高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試解答題壓軸題50題專練（原卷版）

高一上學(xué)期期末考試解答題壓軸題50題專練

【人教A版(2019)]

1.(2023上?廣東汕頭?高一?？茧A段練習(xí))已知2-{x|2a-1<x<a+1],B={x|-1<x<3].

*■-1

(1)若。=一5，求力uB,An(CRB)；

(2)在①“久e4”是“XeB”的充分不必要條件；②AUB=B；③4nB=0；這三個條件中任選一個，補充在

下面問題中，并進行解答.

問題：若，求實數(shù)a的取值范圍構(gòu)成的集合P.

注：如果選擇多個條件分別作答，則按第一個條件的解答計分.

2.(2023上?上海徐匯?高一上海中學(xué)?？计谥?已知非空實數(shù)集S,T滿足：任意XCS,均有、eS；任意

X

y&T,均有空er.

y+i

(1)直接寫出s中所有元素之積的所有可能值；

(2)若T由四個元素組成，且所有元素之和為3,求T；

(3)若Snr非空，且由5個元素組成，求SUT的元素個數(shù)的最小值.

3.(2023下?北京密云?高一統(tǒng)考期末)已知集合5={1,2,…,n}(n23且neN*),A=(ai,a2,am),且

AUS.若對任意cijeA,aje4(1<i<j<Tn),當(dāng)見+aj<ri時,存在必e4(1<k<m),使得七+aj=ak,

則稱力是S的小元完美子集.

(1)判斷下列集合是否是S={1,2,3,4,5}的3元完美子集，并說明理由；

①41={1,2,3}；

②42={2,4,5}.

(2)若4={a1(a2la3}>S={1,2,…,7}的3元完美子集，求的+a2+(23的最小值.

4.(2023上?北京平谷?高一統(tǒng)考期末)設(shè)/是正整數(shù)集的非空子集，稱集合B={|"-例且aK%

為集合/的生成集.

(1)當(dāng)4={1,3,6}時，寫出集合/的生成集3；

(2)若/是由5個正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集2中元素個數(shù)的最小值；

(3)判斷是否存在4個正整數(shù)構(gòu)成的集合/,使其生成集B={2,3,5,6,10,16},并說明理由.

5.(2023上?北京東城?高一統(tǒng)考期末)對于非空數(shù)集4若其最大元素為最小元素為加，則稱集合/

的幅值為2=M—m,若集合/中只有一個元素，則〃=0.

(1)若力={2,3,4,5},求7小

(2)若力={1,2,3,…,9},4={ai(bi，Ci}cA,AinAj=0(i,;=1,2,3,i豐，)，&U&U4=4求+TAi+TA3

的最大值，并寫出取最大值時的一組4,42,43；

(3)若集合N*的非空真子集弓醺陽…，乙兩兩元素個數(shù)均不相同，且T4+TA2+7A3+-+TAn=55,求"

的最大值.

6.(2023上?上海浦東新?高一校考期末)已知集合/={(卬％2,…,％n)%e{—l，l}(i=12…,A}，x、ye

4Px=(久1，孫…,xn),y=優(yōu),『2,…,%I)，其中X”y；6{-l,l}(i=1,2,-,n).定義x。y=久/i+x2y2+

?--+xnyn,若xG>y=0,則稱x與y正交.

(1)若x=寫出4中與x正交的所有元素；

(2)令8={K。y|x,y€4J,若me8,證明：m+n為偶數(shù)；

(3)若4U4”且N中任意兩個元素均正交，分別求出九=8,14時，N中最多可以有多少個元素.

7.(2023上?北京昌平?高一統(tǒng)考期末)設(shè)有限集合E={1,2,3,-,N},對于集合力QE,A=[x1,x2,x3,-,xm},

給出兩個性質(zhì)：

①對于集合/中任意一個元素沖，當(dāng)比左力1時，在集合/中存在元素陽，勺(iW/)，使得沖=%+勺，貝!|稱

A為E的封閉子集；

②對于集合/中任意兩個元素看,Xj(j.=/=都有陽+比/任4則稱N為E的開放子集.

(1)若N=20,集合2={1,2,4,6,8,10},B=[x\x=3k+l,k<6,kEN*},判斷集合A,B為E的封閉子集還

是開放子集；(直接寫出結(jié)論)

⑵若N=100,1&A,100eA,且集合/為E的封閉子集，求a的最小值；

(3)若NCN*,且N為奇數(shù)，集合N為E的開放子集，求小的最大值.

8.(2023上?北京?高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合4為非空數(shù)集，定義力+={x|x=a+b,a,b64},力一=

{x|x=|a—b\,a,b&A}.

(1)若集合A={-1,1},直接寫出集合不及力飛

(2)若集合A={x1(X2,%3,x4},<X2<X3<%4且=A,求證Xi+久4=%2+乂3；

(3)若集合Ac(x|0<x<2023,x€N}S.A+ClA-=0,求4中元素個數(shù)的最大值.

9.(2023上,浙江湖州?高一期末)已知函數(shù)/'(x)=久一2,g(x)=x2—2mx+4(me/?).

(1)若對任意％ER,不等式g(%)>/(%)恒成立，求冽的取值范圍；

(2)若對任意%1€[1,2],存在%2€[4,5],使得g(%i)=/(到)，求正的取值范圍;

(3)若租=一1,對任意九cR,總存在%0w[-2,2],使得不等式|g(%o)-就十九|二攵成立，求實數(shù)左的取值

范圍.

10.(2023上?浙江金華?高一校考階段練習(xí))(1)已知關(guān)于久的不等式a%2+b%+c<0的解集是｛%|%V-

2或%>|j,求c%2-bx+a>0的解集；

(2)求關(guān)于1的不等式a%2一2%+。v0的解集.

11.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知居y,zE(0,+8),且％+y+z=l.

(1)求證：三+微＞1+傘一z；

Vy

(2)求％2+y2+z2+5xy+4yz+4%z的最大值.

12.(2023上?江蘇?高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=ax2+(1-a)x+a-2.

(1)若關(guān)于久的不等式/(%)之-2有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若不等式/(%)>-2對于實數(shù)aE[-1,1]時恒成立，求實數(shù)％的取值范圍;

(3)解關(guān)于％的不等式：/(x)<a-1,(aG/?).

13.(2023上?遼寧丹東?高一?？茧A段練習(xí))已知不等式24a/+匕]+。<3的解集為{%[2<x<3}

(1)若a>0,求6b+5c的值;

(2)若。>0,且不等式a/+3-3)%-c<0有且僅有9個整數(shù)解，求a的取值范圍；

(3)若aH0解關(guān)于％的不等式：ax2+(b-l)x+5<0.

14.(2023上?浙江臺州?高一校考階段練習(xí))已知函數(shù)丫=a%2一(口+2)%+2,a6R.

(l)yV3-2%恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a>0時，求不等式y(tǒng)>0的解集；

(3)若存在6>0使關(guān)于x的方程a/—(a+2)|久|+2=爪+5+1有四個不同的實根，求實數(shù)a的取值.

15.(2022上?福建廈門?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)n?=ax+：-3,且不等式*八>)<4的解集為{幻1(尤<b}

(1)解關(guān)于x的不等式a%2.(ac+b)%+bcV0(c6R)

⑵已知g(x)=mx+7-3m,若對任意的久1曰2,3],總存在久2式1,4],恰/'(比1)=媽成立，求實數(shù)小的取值范圍.

16.(2023上?江蘇蘇州?高二?？计谥?已知一元二次不等式%2-a%+b>0.

(1)若不等式的解集為(一8,2)U(3,+8),求不等式a%2一汝+1<0的解集;

(2)當(dāng)b=a-1時，求不等式%2—ax+b>0的解集；

(3)當(dāng)b=l時，求不等式立竿>0的解集.

17.(2023上?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)全集U={l,2,-,n)(neN*),集合/是。的真子集.設(shè)正整數(shù)t<n,

若集合4滿足如下三個性質(zhì)，則稱/為U的R(t)子集：

①te4；

②Va6A,Vb60/4，若abeU,則abe力；

③VaeA,X/beCuA;若a+6eU,則a+b《4.

(1)當(dāng)ri=6時，判斷4={1,3,6}是否為。的R(3)子集,說明理由；

(2)當(dāng)nN7時，若/為U的R(7)子集，求證：2￡力；

(3)當(dāng)n=23時，若/為。的R(7)子集，求集合力.

18.(2023上?天津?高一校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(b-2)x+3(aW0),

(1)若不等式/(x)>0的解集為(—1,3),求2a+b的值；

⑵若/⑴=4,b>—1,求白+會的最小值.

|a|b+1

(3)若匕=一。一3,求不等式/(%)4%+2的解集.

19.(2023上?上海閔行?高一校考階段練習(xí))已知二次函數(shù)/(%)=a/++c.

(1)若等式—1)2+6(%—1)+c=2%2一3%—1恒成立，其中a,b,c為常數(shù),求Q—b+c的值;

(2)證明：ac<0是方程/(%)=0有兩個異號實根的充要條件；

h2

(3)若對任意％GR,不等式/(%)＞2ax+b恒成立，求確用^的最大值.

20.(2023下?湖南?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)f(%)=eif+a\nx.

(1)若/(%)在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)若/(%)＜爐恒成立，求實數(shù)a的值.

21.(2023下?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末)設(shè)機,幾6N*,已知由自然數(shù)組成的集合S={的,。2,…}(的＜做＜

Van)，集合Si，52，…，S6是S的互不相同的非空子集，定義九xzn數(shù)表:

xllx12…xlm\

..."產(chǎn))，其中和={；：：］：，設(shè)dQ)=+陽2+…+%0=12…,九)，令d(S)是

/2…X/

(nrn

d(Qi),以奧)，…'d(冊)中的最大值.

/I01\求Si，S,S3及d(S)；

(1)若m=3,S={1,2,3},且彳=(012

\100/

(2)若5={1,2，…，九},集合Si，S2，…，中的元素個數(shù)均相同，若d(S)=3,求九的最小值；

(3)若租=7,S={1,2,…，7},集合Si，S2，…，S7中的元素個數(shù)均為3,且&八S)H0(14iV/47),求

證：d(S)的最小值為3.

22.(2023上?上海金山?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=/(%)的定義域為。，區(qū)間MUD,若存在非零實數(shù)，

使得任意％€M都有％+te。，且/(%+t)＞/(%),則稱y=/(%)為A/■上的t一增長函數(shù).

(1)已知f(x)=x,判斷函數(shù)y=fO)是否為區(qū)間[-1,0]上的|-增長函數(shù)，并說明理由;

(2)已知71>0,設(shè)g(%)=第2,且函數(shù)y=是區(qū)間[一4,一2]上的71—增長函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍；

(3)如果函數(shù)y=%(%)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)％N0時，/i(x)=\x-a2\-a2,且函數(shù)y=h(%)為R上的

4一增長函數(shù)，求實數(shù)Q的取值范圍.

23.(2023上?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=號等是定義在R上的奇函數(shù)，且/(2)=1.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷并證明/(久)在(-2,2)上的單調(diào)性；

(3)若存在實數(shù)久6[—1,2],使得不等式4[〃>)]2一“久)+1wa有解，求實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

24.(2023上?廣東揭陽?高一統(tǒng)考期末)已知/'(無)=爆是定義在R上的奇函數(shù)，其中a、beR,且f(2)=1.

(1)求a、b的值；

(2)判斷f(%)在[2,+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；

(3)設(shè)g(%)=mx2-2x+2-m,若對任意的/G[2,4],總存在冷W[0,1]，使得f(%i)=g(%2)成立,求血

的取值范圍.

25.(2023上?云南曲靖?高一校考期中)已知/1(%)=(zu?-2租-7)%帆-2是基函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞

增.

(1)求？n的值;

(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-(2a-l)x+1在區(qū)間［2,4］上的最小值八(a).

26.(2023下?四川瀘州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(>)=2,+爪-2交的圖象關(guān)于原點對稱.

(1)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；

xx

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=loga[4+4~+2-a/(x)](a>0且aC1)在[0,log??]上的最小值為1,求a的值.

27.(2023上?江蘇揚州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(X)=x|2a—x|+2x,aeR.

(1)若a=0,判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性，并加以證明；

(2)若函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若存在實數(shù)a￡[-2,2],使得關(guān)于x的方程/(久)-t/(2a)=0有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范

圍(寫出結(jié)論即可，無需論證).

28.(2023下?山西運城?高二統(tǒng)考期末)已知/(久)=e^T+elf+/-2x+a,

(1)證明：f(x)關(guān)于x=1對稱；

(2)若f(x)的最小值為3

(i)求a；

(ii)不等式f(m(ex+e-z)+1)>/(ex-―專恒成立，求小的取值范圍

29.(2023上?重慶永川?高一?？计谀?已知函數(shù)/(%)對于任意實數(shù)%,yeR恒有f(x+y)=/(%)+/(y),

且當(dāng)％>0時，/(%)>0,又=

(1)判斷/(%)的奇偶性并證明；

(2)求/(%)在區(qū)間[一4,4]的最小值；

(3)解關(guān)于式的不等式：f(ax2)一2/(%)>f(ax)-2.

30.(2023上?安徽銅陵?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)二|%—2。+1|,。(%)=|久—可+1,xER.

(1)若a=l,求函數(shù)0。)=/(%)+g(%)的最小值；

(2)若g(%)>f(%)對于任意X6[a,+8)恒成立,求a的取值范圍；

(3)若%6[1,6],求函數(shù)九(%)=max{e，。),e。。)}的最小值.

31.(2023上?北京?高一?？计谀?已知函數(shù)f(%)=2E

(1)若函數(shù)F(%)=/(%)+af(-x)(aeR)在％GR上具有奇偶性，求a的值；

(2)當(dāng)a>0且第E[0,8]時，不等式/(%+1)2/[(%+。>]恒成立，求a的取值范圍;

(3)試求函數(shù)G(%)=/(%+1)+af(2x)(a6R)在16(-8,0]的最大值”(a).

32.(2023上?遼寧大連?高一期末)已知函數(shù)f(%)=log3(a%2—%+小—3),=%a+x~a

(1)直接寫出%>0時，g(%)的最小值.

(2)a=2時，F(xiàn)Q)=/(%)-log43在x￡(1,|)是否存在零點？給出結(jié)論并證明.

(3)若g(2)=|,f(g。))存在兩個零點，求a的取值范圍.

33.(2022上?福建泉州?高一泉州七中校考期中)己知定義在R的函數(shù)/(X)滿足：①對Vx,yeR,f{x+y)=

/(%)+f(y)-1；②當(dāng)%>0時,/(%)<1；③f(l)=-2.

(1)求/(0),判斷并證明/(%)的單調(diào)性；

(2)若m第E[-1,1],使得/(%)￡zn?一2am-5,對VaE[-l,1]成立，求實數(shù)血的取值范圍；

(3)解關(guān)于久的不等式/1(a，)</((a+2)x)+6.

34.(2023上?上海?高一?？茧A段練習(xí))對于定義域在R上的函數(shù)y=f(x),定義g(x)="乃；"°).設(shè)區(qū)間/=

(-oo,o)u(0,+oo),對于區(qū)間/上的任意給定的兩個自變量的值/、工2，當(dāng)無1<和時，總有g(shù)Qi)wg(久2)，

則稱g(x)是人%)的‘7函數(shù)

(1)判斷函數(shù)y=-2x,xeR是否存在“7函數(shù)”，請說明理由；

(2)若非常值函數(shù)y=s(x),xGR是奇函數(shù)，求證：y=s(x)存在“7函數(shù)”的充要條件是存在常數(shù)k,使得s(x)=

fcx；

(3)若函數(shù)y=m?2久一2022x與函數(shù)y=-ni?2-x+久的定義域都為R,且均存在“7函數(shù)”，求實數(shù)的值.

35.(2023上?遼寧大連?高一期末)若函數(shù)/0)在定義域口上滿足“%)+/0)=/(久+了),且％>0時/(%)>0,

定義域為[-2,刀的g(x)為偶函數(shù).

(1)求證：函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增.

⑵若在區(qū)間［—1,1］上，/(x)+.g(x)=-x2+x+l；g(x)在［0,2］上的圖象關(guān)于點(1,0)對稱.

(i)求函數(shù)/(久)和函數(shù)g(x)在區(qū)間［-2,刀上的解析式.

⑴若關(guān)于x的不等式卻恐<1，。<"4對任意定義域內(nèi)的恒成立，求實數(shù)》

存在時，t的最大值關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系.

36.(2023上?吉林長春?高一?？计谀?已知函數(shù)/(久)=log<)(9x+1)+2txetGR)為偶函數(shù).

⑴求f的值；

(2)求f(%)的最小值;

(3)若f(42x+4-2與>/(m(4x-4-8))對VxeR恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

2X

37.(2023下?浙江舟山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(無)-x+2+a(x>0)滿足/'(logz。)=/(2-log2/)),

x2

函數(shù)9(%)=log2(2-4)-logft(x-1),其中a,6GR.

(口求人^的值域(用a表示)；

(2)求a+b的取值范圍；

(3)若存在實數(shù)6,使得g(/(x))—31ogba23有解，求a的取值范圍.

38.(2023下?云南保山?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)=loga(l-x)+3,(a>0且a41)的圖象經(jīng)過點

P(—2,4),函數(shù)儀久)=b-含為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)求函數(shù)尸(%)=g(x)+3久—2的零點;

(3)若關(guān)于％的不等式m+log3(三</(x)在區(qū)間(-1,0)上恒成立，求正實數(shù)小的取值范圍.

39.(2023下?浙江?高一臺州中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)f(x)=1咤4(#+1)—mx是偶函數(shù).

(1)求機的值；

(2)若g(久)=4的，a>0,bER,不等式b?g?(久)一七?g(x)-+a20對任意xe[-g,1]恒成立，求g

的取值范圍.

40.(2023上?浙江?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù),(久)=lnG+a),aeR.

(1)若方程/(x)=ln[(a—3)x+2a—4],恰有一個實根，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)a>0,若對任意當(dāng)右，久26也》+1]時，滿足|/(久1)一〃久2)1Wln4,求實數(shù)a的取值范圍.

41.(2023上?甘肅定西?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(x)=2sin(3久+卬)(3>0,切<習(xí)的最小正周期為兀，

其圖象關(guān)于點信,0)對稱.

(1)令。(久)=判斷函數(shù)gO)的奇偶性；

(2)是否存在實數(shù)m滿足對任意%1e[-1,1],任意%2GR，使4對+4rl+機(2肛一2一皿)+5>/(應(yīng))成立.若存

在，求小的取值范圍；若不存在，說明理由.

42.(2023下?遼寧大連?高一大連八中校考階段練習(xí))函數(shù)人久)=COS3X+M(3>0,5<小的部分圖像

如圖所示.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若V%E[-：,：],[/(久)]2-血/(%)-140恒成立，求機的取值范圍；

(3)求實數(shù)。和正整數(shù)九，使得函數(shù)F(%)=/(%)-。在[0,7rn]上恰有2023個零點.

43.(2023下?江西上饒?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=V2sinxcosx—V2cos2x+y-.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若g(%)=/(%)+/(%+；)-/(%)?/(%+；),存在%1，%2^氐對任意％ER，有g(shù)(%i)<g(%)<g(%2)恒成

立，求氏一12I的最小值；

(3)若函數(shù)F(%)=-/(％+§+Q[/(%+目+2]-3在(0,71冗)(幾GN+)內(nèi)恰有2023個零點，求a與九的值.

44.(2023下,四川成都,高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=V3sinxcosx+1(sin4%—cos4x)—l(xGR),函數(shù)y=

f(%)的圖象向左平移，個單位,再向上平移1個單位得到y(tǒng)=g(X)的圖象,九(%)=-cosx|cosx-3m|+m(mE

R).

(1)若f(a)=O,求a；

(2)若對任意町6卜存在力€[o,]使得gOi)=八(冷)成立，求實數(shù)機的取值范圍.

45.(2023下?上海楊浦?高一復(fù)旦附中?？计谀?已知直角梯形力BCD,AD//BC,^ABC=AADE=^AB=1,

扇形圓心角N8AE=x,久e(0,5),如圖，將△4DC,△力BC以及扇形B4E的面積分別記為p(久),q(x),s(x)

(1)寫出p(%),q(%),s(%)的表達式，并指出其大小關(guān)系(不需證明)；

(2)用tan表示梯形45。。的面積t(%)；并證明：t(%)>2-s(x)；

(3)設(shè)/(%)=*,0<a<a+(p試用代數(shù)計算比較/(a)與/(a+?)的大小.

46.(2023下?江西撫州?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=sin(cox+R)-1(3>0,0VwVn)的圖象兩相

鄰對稱軸之間的距離是與若將/(%)的圖象上每個點先向左平移工個單位長度，再向上平移1個單位長度，

所得函數(shù)9(%)為偶函數(shù).

(1)求f(%)的解析式;

(2)若對任意xe[/(久)]2一(2+機)/。)+2+爪30恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(3)若函數(shù)就久)=27(%)+3的圖象在區(qū)間[a,句(a,b€R且a<b)上至少含有30個零點，在所有滿足條件

的區(qū)間［a,句上，求6-a的最小值.

47.(2023上