共點(diǎn)力的平衡（講義）（解析版）-2025年高考物理一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第07講共點(diǎn)力的平衡

目錄

01、考情透視，目標(biāo)導(dǎo)航

02、知識(shí)導(dǎo)圖、思維引航..............................................3

03、考點(diǎn)突破考法探究................................................3

考點(diǎn)一物體的受力分析.........................................................3

欠口7^^1Jj不中??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3

知識(shí)點(diǎn)2.受力分析的注意事項(xiàng)....................................................4

知識(shí)點(diǎn)3受力分析的一般步驟.....................................................4

考向1應(yīng)用整體法與隔離法處理受力分析問題.......................................4

考向2應(yīng)用狀態(tài)法解決情境化問題中的受力分析問題.................................5

考向3應(yīng)用轉(zhuǎn)化法解決疊加體中的受力分析問題.....................................5

考點(diǎn)二共點(diǎn)力的靜態(tài)平衡........................................................6

知識(shí)點(diǎn)1.共點(diǎn)力的平衡..........................................................6

知識(shí)點(diǎn)2.求解共點(diǎn)力平衡問題的常用方法..........................................6

知識(shí)點(diǎn)3多物體的靜態(tài)平衡問題...................................................7

考向1解答靜態(tài)平衡問題的三種常用方法...........................................7

考向2應(yīng)用整體法和隔離法解決多物體靜態(tài)平衡問題.................................9

考向3立體空間共點(diǎn)力的平衡問題................................................11

考點(diǎn)三動(dòng)態(tài)平衡問題............................................................12

知識(shí)點(diǎn)1動(dòng)態(tài)平衡問題的常見類型................................................12

知識(shí)點(diǎn)2解決動(dòng)態(tài)平衡常用方法..................................................13

考向1應(yīng)用解析法解決動(dòng)態(tài)平衡問題..............................................14

考向2應(yīng)用圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問題..............................................15

考向3應(yīng)用相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題........................................16

考向4應(yīng)用矢量圓法（正弦定理法）解決動(dòng)態(tài)平衡問題.................................18

考點(diǎn)四平衡中的臨界與極值問題.................................................19

知識(shí)點(diǎn)1.臨界、極值問題特征....................................................19

知識(shí)點(diǎn)2.解決極值和臨界問題的三種方法..........................................20

考向1應(yīng)用物理分析法解決平衡中的臨界極值問題.................................20

考向2應(yīng)用數(shù)學(xué)分析法解決平衡中的臨界極值問題.................................21

考向3應(yīng)用極限分析法解決平衡中的臨界極值問題.................................21

04、真題練習(xí)、命題洞見.............................................22

考情清視.目標(biāo)導(dǎo)航

2024?山東?高考物理試題

2024?全國?高考物理試題

考情2024?湖北?高考物理試題

分析2024?河北.高考物理試題

2024?浙江?高考物理試題

2023?河北?高考物理試題

生活中的重力、彈力、摩擦力的平衡，牽引物體、船只、機(jī)器

試題生活實(shí)踐類

人

情境

學(xué)習(xí)探究類斜面以及各類接觸面

目標(biāo)一：熟練掌握受力分析的步驟，會(huì)靈活應(yīng)用整體法、隔離法并結(jié)合牛頓第

復(fù)習(xí)

目標(biāo)三定律進(jìn)行受力分析。

目標(biāo)二：理解共點(diǎn)力平衡的條件，會(huì)解決共點(diǎn)力平衡問題。

四種方法：整體法、隔離法、狀態(tài)法、轉(zhuǎn)換法

受力分析

分析順序：一重、二彈、三摩擦、四其他

—物體靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)

|F合=0或尸x=0,乃，=0—

共點(diǎn)力的平衡

e—>合成法、分解法、三角形法

匐3

考點(diǎn)突破?考法探究

考點(diǎn)一物體的受力分析

知識(shí)點(diǎn)1受力分析的四種方法

整體法將加速度相同的幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的物體看作一個(gè)整體進(jìn)行受力分析的方法

隔離法將所研究的對(duì)象從周圍的物體中分離出來，單獨(dú)進(jìn)行受力分析的方法

狀態(tài)法受力分析時(shí)，若一時(shí)不能確定某力是否存在或無法判斷該力的方向，可先分

析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和除此力外物體所受的其他力，根據(jù)其他力與物體的運(yùn)動(dòng)

狀態(tài)是否相符來判斷

在受力分析時(shí)，若不能確定某力是否存在，則

(1)可以轉(zhuǎn)換為分析該力的反作用力，根據(jù)其反作用力是否存在，判斷該力是

轉(zhuǎn)換法否存在

(2)可以轉(zhuǎn)換為分析與該力相關(guān)的其他研究對(duì)象,通過對(duì)其他研究對(duì)象進(jìn)行受

力分析，判斷該力是否存在

知識(shí)點(diǎn)2.受力分析的注意事項(xiàng)

(1)不要把研究對(duì)象所受的力與研究對(duì)象對(duì)其他物體的作用力混淆。養(yǎng)成按照一定順序?qū)ρ芯繉?duì)象進(jìn)行

受力分析的習(xí)慣。

(2)涉及彈簧彈力時(shí)，要注意拉伸或壓縮可能性分析。分析摩擦力時(shí)要特別注意摩擦力的方向。

(3)除了根據(jù)力的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行判斷，假設(shè)法是判斷彈力、摩擦力有無及方向的常用方法。

(4)善于轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，尤其是彈力、摩擦力的方向不易判定的情形，可以分析與其接觸物體的受力，

再應(yīng)用牛頓第三定律判定。

知識(shí)點(diǎn)3受力分析的一般步驟

考向洞察

考向1應(yīng)用整體法與隔離法處理受力分析問題

1.完全相同的直角三角形滑塊A、B,按如圖所示放置，設(shè)A、8接觸的斜面光滑，A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)

為〃，斜面傾角6=30。，現(xiàn)在2上作用一水平推力R恰好使A、2一起在桌面上勻速運(yùn)動(dòng)，且A、8保持

相對(duì)靜止。則A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃為()

ZZ/ZZ7Z//ZZZ/Z/Z///Z/ZZ

A.小

OBTJ

C近D近

J4u-3

【答案】A

【解析工對(duì)整體受力分析，在水平方向上受推力和滑動(dòng)摩擦力，有尸=2〃%g；對(duì)2受力分析，8受到重

力、推力廠和支持力，根據(jù)共點(diǎn)力平衡有tan。=翟，聯(lián)立解得〃=電乎=*，故B、C、D錯(cuò)誤，A正確。

考向2應(yīng)用狀態(tài)法解決情境化問題中的受力分析問題

2.如圖所示是翠鳥俯沖捕捉小魚的精彩畫面。如果整個(gè)俯沖過程翠鳥做加速直線運(yùn)動(dòng),

用。表示翠鳥，G表示翠鳥受到的重力，尸表示空氣對(duì)它的作用力，下列四幅圖中

能正確表示此過程中翠鳥受力情況的是（）

G

ABD

【答案】A

【解析］根據(jù)題意，翠鳥做加速直線運(yùn)動(dòng)，所以翠鳥所受合力方向與速度方向相同，根據(jù)平行四邊形定

則分析可知只有A選項(xiàng)中，重力與廠的合力的方向有可能與速度方向相同，B、C、D中合力的方向一定與

速度方向有夾角，翠鳥不可能做直線運(yùn)動(dòng)。所以A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

考向3應(yīng)用轉(zhuǎn)化法解決疊加體中的受力分析問題

3.（多選）如圖所示，在恒力廠作用下，。、6兩物體一起沿粗糙豎直墻面勻速向上運(yùn)動(dòng)，則關(guān)于它們的受力

情況，下列說法正確的是（）

A.。一定受到4個(gè)力

B.b可能受到4個(gè)力

C.。與墻壁之間一定有彈力和摩擦力

D.。與b之間一定有摩擦力

【答案】AD

【解析】：將。、b看成整體，其受力圖如圖甲所示，說明。與墻壁之間沒有彈力和摩擦力作用；對(duì)物體b

進(jìn)行受力分析，如圖乙所示，6受到3個(gè)力作用，再對(duì)物體a分析，可知。受到4個(gè)力作用，A、D正確。

【題后反思】

受力分析的三個(gè)技巧

(1)不要把研究對(duì)象所受的力與研究對(duì)象對(duì)其他物體的作用力混淆。

(2)除了根據(jù)力的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行判斷，假設(shè)法是判斷彈力、摩擦力的有無及方向

的常用方法。

(3)善于轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，尤其是在彈力、摩擦力的方向不易判定的情形中，可以分

析與其接觸物體的受力，再應(yīng)用牛頓第三定律判定。

______________________________________________________________________________

考點(diǎn)二共點(diǎn)力的靜態(tài)平衡

知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1.共點(diǎn)力的平衡

(1)平衡狀態(tài)：物體靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)平衡條件：月合=Q或冗=。，F(xiàn)v=0o

(3)常用推論

①若物體受n個(gè)作用力而處于平衡狀態(tài)，則其中任意一個(gè)力與其余5—1)個(gè)力的合力大小相等、方向相反。

②若三個(gè)共點(diǎn)力的合力為零，則表示這三個(gè)力的有向線段首尾相接組成一個(gè)封閉三角形。

知識(shí)點(diǎn)2.求解共點(diǎn)力平衡問題的常用方法

(1)合成法：一個(gè)力與其余所有力的合力等大反向，常用于非共線三力平衡。

(2)正交分解法：氏含=0,3合=0,常用于多力平衡。

(3)矢量三角形法：把表示三個(gè)力的有向線段構(gòu)成一個(gè)閉合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形。

知識(shí)點(diǎn)3多物體的靜態(tài)平衡問題

(1).多物體平衡問題的常用解題方法

整體法是指將相互關(guān)聯(lián)的各個(gè)物體看成一個(gè)整體的方法。整體法的優(yōu)點(diǎn)在于只需

整體法

要分析整個(gè)系統(tǒng)與外界的關(guān)系，避開了系統(tǒng)內(nèi)部繁雜的相互作用。

隔離法是指將某物體從周圍物體中隔離出來，單獨(dú)分析該物體的方法。隔離法的

隔離法優(yōu)點(diǎn)在于能把系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體所處的狀態(tài)、物體狀態(tài)變化的原因以及物體間的相

互作用關(guān)系表達(dá)清楚。

(2).整體法和隔離法的靈活選擇

(1)當(dāng)分析相互作用的兩個(gè)或兩個(gè)以上物體整體的受力情況及分析外力對(duì)系統(tǒng)的作用時(shí)，宜用整體法。

(2)在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體(或一個(gè)物體各部分)間的相互作用時(shí)，宜用隔離法。

(3)整體法和隔離法不是獨(dú)立的，對(duì)一些較復(fù)雜問題，通常需要多次選取研究對(duì)象，交替使用整體法和隔離

法。

考向洞察

考向1解答靜態(tài)平衡問題的三種常用方法

1.質(zhì)量為機(jī)的小球，用細(xì)線懸掛在豎直的墻壁上，細(xì)線與墻壁的夾角為60。，如圖甲所示，當(dāng)小球受

到拉力西時(shí)，拉力與細(xì)線的夾角為120。，小球正好靜止不動(dòng)，細(xì)線拉力為尸甲。如圖乙所示，當(dāng)小球受到

拉力巳時(shí)，拉力與細(xì)線的夾角為150。，小球正好靜止不動(dòng)，細(xì)線拉力為廠乙，重力加速度為g,下列等式正

確的是()

h

BNB

甲乙

A.Fi=mgB.F2=2mg

C._F甲D.F乙=4^18

【答案】A

【解析】法一合成法

對(duì)甲圖中小球受力分析，如圖(1)所示。小球處于平衡狀態(tài)，由合成法可得拉力月=；咫，F(xiàn)v=mg,故A正

確，C錯(cuò)誤；

對(duì)乙圖中小球受力分析，如圖(2)所示，小球處于平衡狀態(tài)，由合成法可得F2=mgtan60。=事mg,F乙

=2mg,故B、D錯(cuò)誤。

法二正交分解法

對(duì)甲圖中小球受力分析，建立坐標(biāo)系，分解為和F甲，如圖(3)所示,

x軸方向：Asin60°=/甲sin60。

y軸方向：Ficos60°+Fcos60°=mg

聯(lián)立解得尸i=P甲=加g,故A正確，C錯(cuò)誤；

對(duì)乙圖中小球受力分析，建立坐標(biāo)系，分解/乙，如圖(4)所示，

無軸方向：Fi—Fz.sin60°

>軸方向：Fz,cos60°=mg

聯(lián)立解得尸2=小〃際，F(xiàn)乙=2mg,故B、D錯(cuò)誤。

【題后反思】

1.合成法：物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡，則任意兩個(gè)力的合力一定與第三個(gè)力大小

相等，方向相反。

2.效果分解法：物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡，將某一個(gè)力按作用效果分解，則其分

力和其他兩個(gè)力滿足平衡條件。

3.正交分解法：物體受到三個(gè)或三個(gè)以上共點(diǎn)力的作用而平衡時(shí)，將物體所受的力沿互相

垂直的方向分解，每個(gè)方向上的力都滿足力的平衡條件。

2.(2024?德州高三聯(lián)考)如圖所示，一玻璃清潔工人坐在簡易的小木板上，通過樓頂?shù)幕喓洼p質(zhì)

繩索0A在豎直平面內(nèi)緩慢下降。工人兩腿并攏伸直，腿與豎直玻璃墻的夾角￡=53。，在下降過程中￡角

保持不變。玻璃墻對(duì)腳的作用力始終沿腿方向，小木板BC保持水平且與玻璃墻平行。某時(shí)刻輕繩OA與豎

直玻璃墻的夾角a=37。，連接小木板的兩等長輕繩AB、AC的夾角6=120。，且與OA在同一傾斜平面內(nèi)。

已知工人及工具的總質(zhì)量%=60kg,小木板的質(zhì)量可忽略不計(jì)。工人在穩(wěn)定且未擦墻時(shí)，下列說法正確的

是(g取10m/s2)()

A.從該時(shí)刻起，工人在緩慢下移的過程中，腳對(duì)墻的作用力增大

B.從該時(shí)刻起，工人在緩慢下移的過程中，繩OA的彈力增大

C.此時(shí)若工人不觸碰輕繩，小木板受的壓力大小為360N

D.此時(shí)若工人不觸碰輕繩，繩A8的張力大小為600N

【答案】B

把工人與小木板視為整體(可看作質(zhì)點(diǎn))，受到豎直向下的重力、墻對(duì)腳的作用力B和輕繩OA的拉力F”

處于平衡狀態(tài)，三力可組成力的矢量三角形，如圖甲所示，工人緩慢下移的過程中，輕繩OA與豎直方向的

夾角減小，墻對(duì)腳的作用力方向不變，兩力之間的夾角由90。逐漸減小，由圖可知，繩OA的彈力逐漸增大，

墻對(duì)腳的作用力逐漸減小，由牛頓第三定律可知腳對(duì)墻的作用力逐漸減小,故A錯(cuò)誤,B正確。由于a=37。，

。=53。,此時(shí)若工人不觸碰輕繩，B=sgsina,小木板受的壓力大小等于〃zg—RcosS=384N,故C錯(cuò)誤；

F2

連接小木板的兩等長輕繩AB、AC的夾角0=120。，所以繩AB的張力大小7=;^市=480N,D錯(cuò)誤。

【題后反思】對(duì)受三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡的物體，將力的矢量圖平移使三力組成一個(gè)首尾依

次相接的矢量三角形，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)求解未知力。

考向2應(yīng)用整體法和隔離法解決多物體靜態(tài)平衡問題

3.(2024?廣東模擬預(yù)測(cè))如圖所示，質(zhì)量為m的正方體A和質(zhì)量為M的正方體B放在兩豎直墻和水平面間，

處于靜止?fàn)顟B(tài)。A和B的接觸面與豎直方向的夾角為a,重力加速度為g,若不計(jì)一切摩擦，下列說法正確

的是（）

A.水平面對(duì)正方體B的彈力大于（M+m）g

B.水平面對(duì)正方體B的彈力大小為（M+Mgcosa

C.墻面對(duì)正方體A的彈力大小為mgtana

D.墻面對(duì)正方體B的彈力大小為梟

Ldll（X

【答案】D

【解析】對(duì)A和B構(gòu)成的整體進(jìn)行受力分析，如圖甲所示，整體受重力（M+〃z）g、水平面的支持力尸N、

兩墻面的支持力匹A和FNB，由于兩正方體受力平衡，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，水平面對(duì)正方體B的彈力大小

為FN=（M+，〃）g,故A、B錯(cuò)誤；隔離A,對(duì)A進(jìn)行受力分析，受重力mg、墻面的支持力珠4、2的支持

力FNBA，如圖乙所示，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件有，豎直方向mg=FNBAsina,水平方向FNA=PNBACOSa,解得

尸*丑，即墻面對(duì)正方體A的彈力大小等于丑，故C錯(cuò)誤；由整體法可知FNB=FNA，則墻面對(duì)正方

ldll（AtallCX,

體8的彈力大小為尸詼=黑，故D正確。

Ldll（X

4.（2022?浙江1月選考）如圖所示，水平放置的電子秤上有一磁性玩具，玩具由啞鈴狀物件尸和左端有玻

璃擋板的凹形底座Q構(gòu)成，其重量分別為GP和G。。用手使尸的左端與玻璃擋板靠近時(shí)，感受到尸對(duì)手有

靠向玻璃擋板的力，P與擋板接觸后放開手，P處于“磁懸浮”狀態(tài)（即產(chǎn)和。的其余部分均不接觸），P與Q

間的磁力大小為幾下列說法正確的是（）

A.Q對(duì)尸的磁力大小等于GP

B.P對(duì)。的磁力方向豎直向下

C.0對(duì)電子秤的壓力大小等于G°+F

D.電子秤對(duì)。的支持力大小等于Gp+G。

【答案】D

【解析工由題意可知，用手使尸的左端與玻璃擋板靠近時(shí)，感受到P對(duì)手有靠向玻璃擋板的力，即Q

對(duì)尸有水平向左的磁力；尸與擋板接觸后放開手，P處于“磁懸浮”狀態(tài)，則說明。對(duì)P有豎直向上的磁力，

則。對(duì)P的磁力方向斜向左上方,其大小大于GP,根據(jù)牛頓第三定律可知,P對(duì)。的磁力方向斜向右下方，

A、B錯(cuò)誤；對(duì)P和。的整體受力分析，豎直方向電子秤對(duì)。的支持力大小等于GP+G°,即。對(duì)電子秤

的壓力大小等于GP+G°,C錯(cuò)誤，D正確。

【題后反思】處理多物體平衡問題的技巧

（1）合理選擇研究對(duì)象：在分析兩個(gè)或兩個(gè)以上物體間的相互作用時(shí)，一般采用整體法與隔離法

進(jìn)行分析，在使用時(shí)有時(shí)需要先整體再隔離，有時(shí)需要先隔離再整體，交替使用整體法和隔離

法。

（2）轉(zhuǎn)移研究對(duì)象：用隔離法直接分析一個(gè)物體的受力情況不方便時(shí)，可轉(zhuǎn)移研究對(duì)象，先隔離

分析相互作用的另一個(gè)物體的受力情況，再根據(jù)牛頓第三定律分析該物體的受力情況。

考向3立體空間共點(diǎn)力的平衡問題

1.（2024?浙江模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，用桿秤稱量中藥。三根長度相同的細(xì)繩對(duì)稱地系于圓形秤盤上。中藥和

秤盤的總質(zhì)量為機(jī)，則當(dāng)桿秤穩(wěn)定時(shí)（）

A.每根細(xì)繩的拉力大小為鬻

B.增加細(xì)繩長度時(shí)每根繩拉力均減少

C.增加細(xì)繩長度時(shí)秤坨應(yīng)向右移動(dòng)

D.增加細(xì)繩長度時(shí)手對(duì)秤拉力增大

【答案B

【解析】設(shè)每根細(xì)繩與豎直方向的夾角為仇根據(jù)受力平衡有3Fpcos6="g,可得瓦=課0＞等，故A

錯(cuò)誤；增加細(xì)繩長度時(shí)，細(xì)繩與豎直方向的夾角。變小，貝Ucos6變大，每根繩拉力均減少，故B正確；增

加細(xì)繩長度時(shí)，桿右端受到拉力大小等于中藥和秤盤的總重力機(jī)g保持不變，則秤坨位置不變，手對(duì)秤拉力

不變，故C、D錯(cuò)誤。

2.（2024?沈陽市高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)）如圖甲所示為一直角斜槽，斜槽的棱MN與水平面的夾角為仇兩槽面關(guān)于豎

直面對(duì)稱。圖乙是斜槽的截面圖，一個(gè)橫截面為正方形的物塊恰能沿此斜槽勻速下滑。若兩槽面的材料相

同，則物塊和槽面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（）

甲乙

C.tan0D.也tan0

【答案】B

【解析】對(duì)物塊受力分析，如圖所示，在垂直于斜槽的平面內(nèi)，有2瓜cos45。=相geos仇在物塊下滑方

向，有2a=mgsin仇其中衣=〃人，聯(lián)立解得〃=0,B正確。

mgsin0

乙

考點(diǎn)三動(dòng)態(tài)平衡問題

知識(shí)點(diǎn)1動(dòng)態(tài)平衡問題的常見類型

動(dòng)態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。常用方法:

圖解法、解析法、相似三角形法、輔助圓法、正弦定理法。

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動(dòng)態(tài)平衡問題

(1)一個(gè)力恒定，另一個(gè)力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形,

分析力的大小變化，如圖甲所示。

(2)一力恒定，另一力與恒定的力不垂直但方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化,

在變化過程中恒力之外的兩力垂直時(shí)，會(huì)有極值出現(xiàn)，如圖乙所示。

葉一恒力

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動(dòng)態(tài)平衡問題

一力恒定(如重力)，其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構(gòu)成

的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實(shí)際幾何三角形相似，則對(duì)應(yīng)邊比值相等。

基本矢量圖，如圖所示

c

mg

苴夫壬左TmgFNFT

基本關(guān)系式：H-R+r~Lo

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動(dòng)態(tài)平衡問題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對(duì)應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動(dòng)，可保持圓心角不變,

根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

知識(shí)點(diǎn)2解決動(dòng)態(tài)平衡常用方法

1.解析法

對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據(jù)物體的平衡條件，得到因變量與自變量的關(guān)系

表達(dá)式（通常要用到三角函數(shù)），最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。

2.圖解法

此法常用于求解三力平衡且有一個(gè)力是恒力、另有一個(gè)力方向不變的問題。一般按照以下流程解題：

3.相似三角形法

在三力平衡問題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多

數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算。

4.做題流程

畫不同狀態(tài)下

受力化“動(dòng)”為“靜”“靜”中求“動(dòng)”

分析一的平衡圖構(gòu)造

矢量三角形

定性分析根據(jù)矢量二角形邊長關(guān)系確定矢量

的大小變化

'三角函數(shù)關(guān)系

定量計(jì)算

正弦定理一找關(guān)系求極值

才目似三角形

--------------MHHH,

考向洞察」

考向1應(yīng)用解析法解決動(dòng)態(tài)平衡問題

1.（2024年1月?安徽高考適應(yīng)性演練）如圖所示，輕繩1兩端分別固定在M、N兩點(diǎn)（N點(diǎn)在M點(diǎn)右上

方），輕繩1上套有一個(gè)輕質(zhì)的光滑小環(huán)。，質(zhì)量為廢的物塊尸通過另一根輕繩2懸掛在環(huán)的下方，處于靜

止?fàn)顟B(tài)，/MON=60?！，F(xiàn)用一水平向右的力尸緩慢拉動(dòng)物塊，直到輕繩2與連線方向垂直。已知重力

加速度為g。下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.施加拉力廠前，輕繩1的張力大小為

B.物塊在緩慢移動(dòng)過程中，輕繩2的延長線始終平分

C.物塊在緩慢移動(dòng)過程中，輕繩2的張力越來越大

D.物塊在緩慢移動(dòng)過程中，輕繩1的張力可能先增大后減小

【答案】D

【解析】：施加拉力尸前，以小環(huán)。為對(duì)象進(jìn)行受力分析，其受到輕繩2的拉力等于物塊P的重力機(jī)g,

豎直方向根據(jù)受力平衡可得2Ticos30o=mg,解得輕繩1的張力大小為Ti=坐mg,故A正確，不滿足題意

要求；物塊在緩慢移動(dòng)過程中，以小環(huán)。為對(duì)象，由于小環(huán)。兩側(cè)輕繩1的張力大小總是相等，則小環(huán)O

兩側(cè)輕繩1的張力合力沿NMON平分線,根據(jù)受力平衡可知，輕繩2的延長線始終平分/MON,故B正確，

不滿足題意要求；物塊在緩慢移動(dòng)過程中，輕繩2與豎直方向的夾角。逐漸增大，以物塊為對(duì)象，根據(jù)受

力平衡可得72cos6=7咫，可知八=看荒，可知輕繩2的張力越來越大，故C正確，不滿足題意要求；物塊

在緩慢移動(dòng)過程中，由于M、N之間的輕繩1長度不變，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，小環(huán)O的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，

M.N為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)輕繩2與連線方向垂直時(shí)，小環(huán)。剛好位于橢圓的短軸頂點(diǎn)上，根據(jù)橢

圓知識(shí)可知此時(shí)/MON最大，則此過程/MON=a逐漸增大，以小環(huán)。為對(duì)象，根據(jù)受力平衡可得2TJcos

^=T2,可得"=一氣，可知此過程輕繩1的張力一直增大，故D錯(cuò)誤，滿足題意要求。故選D。

2cos2

2.（2024?昆明高三“三診一?！保┕r(nóng)設(shè)計(jì)分揀橙子的簡易裝置如圖所示。兩細(xì)桿間上窄下寬、與水平地

面所成的夾角相同。橙子從裝置頂端由靜止釋放，大小不同的橙子會(huì)在不同位置落到不同的水果筐內(nèi)。橙

子可視為球體，假設(shè)細(xì)桿光滑，：不考慮橙子轉(zhuǎn)動(dòng)帶來的影響。某個(gè)橙子從靜止開始下滑到離開細(xì)桿的過程

中，受到每根細(xì)桿的支持力（）

A.變大B.變小C.不變D.無法確定

【答案】A

【解析】：設(shè)兩細(xì)桿所在平面與水平面夾角為a,根據(jù)對(duì)稱性可知，兩個(gè)細(xì)桿對(duì)橙子的支持力大小相

等，方向均垂直于細(xì)桿且過橙子的重心，因兩細(xì)桿間上窄下寬，故橙子重心與兩細(xì)桿所在平面的距離越來

越小，兩個(gè)細(xì)桿對(duì)橙子的支持力與兩細(xì)桿所在平面的夾角6越來越小，而兩個(gè)支持力的合力與重力垂直運(yùn)

動(dòng)方向的分力平衡，即2Nsin9=Gcosa,可得橙子受到每根細(xì)桿的支持力N=誓箸，支持力N越來越大。

故選Ao

【題后總結(jié)】

1.對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。

2.根據(jù)物體的平衡條件列式，得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式（通常要用到三角函數(shù)）。

3.根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。

考向2應(yīng)用圖解法解決動(dòng)態(tài)平衡問題

3.圖1是工人把貨物運(yùn)送到房屋頂端的場(chǎng)景，簡化圖如圖2所示，繩子跨過定滑輪拉動(dòng)貨物A,沿傾角為。

的玻璃棚緩慢向上移動(dòng)，忽略貨物所受摩擦阻力，則下列說法正確的是（）

A.貨物A對(duì)玻璃棚的壓力不變

B.貨物A對(duì)玻璃棚的壓力越來越大

C.繩子的拉力越來越大

D.繩子的拉力越來越小

【答案】C

【解析】對(duì)貨物A受力分析，其動(dòng)態(tài)圖如圖所示。

貨物緩慢向上移動(dòng)，則拉力方向與豎直方向的夾角減小，由圖可知，繩子的拉力越來越大。同時(shí)，玻璃棚

對(duì)貨物的支持力變小，由牛頓第三定律知，貨物A對(duì)玻璃棚的壓力越來越小。故C項(xiàng)正確。

4.如圖所示，傾角為0=30。、面光滑的斜面體放在水平地面上，一個(gè)重為G的小球在彈簧測(cè)力計(jì)的水平

拉力F作用下靜止在斜面上?，F(xiàn)沿逆時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧測(cè)力計(jì)，直到彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)等于初始值，

在此過程中，小球與斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。下列說法正確的是（）

A.力F先變大后變小

B.地面對(duì)斜面體的支持力一直變大

C.地面對(duì)斜面體的摩擦力一直變小

D.斜面體對(duì)小球的支持力一直變大

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，作出小球受力的矢量三角形，如圖所示，從圖中可看出力/先減小再增大，斜面體

對(duì)球的支持力一直減小，故A、D錯(cuò)誤；設(shè)斜面體的質(zhì)量為m,對(duì)整體分析，豎直方向上有FN—（mg+G）

~Fy,水平方向上有現(xiàn)沿逆時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧測(cè)力計(jì)，則R一直增大，巴一直減小，則/N

一直減小，”一直減小，故B錯(cuò)誤，C正確。

考向3應(yīng)用相似三角形法解決動(dòng)態(tài)平衡問題

5.如圖所示，豎直墻壁。處用光滑錢鏈錢接一輕質(zhì)桿的一端，桿的另一端固定小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)），輕繩的

一端懸于尸點(diǎn)，另一端與小球相連。已知輕質(zhì)桿長度為R,輕繩的長度為L且R<L<2R。A、8是墻上兩

點(diǎn)，且。4=。8=凡現(xiàn)將輕繩的上端點(diǎn)尸沿墻壁緩慢下移至A點(diǎn)，此過程中輕繩對(duì)小球的拉力尸1及輕質(zhì)

桿對(duì)小球的支持力F2的大小變化情況為（）

B

A.B和&均增大

B.八保持不變，&先增大后減小

C.為和B均減小

D.丹先減小后增大，B保持不變

【答案】A

【解析】：小球受重力、輕繩的拉力和輕桿的支持力，由于平衡，三個(gè)力可以構(gòu)成矢量三角形，如圖所示。

根據(jù)平衡條件，該力的矢量三角形與幾何三角形尸OC相似，貝第熱G=牛F、="F，，解得尸產(chǎn)I//&=^RG,

rULi\rUrU

當(dāng)尸點(diǎn)下移時(shí)，尸。減小，L、R不變，故B增大，尸2增大。

6.如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)的最高點(diǎn)有一個(gè)光滑的小孔。質(zhì)量為小的小球套在圓環(huán)上，一

根細(xì)線的下端系著小球，上端穿過小孔用手拉住?，F(xiàn)拉動(dòng)細(xì)線，使小球沿圓環(huán)緩慢上移，在移動(dòng)過程中，

手對(duì)細(xì)線的拉力F和圓環(huán)對(duì)小球的彈力FN的大小變化情況是（）

A/不變，F(xiàn)N增大B.F不變，尺減小

C.F減小，入不變D.F增大,FN減小

【答案】C

【解析】小球沿圓環(huán)緩慢上移可看成小球始終受力平衡，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，作出受力示意圖如圖所示，

由三角形相似，得磊=￡=冬，當(dāng)A點(diǎn)上移時(shí)，半徑R不變，A8長度減小，故尸減小，尺不變，故C正

KADK

確。

考向4應(yīng)用矢量圓法（正弦定理法）解決動(dòng)態(tài)平衡問題

7.某中學(xué)為增強(qiáng)學(xué)生體魄，組織學(xué)生進(jìn)行多種體育鍛煉。在某次鍛煉過程中，一學(xué)生將鉛球置于兩手之間，

其中兩手之間夾角為60。。保持兩手之間夾角不變，將右手由圖8所示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置。不計(jì)

一切摩擦，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是（）

A.右手對(duì)鉛球的彈力增大

B.右手對(duì)鉛球的彈力先增大后減小

C.左手對(duì)鉛球的彈力增大

D.左手對(duì)鉛球的彈力先增大后減小

【答案】B

【解析】法一矢量圓法

以鉛球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力G、右手對(duì)鉛球的彈力為外和左手對(duì)鉛球的彈力為尸2,受力分析如圖所示，緩

慢旋轉(zhuǎn)過程中處于平衡狀態(tài)，則將三力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60。不變，則兩

力之間的夾角保持120。不變，則在三角形中，B與％夾角保持60。不變，重力G的大小方向不變，作出力

三角形的外接圓，根據(jù)弦所對(duì)的圓周角都相等，則右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置過程中力的三角

形變化如圖所示，分析可得B開始小于直徑，當(dāng)轉(zhuǎn)過30。時(shí)B等于直徑，再轉(zhuǎn)時(shí)又小于直徑，所以品先增

大后減小，/2開始就小于直徑，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中一直減小，選項(xiàng)B正確。

法二正弦定理法

以鉛球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力G、右手對(duì)鉛球的彈力為尸1及左手對(duì)鉛球的彈力為尸2,受力分析如圖所示，緩

慢旋轉(zhuǎn)過程中處于平衡狀態(tài)，則將三力平移后構(gòu)成一首尾相連的三角形，兩手之間夾角保持60。不變，右手

GFi

由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)的角度設(shè)為o,轉(zhuǎn)動(dòng)過程始終處于平衡狀態(tài)，根據(jù)正弦定理有就兩=」，二;

SUIUUS1I1\OUIU）

（60：_@），右手由圖示位置緩慢旋轉(zhuǎn)60。至水平位置過程中0由0。變?yōu)?0°,sin（6（r+0）先變大再變小,

所以B先增大后減小，sin（60。-8）一直變小，所以用一直減小，選項(xiàng)B正確。

【題后反思】

1.矢量圓：如圖所示，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡，其中一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的

夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不變，可以作出動(dòng)態(tài)圓（也可以由正弦定理列式求

解），恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

~~—

居

2.正弦定理：

如圖所示，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)，則三個(gè)力中任意一個(gè)力的大小與另外兩個(gè)力的夾角

的正弦成正比，即懸=磊=熱。

考點(diǎn)四平衡中的臨界與極值問題

知識(shí)點(diǎn)L臨界、極值問題特征

（1）臨界問題：當(dāng)某物理量變化時(shí)，會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”

或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好’等語言敘述。

①由靜止到運(yùn)動(dòng)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

②繩子恰好繃緊，拉力F=0。

③剛好離開接觸面，支持力FN=0。

（2）極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。

知識(shí)點(diǎn)2.解決極值和臨界問題的三種方法

正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界

極限

條件必須在變化中尋找，不能在一個(gè)狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個(gè)物

法

理量推向極大或極小

數(shù)學(xué)通過對(duì)問題的分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系（畫出函數(shù)

分析圖像），用數(shù)學(xué)方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極

法值）

物理分析根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對(duì)物理過程的分析，利用平行四

法邊形定則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值

考向洞察

考向1應(yīng)用物理分析法解決平衡中的臨界極值問題

根據(jù)平衡條件作出力的矢量圖，若只受三個(gè)力，則這三個(gè)力能構(gòu)成封閉矢量三角形，然后根據(jù)矢量圖

進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值。

1.（2024?遼寧沈陽模擬）如圖所示，一根長為/的細(xì)繩一端固定在。點(diǎn)，另一端懸掛質(zhì)量為根的小球

A,為使細(xì)繩與豎直方向夾角為30。且繃緊，小球A處于靜止，則需對(duì)小球施加的最小力等于（）

A.y[3mgB.

C.D.坐加g

【答案】B

【解析如圖所示

小球受到重力sg、細(xì)繩拉力FT及另一拉力R將Fr與尸合成，該合力與重力平衡。由圖可以看出，

當(dāng)尸與Fr垂直時(shí)，P最小，等于wigsin30。=品8，故選B。

考向2應(yīng)用數(shù)學(xué)分析法解決平衡中的臨界極值問題

根據(jù)物體的平衡條件列方程，在解方程時(shí)利用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值。通常用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有二次函數(shù)求極

值、討論公式求極值、三角函數(shù)求極值以及幾何法求極值等。

2.（2022?浙江1月選考）如圖所示，學(xué)校門口水平地面上有一質(zhì)量為根的石墩，石墩與水平地面間的動(dòng)摩擦

因數(shù)為〃，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動(dòng)石墩時(shí)，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為0,則下列說法

正確的是（）

A.輕繩的合拉力大小為翳

B.輕繩的合拉力大小為一胃腎.百

cos夕十“sin0

C.減小夾角0,輕繩的合拉力一定減小

D.輕繩的合拉力最小時(shí)，地面對(duì)石墩的摩擦力也最小

【答案】B

【解析】：設(shè)輕繩的合拉力為T,地面對(duì)石墩的支持力為M對(duì)石墩受力分析，由平衡條件可知Teos9=f,

f=fiN,Tsin0+N=mg,聯(lián)立解得T=

cos6*+〃sinO,A錯(cuò)誤，B正確；輕繩的合拉力大小為T=c°s機(jī)器sin。

出ng

可知當(dāng)9+9=90。時(shí)，輕繩的合拉力有最小值，即減小夾角仇輕繩的合拉力不一定減

、l+〃2sin(e+(p)，

小,c錯(cuò)誤；摩擦力大小為尸Teos:廠瑞然可知增大夾角仇摩擦力一直減小,當(dāng)。

趨近于90。時(shí)，摩擦力最小，故輕繩的合拉力最小時(shí)，地面對(duì)石墩的摩擦力不是最小，D錯(cuò)誤。

考向3應(yīng)用極限分析法解決平衡中的臨界極值問題

首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界條件必須在變化中去

尋找，不能停留在一個(gè)狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小。

3.如圖1所示，筷子是中國人常用的飲食工具，也是中華飲食文化的標(biāo)志之一。筷子在先秦時(shí)稱為“梗”，

漢代時(shí)稱“箸”，明代開始稱“筷”。如圖2所示，用筷子夾質(zhì)量為機(jī)的小球，筷子均在豎直平面內(nèi)，且筷子

和豎直方向的夾角均為仇為使小球靜止，求每根筷子對(duì)小球的壓力N的取值范圍。已知小球與筷子之間的

動(dòng)摩擦因數(shù)為〃@<tan6）,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。

【答案】：—:~,-----WNW—:~------

?2(sin0+//COS6)2(sin。一“cos6)

【解析】：筷子對(duì)小球的壓力太小時(shí)，小球有下滑的趨勢(shì)，最大靜摩擦力沿筷子向上，如圖甲所示。

小球平衡時(shí)，W2^sin<9+2/cos6=mg,f=pN

聯(lián)立解得麗湍即

筷子對(duì)小球的壓力太大時(shí)，小球有上滑的趨勢(shì)，最大靜摩擦力沿筷子向下，如圖乙所示

mg

乙

小球平衡時(shí)，有2Msin0=mg+2fcosa

聯(lián)立解得N'=2(sin^cos.)

綜上，筷子對(duì)小球的壓力的取值范圍為：

______咽______VNV_______蟹______

2(sin0+//COS'ZGin。一〃cos0)°

1.(2024?山東?高考真題)如圖所示，國產(chǎn)人形機(jī)器人“天工”能平穩(wěn)通過斜坡。若它可以在傾角不大于30。

的斜坡上穩(wěn)定地站立和行走，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則它的腳和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)不能小于

D.

蒼2

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可知機(jī)器人“天工”它可以在傾角不大于30。的斜坡上穩(wěn)定地站立和行走，對(duì)“天工”分析有

mgsin30°<jumgcos30°

可得

u>tan30°=—

3

故選B。

2.（2024?湖北?高考真題）如圖所示，兩拖船P、。拉著無動(dòng)力貨船S一起在靜水中沿圖中虛線方向勻速前

進(jìn)，兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30。。假設(shè)水對(duì)三艘船在水平方向的作用力大小均為方方向與船

的運(yùn)動(dòng)方向相反，則每艘拖船發(fā)動(dòng)機(jī)提供的動(dòng)力大小為（）

Q

A.￡fB.目-于C.2fD.3/

【答案】B

2Tcos30

所以有

對(duì)P受力分析如圖

Q

則有

（Tsin30）2+（/+TCOS30）?=F2

解得

F=&

3

故選Bo

3.（2024?河北?高考真題）如圖，彈簧測(cè)力計(jì)下端掛有一質(zhì)量為020kg的光滑均勻球體，球體靜止于帶有固

定擋板的斜面上，斜面傾角為30。，擋板與斜面夾角為60。.若彈簧測(cè)力計(jì)位于豎直方向，讀數(shù)為L0N,g取

lOm/sZ,擋板對(duì)球體支持力的大小為（）

A.立NB.1.0NC.述ND.2.0N

33

【答案】A

【詳解】對(duì)小球受力分析如圖所示

由幾何關(guān)系易得力F與力「與豎直方向的夾角均為30。，因此由正交分解方程可得

FNsin30°=Fsin30°,FNcos30°+Fcos30°+T=mg

解得

F=F=—

N3

故選Ao

4.（2024?浙江?高考真題）如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)，小球A、B上系有不可伸長的細(xì)線a、b、c和d,

其中a的上端懸掛于豎直固定的支架上，d跨過左側(cè)定滑輪、c跨過右側(cè)定滑輪分別與相同配重P、Q相連,

調(diào)節(jié)左、右兩側(cè)定滑輪高度達(dá)到平衡。已知小球A、B和配重P、Q質(zhì)量均為50g,細(xì)線c、1平行且與水

平成6=30。（不計(jì)摩擦），則細(xì)線a、6的拉力分別為（）

C.IN,1ND.IN,0.5N

【答案】D

【詳解】由題意可知細(xì)線。對(duì)A的拉力和細(xì)線d對(duì)B的拉力大小相等、方向相反，對(duì)A、B整體分析可知

細(xì)線a的拉力大小為

7；=(mA+mB)g=1N

設(shè)細(xì)線6與水平方向夾角為a,對(duì)A、B分析分別有

Tbsina+Tcsin0=mAg

Tbcosoc=Tdcos0

解得

7；=0.5N

故選D。

5.（2023?河北?高考真題）如圖，輕質(zhì)細(xì)桿AB上穿有一個(gè)質(zhì)量為小的小球C,將桿水平置于相互垂直的固

定光滑斜面上，系統(tǒng)恰好處于平衡狀態(tài)。已知左側(cè)斜面與水平面成30。角