類(lèi)比與探究（原卷版）

專(zhuān)題09類(lèi)比與探究

?定義型

全等類(lèi)

類(lèi)比與探究木?材料類(lèi)

V?定理類(lèi)

【典例解析】

【例1】（2020?江蘇南京月考）閱讀理解

如圖①，"BC中，沿/胡C的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分將余下部分沿/81/1C的平分線A1B2

折疊，剪掉重復(fù)部分；.…；將余下部分沿的平分線A?Bn+\折疊，點(diǎn)B,,與點(diǎn)C重合.無(wú)論折疊

多少次，只要最后一次恰好重合，ZBAC是△NBC的好角.小麗展示了確定乙B/C是△NBC的好角的兩

種情形.

情形一：如圖②，沿等腰三角形/2C頂角/A4C的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；

情形二：如圖③，沿NB4c的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下的部分沿/3L41C的平分線A1B2

折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合.

探究發(fā)現(xiàn)

（1）A4BC中，Z5=2ZC,NB4c是不是A4BC的好角？（填“是"或‘不是”）

（2）猜想若經(jīng)過(guò)n次折疊后發(fā)現(xiàn)乙B/C是△/8C的好角，則與NC（不妨設(shè)N8>/C）之間的等量

關(guān)系為;

應(yīng)用提升

（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15。、60。、25。,發(fā)現(xiàn)60。和/05。的兩個(gè)角都是此三角形的好

角.

請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是12。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此

三角形的好角.

AAA

圖①圖②圖③

【變式1-1］（2020?重慶市月考）閱讀下列材料并解答問(wèn)題：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一

個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱(chēng)為“夢(mèng)想三角形”例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是

120°,40°,20°,這個(gè)三角形就是一個(gè)“夢(mèng)想三角形”.反之，若一個(gè)三角形是“夢(mèng)想三角形"，那么這個(gè)三角

形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍.

（1）如果一個(gè)“夢(mèng)想三角形”有一個(gè)角為108。，那么這個(gè)“夢(mèng)想三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為

（2）如圖1,已知NMON=60。，在射線上取一點(diǎn)/,過(guò)點(diǎn)/作交ON于點(diǎn)8,以N為端點(diǎn)

作射線交線段于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與。、2重合），若//C2=80。.判定△/。以△/OC是否是“夢(mèng)想

三角形"，為什么？

（3）如圖2,點(diǎn)。在△NBC的邊上，連接。C,作N/DC的平分線交NC于點(diǎn)E,在DC上取一點(diǎn)尸，使得

乙MC+NADC=180。，3EF—B.若△BCD是“夢(mèng)想三角形”，求必的度數(shù).

OBNB

D

圖1圖2

【變式1-2］（2020?寧波市期末）若中剛好有4B=2NC,則稱(chēng)此三角形為“可愛(ài)三角形”，并且

ZA稱(chēng)作“可愛(ài)角”.現(xiàn)有一個(gè)“可愛(ài)且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可愛(ài)角”應(yīng)該

是（）.

A.45°或36。B.72°或36°C.45°或72。D.36°或72。或45°

【例2】（2020?江蘇泰州月考）

（1）如圖1：在四邊形/2C中，4B=AD,乙B=UDC=90°,E、尸分別是2C、CD上的點(diǎn)，且斯=

BE+FD,探究圖中乙8/￡、乙FAD、㈤廠之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)

G,使。G=5E.連接/G,先證明△/8E三A4OG,再證明A4E尸三A4GE可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是:

（2）如圖2,若在四邊形48co中，AB=AD,180°.E、尸分別是3C、CD上的點(diǎn)，且即=

BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3,已知在四邊形N5C。中，/-ABC+/-ADC^\^°AB=AD,若點(diǎn)￡在C8的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在

CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD,請(qǐng)寫(xiě)出乙版廠與〃>48的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)

程.

圖1圖2圖3

【變式2-1］（2018?河南洛陽(yáng)月考）（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰RSABC與等腰RSADE按如圖1方式疊放，

其中44。5=/4?！?90°，點(diǎn)。，￡分別在48，/C邊上，V為AE■的中點(diǎn)，連結(jié)。/,ZW.小

明發(fā)現(xiàn)你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰RMADE繞點(diǎn)/沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會(huì)

如何呢？為此進(jìn)行以下探究：

探究一：將圖1中的等腰RMADE繞點(diǎn)2沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°（如圖2）,其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論

=依然成立.請(qǐng)你給出證明.

探究二：將圖1中的等腰RMADE繞點(diǎn)Z沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135°（如圖3）,其他條件不變，則結(jié)論

=還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2-2］（2020?浙江椒江期末）

（閱讀材科）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，

如果具有公共的項(xiàng)角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)

律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若乙AB=AC,AD=AE,則

△ABDmA4CE.

（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn).

（深入探究）（2）如圖2,A45c和A4E。是等邊三角形，連接AD,EC交于點(diǎn)。，連接/O,下列結(jié)論：

①BD=EC；@Z50C=60°；③乙4。￡=60。；?EO=CO,其中正確的有.（將所有正確的序號(hào)填在橫

線上）.

（延伸應(yīng)用）（3）如圖3,AB=BC,UBC=^BDC=6Q°,試探究乙4與NC的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

【例3】(2020?湖南廣益期中)同學(xué)們應(yīng)該都見(jiàn)過(guò)光線照射在平面鏡上出現(xiàn)反射光線的現(xiàn)象。如圖1,AB

是放置在第一象限的一個(gè)平面鏡，一束光線CD經(jīng)過(guò)反射后的反射光線是DE,。〃是法線，法線垂直于鏡

面AB.入射光線CD和平面鏡所成的角ZADC叫做入射角，反射光線DE與平面鏡所成的角N4DE叫做反

射角。鏡面反射有如下性質(zhì)：入射角等于反射角，根據(jù)以上材料完成下面問(wèn)題：

(1)如圖1,法線交x軸于點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)H,試探究/DPC與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(2)如圖2,第一象限的平面鏡AB交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)A,x軸負(fù)半軸上也放置了一塊平面鏡，

入射光線CD經(jīng)過(guò)兩次反射后得到反射光線EG,DH是法線,射線CD和EG的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.

①若第一象限平面鏡與x軸夾角為26。，問(wèn)入射角NADC為多少時(shí)，反射光線EG與48平行？

②若平面鏡N8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，是否存在一個(gè)定值公使得NDCE—NDEC=kNOHF總、是成

立，若存在請(qǐng)求出左值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

【變式3-1］（2020?江西期中）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性，頂角為36。的等腰三角形我們稱(chēng)

之為黃金三角形，“黃金三角形’具有一種特性，即經(jīng)過(guò)它某一頂點(diǎn)的一條直線可以把它分成兩個(gè)小等腰三角

形，為此，請(qǐng)你，解答問(wèn)題：

（1）已知如圖1：黃金三角形A42c中，乙4=36。，直線AD平分乙42c交/C于點(diǎn)。，求誣AABD和△D2C

都是等腰三角形；

（2）如圖2,在A48C中，AB=AC,乙4=36。，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的方法，將A48C分割成三個(gè)等腰三角形，

不要求寫(xiě)出畫(huà)法，不要求證明，但是要標(biāo)出所分得的每個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù).

（3）已知一個(gè)三角形可以被分成兩個(gè)等腰三角形，若原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36。，求原三角形的最大內(nèi)角

的所有可能值.

【例4】（2020?山西平定期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

塞瓦定理

塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn).如圖，塞瓦定理是指在AZ8C

BDCEAF

內(nèi)任取一點(diǎn)O,延長(zhǎng)20,50,CO分別交對(duì)邊。，E,尸于，則——X——X——=1.

DCEABF

任務(wù):

（1）當(dāng)點(diǎn)分別為邊6G/C的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)尸為48的中點(diǎn);

(2)若A4BC為等邊三角形，4B=12,ZE=4,點(diǎn)。是3c邊的中點(diǎn)，求3尸的長(zhǎng).

【習(xí)題專(zhuān)練】

1.(2020?湖南長(zhǎng)沙月考)規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”,

記作心若k=2,則該等腰三角形的頂角為

3

2.(2020?江蘇鼓樓期末)在的兩邊上各取點(diǎn)2、C,在平面上任取點(diǎn)尸(不與點(diǎn)/、B、C重合)，連

接尸8、PC,設(shè)N8PC為Nl,UBP為乙2,乙4c尸為43.請(qǐng)?zhí)剿鱊1、乙2、N3和N8/C這4個(gè)角之間的數(shù)量

關(guān)系.

分析問(wèn)題：由于點(diǎn)尸是平面上的任意點(diǎn)，要考慮全面，需對(duì)點(diǎn)尸的位置進(jìn)行如下分類(lèi).

(1)若點(diǎn)P在NM4N的兩邊上，易知點(diǎn)8、C將兩邊分成線段/8、AC,射線8河、CN四個(gè)部分，根據(jù)提

小，完成表格;

條件一級(jí)分類(lèi)二級(jí)分類(lèi)圖形表示數(shù)量關(guān)系

Z2=0°

點(diǎn)尸在

且N1=N3+N8/C

線段43

上

ACN

點(diǎn)P在線4M上

/MANA

Z2=180°fi

的兩邊點(diǎn)P在

N1+N3+NB,4C=180°

上射線BM

上

ACA

點(diǎn)P在線

圖略

段NC上

點(diǎn)P在射

線4V上點(diǎn)P在射

線CN上圖略

(2)點(diǎn)P在4的內(nèi)部，如圖1,線段2C將內(nèi)部分成線段BC,區(qū)域①，區(qū)域②三個(gè)部分.若點(diǎn)尸在

線段8C上，則所求數(shù)量關(guān)系：21=180。且N2+N3+NR4C=180。；

若點(diǎn)尸在區(qū)域①中，則所求數(shù)量關(guān)系為：—；

若點(diǎn)尸在區(qū)域②中，寫(xiě)出這4個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并利用圖2加以證明.

類(lèi)比解決:

(3)點(diǎn)尸在乙也N的外部時(shí)，直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)尸在該部分時(shí)這4個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系.

3.(2019?湖北房縣)請(qǐng)按照研究問(wèn)題的步驟依次完成任務(wù).

(問(wèn)題背景)

(1)如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明乙4+N3=NC+ND.

（簡(jiǎn)單應(yīng)用）

（2）如圖2,AP.CP分別平分N24D、4BCD,若乙42c=20。，UDC=26。,求4的度數(shù)（可直接使用問(wèn)題

（1）中的結(jié)論）

（問(wèn)題探究）

（3）如圖3,直線4P平分NA4。的外角CP平分乙BCD的外角乙BCE,若乙42c=36。，乙4DC=16。，

猜想NP的度數(shù)為一；

（拓展延伸）

（4）在圖4中，若設(shè)NC=x,LB=y,^CAP=-/.CAB,L.CDP=-/.CDB,試問(wèn)乙P與NC、乙8之間的數(shù)量關(guān)

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系為（用x、y表示NP）；

（5）在圖5中，4P平分乙BAD,CP平分48的外角乙BCE,猜想“與乙8、。的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)

論.

4.（2019?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）（約定）若一個(gè)三角形中有一個(gè)是直角，稱(chēng)此三角形為I類(lèi)美麗三角形

若一個(gè)三角形中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，稱(chēng)此三角形為II類(lèi)美麗三角形；若一個(gè)三角形中有一個(gè)角是另

一個(gè)角的3倍，稱(chēng)此三角形為ni類(lèi)美麗三角形；I、n、ni類(lèi)美麗三角形合稱(chēng)為美麗三角形.

如圖1中的八45。中，ZC=90°＞則AIBC是I類(lèi)美麗三角形；

如圖2中的A48C中，ZC=2ZB=2a,則A48C是n類(lèi)美麗三角形；

如圖3中的A42C中，NC=2NB=3a,則心?。是皿類(lèi)美麗三角形；

（結(jié)論1）美麗三角形都可以用一條過(guò)某一頂點(diǎn)的直線分割成兩個(gè)等腰三角形.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1、2、3中分別畫(huà)出分割線，并標(biāo)出相等的角（用a表示）或相等的邊.

（應(yīng)用1）（2）如圖4,一個(gè)含有20。和15°角的三角形，再拼上一個(gè)三角形后就可以拼成一個(gè)美麗三角形,

圖5就是其中的一種拼法.請(qǐng)?jiān)谠撊切蔚娜吷细髌瓷弦粋€(gè)三角形，使之成為I、II、III類(lèi)美麗三角形各

一個(gè)，在備用圖中分別畫(huà)出來(lái)并在圖上標(biāo)出所拼三角形的三個(gè)角的度數(shù).

（結(jié)論2）如果過(guò)一個(gè)三角形某一頂點(diǎn)的直線可以把它分割成兩個(gè)等腰三角形，那么這個(gè)三角形一定是美麗

三角形.

（應(yīng)用2）（3）如圖6,如果在圖4中的最短邊NC上拼上一個(gè)三角形后所形成的△2CD能被兩條直線分割

成三個(gè)等腰三角形，其中一個(gè)等腰三角形的底邊為8C、底角為/自設(shè)所拼三角形中與20。角相鄰的角為a,

請(qǐng)直接寫(xiě)出所有a的大小.

A

（備用圖）

5.（2020?湖南廣益期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系X。中的點(diǎn)尸（。,6）,若點(diǎn)尸'的坐標(biāo)為（。+祐,心+3）（其

中左為常數(shù)，且左。0）,則稱(chēng)點(diǎn)尸'為點(diǎn)尸的“左屬派生點(diǎn)”.例如：尸（1,4）的“2屬派生點(diǎn)”為

尸'（1+2x4,2x1+4）,即尸'（9,6）.

（1）若點(diǎn)尸的“3屬派生點(diǎn)”P(pán)的坐標(biāo)為（6,2）,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)尸在x軸的正半軸上，點(diǎn)尸的“左屬派生點(diǎn)”為P點(diǎn)，且線段0P的長(zhǎng)度為線段0?長(zhǎng)度的2倍,

求上的值；

（3）如圖，已知點(diǎn)2（0,2）,點(diǎn)尸是x軸上一點(diǎn)，且是點(diǎn)（2,4）的“左屬派生點(diǎn)”，以線段4P為一邊，在其

一側(cè)作如圖所示等邊三角線4PQ.現(xiàn)尸點(diǎn)沿了軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記。的位置為8.問(wèn)

三角形48。的面積是否是一個(gè)定值，如果是，請(qǐng)求出面積；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.在等腰三角形中，過(guò)其中的一個(gè)頂點(diǎn)的直線如果能把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)小的等腰三角形，我們稱(chēng)

這種等腰三角形為“少見(jiàn)的三角形”，這條直線稱(chēng)為分割線，下面我們來(lái)研究這類(lèi)三角形.

（1）等腰直角三角形是不是“少見(jiàn)的三角形”？

（2）已知如圖所示的鈍角三角形是一個(gè)“少見(jiàn)的三角形”，請(qǐng)你畫(huà)出分割線的大致位置，并求出頂角的度數(shù)

（3）銳角三角形中有沒(méi)有“少見(jiàn)的三角形”？如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果有，請(qǐng)畫(huà)出圖形并求出頂角的度

數(shù).

B

7.(2019?湖南天心期末)定義：若兩個(gè)三角形，有兩邊相等且其中一組等邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，但不是全

等三角形，我們就稱(chēng)這兩個(gè)三角形為偏差三角形.

(1)如圖1,已知/(3,2),B(4,0),請(qǐng)?jiān)趚軸上找一個(gè)C,使得△048與△CMC是偏差三角形.你