湖北省隨州市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案

高二數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：1、解析：D建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(0,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0),設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),由取x=1,則n=(1,1,1)是平面A1BD的一個(gè)法向量,所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是。故選D。2、解析：A如圖,以B為原點(diǎn),射線BC,BA,BP分別為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),故=(2,0,4),=(0,4,4),取a==(2,0,4),上的單位方向向量u=(0,1,1),則點(diǎn)C到直線PA的距離是,即點(diǎn)C到直線PA的距離為2。故選A。3、解析：B以A為原點(diǎn),AC,AM所在直線分別為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,易知A(0,0,0),B(,1,0),F(0,1,),M(0,0,2),所以=(,1,2),=(0,1,)。設(shè)異面直線MB與AF所成角為θ,則cosθ=|cos<,,所以異面直線MB與AF所成角的余弦值為。故選B。4、解析:D在直三棱柱ABC?A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,因?yàn)锳B⊥BC,所以BA,BC,BB1兩兩垂直,以直線BA,BC,BB1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BB1=a(a>0),則A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,0,a),C(0,2,0),所以=(2,0,a),=(0,0,a),=(2,2,0)。設(shè)平面AA1C1C的法向量為n=(x,y,z),則令x=1,得n=(1,1,0)為平面AA1C1C的一個(gè)法向量,所以直線AB1與側(cè)面AA1C1C所成角的正弦值為sin,n>|=,得a=2,所以A1(2,0,2),=(2,0,2)。設(shè)異面直線A1B與AC所成的角為θ,則cosθ=|cos<,,所以異面直線A1B與AC所成角的正弦值為。故選D。5、解析:C由題意知直線l的斜率存在,且不為0。設(shè)所求直線的方程為y1=k(x2)。令x=0,得y=12k,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,12k)。又因?yàn)镸為線段PQ的中點(diǎn),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0,所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得=1,解得k=,所以所求直線的方程為x+2y4=0。故選C。6、解析：C等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(0,6),故焦點(diǎn)在y軸上,c=6且a=b,根據(jù)a2+b2=c2,得a=b=3,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1。故選C。7、解析：A由雙曲線C:=1可得左焦點(diǎn)F(5,0),頂點(diǎn)(4,0),(4,0)。若l⊥x軸,則|AB|=2×<8,不符合題意,舍去;若l與x軸不垂直,與C的左支交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=8,存在兩條直線;若l與x軸不垂直,與C的左、右支各交于一點(diǎn),則只有A,B為頂點(diǎn)時(shí)滿足|AB|=8,存在一條直線。綜上可得,滿足條件的直線有3條。故選A。8、解析：B拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=1。根據(jù)題意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8。故選B。二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9、解析：AD如題圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,傾斜角分別為α1,α2,α3,則k2>k3>0,k1<0,故>α2>α3>0,且α1為鈍角。故選AD。10、。解析：ACA項(xiàng),直線y=(x1)過點(diǎn)(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A項(xiàng)正確,且拋物線C的方程為y2=4x。B項(xiàng),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化簡(jiǎn)得3x210x+3=(x3)(3x1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3+,B項(xiàng)錯(cuò)誤。C項(xiàng),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為A,M,N,A到直線l的距離分別為d1,d2,d,因?yàn)閐=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直線l的距離等于|MN|的一半,所以以線段MN為直徑的圓與直線l相切,C項(xiàng)正確。D項(xiàng),由上述分析可知y1=×(31)=2,y2=,所以|OM|=,|ON|=,所以三角形OMN不是等腰三角形,D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選AC。11、解析：BCD橢圓=1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓x2+y25x4y+4=0上,所以可先求出圓x2+y25x4y+4=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。令y=0,得x25x+4=0,解得x=1或x=4,所以圓x2+y25x4y+4=0與x軸的交點(diǎn)為A(1,0),B(4,0);令x=0,得y24y+4=0,解得y=2,所以圓x2+y25x4y+4=0與y軸相切于點(diǎn)C(0,2)。當(dāng)點(diǎn)A(1,0)為焦點(diǎn),C(0,2)為頂點(diǎn)時(shí),c=1,b=2,所以a=,則離心率e=;當(dāng)點(diǎn)A(1,0)為焦點(diǎn),B(4,0)為頂點(diǎn)時(shí),c=1,a=4,則離心率e=;當(dāng)點(diǎn)B(4,0)為焦點(diǎn),C(0,2)為頂點(diǎn)時(shí),c=4,b=2,所以a=,則離心率e=。故選BCD。三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、解析：3。因?yàn)?(3,1,1),=(m+1,n2,2),且A,B,C三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,即(m+1,n2,2)=λ(3,1,1)=(3λ,λ,λ),所以所以m+n=3。13、解析：(x+1)2+(y+1)2=2。kxy2k+2=0可化為k(x2)y+2=0,所以直線kxy2k+2=0(k∈R)過定點(diǎn)A(2,2)。因?yàn)閳AC上的動(dòng)點(diǎn)P到直線kxy2k+2=0(k∈R)的距離的最大值為4,所以圓心C到直線kxy2k+2=0(k∈R)的距離的最大值為4。又圓心C在直線x+y+2=0上,所以可設(shè)C(a,a2)。如圖,易知直線CA與直線kxy2k+2=0(k∈R)垂直時(shí),圓心C到直線kxy2k+2=0(k∈R)的距離最大,即,解得a=1,故圓心C(1,1),故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=2。14、解析：(∞,5)∪(2,+∞)。因?yàn)樵摲匠瘫硎倦p曲線,所以(m+2)(m+5)>0,即m>2或m<5,即m的取值范圍為(∞,5)∪(2,+∞)。四、解答題：本題共5小題，共75分15、（本小題滿分12分）解(1)證明:以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。(2)存在滿足要求的點(diǎn)P,假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此時(shí)=(0,1,z0)。設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因?yàn)閚⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,則故n=是平面B1AE的一個(gè)法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即az0=0,解得z0=。所以存在點(diǎn)P,滿足DP∥平面B1AE,此時(shí)AP=。16、（本小題滿分12分）解(1)證明:(),因?yàn)椤ぁ?)=(··)+()=0,所以C1O⊥BD。因?yàn)镃C1=2,CO=,∠C1CO=45°,所以C1O=,所以C1O2+OC2=C,所以C1O⊥OC,又因?yàn)锽D∩OC=O,且BD,OC?平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD。(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(,0,0),A(0,,0),C1(0,0,),C(0,,0),所以A1(0,2,),D(,0,0),所以=(,,0),=(0,,),=(,,0),設(shè)平面AA1B與平面AA1D的一個(gè)法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則有不妨取x1=x2=1,則n1=(1,1,1),n2=(1,1,1)。設(shè)二面角B?AA1?D的平面角為θ,則|cosθ|=,sinθ=。所以二面角B?AA1?D的正弦值為。17、（本小題滿分12分）解(1)設(shè)A'(x,y),由已知條件得所以A'。(2)在直線m上取一點(diǎn)M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M'必在直線m'上。設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M'(a,b),則故M'。設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N,則由即N(4,3)。又因?yàn)閙'經(jīng)過點(diǎn)N(4,3),所以由兩點(diǎn)式得直線m'的方程為9x46y+102=0。(3)設(shè)P(x,y)為l'上任意一點(diǎn),則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(2x,4y),因?yàn)镻'在直線l上,所以2(2x)3(4y)+1=0,即2x3y9=0。18、（本小題滿分12分）解(1)由已知可得,c=2,所以a=。又由a2=b2+c2,解得b=,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是=1。(2)設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,m),則直線TF的斜率kTF==m。當(dāng)m≠0時(shí),直線PQ的斜率kPQ=,直線PQ的方程是x=my2。當(dāng)m=0時(shí),直線PQ的方程是x=2,也符合x=my2的形式。設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得消去x,得(m2+3)y24my2=0,其判別式Δ=16m2+8(m2+3)>0。所以y1+y2=,y1y2=,所以x1+x2=m(y1+y2)4=。因?yàn)樗倪呅蜲PTQ是平行四邊形,所以,即(x1,y1)=(3x2,my2)。所以解得m=±1。此時(shí),四邊形OPTQ的面積S四邊形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1y2|=2。19、（本小題滿分12分）解(1)由拋物線C:x2=2py經(jīng)過點(diǎn)(2,1),得p=2。所以拋物線C的方程為x2=4y,其準(zhǔn)線方程為y=1。(2)證明:拋物線C