河北省2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)11月階段調(diào)研檢測(cè)二數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月階段調(diào)研檢測(cè)二數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集。=皿3=,川尤2-10%叫，A@3）={1，3,5,7},則集合3=（）

A.{2,4,6,8}B.{2,4,6,8,9,10}

C.（0,2,4,6,8,10}D.{0,2,4,6,8,9,10}

2.函數(shù)y=Jig（無T）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{x|x>l}B.{x|x22}C.{x|x>10}D.1%|x>ll}

3.若事件A,3發(fā)生的概率分別為尸（A）,尸（B）,（尸（A）>0,尸（可>0）,則“尸國4卜尸⑻

是“尸（A⑻=尸（匈”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

4.球。是棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，則球。的內(nèi)接正四面體體積為（）

A.|B.逅C.-D.—

2634

5.某同學(xué)擲一枚正方體骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，統(tǒng)計(jì)出結(jié)果的平均數(shù)為2,

方差為04可判斷這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知%>1,y>0,且」+'=貝|4%+y的最小值為（）

x-1y

A.13B.I"產(chǎn)C.14D.9+765

7.已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)镽,且“2尤+1）為奇函數(shù)，/（2x+4）=f（2x）,則一定正確

的是（）

A.“X）的周期為2B.“X）圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱

C./（x+1）為偶函數(shù)D./（x+3）為奇函數(shù)

8.已知函數(shù)/(尤)=2sin[oxT(0>O)在區(qū)間《mJ上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)°最大時(shí)

在區(qū)間[-100兀,100可上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.466B.467C.932D.933

二、多選題

9.若(2%—1)8=〃8犬+%/+。6%6■1----F%%2+%%+4,則()

A.4=1B.%=-8

C.q+%+q+?,,+%+。8=0D.%一生+%—“4+?,,+%—“8=—6561

10.已知平面內(nèi)點(diǎn)A(-l,0),3(1,0),點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則()

A.|上4Hp@=4,點(diǎn)尸的軌跡為橢圓B.|上41TMi=1,點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

PA

C.|叢卜歸卻=1,點(diǎn)尸的軌跡為拋物線D.方=2,點(diǎn)尸的軌跡為圓

11.如圖，圓錐SO的底面直徑和母線長(zhǎng)均為6,其軸截面為△SAB,C為底面半圓弧A3上

一點(diǎn)，且AC=2C8，SM=ASC>SN=juSB(0<A<1,0</J<1),貝！|()

A.當(dāng)人=1時(shí)，直線AW與BC所成角的余弦值為小

220

B.當(dāng)4=〃=1時(shí)，四面體SAMN的體積為包叵

216

21

C.當(dāng)〃=§且AM〃面ONC時(shí)，2=-

4

D.當(dāng)時(shí)，2=-

7

填空題

試卷第2頁，共4頁

22

12.雙曲線C：1-3=l(a>0/>0)的左焦點(diǎn)為右頂點(diǎn)為3,點(diǎn)尸到漸近線的距離

ab

是點(diǎn)B到漸近線距離的2倍，則C的離心率為.

13.已知數(shù)列｛%｝滿足%=(-1)"(2"-1),其前100項(xiàng)中某項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫錯(cuò)，得前100項(xiàng)和為

-50,則寫錯(cuò)的是數(shù)列中第項(xiàng).

14.如圖所示，VABC中，D,E是線段BC的三等分點(diǎn)，下是線段AC的中點(diǎn)，BF與AD,

AE分別交于N,則平面向量用向量C4，C2表示為.

/\

BDEC

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為b,c,>2a2-2b2=2cacosB-be.

⑴求角A的大小；

⑵若。+c=5,VABC的面積為遞，求VABC的周長(zhǎng).

2

16.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ADJ.AB,

AD=AB=2BC,ASAB為等邊三角形且垂直于底面ABC。.

⑴求證：SD1AC；

(2)求平面SBC與平面SDC夾角的正弦值.

17.已知函數(shù)〃x)=;vlnx+—+ar(a€R).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求〃尤)的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線方程;

⑵當(dāng)a=。時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

⑶若函數(shù)"(x)=x/(%)--+2hu單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.橢圓C：5+/=ig>b>0)左右頂點(diǎn)分別為A,B,且|AB|=4,離心率e=弓.

⑴求橢圓C的方程；

(2)直線/與拋物線V=4x相切，且與C相交于M、N兩點(diǎn)，求一肱VB面積的最大值.

19.(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程尤3=1；

(2)設(shè)為eC,z?eC且z”0,證明：丸=五；

Z2Z2

(3)設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列｛z.｝滿足：閡=1,且對(duì)任意正整數(shù)〃，均有423+24/“+]+2”0.證明：

對(duì)任意正偶數(shù)加，均有％+z?+…+與|<孚.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DBCCBADBACAD

題號(hào)11

答案ACD

1.D

【分析】由全集U=Au3,根據(jù)題意，應(yīng)用韋恩圖即可求集合反

【詳解】由題意，尤2_10彳40,解得OVxWlO,xeN,

.-.[/={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

U=AuB,

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)題意得lg（x-l）Z。，解不等式得解.

【詳解】由Ig（x-l）之。，即lg（x—l）21gl,BPx-l>l,解得X?2.

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x±2}.

故選：B.

3.C

【分析】轉(zhuǎn)化尸（回力=牛與，P（&⑻=牛胃，根據(jù)充分性必要性的定義，以及條件

概率公式，分析即得解.

【詳解】因?yàn)镻（即A）=P⑻，所以網(wǎng)8網(wǎng)=勺等=P⑻，所以尸（AB）=P（A）.P（3）,

r\A）

所以明力磊二片臀^網(wǎng)?

答案第1頁，共25頁

反之由P（A|B）=P（A）能推出P（B|A）=P（B）,

所以“P（B|A）=尸⑻”是"P（A|B）=P（A）”的充分且必要條件.

故選：C

4.C

【分析】將內(nèi)接正四面體補(bǔ)形為正方體求解.

【詳解】

因?yàn)檎拿骟w可以補(bǔ)形為正方體，可知右圖中正四面體和正方體有同一外接球，

正方體棱長(zhǎng)為1,則體積為1,可得正四面體體積為正方體體積去掉四個(gè)角上的四面體體積，

即1_4X，=L

63

故選:C.

5.B

【分析】設(shè)五個(gè)點(diǎn)數(shù)為的4%由平均數(shù)，方差計(jì)算公式可分析出％＜3,

5個(gè)點(diǎn)數(shù)不可能全為2,然后通過列舉可得答案.

【詳解】不妨設(shè)五個(gè)點(diǎn)數(shù)為為＜%2mX3V匕＜毛，由題意平均數(shù)為2,方差為0.4,

矢口（占一2）+（X?—2）+（電-2）~+（尤4—2）~+（尤5—2）~=2,&+尤2+W+尤4+尤5=1°.

可知五次的點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)不可能為4,5,6.

五個(gè)點(diǎn)也不可能都是2,則五個(gè)點(diǎn)數(shù)情況可能是3,3,2,1,1,其方差為

（3-2）2+（3-2）2+0-+（1-2）2+（1-=4=（）8）不合題意.

55

若五個(gè)點(diǎn)數(shù)情況為3,2,2,2,1,其方差為

（3-2）2+（2—2）2+（2-2）2+（2?2）2+（＞2）2==0,4,符合題意，其眾數(shù)為

55

故選：B.

答案第2頁，共25頁

6.A

利用基本不等式即可求.

4（/1）

y

>9+213,

5

x—1yv——

當(dāng)且僅當(dāng)解得2時(shí)等號(hào)成立，故4x+y的最小值為13.

y4（x-l）

=J=3

x-1y

故選：A

7.D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性及周期性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】“2龍+1)為奇函數(shù)，#/(>+l)+/(-2x+l)=0,

即/(x+l)+/(—x+l)=O,則/(無+1)為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

且/(X)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

f(2x+4)=〃2x)可知,函數(shù)/(尤)周期為4,故A錯(cuò)誤；

〃x)=/(x+4),又圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,知/(x)=-〃2-x),

所以〃x+4)—),得關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，

則〃x+3)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，所以/(x+3)為奇函數(shù)，故D正確.

故選：D.

8.B

【分析】方法一：根據(jù)尤的范圍，確定。的范圍，結(jié)合已知條件以及函數(shù)的零點(diǎn)，得

答案第3頁，共25頁

（k-\）Ti<---<kTi

',332兀it

且臼^兀―=,分別驗(yàn)證左=0、k=l、攵=2確定外的范圍，求出。

K771<6971--兀</（攵+1、）兀刃3

7T

的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解；方法二：利用換元的令f=根據(jù)X的范圍,

確定f的范圍，由2二7r2兀-7Tg,得出。的范圍，結(jié)合y=2sim圖象性質(zhì)，以及已知條件，最

CD3

終確定。的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】方法一：由題意，函數(shù)〃尤）=2sinox-3（。>0）,可得函數(shù)的周期為T=生,

<3；co

「、,（冗）一,口71（0）7171兀）

因?yàn)镴,①兀一§J,

又由函數(shù)y=2sin"f（o>0）在區(qū)間與n］上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

/j?\/。兀71j

(左一1)兀W------<kTl

1133口2兀、7T

且滿足,且—>71-—,可得G43,

左兀<師一］<（女+1）兀0)

-G1,

kr-l<-------<k

33

即《I,且G43,

k<a)——<k+1

3

YG1八2

-1<-----<0——<CD<1

333，所以g<0<i；

當(dāng)左=0時(shí)，<，解得

1,4

0<<2?--<1-<a)<—

3133

0<---<l1<<59<4

47

當(dāng)左=1時(shí)，\3]3,解得\47,所以彳〈口工彳;

—<CD<—33

\<CD——<2133

I3

4<（v<7

33

當(dāng)左=2時(shí)，<解得z“w，此時(shí)解集為空集，

2<a)-—<3

3

綜上可得，實(shí)數(shù)0的取值范圍為即噌W.

所以°max=:,得〃x)=2sin]：x_3,

〃x)=2sin[x-g]=0,貝(左eZ),解得》=手+式左?2),

q〃7r7T1i

4-100TT<一+-<1007T,貝I」有一100——<—<100一一，

77777

答案第4頁，共25頁

-100x71,7,100x71口口-701,7699

解得---------<k<———即---------<k<--------,

33

因?yàn)樽驟Z,所以共有467個(gè)零點(diǎn).

I|(?>o),可得函數(shù)的周期為7=女

方法二：由題意，函數(shù)/(x)=2sincox-

0)

兀0)717171

因?yàn)樨?,可設(shè)/=0無-；，則此------------,(2)71------

3333

又函數(shù)丁=2545：-5卜0>0)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

2兀、兀一‘口--兀TTQTT

--之兀---可得0〈69<3,所以---<---于號(hào)’則由…圖象性質(zhì)，

CD333

兀。兀兀八

——<--------<00<刃<1

s,得，嗚<@<1.

可知<14，

—<CD<—

0<0)71——<71133

3

八①71712兀

0<---------<——1<69<3

333

或者，，得47，即

71_—<co<—33

兀<。?！?lt;271133

3

7771

所以。最大為］,得〃x)=2sin—X------

33

771貝。(無一弓=祈信解得+化

/(x)=2sin—X-----=0,eZ),x=eZ).

33

TT1i

4-10071<一+-<10071,貝iJ有：-100一一<—<100一一,

77777

即/曰-100x71,100x71-701,699

解得：-----<k<———即---------<k<--------,

33

因?yàn)閗eZ,所以共有467個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有左個(gè)零點(diǎn)，需要確定

含有上個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度，一般和周期相關(guān).

9.AC

【分析】對(duì)于A,令尤=0代入即可求解；對(duì)于B,由二項(xiàng)式定理qx'C；(2町(-1)5,對(duì)照

系數(shù)即可得到的；對(duì)于C,令x=l,結(jié)合A即可求解；對(duì)于D,令％=-1,結(jié)合A即可求

解.

【詳解】對(duì)于A,令x=0,則(0-球=旬=1,故A正確;

對(duì)于B,由二項(xiàng)式定理的尤3=c；(2x)3(—1)5=748x3,則/=_448,故B錯(cuò)誤;

答案第5頁，共25頁

對(duì)于C,x=1f則(2—1)=%+%+41—,+%+G+%=1，

則4+%%-----F%+g=。，故C正確；

對(duì)于D,令x——1,則(—2-1)=%—%+4------F%—4+4=6561,又％=1,

以%%%----F%—%=6560,%—出+%—“4-----FQ7—。8=—6560,D車昔

故選:AC.

10.AD

【分析】利用橢圓的定義判斷A；利用雙曲線的定義判斷B；求得軌跡與％軸的交點(diǎn)判斷C；

求得軌跡方程判斷D.

【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)點(diǎn)4(-1,0),磯1,0),所以網(wǎng)=2,

又|%+|P@=4>|AS],所以由橢圓的定義知點(diǎn)尸的軌跡為橢圓，故A正確；

線段PA的長(zhǎng)度與線段PB的長(zhǎng)度的差為1<|鈣|=2,則點(diǎn)p的軌跡應(yīng)為雙曲線靠近3點(diǎn)的一

支，故B錯(cuò)誤；

設(shè)點(diǎn)P(x,y),由|上4卜|尸耳=1得J(x+iy+y2.'"一代+y=1,

整理得(無2+2x+l+y?)(/—2x+1+y~)=1,HPx4+y4+2x2y2-2x2+2y2=0,

當(dāng)y=。時(shí)，x4-2x2=0,得x=0或x=+y/2,

故曲線與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，軌跡不為拋物線，故C錯(cuò)誤；

整理得

無？+2尤+1+>2=4(工2—2尤+1+、2)-3X2—10尤+3〉2+3=0=1無一。1+?/=?，

即軌跡是以，，。]為圓心，|■為半徑的圓，故D正確.

故選：AD.

11.ACD

【分析】對(duì)于A,算出各個(gè)線段長(zhǎng)度，將異面直線通過轉(zhuǎn)化化為同面直線，根據(jù)余弦定理求

解即可；對(duì)于B,根據(jù)題意先計(jì)算出四面體&LBC的體積，又因四面體&4AW中一個(gè)底面積

答案第6頁，共25頁

是原來的四分之一，故可求解；對(duì)于C,法一：根據(jù)中位線定理，即可判斷，法二：構(gòu)建空

間坐標(biāo)系，將各點(diǎn)表示出來，同時(shí)設(shè)平面ONC的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),根據(jù)向量運(yùn)算

法則AM=AS+SM，根據(jù)可求解；對(duì)于D,法一：求出所需線段，根據(jù)余弦定

理可求出cos代入求解即可，法二：解出S3,同時(shí)A"=AS+SM,根據(jù)AMJ-S3,

貝1JAM?SB=0,即可求解.

【詳解】由題意可知△SAB是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，SA=SB=SC,AC=3-,BC=3.

11

2=］時(shí)，M為SC的中點(diǎn)，取〃=萬得跖/AMV為直線AM與BC所成角或其補(bǔ)

角，

T7+日+E34口*士工巾-r4HSA~+SC^—AC~36+36—275

又根據(jù)余弦定理可得cosZASC=----------------------=----------------=-，

2SA-SC2x6x68

再根據(jù)余弦定理可求得AM?=SR2+SM2-2SA-SM-cosZASC=36+9-2x6x3x2=竺,

82

所以儂=亞，.=36，MN#="cos/AMN=4言=坐

222①jy/iv)J，u

故A正確；

在Rt^ABC中，AB=6,BC=3,=1X3X3A/3=—,

ABC22

5O±AABC,且5。=3若，則四面體S4BC的體積為'型義3右=0.

322

4=〃=；，M為5r的中點(diǎn)，N為S3的中點(diǎn)，故四面體S4VW體積為四面體SAfiC體積的

27

四分之一，得四面體&WN體積為丁，故B錯(cuò)誤；

O

對(duì)于CD選項(xiàng)：

9

【法一】當(dāng)〃=,時(shí)，取SN的中點(diǎn)尸，則AP〃ON,所以AP〃面ONC

過尸作尸MPCN交SC于M,所以〃面ONC,

此時(shí)M為SC的中點(diǎn)，又因AP,PM相較于點(diǎn)P,

所以面〃面0NC,

得AM〃面ONC,所以％=故C正確；

當(dāng)〃=；時(shí)，AN1SB,

在面SCB內(nèi)過N作NM1SB交SC千M,

答案第7頁，共25頁

ss

則SB_L面AM7V,AM^AMN,

故此時(shí)得到的AM_LS3,

SCB中，SC=SB=2CB=6,

7

由余弦定理得cos/CS8=—,SN=NB=3,NSNM=90°,

8

24

24_

得SM=一,則［4,故D正確.

7Z=-7-=—

67

故選：ACD.

【法二】則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。與48垂直的直線為無軸，分別以O(shè)S所在直線為

）軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得

SM=ASC>SN=//SB（O<A<1,0</2<1）

得SM=1殍2,12,-3732^,SN=（0,3〃,一3島），

AM=AS+SM=（0,3,3^）+—2,-2,-3A/32=—2,-A+3,3A/3-3A/3A

（2-）（2-,

對(duì)于c,〃=|,則SN=（0,2,-2括），ON=OS+SN=（0,2,^3）,

答案第8頁，共25頁

設(shè)平面ONC的一個(gè)法向量為運(yùn)=(x,y,z),

2y+8z=0

nON=U可取"=^—

則'3右，3.1,-\/3,—2^.

n-OC=0-----x+—y=0

I22，

AM//面ONC時(shí)，得AAf.〃=€),+3^/3—3^/321,也,—2)=。

解得2=g.故C正確.

對(duì)于D,58=(0,3,-34)，

AM=AS+SM=(0,3,343)+—2+-A-3>/3A=—A,-2+3,3A^-3^2

',[22JL22J

由AM_LSB得，f-/I-+3,3^3—35/32^0,3,—3A/3j=0,2.故D正確.

故選：ACD.

12.2

【分析】根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，得到6=2x或，結(jié)合離心率的定義，即可

C

求解.

22

【詳解】由雙曲線C：j一斗=1伍＞0,。＞0),可得右焦點(diǎn)/(C,。)，右頂點(diǎn)A(a,o),

ab

b

其中一條漸近線的方程為y=±x,即灰-羽=o,

a

,\ab\ab

則頂點(diǎn)33,0)至IJ6x-ay=。的距曷為&=束亍=一,

亞2+(-4c

焦點(diǎn)尸(G。)到法-今=。的距離為4==b,

J/+(-a)2

ab

由題可得b=2x即c=2a,

所以e=￡=2,所以雙曲線C的離心率為2.

a

故答案為：2.

13.38

【分析】計(jì)算4=(-1)"(2〃-1)正確的前100項(xiàng)和，與算錯(cuò)前100項(xiàng)和比較，可得寫錯(cuò)的項(xiàng),

答案第9頁，共25頁

后由通項(xiàng)公式可得答案.

【詳解】見=(-1)"(2〃-1),設(shè)寫錯(cuò)項(xiàng)為x,則其前100項(xiàng)和為

S=-1+3-5+7-9+11-…+195-197+199

=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+---+(-197+199)=2x50=100.

即S-x+x=100,某項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫錯(cuò)后得前100項(xiàng)和為-50,貝US-x-x=-50

又100-(-50)=S-x+x-(S-x-x)=2x=150x=75.

故寫錯(cuò)的數(shù)為75,令%=(-1)"(2〃-1)=75,解得〃=38.故寫錯(cuò)的是數(shù)列中第38項(xiàng).

故答案為：38

33

14.—C4——CB

2010

【分析】方法一：l^CM=xCB+yCA,貝l]CM=xCB+2yCBnx+2y=1,

33

CM=]尤CO+yC4n5尤+y=l,解關(guān)于羽V的方程組求出x，＞的值，同理得

1?

CN=-CB+-CA,再利用MN=CN-CM即可求解.

1.3

方法二：過點(diǎn)E作EG//M交AC于點(diǎn)G,^AN^-CB--CA,同理過點(diǎn)3作跖的平行

13

線可得，AM=-CB--CA,再利用MN=AV—AM即可求解.

24

,2

方法三：設(shè)=BN=ptBF,則BA+/IAE=尸，結(jié)合=—胡，

BF=-BC+-BA,得到(lT)54+q-8C=?C+?A,從而求出解得4〃的值，即

1-31-3___

AN=-CB--CA,同理可得再結(jié)合MN=4V-AM即可求解.

方法四：特殊三角形法，設(shè)VABC是底為12,高為2的等腰三角形建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，求出MN，C4,CB的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量基本定理即可求解.

【詳解】方法一：

由AD與3月交于A/,CM=xCB+yCACM=xCB+2yCF,

答案第10頁，共25頁

由民"，尸三點(diǎn)共線，則x+2y=l①,

3

由CM=KB+yCA=CM=耳xCO+yCA,

3

由A,",。三點(diǎn)共線，則y+y=l②，

111.1.

①②聯(lián)立，解得工=7，,=:，得函=彳口+了。!.

2424

所以MN=CN—CM=(：C3+|CAHC5+；CA卜之CA/CB,

33

故答案為：—C4—-CB.

2010

方法二：

過點(diǎn)￡作EG//BF交AC于點(diǎn)G，

33<1)13

^AN=-AE=A-CB-CA\=-CB--CA,

同理過點(diǎn)。作DHI/BF交AC于點(diǎn)、H,

BD1FHAF3AM

由OC—2—“CFH~1~MD9

33(2\13

可得AM=?AO=2-CB-CA\=-CB--CAf

答案第11頁，共25頁

則跖V=AN-AM=(』C5-3CA]-1!CB-3CA]=3CA-』C5,

(55八24J2010

33

故答案為：-CA--CB.

方法三：

設(shè)A7V=；IAE，BN=加,則5A+A7V=5N，得3A+2AE=〃8尸，

—.—?211—

又因?yàn)锳E=B石—3A=—5C—BA,BF=-BC+-BA

3229

所以BA+1|8C一BA)="；BC+；呵n(l-2)BA+與=+

.i〃22//々刀砥034

故1―4=耳，,角牛得X=二，"=《，

33門)13

貝|AN=-AE=4-CB-CA\=-CB--CA.

33,2113

同理可得AW=wA0=a§C3—CA=]C5—^CA,

MN=AN-AM=\-CB--CA\-\-CB--CA\=—CA--CB

(55八24J20109

33

故答案為：—CA----CB.

2010

方法四：

特殊三角形法

設(shè)VABC是底為12,高為2的等腰三角形建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

得4(0,2),5(-6,0),C(6,0),￡>(-2,0),E(2,0),*3,1),

得直線AO：y=x+2,直線AE：y=-x+2,直線3尸：y=—x+—

93

(2731

得MN=[正，歷]CA=(-6,2),CB=(-12,0),

(273)

設(shè)iMN=ACA+piCB,I—I=(-62,22)+(—12//,0),

3333

=—,〃=——,所以MN=-C4——CB,

20102010

答案第12頁，共25頁

33

故答案為：—G4--CB.

71

15.(1)-

3

⑵5+近

【分析】(1)將余弦定理代入已知式化簡(jiǎn)即可；

(2)由三角形的面積公式求出秘=6,代入余弦定理可求出a=近，即可求出VA3C的周

長(zhǎng).

【詳解】(1)2a2-2b2=2cacosB-be,

由余弦定理得，c2+a2—b2=laccosB,

所以2(4一。2)=。2+/—片—be,：.b2+c2-a2=be,

.b2+c2-a21

cosA=--------------=—.

2bc2

又A?0,7i),=

(2)因?yàn)閂ABC的面積為封^，即—Z?csinA=—x/?xcxsin—=,

22232

/.be=6.

由余弦定理得6=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=^b+c)2-3Z;c=25-18=7.

解得a=

所以VABC周長(zhǎng)為5+々.

16.(1)證明見解析

【分析】（1）法一：先證再由線面垂直的判定定理證明AC,面SOD,

即可得證；法二：建系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可證明；

（2）法一：建系，由面面角的向量求法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；法二：由面面角的定

義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）法一：證明：如圖所示，取A3中點(diǎn)。，△SAB為等邊三角形，」.SOLAB,

答案第13頁，共25頁

s

又?面SAB垂直于底面ABC。，交線為AB,

得6O_L面ABC。，

又ACu面ABCZ)nSO_LAC.

底面ABCD為直角梯形，AD//BC,AD=AB=2BC,

AD=AB,AO=BC,ZDAO=ZABC=90°,

所以△DAO^AABC,ZBAC=ZADO,ZADO+ZAOD=9Q0,

所以NBAC+NA0D=9O。，得ODJ_AC,

又SOOD=O,得AC,面SOD,SOu面SOD,所以SD_LAC.

法二：取AB中點(diǎn)0,為等邊三角形且垂直于底面，交線為AB,

則SO_LAB,得50，面筋。/),

又因?yàn)锳D〃3C,ADJ.AB,AD=AB=2BC,

可設(shè)鉆=2,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。與BC平行的直線為y軸，分別以03、SO所在直線為X軸和Z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

得S(0,0,石)，A(-l,0,0),c(l,l,o),￡>(-1,2,0)

得AC=(2,l,0),5D=(-1,2,-V3),

所以405。=(2,1,0)(-1,2,-6)=-2+2=0,

答案第14頁，共25頁

得SDLAC.

（2）法一：由（1）知SO1_面ABCZ）,

不妨設(shè)AD=AB=2BC=2,貝”O(jiān)=VL

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。與BC平行的直線為>軸，分別以08、S0所在直線為x軸和z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

得S(0,0,石)，3(1,0,0),c(l,l,o),￡>(-1,2,0)

S3=(l,0,-⑹，SC=(l,L-@,SD=(-1,2,_@；

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為。=(X,y,Z),

nSB=0X-A/3Z=0

則

"?SC=0'x+y-A/3Z=0

可取〃=卜,°，石）；

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為〃?=（占,X，zJ,

m-SC=0玉+%_=0

則,即

SD=0—Xy+2%—A/^Z]—0

設(shè)平面SBC與平面SDC夾角為6,

m-n3xl+V3xV3_A/6

則cos6二卜=j-

|m|x|n|-79+3-71+4+3

所以平面SBC與平面SDC夾角的正弦值為叵.

4

法二：不妨設(shè)AD=AB=25C=2,

△SA5為等邊三角形且垂直于底面A5c。，交線為A5,

答案第15頁，共25頁

底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ADJ.AB,

所以AD，面&LB,

又BC、得BC_L面SAB,

BCu面SBC,得面SBC_L面&4B,交線為SB,

取SB的中點(diǎn)0,則AOLSB,

等邊△SAB邊長(zhǎng)為2,貝！|40=退，

AD//BC,貝!JAD〃面SBC,

則。點(diǎn)到面SBC的距離等于A點(diǎn)到面SBC的距離為G,

因?yàn)锳D_L面&4B,BC_L面&45,SAD,ZXSBC均為直角三角形，AD=AB=2BC=2,

得SO=20,SC=非,CD=y/5.

作DEJ_SC,可得。￡=竺^,

V5

所以平面與平面夾角的正弦值為T.'/io

SBCSDC276"4-

17.(l)y=x+l

⑵單調(diào)遞減區(qū)間為(。,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,—)

(3)Tn0_；,+ooj

【分析】(1)根據(jù)題意求出:(x)=hu+2-g,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得切線斜率7''(1)=1,

可得切線方程；

1o

⑵根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)/(無)=:+5>0可得一階導(dǎo)數(shù)/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又/⑴=0,

可得函數(shù)〃無)的單調(diào)性;

答案第16頁，共25頁

Y

(3)根據(jù)函數(shù)"(x)=x/W--+2hu單調(diào)遞增，則”'(x)20在(0,+e)上恒成立，再分

離參數(shù)可得。2TILT-2，轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)/(x)=xlnx+L+M%〉。)，

得r(x)=lnx+2—《，則/⑴=1,

所以〃元)的圖象在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y=x+1.

(2)因?yàn)楫?dāng)〃=0時(shí)，/(x)=xlnx+—(x>0),

11o

+>0

r(x)=lar+l--J,r(-^)=-7-

所以r(x)=lnx+l-：在(0,+8)上單調(diào)遞增，又尸⑴=0,

故當(dāng)尤e(O,l)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+<?)時(shí)，/，(^)>0,/'(X)單調(diào)遞增,

綜上所述：/'(尤)單調(diào)遞減區(qū)間為(0」)，單調(diào)遞增區(qū)間為。,收).

(3)由/(x)=xlnx+—+辦，且”(%)=%f\x)—+21nx,

x2_

「11]f

得“(x)=xxlnxdax——+21nx=/inx+a/一耳+？]11r+i單調(diào)遞增,

所以H'(x"0在(0,+。)上恒成立，

22

又H'("=2xlwc+x+2ax-x+—=2xinx+lax+—

xx

2

由題意H'(x)N。恒成立，W2xlnx+2ax+->0,

即xlwc+—+ax>0恒成立，得QX2-xiwc--^>a>-\wc--?恒成立，

XXX

設(shè)g(%)=_1nx—r，得g，(x)=_：+N=2:,

XXXX

(0,72)亞(V^,+oo)

g'(x)+0—

8(尤)7極大值-In血--、

2

答案第17頁，共25頁

所以當(dāng)％=&時(shí)，g(x)最大為-111夜-5.

所以。2—lux—^恒成立，得lnV5—.

%22

綜上，若函數(shù)"(x)=x/(x)-|+21ru單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為Tn亞

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，己知函數(shù)>=/(%),彳€卜,/],

(1)若Vxe卜j],總有。4/(x)成立，故°4/(X)而"；

⑵若總有心〃x)成立，故aN/(x)m1K.

X2V2

18.⑴土+匕=1

42

⑵加

【分析】⑴由長(zhǎng)軸|AB|=4=2a,結(jié)合離心率為乎，求出a,b,c,即可求出橢圓C的方程；

⑵方法「由題意當(dāng)直線,斜率不存在時(shí)’直線/方程為應(yīng)、2=2收