函數(shù)內(nèi)綜合問(wèn)題的常見(jiàn)壓軸題（解析版）-2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)訓(xùn)練

專題20函數(shù)內(nèi)綜合問(wèn)題的常見(jiàn)壓軸題

1.(2021?遼寧臺(tái)安?九年級(jí)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=依2+區(qū)-4(。/0)與

x軸交于點(diǎn)/(T,0)，5(4,0),與了軸交于點(diǎn)C.

備用圖

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線/對(duì)稱，點(diǎn)尸為直線4。下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連

接P/,PD,求△P2Z)面積的最大值；

(3)在(2)中△尸4D面積取最大值的條件下，將拋物線夕=辦2+云-4(

aW0)沿射線平移4亞個(gè)單位，得到新的拋物線弘，點(diǎn)E為點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為必

的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在外確定一點(diǎn)

G,使得以點(diǎn)。，E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選

其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過(guò)程.

【答案】⑴y=x2-3x-4；(2)8；(3)或或.

【解題思路分析［(1)直接代入點(diǎn)A,8坐標(biāo)即可；

(2)作尸〃〃>軸交直線4D于H,PF工AD于F,通過(guò)點(diǎn)A,點(diǎn)。的坐標(biāo)可求得直線4D的函數(shù)關(guān)系式

y=-x-l,AD=4也,可得直線4D與X軸正方向夾角為45。，可得PF釜PH,設(shè)P(九拉？一加一町，則

2

P//=-(W-1)+4,根據(jù)5皿=：4。?尸尸可求解；

(3)通過(guò)平移距離為4萬(wàn)，轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得出平移后的拋物線關(guān)系式

和E的坐標(biāo)，從而平行四邊形中，根據(jù)線段。E,分別為平行四邊形的邊，或者是對(duì)角線，分類討論，通

過(guò)點(diǎn)的平移得出G的橫坐標(biāo)所在的直線，然后代入拋物線“得函數(shù)關(guān)系式，即可求得坐標(biāo).

【解析】解：(1)將8(4,0)代入y=ax2+bx-4n

\a-b-4=0

16。+46-4=0‘

\a=l

,[b=-3,

y=x2-3x—4,

當(dāng)X=0時(shí)，^=02-3x0-4=-4,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-4),

???點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線/對(duì)稱，

?1?為=-4,

xJ_3x?！?―4

.?.XD=3(取非零值)

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)是(3,-4),

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)是(3,-4),

二直線/。的函數(shù)關(guān)系式為：y=-X-1,且ND=J[3-(-1)了+不=4為

；?%D=一1，

二直線/。與x軸正方向夾角為45。，

...ZAOE=ZAEO=45°,

則有：ZPHD=45°,

3

設(shè)P(m,m2-3m-4),

/.PH=—m—1—(m2—3m—4)

=-m2+2加+3

=—(m—l)2+4,

??.S“。D=g4D?PF,

=-X4A/2X—PH

22

=-x4V2x—P/f

22

=2PH

=-2(m-l)2+8

.?.當(dāng)加=1時(shí)，S^PD最大為8,

(3),?,直線與1軸正方向夾角為45。，

???沿4。方向平移4近，實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位,

由(2)可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)是O,/_3加—4),且加=1

??.點(diǎn)尸的坐標(biāo)是尸(L—6),

???平移后，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)石的坐標(biāo)為(5,-⑼，

2

325

,??拋物線歹=%2_3X-4=x

T

???平移后必-^--4=^x-yj-Y=%2-H^+20,

??.拋物線必的對(duì)稱軸為：直線小X=y,

當(dāng)X=3時(shí)，在拋物線切中，^=32-11X3+20=-4,

即點(diǎn)。在拋物線必上，

當(dāng)。E為平行四邊形的邊時(shí)：

如圖1所示,

若點(diǎn)。平移到對(duì)稱軸上廠點(diǎn)，即點(diǎn)。往右平移￡-3=3個(gè)單位長(zhǎng)度，到對(duì)稱軸上寫點(diǎn),

則，點(diǎn)￡往右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，

.??點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為5+(=5，

???點(diǎn)5在直線尤上，

又,??點(diǎn)G1在拋物線必=--llx+20上，

25

代入必=x2-llx+20y=——,

4

*'?點(diǎn)G］的坐標(biāo)是［一■,一子；

如圖2所示,

若￡平移到對(duì)稱軸上乙點(diǎn)，即點(diǎn)￡往右平移2-5=g個(gè)單位長(zhǎng)度，到對(duì)稱軸上月點(diǎn),

則，點(diǎn)。往右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，

17

???點(diǎn)G2的橫坐標(biāo)為3+—=y,

7

.??點(diǎn)G2在直線工二彳上，

2

又??,點(diǎn)G2在拋物線必-1卜+20上，

25

代入弘=%?一11%+20得歹=——,

4

.??點(diǎn)Gz的坐標(biāo)是g-*

如圖3示,

若。E為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

若E平移到對(duì)稱軸上4點(diǎn)，即點(diǎn)￡往右平移2-5=g個(gè)單位長(zhǎng)度，到對(duì)稱軸上馬點(diǎn)，

則，點(diǎn)。往左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

???點(diǎn)G3的橫坐標(biāo)為3-＞：,

???點(diǎn)G3在直線x=g上，

又丁點(diǎn)在拋物線必=/—11%+20上，

代入必=Y-llx+20得歹=——,

???點(diǎn)G3的坐標(biāo)是1,-：；

???綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)是g，T或(后］或亡’一刻.

2.(2021?長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)一模)已知一次函數(shù)：了=-3》-3與工軸交于點(diǎn)/

，與y交于點(diǎn)C.

拋物線蚱蘇-(4+m)?x+4用〃(°、加為常數(shù))過(guò)定點(diǎn)3,連接BC,點(diǎn)。為線段5c上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)過(guò)。作DPL4C于點(diǎn)尸，OQlx于點(diǎn)。，設(shè)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為f,DP長(zhǎng)度為d,試求d關(guān)于/的函數(shù)解析式;

(3)①當(dāng)加=0,。＞0時(shí)，該拋物線上存在唯一的點(diǎn)〃使NC4〃=45。，求此時(shí)拋物線的解析式；

②過(guò)點(diǎn)。作DE18C交線段08于點(diǎn)E,連接CE并延長(zhǎng)交△08C的外接圓于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)。在3C上移動(dòng)時(shí)，求

。。?跖的最大值.

圖1圖2

【答案】⑴點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)；(2)4=豆%；；(3)①>一2±且》；②當(dāng)

81645

【解題思路分析】(1)根據(jù)圖形知拋物線過(guò)(0,0),求得加=0,即可求得點(diǎn)8的坐標(biāo)；

3

(2)延長(zhǎng)。。交4C于點(diǎn)應(yīng)先求得直線5c的解析式為歹=^廠3,設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為

3

(3—1~3),利用sz力zZ)E4=57%乙。。即可求解；

(3)①作出輔助線，求得4G所在直線的函數(shù)解析式為尸-

■，根據(jù)該拋物線上存在唯一的點(diǎn)〃，利用根的判別式求解即可；

②由題意得。、C、D、E四點(diǎn)共圓，且CE為直徑，證明和△EBEsaOCE,得到

444

ODEF=-EC-EF^~EO-EB=~x^-x),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解析】解：(1)由圖可得拋物線過(guò)(0,0),中0,則有4根=0,

?'?y=ax2-4ax=a(x2-4x)=ax(x-4),

二點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,0)；

(2)延長(zhǎng)0D至4C于點(diǎn)E,

??,DQlx軸，且0點(diǎn)橫坐標(biāo)為3￡點(diǎn)在一次函數(shù)尸3x-3上，

則有E點(diǎn)坐標(biāo)為(3-3L3),

由(1)得，2點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),

又以、C兩點(diǎn)在尸-3x-3上，

.?c點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),/點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),

c=JF+3。=Vio，

設(shè)直線的解析式為尸fcc-3，

把點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)代入得0=4*3,

3

解得人

3

???直線5c的解析式為產(chǎn)3,

又??力為線段2C上一動(dòng)點(diǎn)，

3

二。點(diǎn)坐標(biāo)為?,-Z-3),

3、15

??DE=-L3-(-3L3)=Z-3

?：Z-DEA=^OCA,

?'?sinZ-DEA=sinZ-OCA=j—=,

Vioio

在RtADPE中,sinZJ)EA=—=—

DE10

VlO15_3A/T0

-----x—t--------1

1048

E

(3)①過(guò)點(diǎn)4作NC///=45。，交拋物線于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)C作跖V7/x軸，

過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)跖過(guò)點(diǎn)C作CGUC交直線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GN1AW于點(diǎn)N,如圖:

■■■^ACG=^AMC=90o,

???ZL4CM+Z.MAC=/-NCG+^ACM=90°,

：^MAC=Z.NCG,

：.Rt/^MC^Rt/\GNC（AAS）,

:?AM=NC=3,MC=NG=\,

???G點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2）.

同理可得/G所在直線的函數(shù)解析式為y=-gx-9,

二拋物線的解析式為y=◎?-4辦,

因?yàn)樵搾佄锞€上存在唯一的點(diǎn)H,

y=ax2-4ax（]）]

聯(lián)立<11,ax2+1—4a+—Ix+—=0,貝!J有A=0,

y=——x——v2）2

I22

1

即A=169/—6a+—=0,

4

解得。=生5,

16

又因?yàn)?。?,

??.此時(shí)拋物線的解析式為尸展x2一1

②???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),

???BC=J32+4?=5，

???乙EDC=^COE=9。。,

.??O、C、D、E四點(diǎn)共圓，且CE為直徑,

貝!J有乙

又?：乙OBC=cCBO,

:?AODB?ACEB,

OPOBA

??耘一拓―

4

-OD=-CE,

連接8R

???△FBEFOCE,

BEEF

-------,即EC,EF-EO,EB,

CEOE

設(shè)。E=x,貝=

4444]6416

：.ODEF=-ECEF=-EOEB=-x(A-x)=——x2+—x=——(x-2)2+—

5555555

，當(dāng)x=2時(shí)，原式取最大值，此時(shí)。。,￡尸=1.

3.(2021?遼寧鞍山?中考真題)如圖，拋物線＞=。/+及-3交x軸于點(diǎn)4(-1,0),3(3,0),。是拋物線

的頂點(diǎn)，尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加0W?iW3),AE//PD交直線I：y龍+2于點(diǎn)￡,4P交0

E于點(diǎn)R交了軸于點(diǎn)。.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)APQ/7的面積為S],入4￡尸的面積為邑，當(dāng)S1=S?時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)連接3。，點(diǎn)加在拋物線的對(duì)稱軸上(位于第一象限內(nèi)),且N8M0=45。，在點(diǎn)P從點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的

過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo),的取值范圍.

【解題思路分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法將4-1,0),3(3,0)代入》="2+反-3,即可求得答案；

(2)利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)。(L-4),由AE//PD得MEFS"DF，再根據(jù)APQ尸與

入4￡戶的面積相等，可得AAEF三APDF，故點(diǎn)尸分別是幺尸、ED的中點(diǎn)，設(shè)E，,ge+2),

P(m,m2-2m-3),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；

(3)根據(jù)題意，分別求出f的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，止匕時(shí)f的值最大，

如圖2,以為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角A0”05，以。'為圓心，。。'為半徑作?！恪?，交拋物線對(duì)稱

軸于點(diǎn)MQ"),過(guò)點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)X,運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)0與

點(diǎn)C重合，此時(shí)犯勺值最小，如圖3,連接3C,以。為圓心，05為半徑作。0”交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)連接

OM,設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)￡,運(yùn)用勾股定理即可求得答案.

【解析】解：(1).??拋物線了="2+加-3如軸于點(diǎn)/(T，0),8(3,0),

。一6-3二0

???將/、2坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得:

9。+36—3=0

a=\

解得:

b=-2

拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x-3；

(2)如圖,

:。是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x-3=(X-1)2-4,

D(l,-4),

〃尸。交直線/：>=；x+2于點(diǎn)E,P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加0”砥3),

AAEFs"DF，設(shè)E，,；e+2),尸(加，加?-2機(jī)-3),

又NPDF的面積為>AAEF的面積為si，鳥(niǎo)=$2，

MEF="DF，

AF^PF,EF=DF,即點(diǎn)尸分別是/P、E。的中點(diǎn),

:-2m-3),E(e,；e+2),D(l,-4),

又4(T,0),P(m,m2

m—1e+1

2

???由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:1c.

2—e+2—4

m-2m-3+02_______

22

解得：M=0（與"NE〃尸?！辈环?，應(yīng)舍去），w2=1,

（3）①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，點(diǎn)0與點(diǎn)。重合，此時(shí)/的值最大，如圖2,

以08為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角3OB,

33

則0'‘。。，”普

以。為圓心，OO,為半徑作?！恪?，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)“（1"）,

1q6

過(guò)點(diǎn)。'作O'XLy軸于點(diǎn)〃，則/O7/M=90。，O'H=-,O，M=OO，="

22

MH=y/o'M2-O'H2

3V173+V17

t=----1----=------,

222

②當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，此時(shí)f的值最小，如圖3,

連接5C,以。為圓心，。5為半徑作。O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)

?;OB=OC=3,

。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,

連接設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,

則OM=OB=3,OE=1,

???NMEO=900,

ME=yJOM2-OE2=y/32-12=2A/2,

2V2，

綜上所述，2瓶”，巴叵.

2

3

4.（2021?遼寧錦州?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=^x+l分別與x軸、y軸交于點(diǎn)/

13

,C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的拋物線/=ax2+6x+c與直線y=7x+l的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為6.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

①N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMV為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo);

②如圖2,點(diǎn)M在直線CD下方，直線31（OMIC。的情況除外）交直線CD于點(diǎn)8,作直線AD關(guān)于直線

對(duì)稱的直線20%當(dāng)直線8。，與坐標(biāo)軸平行時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

【答案】（1）y=；（2）①點(diǎn)”的坐標(biāo)為（亙,：）或,：）；②點(diǎn)〃"的橫

坐標(biāo)為3或1或11一戊而

32

【解題思路分析】（1）先由直線解析式求出4C,。的坐標(biāo)，再由C,。坐標(biāo)求出拋物線解析式；

（2）①設(shè)N（?,0）,由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可；②因?yàn)橹?/p>

線8加與坐標(biāo)軸平行，所以8加||x軸和8￡?町軸分類討論，以8。制了軸為例，畫出草圖，由于2M平分乙02

D<t,又AAOB="，BM,等量代換，可以證得△/。8是等腰三角形，求出的長(zhǎng)度，并且有/和。點(diǎn)坐標(biāo)

,求出乙D/O的三角函數(shù)值，過(guò)8作87/1X軸于“，在直角A48"中，利用N8的長(zhǎng)度，和4氏4〃的三角函數(shù)值

,求出和88的長(zhǎng)度，得到8點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線。5的解析式，聯(lián)立直線。8和拋物線解析式，求得

交點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)3。肉|了軸，用同樣的方法解決.

3

【解析】解：（1）令%=0,貝3=^X+1=1，

???C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

3

令歹=0,貝qx+i=o,①

4

x=—,

3

4

??/點(diǎn)坐標(biāo)為（一§，0），

311

令x=6,則尸:x+l=彳，

.⑺點(diǎn)坐標(biāo)為（6,y）,

將C,。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到拋物線解析式中得，

0=1

；9+6,7b+c=—",

I2

b=--

解得4,

C=1

13

???拋物線的表達(dá)式為：y=-x2-4x+l；

-44

（2）①即（〃，0）,

???四邊形CCW為平行四邊形，

：.MNHCD,

_9

???由平移與坐標(biāo)關(guān)系可得Af（及+6,—），

2

??,點(diǎn)跖在拋物線上，

1,39

.?.-（A?+6）2--（?+6）+1=-,

???/+9〃+4=0,

_-9±V65

?,Yl-------------------,

2

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為（上叵，苫）或（三近I,2）；

2222

②第一種情況：如圖1,當(dāng)5。倒工軸時(shí)，分別過(guò)。作x軸的垂線，垂足分別為y0,

圖1

42211

在直角中，^0=6+-=—,DQ=—,

55

???由勾股定理得：47=當(dāng)，

6

DQ3

.'.tan^DAQ=—=-,

4

???cos乙DAQ=—,

,.ZBAH=3A。,

AH4

:,cos乙BAH=----=—,

AB5

???直線8。與直線50c關(guān)于直線OM對(duì)稱，

:/DBM=ZD?BM,

???50倒》軸,

??/HOB=ZD?BM=乙DBM,

4

：?AB=AO=一,

3

AH4

???亙~-5，

3

16

:.AH=——,

15

12

??.OH=AH+AO=M，

人12e314

令%=_不，貝0=w%+l=_y

124

???5點(diǎn)坐標(biāo)為（一不，一］），

設(shè)直線的解析式為歹=點(diǎn)，代入點(diǎn)5得，左=；,

???直線08的解析式為y=gx,

1

y=一x

3

聯(lián)立

13

y=-x2----x+11

44

4

x=3

解得2

4，%=1

4

???點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或］,

第二種情況，如圖2,當(dāng)5。叫y軸時(shí)，設(shè)交》軸于G,

???LCOB=（OBG,

??,直線與直線B次關(guān)于直線。河對(duì)稱,

??/CB0=乙0BG=Z.COB,

.?.C5=CO=l,

過(guò)。作CE18G于。

???CE//x軸,

工乙BCE=cCAO,

CO3

■:tan乙CAO==一

AO4

4

-t?cosZ-CAO=—,

CE_4

:,cos（BCE

-5

44

，CE=—BC=—

55

■■BE=yjBC23-CE'=|

?:CELBG,BGlx軸,

.?.NCEG=N8GO=NCOG=90°,

???四邊形CEG。為矩形，

4

:.EG=CO=\,CE—OG——,

,8

；,BG=BE+EG=M

48

?,?點(diǎn)5的坐標(biāo)為（于二），

???直線05的解析式為y=2x,

y=2x

聯(lián)立，123「

y=-x—x+1

I44

化簡(jiǎn)得，x2—11%+4=0,

ll±VT05

,,X=------------9

2

???點(diǎn)跖在直線下方，

.11-7105

2

???點(diǎn)河的橫坐標(biāo)為匕叵，

2

即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3或g或上叵

32

5.（2021?江蘇鹽城?中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)尸繞著某定點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

一定的角度〃，能得到一個(gè)新的點(diǎn)尸經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)尸在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí),

點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)A的坐標(biāo)和角度1的大小來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.

圖3

(初步感知)

如圖1,設(shè)41,1),a=90。，點(diǎn)P是一次函數(shù)〉=h+方圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)

耳(T1).

(1)點(diǎn)片旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)￡的坐標(biāo)為；

(2)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)第(2,1),求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

(深入感悟)

(3)如圖2,設(shè)出0,0),々=45。，點(diǎn)尸反比例函數(shù)了=-，(x<0)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作二、四象限角

X

平分線的垂線，垂足為"，求AOMp”的面積.

(靈活運(yùn)用)

(4)如圖3,設(shè)1=60。，點(diǎn)P是二次函數(shù)了=3尤2+27§%+7圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)2(2,0)、

C(3,0),試探究△5CP的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)(L3)；(2)y=+(3)y：(4)存在最小值，g

【解題思路分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得/6=/邛=2,觀察點(diǎn)4'和4(14)在同一直線上即可直接得出結(jié)

果.

(2)根據(jù)題意得出寫的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出原一次函數(shù)表達(dá)式即可.

y=-x

(3)先根據(jù)<=_工於<0)計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論①當(dāng)x4T時(shí)，先證明"04三"’加勿再計(jì)算

、x

面積?②當(dāng)-l<x<0時(shí)，證APH0合AOP"M，再計(jì)算I上|1即可.

^AP'MO=S"M。=H=2

(4)先證明A04S為等邊三角形，再證明AC'4O=AC45，根據(jù)在MAC,GB中，

fl勿

ZC,GB=90°-ZC,B,C=30°,寫出C,從而得出。。'的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)直線/與拋物線相切時(shí)取

(22J

最小值，得出夕=百》+三,由V_O計(jì)算得出△5CP的面積最小值.

2°A5,CT-°A5"C>

【解析】(1)由題意可得:/片=/片'=2

的坐標(biāo)為(1,3)

故答案為：(1,3)；

(2)?.￡(2,1),由題意得

心坐標(biāo)為(1,2)

—6(1,2)在原一次函數(shù)上,

???設(shè)原一次函數(shù)解析式為

-k+b=\

則

k+b=2

k=-

2

73

b=—

2

13

???原一次函數(shù)表達(dá)式為+5；

(3)設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于N點(diǎn)，則

y--x

<1

y=——(x<0)

、x

解得N(-1,1)

①當(dāng)xWT時(shí)

作軸于0

vZQAM=乙POP=45°

...APAQ=ZP'AN

■■PMVAM

...NP'MA=ZPQA=90°

.?.在△PQ/和中

ZPQA=NP'MA

<NPAQ=ZP'AM

AP=AP'

,■APQA=/^P'MA

即

SXOMF

②當(dāng)-1<X<0時(shí)

作尸于了軸于點(diǎn)H

???ZPOP'=ZNOY=45°

??.ZPON=ZPVY

"MPO=90°-AMOY-ZPfOY

=45。-/PS

；./POH=/POP'-/P'OY

=45。-NPOY

ZPOH=ZOMPr

在\PHO和AOP'M中

ZPHO=ZOMPr

<ZPOH=ZMPrO

PO=P'O

:^PHO=\OPM

(4)連接ZB,AC,將8,。繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得E,C,作軸于“

??,4(1,拘，8(2,0)

；.OH=BH=\

OA=AB=OB=2

???△045為等邊三角形，此時(shí)2'與0重合，即9(0,0)

連接C'。，???NG4C=NB/O=60°

ZCAB=NC'AB'

???在AC”/。和△C/B中

C'A=CA

<NC'AO=ZCAB

BA=OA

\C'AO=\CAB

C'O=C8=1,ZC'OA="8/=120。

.?.作C'GLy軸于G

在Rt\CGB中，ZC'GB=90°-ZC'B'C=30°

C'G=OC-sinZC'BG=-

2

i~（、

...OG=y即C',此時(shí)。C'的函數(shù)表達(dá)式為：夕=岳

設(shè)過(guò)「且與B'C'平行的直線/解析式為y=+b

S..“=S....

A5CP\BCP

???當(dāng)直線l與拋物線相切時(shí)取最小值

y=y/ix+b

則,12r

y=—x+2j3x+7

即后+6=9+2居+7

—X2+yf3x+7—b=0

2

當(dāng)A=0時(shí)，得6=?

y=y/ix+]

設(shè)/與V軸交于T點(diǎn)

vs.=s....

A5CTA5CP

《=—xBrTxCG

\B'CP2

1111

=—X—X——

222

_11

~~8

71

6.（2021?浙江義烏?九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a（x-加）--5皿+4圖

象的頂點(diǎn)為C,其中加＞0,與x軸交于點(diǎn)/、B（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D點(diǎn)M坐標(biāo)為（0,4）.

（1）當(dāng)加=2時(shí)，拋物線y=a（x-機(jī)J-g〃z+4（機(jī)＞0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求a的值.

（2）當(dāng)。二一1時(shí)，

①若點(diǎn)M、點(diǎn)。、點(diǎn)C三點(diǎn)組成的三角形是直角三角形，求此時(shí)點(diǎn)。坐標(biāo).

②設(shè)反比例函數(shù)V=-g（x＞0）與拋物線加丫-1加+4（加＞0）相交于點(diǎn)￡（夕均）,當(dāng)2＜?＜4時(shí)，

求機(jī)的取值范圍.

a11

【答案】（1）?=--：（2）①（。,一1）,②0＜加＜2或

【解題思路分析】（1）把加=2和原點(diǎn)代入，直接解方程即可，

（2）①過(guò)C點(diǎn)作CNQ軸，首先表示出C,。的坐標(biāo)，再利用相似構(gòu)造方程解出川即可求出。的坐標(biāo)，②求出

交點(diǎn)，再根據(jù)交點(diǎn)的情況確定"?取值范圍；

【解析】（1）當(dāng)加=2時(shí)，拋物線＞=。（％-2丫+3

???經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

?,.得0=。（0-2）2+3,

3

解得：〃=—7

4

（2）①過(guò)C點(diǎn)作CNU軸，

CL——1,

/\21.

/.y=--m+4；

.?.點(diǎn)加,一；加+41，點(diǎn)。（0,一加2—；加+,

??.點(diǎn)。在直線歹=—；、+4上，M。，4）,

過(guò)。作CN_L>軸于N,

???△MDC是直角三角形

'.^MCD=90°

：.5CD=LCND=（CNM=9G°

,"CDM=AMCN

???△CDN?AMCN

.MN_CN

''~CN~^N

4-|--2m+4I

[ipIJ_____________"___________r

mf-m+4>|-f-n72-—m+4

I2JI2

解得：俏=2,

經(jīng)檢驗(yàn)：冽=2是原方程的根，且符合題意，

二此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0,T）

②：2Vp＜4,

.?.當(dāng)P=2時(shí)，可得￡（2,-2）

當(dāng)P=4時(shí)，可得E（4,-1）

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2,-2）時(shí),

21

-2=-（2—m）--m+4解得=一=4

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡（4,-1）時(shí)

-1=_（4-加）2_—m+4解得加1=—,m=2

22

當(dāng)交點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左邊時(shí)，即加＜2時(shí),

可得一；＜m＜2

又加＞0

/.0＜m＜2

當(dāng)交點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右邊時(shí)，即加＞2時(shí)，

可得4＜M＜T

的取值范圍為

0＜加＜2或4＜加

7.（2021?河北九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=1分另!J交%軸、》軸于點(diǎn)4、點(diǎn)5,

交雙曲線＞=々左。0）于點(diǎn)。（3,〃）拋物線丁="2+1_、+°（。。0）過(guò)點(diǎn)5,且與該雙曲線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。的縱坐

x2

標(biāo)為-3.

(2)若點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)。為該雙曲線上一點(diǎn)，且尸，。兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為-2,求線段尸。的長(zhǎng).

(3)若點(diǎn)M沿直線從點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,再沿雙曲線從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)河作血W_Lx軸，交拋物線于點(diǎn)N

.設(shè)線段九W的長(zhǎng)度為力點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為加，直接寫出d的最大值，以及d隨加的增大而減小時(shí)加的取值范

圍.

【答案】⑴y=-—>V=+白-1；(2)--或313^；(3)d的最大值是學(xué)，

x22228

-l<m<0,|■<加<3,3<"2<4時(shí)，d隨機(jī)的增大而減小.

【解題思路分析［(1)根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、8、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)

解析式，再求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)拋物線和雙曲線解析式求出點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離的求法

求解即可；

(3)分點(diǎn)M在/8、BC、CD上三種情況，根據(jù)直線、拋物線和雙曲線的解析式表示出d,再根據(jù)二次

函數(shù)的增減性解答.

【解析】解：(1)令尸0,則-x-l=O,

解得x=-1,

令x=0,則》=T,

所以，點(diǎn)/(一1,0),2(0,-1),

尤=3時(shí)，=-3-1=-4,

所以，點(diǎn)C(3,-4),

k

設(shè)雙曲線解析式為歹=一(左。0),

X

k

則y=-4,

解得左=-12,

所以，雙曲線解析式為了=-一,

X

???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為-3,

解得x=4,

二點(diǎn)。(4,-3),

3

:拋物線+c過(guò)點(diǎn)3、D,

c=-l

/,43

16a+—x4+c=-3'

[2

_1

解得”一5,

c=-1

1Q

二拋物線的解析式為

13

(2)當(dāng)了=-2時(shí)，--X2+-X-1=-2,

整理得，X2-3X-2=0,

解得再=之空3-V17

-2~

二點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(立普，-2)或(丘叵

-2),

解得％=6,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,-2),

“。=6-二以:口1或尸0=6-丁=紅普；

(3)①點(diǎn)〃在力8上時(shí)，—1〈冽＜0,

d=MN=(―m—1)—(――w2+—m—V)=—m2——m=—(m——)2——,

2222228

隨加的增大而減小，

②點(diǎn)〃■在BC上時(shí)，0＜加＜3,

1231251,5225

d=MN=(——m+—m—1)—(―m—1)=——m+—m=——(m----)H----,

2222228

..?加=51時(shí)，d有最大值為2臺(tái)5，

28

|■<m<3時(shí)，d隨加的增大而減小,

③點(diǎn)M在上時(shí)，3<m<4,

d=MN=(-—m2+—7?—1)-(--)=——m2+—m+--1,

22m22m

由圖可知，d隨的增大而減小，

255

綜上所述，d的最大值是右，-l<m<0,-<m<3,3<加<4時(shí)，d隨機(jī)的增大而減小.

82

13

8.(2021?山東濟(jì)寧?中考真題)如圖，直線V=+5分別交x軸、J軸于點(diǎn)/,B,過(guò)點(diǎn)/的拋物線

>=-/+云+，與x軸的另一交點(diǎn)為C,與7軸交于點(diǎn)。(0,3),拋物線的對(duì)稱軸/交4D于E,連接OE交

48于點(diǎn)f

(1)求拋物線解析式；

(2)求證：OE_L4B；

(3)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線尸。交4D于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)尸，使以/,O,〃為頂點(diǎn)的三角形

與△/CD相似？若存在，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴y=f2+2x+3；(2)證明見(jiàn)解析；(3)存在，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=T：而或土行.

【解題思路分析】(1)先求出點(diǎn)42的坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出直線/D的解析式為尸-無(wú)+3,進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2),運(yùn)用三角函數(shù)定義可得

tanAOAB=tan/OEG,即z,CU8=4OEG=90°即可證得結(jié)論；

(3)先求出直線CD解析式為y=3x+3,再根據(jù)以4,O,M為頂點(diǎn)的三角形與△ZCD相似，分兩種情況：①

當(dāng)

~44。時(shí)，^AOM=^ACD,從而得出OM7/CD,進(jìn)而得出直線的解析式為y=3x,再結(jié)合拋物線的解析

4MAr

式即可確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②當(dāng)3。時(shí)，利用布=而，求出也進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，求

得直線的解析式，進(jìn)而完成解答.

13

【解析】解：(1)?.?直線V=+；分別交x軸、了軸于點(diǎn)/,B

22

3

：.A(3,0),B(0,-),

???拋物線V=*+&<:+c經(jīng)惘(3,0),D(0,3),

j0=-32+3b+cb=2

，解得

[3=-02+0+Cc=3

???該拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)y-—X?+2x+3=-(x-1)?+4,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線f1,

設(shè)直線力。的解析式為尸AX+Q,

(3k+b=0

將4(3,0),D(0,3)代入得：入q，解得

[b=3

二直線4。的解析式為y=-x+3,

.??￡(1,2),G(1,0),

?"GO=90。,

/.tmZOEG=—

EG2

3

-OA=3,OB=-,ZL405=90°,

2

3

-

21

---

tmZOAB=—32

OA

：.tanAOAB=tan/OEG,

???乙OAB=^OEG,

“0EG+^E0G=9G。,

'./-OAB+^EOG=90°,

??.ZAFO=90。，

???OELAB；

(3)存在.

-A(3,0),拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=1,

.-.C(-1,0),

■■.AC=3-(-1)=4,

■.■OA=OD=3,AAOD=90°,

???AD=亞OA=3拒，

設(shè)直線CD解析式為尸貝！J：

\-m+?=0fm=3

a,解得a

[n=3=3

二直線CD解析式為產(chǎn)3x+3,

①當(dāng)ZUOMs/UCZ)時(shí)，^AOM=Z.ACD,如圖2所示,

：.OMIICD,

?,?直線OM的解析式為y=3x,

??,拋物線的解析式為尸-N+2X+3,

???3X=?N+2X+3,解得：x=；

2

AMAC

?布一而

ACAO4x3「r-

?.AM=-----------=--=2y/2,

AD3V2

過(guò)點(diǎn)M作MGL:軸于點(diǎn)G,則乙4GM=90。,

.2CUD=45。，

5

??AG=MG=AM,sin45°=20x—=2

2

'.OG=OA-AG=3-2=\,

?.M(1,2)，

設(shè)直線31解析式為尸加四將M(1,2)代入，得：加［=2,

???直線解析式為尸2x,

??,拋物線的解析式為產(chǎn)?N+2X+3

.，-2x=-x2+2x+3,解得：x=±V3.

-1士巫

綜上,點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為工=或?

2

圖3

9.(2021?湖北宜昌?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線弘=-(x+4)(x-〃)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)

5(?,0)(?>-4),頂點(diǎn)坐標(biāo)記為(知匕).拋物線％=-(x+2"『-"2+2"+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為仇，3.

YA

------------------------0--------------------------

(I)寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求匕，總的值(用含"的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)-4V〃V4時(shí)，探究左與左2的大小關(guān)系；

(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2〃+9,-5/)和點(diǎn)N(2〃,9-5M2)的直線與拋物線=-(x+4)(x-?),

%=-(X+2")2-"2+2〃+9的公共點(diǎn)恰好為3個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，求〃的值.

【答案】(1)/(—4,0)；(2)kx=—n~+2n+4,k2=—n~+2n+9；(3)當(dāng)—44〃<—2時(shí)，kx>k2,當(dāng)

-1+回

-2<〃<2時(shí)，kx<k2,當(dāng)2<〃V4時(shí)，kx>k2,當(dāng)力=-2或"=2時(shí)，尢=心；(4)

5

-1-V46-1+2V142-1-2V142

Tl、=-------，&=---------------,n=---------------

25321A421

【解題思路分析】(1)令必=0,解出x即可，

(2)把函數(shù)%=-(x+4)(x-〃)頂點(diǎn)式,即可得出結(jié)論，

(3)令y=占-/=："2-5,結(jié)合函數(shù)圖像分類討論即可，

(4)由題意可得：直線的解析式為：y=-x-5/+2"+9,再根據(jù)已知條件畫出函數(shù)圖像分三類情況

討論，進(jìn)而得出〃的值；

【解析】(1)「％=-(x+4)(x-〃)，令必=0,-(x+4)(x-n)=0,

Xj=-4,x2=nf

.??^(-4,0).

,M—49IT

(2)——(%+4)(%—n)——x+(n—4)x+4〃=—(%——)+—n+2〃+4,

k、=—n2+2〃+4,

2

vy2=—(x+2H)—幾2+2〃+9,

k?=—幾2+2〃+9.

1

(3),**ky=—n9+2〃+4,k[=-〃9+2〃+9,

當(dāng)左二k?時(shí)，—7/2+2〃+4=—772+2〃+9,

止匕時(shí)〃=一2或〃=2,

y=kx-k2=a〃2—5.

由如圖1圖象可知：

當(dāng)一4K〃<一2時(shí)，kx>k2,

當(dāng)一2<〃<2時(shí)，左〈左2，

當(dāng)2<〃<4時(shí)，kx>k2,

當(dāng)〃=—2或〃=2時(shí)，k1-k2.

第24題圖1

(4)設(shè)直線"N的解析式為：y=kx+b,

f(2n+9)^+ft=-5n2(1)

J[2nk+b=9-5n2(2)，

由(1)-(2)得，k=-l,

b=Sit1+2力+9,

直線九W的解析式為：y^-x-5n2+2n+9.

第一種情況：如圖3,

yA

第24題圖3

當(dāng)直線MN經(jīng)過(guò)拋物線,，%的交點(diǎn)時(shí),

聯(lián)立拋物線必=一、2+5-4)x+4〃與%=-X2-Anx-5/+2〃+9的解析式可得：

(5〃-4)x=-5/-2〃+9①

聯(lián)立直線y=-x-5n2+