2021-2022學年上海市閔行區(qū)七寶中學高三(上)期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學年上海市閔行區(qū)七寶中學高三（上）期中數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）1．（3分）已知集合A＝{x|log2x≥0}，B＝{x|2x﹣4＞0}，則A∩＝．2．（3分）若1，a，2x，b，25成等比數(shù)列，則實數(shù)x的值是．3．（3分）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a+b+c+d＝．4．（3分）將函數(shù)y＝sin2x的圖像向左平行移動個單位長度，再將得到的圖像上各點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），得到的函數(shù)圖像的解析式是．5．（3分）已知等差數(shù)列{an}的前和為Sn，若a1＝2，S5＝S12，且Sm＝0，則m＝．6．（3分）關(guān)于x的不等式mx2﹣nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集為（﹣1，2），則函數(shù)的定義域是．7．（3分）函數(shù)y＝f（x）圖像C如圖所示，若C上存在n（n∈N*，n≥2）個點（xi，yi）（i＝1，2，?，n）滿足，則n的取值集合是．8．（3分）已知△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a+2b＝3，a2≤bc，且cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0．則△ABC的面積是．9．（3分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最大值為2，則使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上至少取得兩次最大值，則ω取值范圍是．10．（3分）已知函數(shù)f（x）＝，函數(shù)y＝f（x）﹣a有四個不同零點，從小到大依次為x1，x2，x3，x4，則x1x2+x3x4的取值范圍為．11．（3分）設(shè)ave{a，b，c}表示實數(shù)a，b，c的平均數(shù)，max{a，b，c}表示實數(shù)a，b，c的最大值．設(shè)A＝ave{﹣x+2，x，x+1}，M＝max{﹣x+2，x，x+1}，若M＝3|A﹣1|，則x的取值范圍是．12．（3分）數(shù)列{an}中，an表示與最接近的整數(shù)，則滿足的正整數(shù)n的最小取值為．二、選擇題（本大題4題，滿分12分）13．（3分）地鐵某換乘站設(shè)有編號為m1，m2，m3，m4的四個安全出口，若同時開放其中的兩個安全出口，疏散1000名乘客所需的時間如表：安全出口編號m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客時間（s）120140190160則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是（）A．m1 B．m2 C．m3 D．m414．（3分）若正實數(shù)a，b，c滿足，則（）A．ca＞ba B．logca＜logba C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣115．（3分）我國天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始．已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法不正確的是（）A．小寒比大寒的晷長長一尺 B．春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同 C．小雪的晷長為一丈五寸 D．立春的晷長比立秋的晷長長16．（3分）已知a、b、c是三角形的三邊，對于，有下列說法：①f（a，b，c）有最小值；②f（a，b，c）有最大值是3．（）A．①對，②錯 B．①錯，②對 C．①②都對 D．①②都錯三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．（14分）如圖，圓O的半徑為2，l為圓O外一條直線，圓心O到直線l的距離|OA|＝3．P0為圓周上一點，且∠AOP0＝．點P從P0處開始以2秒一周的速度繞點O在圓周上按逆時針方向做勻速圓周運動（這里的角均指逆時針旋轉(zhuǎn)角）．（1）求t秒鐘后，點P到直線l的距離用y＝f（t）（t≥0）的解析式；（2）當|P0P|＝2時，求t的值．18．（14分）如圖，四棱錐P﹣ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，AB＝3，AD＝4．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）若直線MN與平面ABCD所成的角為45°，求直線MN與平面PAC所成的角的大?。?9．（14分）某中學食堂定期從糧店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸費100元．食堂每天需用大米1噸，貯存大米的費用為每噸每天2元（不滿一天按一天計），假定食堂每次均在用完大米的當天購買．（1）該食堂隔多少天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少？（2）糧店提出價格優(yōu)惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折（即原價的95%），問食堂可否接受此優(yōu)惠條件？請說明理由．20．（16分）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于該橢圓的另一個焦點F2上．橢圓有光學性質(zhì)：從一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個焦點，即橢圓上任意一點P處的切線與直線PF1、PF2的夾角相等．已知BC⊥F1F2，垂足為F1，|F1B|＝3m，|F1F2|＝4cm，以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標系．（1）求截口BAC所在橢圓C的方程；（2）點P為橢圓C上除長軸端點和短軸端點外的任意一點．①是否存在m，使得P到F2和P到直線x＝m的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請說明理由；②若∠F1PF2的角平分線PQ交y軸于點Q，設(shè)直線PQ的斜率為k，直線PF1、PF2的斜率分別為k1，k2，請問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．21．（18分）已知函數(shù)f（x）＝|2x+4|+|x﹣2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為M，若正實數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c＝M，求的最小值；（3）若數(shù)列{an}滿足a1＝a（a≤﹣2或a≥0，a為常數(shù)），3an+1＝f（an）（n∈N*），求數(shù)列{an}的前項和Sn．

2021-2022學年上海市閔行區(qū)七寶中學高三（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）1．【解答】解：∵集合A＝{x|log2x≥0}＝{x|x≥1}，B＝{x|2x﹣4＞0}＝{x|x＞2}，∴＝{x|x≤2}，∴A∩＝{x|1≤x≤2}．故答案為：{x|1≤x≤2}．2．【解答】解：∵1，a，2x，b，25成等比數(shù)列，∴（2x）2＝1×25＝25，又2x＞0，則2x＝5，∴x＝log25．故答案為：log25．3．【解答】解：函數(shù)是奇函數(shù)，可得定義域關(guān)于原點對稱，則d＝2022，由﹣2022≤x≤0，f（x）＝x2﹣ax，設(shè)0≤x≤2022，則﹣2022≤﹣x≤0，f（﹣x）＝x2+ax，由f（x）為奇函數(shù)，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣ax，即有當0≤x≤2022時，f（x）＝﹣x2﹣ax，又當0≤x≤2022時，f（x）＝bx2+cx，所以b＝﹣1，c＝﹣a，則a+b+c+d＝a﹣1﹣a+2022＝2021，故答案為：2021．4．【解答】解：將函數(shù)y＝sin2x的圖像向左平行移動個單位長度，得到y(tǒng)＝sin（2x+）的圖像，再把所得圖像上各點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），得到的函數(shù)圖像的解析式為y＝sin（4x+），故答案為：y＝sin（4x+）．5．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝S12，得5a1+10d＝12a1+66d，即a1+8d＝0，又a1＝2，所以d＝﹣，所以Sm＝2m+×（﹣）＝﹣m2+m，令Sm＝0，得m2﹣17m＝0，解得m＝17，或m＝0（舍去）．故答案為：17．6．【解答】解：關(guān)于x的不等式mx2﹣nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集為（﹣1，2），所以m＜0，并且﹣1，2是mx2﹣nx+p＝0的兩個根，由韋達定理知＝﹣2＜0，∴p＞0，＝1，∴＝﹣，∴＝log2（?）＝log2（×（﹣）），由﹣?＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故函數(shù)f（x）的定義域是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．7．【解答】解：y＝的幾何意義為動點到原點的斜率，滿足的幾何意義為到原點斜率相同點的個數(shù)，由圖象知在①③⑤位置有兩個點的斜率相同，此時n＝2，在②④位置有三個點的斜率相同，此時n＝3，在③位置有四個點的斜率相同，此時n＝4，即n的取值集合是{2，3，4}，故答案為：{2，3，4}8．【解答】解：因為cosA（bcosA+acosB）﹣csinA＝0，由正弦定理可得cosA（sinBcosA+sinAcosB）﹣sinCsinA＝0，可得：cosAsin（A+B）﹣sinCsinA＝0，即cosAsinC﹣sinCsinA＝0，因為sinC≠0，所以cosA﹣sinA＝0，即tanA＝，因為A∈（0，π），所以A＝，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，當且僅當b＝c時等號成立，又a2≤bc，所以a2＝bc，b＝c，可得a＝b＝c，又a+2b＝3，可得a＝b＝c＝1，可得△ABC的面積S＝bcsinA＝＝．故答案為：．9．【解答】解：因為a＞0，函數(shù)f（x）＝sinωx+acosωx＝sin（ωx+φ），因為函數(shù)的最大值為2，則＝2，解得a＝，所以f（x）＝2sin（ωx+），因為x∈[0，3]，則ωx+∈[，3ω+]，函數(shù)f（x）至少取得兩次最大值，則3ω+≥π，解得：ω≥，故答案為：[，+∞）．10．【解答】解：當x＞0時，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，由f（x）＝e，x≤0，x＜﹣1時，f（x）遞減；﹣1＜x＜0時，f（x）遞增，可得x＝﹣1處取得極小值1，作出f（x）的圖象，以及直線y＝a，可得e＝e＝x3+﹣3＝x4+﹣3，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1＝﹣2﹣x2，﹣1＜x2≤0，x3﹣x4＝﹣＝，可得x3x4＝4，x1x2+x3x4＝4﹣2x2﹣x22＝﹣（x2+1）2+5，在﹣1＜x2≤0遞減，可得所求范圍為[4，5）．故答案為：[4，5）．11．【解答】解：由題意易得A＝，故3|A﹣1|＝|x|＝，∵M＝3|A﹣1|，∴當x＜0時，﹣x＝，得x＝﹣4；當0≤x＜1時，x＝，得x＝，舍去；當1≤x＜2時，x＝，得x＝2，舍去；當x≥2時，x＝x，恒成立，綜上所述，x＝﹣4或x≥2．故答案為：{x|x＝﹣4或x≥2}．12．【解答】解：根據(jù)題意，an表示與最接近的整數(shù)，n＝1，2時，an＝1；n＝3，4，5，6時，an＝2；n＝7，8，…，12時，an＝3；n＝13，14，…，20時，an＝4；…………故使得an＝m的正整數(shù)有2m個，且最小的是m2﹣m+1，最大的是m2+m，故有＝，若，驗證可得：n的最小取值為2+4+6+???+20+1＝111，故答案為：111．二、選擇題（本大題4題，滿分12分）13．【解答】解：由同時開放m2，m3疏散1000名乘客所需的時間為140s，同時開放m3，m4疏散1000名乘客所需的時間為190s，所以m2比m4疏散乘客快，由同時開放m3，m4疏散1000名乘客所需的時間為190s，同時開放m1，m3疏散1000名乘客所需的時間為160s，所以m1比m4疏散乘客快，由同時開放m2，m3疏散1000名乘客所需的時間為140s，同時開放m1，m3疏散1000名乘客所需的時間為160s，所以m2比m1疏散乘客快，由同時開放m1，m2疏散1000名乘客所需的時間為120s，同時開放m2，m3疏散1000名乘客所需的時間為140s，所以m1比m3疏散乘客快，綜上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，所以疏散乘客最快的一個安全出的編號是m2，故選：B．14．【解答】解：∵，即3a＝4，∴a＞1，∵，∴0.4＜b＜1，∵，∴，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴ca＜ba，logca＞logba，logab＜0＜logbc，∴A，B，C項錯誤；∵a﹣1＞0，c﹣1＜0，∴0＜ca﹣1＜1＜bc﹣1，D項正確．故選：D．15．【解答】解：由題意可知，由夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其中a1＝15，a13＝135，則d＝10，同理可得，由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，則d'＝﹣10，故大寒與小寒相鄰，小寒比大寒的晷長長10寸，即一尺，故選項A正確；因為春分的晷長為b7，所以b7＝b1+6d'＝135﹣60＝75，因為秋分的晷長為a7，所以a7＝a1+6d＝15+60＝75，故春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故選項B正確；因為小雪的晷長為a11，所以a11＝a1+10d＝15+100＝115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷長為一丈一尺五寸，故選項C錯誤；因為立春的晷長和立秋的晷長分別為b4，a4，所以a4＝a1+3d＝15+30＝45，b4＝b1+3d'＝135﹣30＝105，所以b4＞a4，故立春的晷長比立秋的晷長長，故選項D正確．故選：C．16．【解答】解：①令x＝b+c，y＝a+c，z＝a+b，x＞0，y＞0，z＞0，則a＝，b＝，c＝，故＝+＝≥++，當且僅當，即x＝y(tǒng)＝z，即a＝b＝c時，等號成立，故①正確，②由三角形兩邊之和大于第三邊可知，0＜a＜b+c，故，同理可得，，故＜3，故②錯誤．故選：A．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．【解答】解：（1）由題意，周期為2，則t秒鐘后，旋轉(zhuǎn)角為ωt＝t＝πt，則此時點P的橫坐標為x＝2cos（πt+），所以點P到直線l的距離為f（t）＝3﹣2cos（πt+），t≥0．（2）當|P0P|＝2時，∠POP0＝，可得P旋轉(zhuǎn)了πt＝+2kπ，k∈N，或πt＝+2kπ，k∈N，解得t＝+2k，k∈N，或t＝+2k，k∈N．18．【解答】（1）證明：由題意知AB、AD、AP兩兩垂直，建系如圖，平面PAD的法向量是＝（1，0，0），設(shè)P（0，0，2h），M（，0，0），N（，2，h），＝（0，2，h），因為?＝0，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（2）解：由（1）知＝（0，2，h），平面ABCD的法向量為＝（0，0，1），又因為直線MN與平面ABCD所成的角為45°，所以＝＝sin45°＝，解得h＝2，＝（0，2，2），，＝（0，0，4），設(shè)平面PAC的一個法向量為，，令x＝4，y＝﹣3，z＝0，故，因為＝（0，2，2），所以＝＝，故直線MN與平面PAC所成的角的大小為arcsin．19．【解答】解：（1）設(shè)每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2[n+（n﹣1）+…+2+1]＝n（n+1）．則平均每天費用y1＝n＝．當且僅當n＝10時取等號．∴該食堂隔10天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少．（2）若接受優(yōu)惠，每m天購一次，即購m噸（m≥20），則平均每天費用y2＝＝（m∈[20，+∞））．令f（m）＝．則＞0，故當m∈[20，+∞）時，函數(shù)f（m）單調(diào)遞增，故當m＝20時，（y2）min＝1451＜1521．∴食堂可接受此優(yōu)惠條件．20．【解答】解：（1）設(shè)所求橢圓方程為，則，由橢圓的性質(zhì)：|BF1|+|BF2|＝2a，所以，，所以橢圓的方程為．（2）由橢圓的方程為，則F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）．①存在直線x＝8，使得P到F2和P到直線x＝m的距離之比為定值．設(shè)橢圓上的點P（x0，y0），則，P到直線x＝m的距離d＝|m﹣x0|，所以，所以，當m＝8時，（定值）．即存在m＝8，使得P到F2和P到直線x＝8的距離之比為定值．②設(shè)橢圓上的點P（x0，y0），則，又橢圓在點P（x0，y0）處的切線方程為，證明如下：對于橢圓，當y＞0，，則，所以橢圓在P（x0，y0）處的切線方程為，又由，可以整理切線方程為：，即切線方程為4y0（y﹣y0）＝﹣3x0（x﹣x0），即，