集合與常用邏輯用語、不等式-2025屆高三數(shù)學復習專項訓練

集合與常用邏輯用語、不等式

（時間：120分鐘滿分:150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.[2024?武昌模擬]若集合A={x?N*|x是4與10的公倍數(shù)},3={x?1000},

則An§=（）

A.0B.{-20,20}C.{20}D.{20,30）

2.[2024?浙江名校聯(lián)考]設(shè)命題?：V〃GN,n2<3n+4,則p的否定為（）

A.V〃GN,〃2>3〃+4B.V〃?N,?2^3n+4

C.BnEN,*三3九+4D.BHEN,/>3"+4

3.[2024.成都診斷]設(shè)集合A={2,3,a2-2a-3},B={Q,3},C={2,a}.若BUA,

Anc={2},則a=（）

A.13B.i1C.lD.3

4.[2024?廣州調(diào)研]已知p：Q+2）（x—3）V0,q：|x—1|<2,則尸是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.[2024.濟南質(zhì)檢]“x>y”的一個充分條件可以是（）

]X

A.2x~y>2B.f>VC.->1D.xP>"

6.[2023?無錫模擬]已知實數(shù)a,6滿足如下兩個條件：（1）關(guān)于x的方程3必一2x—

21

溺=0有兩個異號的實根；（2匕+石=1.若對于上述的一切實數(shù)a,b,不等式。+

2。>川+2加恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.（—4,2）B.（-2,4）

C.（—8,-4]U[2,+8）D.（—8,-2]U[4,+8）

7.[2024.泰安模擬]在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平稱取藥品.實驗

一：小明將5克的祛碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實

驗二：小芳將20克的祛碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡,

則在這兩個實驗中小明和小芳共稱得的藥品（）

A.大于20克B.小于20克

C.大于等于20克D.小于等于20克

8J2024.武漢質(zhì)檢］閱讀下面文字：“已知吸為無理數(shù)，若（也）于為有理數(shù)，則存

在無理數(shù)。=0=陋，使得次為有理數(shù)；若（6）小為無理數(shù)，則存在無理數(shù)。=

（也#，b=\［2,此時或=［（6十］/=（業(yè)日/=（小卜=2,為有理數(shù)依據(jù)

這段文字可以證明的結(jié)論是（）

A.（陋）d是有理數(shù)

B.（也）十是無理數(shù)

C.存在無理數(shù)a,。，使得小為有理數(shù)

D.對任意無理數(shù)a,b,都有力為無理數(shù)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

2

9.［2023?南京質(zhì)檢］設(shè)p=a+,，aGR,則下列說法正確的是（）

A.pN2/

B.“a>l”是“p>2g”的充分不必要條件

C.“p>3”是“a>2”的必要不充分條件

D.3tzG（3,+8）,使得2<3

10.［2024?太原質(zhì)檢］已知x,y均為正實數(shù)，且x+2y=4,則下列結(jié)論正確的是

（）

21

A.孫三2B-+-^2C.2x+4v28D.x2+4y2<8

11.［2023?武昌模擬］早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何

中項以及調(diào)和中項.畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類

中項,其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同.而今我們稱審為正數(shù)a,

b的算術(shù)平均數(shù)，幅為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式M

6>0）叫做基本不等式.已知實數(shù)a,6滿足a>0,b>0,a+b=2,

則下列結(jié)論正確的有（）

的最小值是21芋B.3/+02的最小值為3

C.2g+也的最大值為3D?的最小值是2

題號1~~2~~3~~4~~5~~6~~7~~8~~9I10I11

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

［Ivl---Z7

12/2024?上海閔行質(zhì)檢］已知集合4={》4<1},3=H<0,若“xGA”是

“xdB”的充分不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍是..

13.［2024.浙江鎮(zhèn)海中學模擬］能夠說明“若0<a<6<c,則a<6c”是假命題的一

組實數(shù)a,b,。的值依次為.

.b

14J2023?福州模擬］若?？瞬伙柡吞撬泻?克糖，則糖的質(zhì)量分數(shù)為/這個

質(zhì)量分數(shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖,生活經(jīng)驗告訴我們糖

水會變甜，從而可抽象出不等式F->?(a>6>0,機>0),數(shù)學中常稱其為糖水

不等式.依據(jù)糖水不等式可得出log32logl510(用或“>”填空)，并

寫出上述結(jié)論所對應的一個糖水不等式.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.（13分）［2024?天一大聯(lián)考］已知關(guān)于x的不等式『一ax—x+b<0.

（1）若此不等式的解集為{x|—求a,5的值；

（2）若。=。，求不等式的解集.

16.（15分）［2023?青島質(zhì)檢］已知集合A={x￡—x—12W0},B={X\JC-2X+1-

m^WO,m>0}.

（1）若機=2,求An（［RB）；

（2）x?A是xdB的條件，若實數(shù)機的值存在，求出機的取值范圍；若不

存在，說明理由.（請在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任選一個，補充

到空白處）

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

17.（15分）［2024達州診斷］設(shè)函數(shù)人功=2廣

⑴若火防力（x+附的解集為{x|x＜0},求實數(shù)m的值;

（2）若0＜。＜5,且人0=火。），求2+占的最小值.

aD1

18.（17分）［2024.南通質(zhì)檢］為了控制某種病毒的傳播，某單位購入了一種新型的空

氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中

釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的關(guān)系如下：當

0W無W4時，產(chǎn)占一1;當4VxW10時，y=5—%.若多次噴灑，則某一時刻空

氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，

當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒

的作用.

（1）若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？

（2）若第一次噴灑2個單位的消毒劑,6小時后再噴灑a（lWaW4）個單位的消毒劑，

要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求。的最小值.（精確到0.1,參考數(shù)

據(jù)：也心1.4）

19.(17分)[2023?長沙質(zhì)檢]已知函數(shù)人功=正=1+產(chǎn)G—3的定義域為集合D,

最大值為機，記g(a,b,c)=7^~+-；/,其中a,b,c是正實數(shù).

b+cc+aa+b

⑴求m；

(2)VXF￡),求證：“x)Wg(a,b,c).

集合與常用邏輯用語、不等式

1.C［因為A={xCN*IX是4與10的公倍數(shù)}={x￡N*|x=2Qk,MN*}={20,40,

60,…},Q{xWR|Zl000},202=400—1000,402=1600>1000,所以4

n6={20},故選c.］

2.C［由題意可得，命題P：VZ7GN,4<3〃+4的否定為：3z?GN,z72^3z?+4.

故選C.］

3.B［因為醫(yī)4所以才一23-3=0,

解得a=-1或a=3.

若a=-l,貝!|4=⑵3,0},C={2,一1},此時4n—{2},符合題意；若a

=3,則4={2,3,0},C={2,3},此時40仁{2,3},不符合題意.故選B.］

4.B［由題意知0：—2<T<3,(7：—1<JT<3.

因為(-1,3)(-2,3),所以p是q的必要不充分條件.故選B.］

5.D［由2r><=2，

得X—y>—l,

3

若x=l,y=~,則xVy成立,

所以由不能推出x>y；

由可得|x|>|引，不一定能推出x>y,例如當￡=—3,y=2時，x>y

成立，但x>y不成立；

x

若亍>1,當yVO時，可得xVy-

因此，選項A,B,C均不符合題意；

因為由可得x>y,但由不一定能推出所以那是*

的充分條件，所以選項D符合題意.

故選D.]

ab

6.A[設(shè)方程3x—2x—ab=Q的兩個異號的實根分別為豆,用,則xx=—r<0,

12O

/.ab>0.

21

又一+7=1，/.a>0,b>0,

ab

則a+26=（石+2力化+鼻=4+?+”24+2、=8（當且僅當a=4,b=2

\abjba\lba

時取“=”），由不等式a+28>/+2"恒成立，得瞽+2Z8,解得一4V/ZT<2.

???實數(shù)"的取值范圍是（一4,2）.故選A.]

7.C[設(shè)天平左、右兩邊臂長分別為a,兒小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為

5a2065a

x,y,則由杠桿原理得：5a=bx,ay=20b,于是y=---，故x+尸

baKb+

—^2y隹二跡=20,當且僅當a=2b時取等號.故選C.]

aba

8.C[題中文字并沒有明確說明（娘）4是有理數(shù)還是無理數(shù)，故A,B錯誤；由

題意可知，無論（鏡）V是無理數(shù)，還是有理數(shù)，總存在無理數(shù)a,b,使得才為

有理數(shù)，故C正確，D錯誤.故選C.]

9.BC[對于A項，當aVO時，顯然有p小于0,A錯誤；

對于B項，a>l時，p=a+2,2\/a?2=2蛆時取等號），故充分性成

a\[a

立，

而022鋪只需a>0即可，故B正確；

2

對于C項，2=〃+->3可得0<a<l或a>2,當a>2時,>3成立，故C正確;

a

22

對于D項，由Q3有a+/3+§>3,

故D錯誤.故選BC.]

10.BC[A選項：4=x+2y>2d拓,

所以xjW2,當且僅當x=2y,

即x=2,尸1時取等號，故A錯誤;

2卜1x+2y4

B選項:

xyxyxy

21

由A知xjW2,貝!|一十-22,故B正確;

xy

C選項：2*+4'22次口=2卷筋=

2卷=8,當且僅當x=2%即x=2,尸1時取等號，故C正確；

D選項：由x+2y=4,得16=:+44+2?x?2陋上+4卜+2><'+

即x+4y^8,當且僅當x=2y,

即x=2,尸1時取等號，故D錯誤.]

11.ABD

7+4福

(a+b)==2—

當且僅當當=當,

aD

即a=4小一6,6=8—4福時取“="，A正確;

對于B,3,+方2=3，+(2—/=4(才-a+1)=4，-9+3,當己=/6=^時，

3，+4取得最小值3,B正確；

對于C,由己+，=2,己>0,b>09

可令a=2sin2T,Z?=2COS2A[O<^<—j,

則2y[2+\ll)=2gsinx+鏡cosx

=gibsin(x+O),其中銳角O由

sinT2

sinx—

1JIJIVs

確定,顯然6Vx+(i><—+O,則當x+6=3,即“]時,

COS4>=~~j=cos

V5

__o9__

(2?+y[i),因此，當a=~,人=工時，2寸^+,取最大值C不正

UU

確；

flfn6、M(2—a)2(2—2?)24—4己+4?4—46+8f44^,

對于D,-+-=------------+(——~——=-------------+——7——=-+v(-8+(az

ababab短b)

+力=(^+^1-6=2^+^?

\ab)\ab)

(&+近一6=2e+，+2)—622義(2+2)—6=2,當且僅當a=6=l時取“=”，D

正確.故選ABD.]

12.{a\a>l}[由T<1,解得一1VxVL所以A={x\x<l}={x\—l<x<l}.

因為f+222,所以不等式聽手VO等價于Ix\-a<0.因為“xWZ”是“xGB”

的充分不必要條件，

所以ZB,所以院。，則a>0,

所以不等式|x|一aVO,

即|x|Va,解得一aVxVa,所以8=工學<。,={R一aVxVa,a>0),又

AB,所以a>l,即{a|a>l}.]

13.pI，答案不唯一)[由“若0<a<b<c,則a<bcn是假命題可得，存

在a,b,c滿足條件OVaVAVc,但a26c,

由此可得6>6c,故cVl,

若取c=J,a=；,貝心V6V),故可取故a,b,c的值依次為1)(答

乙qq乙oqj乙

案不唯一).]

14Y黑由14H(答案不唯一)[因為°Vlog32VL所以可得：1密2

log2log2+llog2log10

-5<5，55

log53log53+l即log53V嬴商—l°g由10

因log32VlogudO,

In2In10In2+ln5

故有17百(11115=ln3+ln5'

即IHSH>黑，答案不唯一」

15.解⑴由不等式的解集為3—1VxVl},可知方程^-ax-x+b=o的兩根

a+l=—1+1=0,

為-1和1,則<

力=一1，

解得a=—1,b=—l.

(2)由6=a,原不等式可化為(a+l)x+aV0,因此(x—a)(^s■—1)<0.

當aVl時，原不等式等價于aVxVl,

即不等式的解集為{xlaVxVl}；

當a=l時，原不等式等價于(x—l)2V0,不等式的解集為。；

當a>l時，原不等式等價于IVxVa,

即不等式的解集為{x|1VxVa}.

綜上，當aVl時，不等式的解集為

{x\a<x<l}；

當a=l時，不等式的解集為。；

當a>l時，不等式的解集為{xllVxVa}.

16.解(1)由不等式/一又一12=(工一4)(x+3)W0,解得一3〈盡4,

可得Z={x|-34后4},

當〃=2時，不等式

2x—3=(x—3)(x+l)W0,

解得一盡3,

即B={x[,

可得{x|xV—L或x>3},

所以Ad([R③={x|-3WxV-L

或3VW4}.

⑵由不等式x-2x-\-\—m=(￡一.一1)(x+7一1)40(卬>0),

解得

所以夕={x|1—777^^1+加，227>0}.

若選擇條件①，則集合力是6的真子集，

"1—/Z7^—3,

得</ZT+1^4,解得R24.

當勿=4時，3={x|-3WW5},AB,符合題意.

所以存在滿足條件①的實數(shù)加，此時加的取值范圍為[4,+8).

若選擇條件②，則集合8是4的真子集，

’1—加2—3,

得<2Z7+1W4,解得0V辰3.

jn>0,

當勿=3時，3={x|-2W后4},則6A,符合題意.

所在存在滿足條件②的實數(shù)如此時力的取值范圍為(0,3].

若選擇條件③，則集合4=8,

,1—/27=—3,

得《始卜1=4,無解，

jn>0,

所以不存在滿足條件③的實數(shù)m.

17.解⑴不等式可化為>2聲—，

故|X—11>|x+m—11,

兩邊同時平方可得：2mx<2m—而.

???原不等式的解集為{x|xV0},故勿>0,

即xVl一5故1—3=0,0=2.

(2)Tf(a)=fC6),

?QIa_11__r)\b-l\

即|a—11=|b—11.

'：a<b,：.(a-l)+(Z?-l)=O,即a+b=2,

%￡=€+占)匕+(~D]=5+,+片5+2心=9,

4(b—1)a

當且僅當

ab—19

即a=l，4

力=3時取“=”

oo

4,_1

的最小值為9.

ab~\

18.(1)解因為一次噴灑4個單位的凈化劑，所以其濃度為

64

寸4,54,

f{x)=4y=<

〔20—2石4<J<10,

64

當0WW4時，由=一424,解得x20,此時0W后4；

OX

當4VW10時，由20—2x24,解得痣8,此時4VW8,

綜上0WW8,所以若一次噴灑4個單位的消毒劑,則有效殺滅時間可達8小時;

(2)設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x(6WM10)小時后，其濃度為

g()(2)a(8—(x—6)0

16a

=10—^'14-xa

16a

=14-xa—4,

14—x

因為1