尤-。2一上,

/.必二一%)2—f,J/2=—%)2—t,

、對(duì)于1,x2,都有必<%，

/.歹2—必=(“2一')2一t—(X1%)2+/=(馬/)2—(Xj/了=(%—Xj)(%2+/一2Z)>0，

x2-xl>0或[工2一玉<0

%+再一2/>0+再一2,<0

I、當(dāng)卜-再>0①，

+再-2t>0(2)

由①知，%>玉，

'/t—1?Xp,，+2,%2=1—t,

.1-t>Z+2,

1

/.t<—，

2

由②知，x2+x1>2t,

t—1?Xp,Z+2,工2=1—t,

0?x2+Xj?3，

2/<0,

:.t<0,

即/<二；

2

n、當(dāng)心-再<o③

[x2+x1-2t<0(4)

由③知，x2<x},

*.*t—1?Xj?，+2,々=1—t,

1—%〈￡—1,

由④知，x2+xx<2t,

t—1?Xp,Z+2,%2=1—t，

0?x2+Xj?3，

2t>3,

3

:.t>一，

2

即"士3；

2

i3

即滿足條件的f的取值范圍為"-工或/>±.

22

25.(2022?平谷區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)(-1,/)、(1,%)、(3,%)是拋物線V=尤？+樂+1上

三個(gè)點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)弘=為時(shí)，求b的值；

(3)當(dāng)%>必>1>%時(shí)，求6的取值范圍.

【詳解】(1)對(duì)于昨/+6x+l,

當(dāng)元=0時(shí)，y=l,

則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)；

(2)當(dāng)弘=為時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為x=l,

.」=i,

2

解得：b=-2；

(3)當(dāng)%>必時(shí)，對(duì)稱軸在x=l的左側(cè)，即-，<1,

解得：b>-2,

當(dāng)1>%時(shí),1>1+6+1,

解得：b<—1,

%>必>1>j^2日寸，—2<6<一1.

26.(2022?房山區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)/(2,-1)在二次函數(shù)y=x2-(2"7+l)x+加的圖象

上.

(1)直接寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)”,%1時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是-1?%4-〃，求"的值；

(3)將此二次函數(shù)圖象平移，使平移后的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O.設(shè)平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為

y=a(x-h)1+k,當(dāng)尤<2時(shí)，y隨x的增大而減小，求左的取值范圍.

【詳解】(1)?.?點(diǎn)4(2,-1)在二次函數(shù)y=9-(2加+1妨+加的圖象上,

/.-1=4-2(2m+1)+m,

解得m=l,

二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+l；

2

(2)y=x-3x+lf

二.拋物線的對(duì)稱軸為直線,

2

.?.當(dāng)士時(shí)，歹隨x的增大而減小，

2

當(dāng)x=l時(shí)，y=x2-3，x+l=—l,當(dāng)％=〃時(shí)，y=x2-3x+l=n2—3n+l,

當(dāng)n?x?1時(shí)，函數(shù)值歹的取值范圍是T”y?4-〃，

-3〃+1=4-幾，

解得々=一1,〃2=3，

*/n?x?1,

：.n的值為-1；

(3)根據(jù)平移的性質(zhì)可知，4=1,

???當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減小，

肌.2.

???平移后的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O,

.?.0=(0—左，^k=-h2,

k?—4.

27.(2022?北京二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=/-2加x.

(1)當(dāng)拋物線過點(diǎn)(2,0)時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用含加的式子表示)；

(3)若拋物線上存在兩點(diǎn)月(加-1,%)和80+2,%),其中加>0.當(dāng)必?外>0時(shí)，求〃？的取值范圍.

【詳解】(1)將(2,0)代入了=/-2s,

0=4-4m,

解得m=\,

y=x2-2x.

(2),/y=x2-2mx,

：.拋物線對(duì)稱軸為直線x=-必=m,

2

才巴x=加代入y=x2-2mx得，

y=-m2,

???二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-m2)；

(3)將(加一1,必)代入y=x2-2mx得必=(m-1)2-